复利终值与现值
由于利息的因素，货币是有时间价值的，从经济学的观点来看，即使不考虑通胀的因素，货币在不同时间的价值也是不一样的；今天的１万元，与一年后的１万元，其价值是不相等的。例如，今天的１万元存入银行，定期一年，年利１０％，一年后银行付给本利共１．１万元，其中有０．１万元为利息，它就是货币的时间价值。货币的时间价值有两种表现形式。一是绝对数，即利息；一是相对数，即利率。
存放款开始的本金，又叫“现值”，如上例中的１万元就是现值；若干时间后的本金加利息，叫“本利和”，又叫“终值”，如上例的１．１万元就是终值。
利息又有单利、复利之分。单利的利息不转为本金；复利则是利息转为本金又参加计息，俗称“利滚利”。
设ＰＶ为本金（复利现值） ｉ为利率 ｎ为时间（期数） Ｓ为本利和（复利终值）
则计算公式如下：
１．求复利终值
Ｓ＝ＰＶ（１＋ｉ）＾n （１）
２．求复利现值
ＰＶ＝Ｓ／（１＋ｉ）＾n （２）
显然，终值与现值互为倒数。
公式中的（１＋ｉ）＾n 和１／（１＋ｉ）＾n 又分别叫“复利终值系数”、“复利现值系数”。可分别用符号“Ｓ（ｎ，ｉ）”、“ＰＶ（ｎ，ｉ）”表示，这些系数既可以通过公式求得，也可以查表求得。
例１、本金３万元，年复利６％，期限３年，求到期的本利和（求复利终值）。 解:Ｓ＝ＰＶ（１＋ｉ）＾n
这（１＋ｉ）＾n 可通过计算，亦可查表求得，
查表，（１＋６％）＾3＝１．１９１
所以 Ｓ＝３万×１．１９１＝３．５７３万元（终值）
例２、５年后需款３０００万元，若年复利１０％，问现在应一次存入银行多少？（求复利现值）
解：ＰＶ＝Ｓ×１／（１＋ｉ）＾n ＝３０００万×１／（１＋１０％）＾5 查表，１／（１＋１０％）＾5＝０．６２１
所以，Ｓ＝３０００万×０．６２１＝１８６３万元（现值）
普通年金的计算公式
普通年金终值：F=A[（1+i）^n-1]/i 或：A （F/A，i ，n ）
普通年金现值：P=A{[1-(1+i)^-n]/i} 或：A （P/A，i ，n ）
例3 每年存入银行２万元，年复利８％，５年，问折现值多少？
解：A ＝２万元，ｉ＝８％，ｎ＝５，求Ｐ
Ｐ＝A{[1-(1+i)^-n]/i}＝２万×［１－（１＋８％）^－５］／８％ 查表，［１－（１＋８％）^－５］／８％＝３．９９３
Ｐ＝２万×３．９９３＝７．９８６万元
投资回收额： A=P/{[1-(1+i)^-n]/i}或：P （A/P，i ，n ）
是普通年金现值的逆运算, 是已知年金现值，求年金。
年金现值系数的倒数为投资回收系数。
例4 现有３０万元，一次存入银行，分５年取出，年复利１２％，问每年末可取多少？
解：这是由现值倒求年金。
Ｐ＝３０万，ｉ＝１２％，ｎ＝５，求A 。
A=P/{[1-(1+i)^-n]/i}＝３０万/［１－（１＋12％）^－５］／12％ 查表，［１－（１＋12％）^－５］／12％＝３．６０５
A ＝３０万／３．６０５＝８．３２１８万元
即付年金计算公式
即付年金是指从第一期起，在一定时期内每期期初等额收付的系列款项，又称先付年金。即付年金与普通年金的区别仅在于付款时间的不同。
普通年金的计算公式
普通年金终值：F=A[（1+i）^n-1]/i 或：A （F/A，i ，n ）
普通年金现值：P=A{[1-(1+i)^-n]/i} 或：A （P/A，i ，n ）
即付年金的计算公式
即付年金终值：F=A{（1+i）^（n+1）-1]/i} 或：A[（F/A，i ，n+1）-1] 即付年金现值：P=A{[1-(1+i)^-（n+1）]/i+1} 或：A[（P/A，i ，n-1）+1]
例: 即付年金与普通年金的换算
一般的年金表，都是普通年金。若遇期初收付款的即付年金，则需用手工作繁琐的计算，不过也可通过普通年金换算求出。换算公式为：
ＰＡ（ｎ，ｉ）＝ＰＡ（ｎ－１，ｉ）＋1 即：期数减1，系数加1 例：即付年金每期１元，５期，年复利８％，求现值。
即付年金现值系数＝{[1-(1+i)^-（n －1）]/i+1}
按ＰＡ初（５，８％）代入，
ＰＡ（５，８％）＝［［１－（１＋８％）^-（5－1）／８％］+1］ ＝４．３１２
改按普通年金计算为：
ＰＡ（４，８％），查表ＰＡ（４，８％）＝３．３１２
