第１７卷第４期２００１年１２月
ＣｒＶＩＬＩ蚤ＢＤⅢⅡｔ州ＧＡＮＤ
ＪｏＵＲＮＡＬｏＦＢＥＵＤ临姗ｒＩＥｏＦＡＲ咖Ｃｎ瓜Ｅ
北京建筑工程学院学报
Ｖ０１．１７№．４
Ｄｅｃ．２００ｌ
文章编号：１００４—６０ｌｌ（２００１）０４一００３５—０３
浅谈函数奇偶性在积分计算中的应用
吴昌泽范元玮
（基础部．北京１０００“）
摘要：本文把一元函数中奇偶函数在对称区间的积分计算结论，推广到二重积分、三重积分，以厦对弧长的曲线积分和对面积的曲面积分，并通过例题说明它们在积分中的应用。关建词：定积分；二重积分；三重积分；对孤长的曲线积分；对面积的曲面积分。中图分类号：叭７４
文献标识码：Ａ
学习高等数学要学习函数、极限、连续，因为他是学习高等教学的基础。而学习函数就一定要学习函数的几何特性（单词性、奇偶性、有界性、周期性）及其它知识，因为它们是研究函数的基础，也是今后学习计算方法等其它后续课不可缺少的。下面着重谈谈函数的奇偶性在高等数学课程中对计算积分的
一些应用。
连续，且为奇函数，则ｆ！．ｆ（ｘ）ｄｘ＝ｏ。
这个结论可以从定积分的几何意义加以说明。利用这个结论，可以计算下面类型的题目。
例计算ｆ！：（ＩｘＩ＋ｘ）ｅ“ｄｘ
解利用定积分的性质把它分成二部分，分别为一个奇函数与一个偶函数在对称区间上的积分。
ｆ己２（１ｘｌ＋ｘ）ｅ㈦ｄｘ＝ｆ己２ｌｘ｛ｅ１…ｄｘ＋ｆ１２
ｘｅ…ｄｘ
函数的奇偶性的定义是，设函数ｆ（ｘ）的定义域Ｄ关于原点对称，如对于任一ｘ∈Ｄ，有ｆ（一ｘ）＝ｆ（ｘ）恒成立，则称ｆ（ｘ）为偶函数；如果对于任一ｘ∈Ｄ，有ｆ（一ｘ）＝一ｆ（ｘ）恒成立，则称ｆ（ｘ）为奇函数。在这个定义的基础上得到下面结论：两奇函数的和为奇函数，两偶函数的和为偶函数，两偶函数的乘积、两奇函数的乘积为偶函数。一奇函数与一偶函数的乘积为奇函数，两偶函数的商（分母不为零）、两奇函数的商（分母不为零）为偶函数，一奇函数一偶函数的商（分母不为零）为奇函数。学习了上面内容后，把它用到函数图形的描绘中，只要求出函数定义域中在正向一侧或负向一侧的图形，利用对称性可
１
其中ｆ１２ｘｅ“ｄｘ为奇函数在对称区间积分为ｏ，』１２Ｉｘｌｅ“ｄｘ为偶函数在对称区间积分。
．’．』１２（Ｉｘｌ＋ｘ）ｅ“Ｊｄ］ｃ＝２ｆ；Ｉｘ『ｅ‘“ｄｘ＝２』：ｘｅ‘ｄｘ
＝２（ｅ２＋１）
例计算Ｉ２，一５ｚ如
解：』羔一５ｚ如＝可；一５ｚ如＝誊
把一元奇偶函数在对称区间上积分，推广到二重积分中有下面结论，设函数ｆ（ｘ，ｙ）在ｘｏｙ平面有界闭区域Ｄ上连续，且区域Ｄ关于ｚ轴对称，那么
以得到所求函数的图形，例如作函数ｙ＝—苫ｅ一专
￣，２Ⅱ
ｊ
的图形，它的定义域Ｄ＝（一。。，十。。），由于函数是偶函数，只要描绘出［０，＋００）一侧的图形，即可得到函数的图形。
函数的奇偶性应用到定积分中，又得到下面的结论。（１）若ｆ（ｘ）在［一ａ，ａ］上连续，且为偶函数，则』：．ｆ（ｘ）ｄｘ＝２』；ｆ（ｘ）ｄｘ；（２）若ｆ（ｘ）在［一ａ，ａ］上
收稿日期：２００１一ｌＯ一２６
作者筒彳ｒ：吴昌泽（１９４１年一）男，大学．数学教研室．副教授。
（１）若函数满足ｆ（ｘ，一ｙ）＝ｆ（ｘ，ｙ）则Ⅱｆ（ｘ，ｙ）出＝２且“ｘ，ｙ）出，其中Ｄｌ为ｚ轴上方的平面区域；（２）
若函数满足ｆ（ｘ，一ｙ）＝一ｆ（ｘ，ｙ），则Ⅱｆ（ｘ，ｙ）出＝
０。
北京建筑工程学院学报第１７卷
对于积分区域Ｄ关于ｙ轴对称时，函数ｆ（ｘ，ｙ）满足ｆ（～ｘ，ｙ）＝ｆ（ｘ，ｙ）或ｆ（一ｘ，ｙ）＝一ｆ（ｘ，ｙ）也有类似的结论。上面结论我们可以利用二重积分的几何意义一计算曲顶柱体的体积或者二重积分的物理意义一计算非均匀平面薄片的质量加以说明，运用在计算二重积分中如
上连续．那么（１）若函数满足“一ｘ，ｙ）＝ｆ（ｘ，ｙ），则』。ｆ（ｘ，ｙ）ｄｓ＝２』Ｌｆ（ｘ，ｙ）ｄｓ其中Ｌｌ是平面曲线Ｌ在ｙ轴右半平面的曲线；（２）若函数满足ｆ（一ｘ，ｙ）＝一ｆ（ｘ，ｙ），贝４ｆＬｆ（ｘ，ｙ）ｄｓ＝ｏ。
类似地还有其它的结论，结论的正确性可以利用积分的物理意义，计算曲线型构件的质量加以｝兑明。这时把函数｛（ｘ，ｙ）看作曲线型构件的线密度。如计算下面的曲线积分
例计算二重积分Ⅱｘ２ｓｉｎ３ｙｄｄ，其中Ｄ是由ｘ
＋ｙ＝１，ｘ—ｙ＝１，ｘ＝Ｏ所围成的三角形闭域。
解法１：。．‘积分区域Ｄ为ｍｙ上平面区域，且关于ｘ轴对称，被积函数满足ｆ（ｘ，一ｙ）＝一ｆ（ｘ，ｙ）的条件，．‘．计算结果为０。
解法２：把二重积分化为二次积分计算
例计算曲线积分Ｊ。ｆｘｙ｝｛ｄｓ，式中Ｌ是曲线ｘ｛＋声＝ｌ上由点（一１，ｏ）经（ｏ，１）到（１，ｏ）的弧段
解法１：利用上面结论，’．‘曲线弧Ｌ】关于ｙ轴对称，函数ｆ（ｘ，ｙ）＝ｌｘｙＩ｛满足ｆ（一ｘ，ｙ）＝“ｘ，ｙ），．’．此题可化为在右半平面上曲线Ｌ，上积分的二倍。
ｆ。ｌ科『｛ｄｓ
＝２
Ⅱｘ２ｓｉｎ３ｙｄ口＝ｆ：ｘ２ｄｘｆＩ；＿’ｓｉｎ３ｙｄｙ＝ｆ；ｘ２‘
Ｏｄｘ＝０
我们把一元奇、偶函数在对称区间上的积分推广到三重积分中，得到下面结论。设｛（ｘ，ｙ，ｚ）在有界闭区域ｎ上连续，且ｎ关于ｘｏｙ平面对称，那么（１）若函数ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）满足ｆ（ｘ，ｙ，一ｚ）＝ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）。则
线）
ｈ
Ｊ
ＩｘｙＩ｛ｄｓ（其中Ｌ。为Ｌ在右半平面的曲
ｇｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄｖ＝２月ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄｖ，其中“为ｎ在ｘｏｙ
平面上方的部分区域；（２）若函数满足ｆ（ｘ，ｙ，一ｚ）＝
＝２
Ｌ
ｘ｛声ｄｓ（Ｌ的参数方程ｘ＝ｏ若ｔ，ｙ＝
ｓｉｎｔ３ｓｉｎｔ
ｃｏｓｔ
ｓｉｎ３ｔ）
＝２
一ｆ（ｘ，ｙ，ｚ），则Ⅲｆ（ｘ．ｙ，ｚ）ｄｖ＝ｏ，并且可以把这个结
论推广到关于其它坐标面对称，被积函数满足相应一些条件的情况。我们可以利用三重积分的物理意义计算非均匀的空间物体的质量来说明结论是成立的。把结论应用到三重积分中如
ｆ；∞ｓｔ
ｄｔ
＝６』；ｓｉｎ２ｔ心ｔｄｔ＝音”
解法２：
Ｊ。１ｘｙ；｛ｄｓ＝Ｊ。ｊ。ｙｌ｛ｄｓ十ｆ。ｊｘｙＩ｛ｄｓ（其中
Ｌ。，ｋ分别为Ｌ在ｙ轴右边及左边的部分曲线
饲计算三重积分Ⅱ，ｔａｎ（ｘ２旷）ｄｖ，其中ｎ由平面ｚ＝ｏ，ｚ＝ｌ和曲面ｘ２＋ｙ２＝ｌ所围成的区域。
解法ｌ：’．’积分区域ｎ关于ｘ。ｚ平面对称，被积函数满足ｆ（ｘ，一ｙ．ｚ）＝一ｆ（ｘ，ｙ，ｚ），．’．三重积分值为０。
解法２：把三重积分化为三次积分得到
唰
＝ｆ；｝∞ｓ３ｔ
ｓｉｎ３ｔｆ｛Ｊ３ｓｉｎｔｃｏｓｔｆｄｔ＋
ｆ；ｌ∞ｓ３ｔｓｉｎ３ｔ【｛１３ｓｉｎｔｃｏｓｔｌｄｔ
…矿‘纽ｎ（ｚ２ｙ３）如
２
警胁ｔｎ２ｔ
＝』；３ｓｉｎ２ｔ
ｄｔ
００ｓ２ｔｄｔ＋Ｊ翼３５ｉｎ２ｔｃ。ｓｔ２ｄｔ。
ｃｏｓｔ２ｄｔ＋ｊ；３Ｓｉｎ‰０６２ｔ
＝ＩＰ“如－ｆ如ｆ
ｒ】ｒ屑
ｊ一。如ｊ一屑托”（ｚ２ｙ３）叫。ｅ，ｄｚ
ｒｌ，屑
ｒＩ，
ｒｌ
＝６ｆ｜ｓｉｎ２ｔ∞ｓ２ｔ
ｄｔ５詈“
把奇偶函数在对称区间上的定积分，推广到对面积的曲面积分上还可以得到下面结论。设面积有限分片光滑曲面∑关于ｙｏｚ平面对称，而函数ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）是∑上的连续函数，那么（１）若函数满足ｆ（一ｘ，
ｒ１缸Ｍ（ｚ２ｙ３）由
＝ｐ出・￡ｏ出＝ｏ
可以类似地把它推广到对弧长的曲线积分上得到下面结论。设有ｘｏｙ平面上分段光滑的长度有限平面曲线段Ｌ，Ｌ关于ｙ轴对称，而函数ｆ（ｘ，ｙ）在Ｌ
ｙ，ｚ）＝ｆ（ｘｍｚ），则｛Ｉ厂（ｚ，ｙ，：）出＝２Ｉ｛（ｚｍ
艺
要。
２）出，其中∑。是∑在ｙｏｚ平面一侧部分的曲面；
第４期
吴昌泽范元玮：浅谈函数奇偶陛在积分计算中的应用
３７
（２）若函数满足ｆ（一ｘ，ｙ，ｚ）＝一ｆ（ｘ，ｙ，ｚ），则
阡
另外在级数这章里求以２”或２】为周期的奇（偶）函数的付立叶级数时，在求付立叶系数如＇ｂ．中也可应用奇偶函数在对称区间积分的条件．简化计算。通过上面对函数奇偶性概念的回顾，函数奇偶性在对称区间上积分的应用，以及推广，使我们看到函数的奇偶性，积分区间、积分区域的对称性这些看起来很简单的概念，但是他们的的确确又是很重要的，如果学生和学习高等数学时，通过教师的讲解，使他们能够掌握、理解，并能把它熟练地应用在计算中，对学生是大有益处的，他们在作题时．就可避免很多繁杂的推导，可节省大量的时间，我们认为教师在教学中讲清有关概念，以及这些概念在今后计算中的作用，引起学生们的重视是我们今后在教学中应该注意的。不妥之处，请大家批评指正。参考文献：
皑
Ｉｌ，（ｚ，，，２）出＝ｏ。还可以把它应用到曲面∑关
于其它坐标面对称情况，也有类似的结论。这些结论可以利用对面积的曲面积分的物理意义得到解释，这时把ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）看作空间曲面的面密度。
ｎ’
例计算曲面积分｜｜—出，其中∑是曲面ｚ＝
拳
￣／ｘ２＋ｙ２被平面ｚ＝１割下的部分。
解法１：利用对面积的曲面积分的对称性．＋曲面∑关于ｙｏｚ平面对称，函数ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＝
ｘｚ，满足ｆ（一ｘ，ｙ，２）＝一ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）条件．‘，Ｊｊｚ础＝ｏ』
∑
解法２：’．’∑在ｘｏｙ平面的投影Ｄ：ｘ２＋ｙ２≤１
√Ｈ南＋南蛐
矗ｄ矗，
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［１］同济大学数学教研室，高等数学（第四版）上、下册［Ｍ］北
京：高等教育出版杜，１９９７年１２月
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莹
屿
ｆ２］高等数学典型耀—解法、技巧、注释［Ｍ］西安：西安交太出版
杜出版
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Ｓｉｍｐｌｅ
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ＦｌｌＩＩｃｔｉｏｎｉｎＣａｌｃｕｌｌｌｓｉＩＩ
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（脚ｋｏｆＢａｓｉｃｓｉ目１ｃｅ，Ｂｅｉｉｎｇ．１０００“）
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研ｗ瞰括：ｄｅ打ｎｆｃｅ打１亡ｅ｛辩２；ｄｏＵｂｊｅｆｎ魄嗣；耐ｐｊｅｉｎ把ｇｒａｊ；疗塔ｃｋ删。ｆｃｕ州ｈ龃ｒ抽ｃ昭耐疗糟ｃｋｉ谢硝ｓ“嘞∞
ｉｎｔｅｇｒａｌ．
浅谈函数奇偶性在积分计算中的应用
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：引用次数：
吴昌泽， 范元玮
北京建筑工程学院基础部,
北京建筑工程学院学报
JOURNAL OF BEIJING INSTITUTE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURE2001，17(4)0次
参考文献(2条)
1. 同济大学数学教研室 高等数学 19972. 高等数学典型题-解法、技巧、注释
相似文献(10条)
1.期刊论文 高崚嶒. GAO Lin-cen 定积分与二重积分的互化 -襄樊职业技术学院学报2008,7(1)
本文通过范例介绍了如何用二重积分解决定积分问题和如何用定积分解决二重积分问题,实现了两者在一定程度上的互化,为积分问题的计算和证明等提供了计算技巧,拓宽了解题途径.
2.期刊论文 李冠臻. 吕志敏. LI Guan-zhen. LU Zhi-min 极限、定积分、二重积分概念教法之探讨 -天津职业院校联合学报2006,8(5)
在极限、定积分、二重积分的概念教学过程中,运用哲学思想、引用历史典故和逻辑思维及直观图像等方式方法,变抽象数学概念为学生易于接受的信息,使学生更容易掌握新概念、新理论.
3.期刊论文 臧秀娟. ZANG Xiu-juan 构造二重积分解决定积分问题 -丹东纺专学报2005,12(1)
定积分不等式的证明方法多种多样.一般常规的方法有:研究被积函数在给定区间上的单调性、凸性、最值等.本文将给出一种方法,即利用变量替换手段将定积分转化为二重积分,再去证明.
4.期刊论文 黄志坚. 吴健辉. HUANG Zhi-jian. WU Jian-hui 利用二重积分解决有关定积分的问题 -景德镇高专学报2005,20(2)
介绍利用二重积分解决有关定积分问题的一种方法.
5.期刊论文 吴耀强 巧用二重积分求解定积分之例说 -高等函授学报（自然科学版）2006,19(5)
将高维数转化为低维数问题进行研究是数学解题教学中常见的策略之一,本文通过范例说明如何将高雏定积分转化为二重积分求解,为定积分提供了一个计算技巧,同时也丰富了高等数学中低维数与高雏数互化的数学思想方法.
6.期刊论文 梅银珍. 王鹏. 李有文 二重积分换元公式的一种简便推导方法 -华北工学院学报2004,25(3)
为简化二重积分换元公式的推导, 利用定积分的换元法及二重积分的有关知识, 提出了一种简便的推导方法.
7.期刊论文 黄宗文. HUANG Zhong-wen 一个定积分性质的应用和推广 -玉林师范学院学报（自然科学）2002,23(3)
本文叙述奇函数和偶函数在对称区间的定积分性质,并把这一性质推广到二重积分中去.
8.期刊论文 邵红 超越函数定积分的积分方法 -中国科技信息2008(10)
本文利用二元函数的微分学和积分学的理论和方法,研究超越函数定积分的两种积分方、法.
9.期刊论文 常敏慧. Chang Min-hui 变上限定积分求导及其应用 -科技信息（科学·教研）2007(33)
通过例题给出变上限定积分求导的几个应用.
10.期刊论文 韩艳光 对二重积分解决定积分问题的探讨 -魅力中国2009(26)
定积分不等式的证明方法多种多样,一般常规的方法有:研究被积函数在给定区间上的单调性、凸性,最值等.在很多时候,我们也可以把定积分的不等式问题化为二重积分进行处理,使问题迎刃而解.本文通过一些例子,进行对二重积分解决定积分问题的探讨.
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第１７卷第４期２００１年１２月
ＣｒＶＩＬＩ蚤ＢＤⅢⅡｔ州ＧＡＮＤ
ＪｏＵＲＮＡＬｏＦＢＥＵＤ临姗ｒＩＥｏＦＡＲ咖Ｃｎ瓜Ｅ
北京建筑工程学院学报
Ｖ０１．１７№．４
Ｄｅｃ．２００ｌ
文章编号：１００４—６０ｌｌ（２００１）０４一００３５—０３
浅谈函数奇偶性在积分计算中的应用
吴昌泽范元玮
（基础部．北京１０００“）
摘要：本文把一元函数中奇偶函数在对称区间的积分计算结论，推广到二重积分、三重积分，以厦对弧长的曲线积分和对面积的曲面积分，并通过例题说明它们在积分中的应用。关建词：定积分；二重积分；三重积分；对孤长的曲线积分；对面积的曲面积分。中图分类号：叭７４
文献标识码：Ａ
学习高等数学要学习函数、极限、连续，因为他是学习高等教学的基础。而学习函数就一定要学习函数的几何特性（单词性、奇偶性、有界性、周期性）及其它知识，因为它们是研究函数的基础，也是今后学习计算方法等其它后续课不可缺少的。下面着重谈谈函数的奇偶性在高等数学课程中对计算积分的
一些应用。
连续，且为奇函数，则ｆ！．ｆ（ｘ）ｄｘ＝ｏ。
这个结论可以从定积分的几何意义加以说明。利用这个结论，可以计算下面类型的题目。
例计算ｆ！：（ＩｘＩ＋ｘ）ｅ“ｄｘ
解利用定积分的性质把它分成二部分，分别为一个奇函数与一个偶函数在对称区间上的积分。
ｆ己２（１ｘｌ＋ｘ）ｅ㈦ｄｘ＝ｆ己２ｌｘ｛ｅ１…ｄｘ＋ｆ１２
ｘｅ…ｄｘ
函数的奇偶性的定义是，设函数ｆ（ｘ）的定义域Ｄ关于原点对称，如对于任一ｘ∈Ｄ，有ｆ（一ｘ）＝ｆ（ｘ）恒成立，则称ｆ（ｘ）为偶函数；如果对于任一ｘ∈Ｄ，有ｆ（一ｘ）＝一ｆ（ｘ）恒成立，则称ｆ（ｘ）为奇函数。在这个定义的基础上得到下面结论：两奇函数的和为奇函数，两偶函数的和为偶函数，两偶函数的乘积、两奇函数的乘积为偶函数。一奇函数与一偶函数的乘积为奇函数，两偶函数的商（分母不为零）、两奇函数的商（分母不为零）为偶函数，一奇函数一偶函数的商（分母不为零）为奇函数。学习了上面内容后，把它用到函数图形的描绘中，只要求出函数定义域中在正向一侧或负向一侧的图形，利用对称性可
１
其中ｆ１２ｘｅ“ｄｘ为奇函数在对称区间积分为ｏ，』１２Ｉｘｌｅ“ｄｘ为偶函数在对称区间积分。
．’．』１２（Ｉｘｌ＋ｘ）ｅ“Ｊｄ］ｃ＝２ｆ；Ｉｘ『ｅ‘“ｄｘ＝２』：ｘｅ‘ｄｘ
＝２（ｅ２＋１）
例计算Ｉ２，一５ｚ如
解：』羔一５ｚ如＝可；一５ｚ如＝誊
把一元奇偶函数在对称区间上积分，推广到二重积分中有下面结论，设函数ｆ（ｘ，ｙ）在ｘｏｙ平面有界闭区域Ｄ上连续，且区域Ｄ关于ｚ轴对称，那么
以得到所求函数的图形，例如作函数ｙ＝—苫ｅ一专
￣，２Ⅱ
ｊ
的图形，它的定义域Ｄ＝（一。。，十。。），由于函数是偶函数，只要描绘出［０，＋００）一侧的图形，即可得到函数的图形。
函数的奇偶性应用到定积分中，又得到下面的结论。（１）若ｆ（ｘ）在［一ａ，ａ］上连续，且为偶函数，则』：．ｆ（ｘ）ｄｘ＝２』；ｆ（ｘ）ｄｘ；（２）若ｆ（ｘ）在［一ａ，ａ］上
收稿日期：２００１一ｌＯ一２６
作者筒彳ｒ：吴昌泽（１９４１年一）男，大学．数学教研室．副教授。
（１）若函数满足ｆ（ｘ，一ｙ）＝ｆ（ｘ，ｙ）则Ⅱｆ（ｘ，ｙ）出＝２且“ｘ，ｙ）出，其中Ｄｌ为ｚ轴上方的平面区域；（２）
若函数满足ｆ（ｘ，一ｙ）＝一ｆ（ｘ，ｙ），则Ⅱｆ（ｘ，ｙ）出＝
０。
北京建筑工程学院学报第１７卷
对于积分区域Ｄ关于ｙ轴对称时，函数ｆ（ｘ，ｙ）满足ｆ（～ｘ，ｙ）＝ｆ（ｘ，ｙ）或ｆ（一ｘ，ｙ）＝一ｆ（ｘ，ｙ）也有类似的结论。上面结论我们可以利用二重积分的几何意义一计算曲顶柱体的体积或者二重积分的物理意义一计算非均匀平面薄片的质量加以说明，运用在计算二重积分中如
上连续．那么（１）若函数满足“一ｘ，ｙ）＝ｆ（ｘ，ｙ），则』。ｆ（ｘ，ｙ）ｄｓ＝２』Ｌｆ（ｘ，ｙ）ｄｓ其中Ｌｌ是平面曲线Ｌ在ｙ轴右半平面的曲线；（２）若函数满足ｆ（一ｘ，ｙ）＝一ｆ（ｘ，ｙ），贝４ｆＬｆ（ｘ，ｙ）ｄｓ＝ｏ。
类似地还有其它的结论，结论的正确性可以利用积分的物理意义，计算曲线型构件的质量加以｝兑明。这时把函数｛（ｘ，ｙ）看作曲线型构件的线密度。如计算下面的曲线积分
例计算二重积分Ⅱｘ２ｓｉｎ３ｙｄｄ，其中Ｄ是由ｘ
＋ｙ＝１，ｘ—ｙ＝１，ｘ＝Ｏ所围成的三角形闭域。
解法１：。．‘积分区域Ｄ为ｍｙ上平面区域，且关于ｘ轴对称，被积函数满足ｆ（ｘ，一ｙ）＝一ｆ（ｘ，ｙ）的条件，．‘．计算结果为０。
解法２：把二重积分化为二次积分计算
例计算曲线积分Ｊ。ｆｘｙ｝｛ｄｓ，式中Ｌ是曲线ｘ｛＋声＝ｌ上由点（一１，ｏ）经（ｏ，１）到（１，ｏ）的弧段
解法１：利用上面结论，’．‘曲线弧Ｌ】关于ｙ轴对称，函数ｆ（ｘ，ｙ）＝ｌｘｙＩ｛满足ｆ（一ｘ，ｙ）＝“ｘ，ｙ），．’．此题可化为在右半平面上曲线Ｌ，上积分的二倍。
ｆ。ｌ科『｛ｄｓ
＝２
Ⅱｘ２ｓｉｎ３ｙｄ口＝ｆ：ｘ２ｄｘｆＩ；＿’ｓｉｎ３ｙｄｙ＝ｆ；ｘ２‘
Ｏｄｘ＝０
我们把一元奇、偶函数在对称区间上的积分推广到三重积分中，得到下面结论。设｛（ｘ，ｙ，ｚ）在有界闭区域ｎ上连续，且ｎ关于ｘｏｙ平面对称，那么（１）若函数ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）满足ｆ（ｘ，ｙ，一ｚ）＝ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）。则
线）
ｈ
Ｊ
ＩｘｙＩ｛ｄｓ（其中Ｌ。为Ｌ在右半平面的曲
ｇｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄｖ＝２月ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄｖ，其中“为ｎ在ｘｏｙ
平面上方的部分区域；（２）若函数满足ｆ（ｘ，ｙ，一ｚ）＝
＝２
Ｌ
ｘ｛声ｄｓ（Ｌ的参数方程ｘ＝ｏ若ｔ，ｙ＝
ｓｉｎｔ３ｓｉｎｔ
ｃｏｓｔ
ｓｉｎ３ｔ）
＝２
一ｆ（ｘ，ｙ，ｚ），则Ⅲｆ（ｘ．ｙ，ｚ）ｄｖ＝ｏ，并且可以把这个结
论推广到关于其它坐标面对称，被积函数满足相应一些条件的情况。我们可以利用三重积分的物理意义计算非均匀的空间物体的质量来说明结论是成立的。把结论应用到三重积分中如
ｆ；∞ｓｔ
ｄｔ
＝６』；ｓｉｎ２ｔ心ｔｄｔ＝音”
解法２：
Ｊ。１ｘｙ；｛ｄｓ＝Ｊ。ｊ。ｙｌ｛ｄｓ十ｆ。ｊｘｙＩ｛ｄｓ（其中
Ｌ。，ｋ分别为Ｌ在ｙ轴右边及左边的部分曲线
饲计算三重积分Ⅱ，ｔａｎ（ｘ２旷）ｄｖ，其中ｎ由平面ｚ＝ｏ，ｚ＝ｌ和曲面ｘ２＋ｙ２＝ｌ所围成的区域。
解法ｌ：’．’积分区域ｎ关于ｘ。ｚ平面对称，被积函数满足ｆ（ｘ，一ｙ．ｚ）＝一ｆ（ｘ，ｙ，ｚ），．’．三重积分值为０。
解法２：把三重积分化为三次积分得到
唰
＝ｆ；｝∞ｓ３ｔ
ｓｉｎ３ｔｆ｛Ｊ３ｓｉｎｔｃｏｓｔｆｄｔ＋
ｆ；ｌ∞ｓ３ｔｓｉｎ３ｔ【｛１３ｓｉｎｔｃｏｓｔｌｄｔ
…矿‘纽ｎ（ｚ２ｙ３）如
２
警胁ｔｎ２ｔ
＝』；３ｓｉｎ２ｔ
ｄｔ
００ｓ２ｔｄｔ＋Ｊ翼３５ｉｎ２ｔｃ。ｓｔ２ｄｔ。
ｃｏｓｔ２ｄｔ＋ｊ；３Ｓｉｎ‰０６２ｔ
＝ＩＰ“如－ｆ如ｆ
ｒ】ｒ屑
ｊ一。如ｊ一屑托”（ｚ２ｙ３）叫。ｅ，ｄｚ
ｒｌ，屑
ｒＩ，
ｒｌ
＝６ｆ｜ｓｉｎ２ｔ∞ｓ２ｔ
ｄｔ５詈“
把奇偶函数在对称区间上的定积分，推广到对面积的曲面积分上还可以得到下面结论。设面积有限分片光滑曲面∑关于ｙｏｚ平面对称，而函数ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）是∑上的连续函数，那么（１）若函数满足ｆ（一ｘ，
ｒ１缸Ｍ（ｚ２ｙ３）由
＝ｐ出・￡ｏ出＝ｏ
可以类似地把它推广到对弧长的曲线积分上得到下面结论。设有ｘｏｙ平面上分段光滑的长度有限平面曲线段Ｌ，Ｌ关于ｙ轴对称，而函数ｆ（ｘ，ｙ）在Ｌ
ｙ，ｚ）＝ｆ（ｘｍｚ），则｛Ｉ厂（ｚ，ｙ，：）出＝２Ｉ｛（ｚｍ
艺
要。
２）出，其中∑。是∑在ｙｏｚ平面一侧部分的曲面；
第４期
吴昌泽范元玮：浅谈函数奇偶陛在积分计算中的应用
３７
（２）若函数满足ｆ（一ｘ，ｙ，ｚ）＝一ｆ（ｘ，ｙ，ｚ），则
阡
另外在级数这章里求以２”或２】为周期的奇（偶）函数的付立叶级数时，在求付立叶系数如＇ｂ．中也可应用奇偶函数在对称区间积分的条件．简化计算。通过上面对函数奇偶性概念的回顾，函数奇偶性在对称区间上积分的应用，以及推广，使我们看到函数的奇偶性，积分区间、积分区域的对称性这些看起来很简单的概念，但是他们的的确确又是很重要的，如果学生和学习高等数学时，通过教师的讲解，使他们能够掌握、理解，并能把它熟练地应用在计算中，对学生是大有益处的，他们在作题时．就可避免很多繁杂的推导，可节省大量的时间，我们认为教师在教学中讲清有关概念，以及这些概念在今后计算中的作用，引起学生们的重视是我们今后在教学中应该注意的。不妥之处，请大家批评指正。参考文献：
皑
Ｉｌ，（ｚ，，，２）出＝ｏ。还可以把它应用到曲面∑关
于其它坐标面对称情况，也有类似的结论。这些结论可以利用对面积的曲面积分的物理意义得到解释，这时把ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）看作空间曲面的面密度。
ｎ’
例计算曲面积分｜｜—出，其中∑是曲面ｚ＝
拳
￣／ｘ２＋ｙ２被平面ｚ＝１割下的部分。
解法１：利用对面积的曲面积分的对称性．＋曲面∑关于ｙｏｚ平面对称，函数ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＝
ｘｚ，满足ｆ（一ｘ，ｙ，２）＝一ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）条件．‘，Ｊｊｚ础＝ｏ』
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［１］同济大学数学教研室，高等数学（第四版）上、下册［Ｍ］北
京：高等教育出版杜，１９９７年１２月
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ｆ２］高等数学典型耀—解法、技巧、注释［Ｍ］西安：西安交太出版
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浅谈函数奇偶性在积分计算中的应用
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：引用次数：
吴昌泽， 范元玮
北京建筑工程学院基础部,
北京建筑工程学院学报
JOURNAL OF BEIJING INSTITUTE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURE2001，17(4)0次
参考文献(2条)
1. 同济大学数学教研室 高等数学 19972. 高等数学典型题-解法、技巧、注释
相似文献(10条)
1.期刊论文 高崚嶒. GAO Lin-cen 定积分与二重积分的互化 -襄樊职业技术学院学报2008,7(1)
本文通过范例介绍了如何用二重积分解决定积分问题和如何用定积分解决二重积分问题,实现了两者在一定程度上的互化,为积分问题的计算和证明等提供了计算技巧,拓宽了解题途径.
2.期刊论文 李冠臻. 吕志敏. LI Guan-zhen. LU Zhi-min 极限、定积分、二重积分概念教法之探讨 -天津职业院校联合学报2006,8(5)
在极限、定积分、二重积分的概念教学过程中,运用哲学思想、引用历史典故和逻辑思维及直观图像等方式方法,变抽象数学概念为学生易于接受的信息,使学生更容易掌握新概念、新理论.
3.期刊论文 臧秀娟. ZANG Xiu-juan 构造二重积分解决定积分问题 -丹东纺专学报2005,12(1)
定积分不等式的证明方法多种多样.一般常规的方法有:研究被积函数在给定区间上的单调性、凸性、最值等.本文将给出一种方法,即利用变量替换手段将定积分转化为二重积分,再去证明.
4.期刊论文 黄志坚. 吴健辉. HUANG Zhi-jian. WU Jian-hui 利用二重积分解决有关定积分的问题 -景德镇高专学报2005,20(2)
介绍利用二重积分解决有关定积分问题的一种方法.
5.期刊论文 吴耀强 巧用二重积分求解定积分之例说 -高等函授学报（自然科学版）2006,19(5)
将高维数转化为低维数问题进行研究是数学解题教学中常见的策略之一,本文通过范例说明如何将高雏定积分转化为二重积分求解,为定积分提供了一个计算技巧,同时也丰富了高等数学中低维数与高雏数互化的数学思想方法.
6.期刊论文 梅银珍. 王鹏. 李有文 二重积分换元公式的一种简便推导方法 -华北工学院学报2004,25(3)
为简化二重积分换元公式的推导, 利用定积分的换元法及二重积分的有关知识, 提出了一种简便的推导方法.
7.期刊论文 黄宗文. HUANG Zhong-wen 一个定积分性质的应用和推广 -玉林师范学院学报（自然科学）2002,23(3)
本文叙述奇函数和偶函数在对称区间的定积分性质,并把这一性质推广到二重积分中去.
8.期刊论文 邵红 超越函数定积分的积分方法 -中国科技信息2008(10)
本文利用二元函数的微分学和积分学的理论和方法,研究超越函数定积分的两种积分方、法.
9.期刊论文 常敏慧. Chang Min-hui 变上限定积分求导及其应用 -科技信息（科学·教研）2007(33)
通过例题给出变上限定积分求导的几个应用.
10.期刊论文 韩艳光 对二重积分解决定积分问题的探讨 -魅力中国2009(26)
定积分不等式的证明方法多种多样,一般常规的方法有:研究被积函数在给定区间上的单调性、凸性,最值等.在很多时候,我们也可以把定积分的不等式问题化为二重积分进行处理,使问题迎刃而解.本文通过一些例子,进行对二重积分解决定积分问题的探讨.
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