则３．３１２+1＝４．３１２
两者结果相同，故换算公式成立。
递延年金计算公式
递延年金是指第一次收付款发生时间与第一期无关，而是隔若干期（m ）后才开始发生的系列等额收付款项。它是普通年金的特殊形式。
递延年金现值：
第一种方法：P=A{[1-(1+i)^-n]/i-[1-(1+i)^-s]/i}
或：A[（P/A，i ，n ）-（P/A，i ，s ）]
第二种方法：P=A{[1-(1+i)^-(n-s)]/i*[（1+i）^-s]}
或：A[（P/A，i ，n-s ）*（P/F，i ，s ）]
如何确定递延年金现值计算公式中的期数n 和s 的数值？
（一）首先讲一下n 的数值的确定：
“n ”的数值就是递延年金中最后一次收付距离第一年年初的间隔期数 。 举例如下：
（1）如果某递延年金是从第4年起，每年年初发生，直至第8年年初为止，由于从第一年初到第八年初共计间隔7年，所以，n=7
（2）如果某递延年金是从第4年起，每年年末发生，直至第8年年末为止，由于从第一年初到第八年年末共计间隔8年，所以，n=8
（3）如果某递延年金是从第4年起，每半年年初发生，直至第8年年初为止，由于从第一年初到第八年初共计间隔7年，而此时是“半年为一期”，所以，n=7×2＝14
（4）如果某递延年金是从第4年起，每半年年末发生，直至第8年年末为止，由于从第一年初到第八年年末共计间隔8年，而此时是“半年为一期”，所以，n=8×2＝16
（二）下面介绍一下递延期间s 的确定方法：
（1）首先搞清楚该递延年金的第一次收付发生在第几期末（假设为第m 期末）；
（2）然后根据（m-1）的数值即可确定递延期间s 的数值；
在确定“该递延年金的第一次收付发生在第几期末”时，应该记住“上一期的期末就是下一期的期初” 下面举例说明：
（1）假如某递延年金为从第4年开始，每年年末支付A 元，则由于第一次收付发生在第四年末，即第四期末，所以，递延期间为：4－1＝3；
（2）假如某递延年金为从第4年开始，每年年初支付A 元，则由于第一次收付发生
在第四年初，即第三期末，所以，递延期间为：3－1＝2；
（3）假如某递延年金为从第4年开始，每半年年初支付A 元，则由于第一次收付发生在第四年初，即第六个半年末，属于第六期末，所以，递延期间为：6－1＝5；
（4）假如某递延年金为从第4年开始，每半年年末支付A 元，则由于第一次收付发生在第四年半，即第七个半年末，属于第七期末，所以，递延期间为：7－1＝6；
现在把上述的内容综合在一起，计算一下上述的例题：
（1） 如果某一递延年金是从第4年起，每年年初发生A ，直至第8年年初为止，则该递延年金的现值为：
A[（P/A,i,7）-(P/A,i,2)= A（P/A,i,7-2）×(P/F,i,2)= A（P/A,i,5）×(P/F,i,2)
（2） 如果某一递延年金是从第4年起，每年年末发生A ，直至第8年年末为止，则该递延年金的现值为：
A[（P/A,i,8）-(P/A,i,3)＝A （P/A,i,8-3）×(P/F,i,3) ＝A （P/A,i,5）×(P/F,i,3)
（3） 如果某一递延年金是从第4年起，每半年年初发生，直至第8年年初为止，则该递延年金的现值为：
A[（P/A,i,14）-(P/A,i,5)= A（P/A,i,14-5）×(P/F,i,5) = A（P/A,i,9）×(P/F,i,5)
（4） 如果某一递延年金是从第4年起，每半年年末发生，直至第8年年末为止，则该递延年金的现值为：
A[（P/A,i,16）-(P/A,i,6)= A（P/A,i,16-6）×(P/F,i,6) = A（P/A,i,10）×(P/F,i,6)
复利终值与现值
由于利息的因素，货币是有时间价值的，从经济学的观点来看，即使不考虑通胀的因素，货币在不同时间的价值也是不一样的；今天的１万元，与一年后的１万元，其价值是不相等的。例如，今天的１万元存入银行，定期一年，年利１０％，一年后银行付给本利共１．１万元，其中有０．１万元为利息，它就是货币的时间价值。货币的时间价值有两种表现形式。一是绝对数，即利息；一是相对数，即利率。
存放款开始的本金，又叫“现值”，如上例中的１万元就是现值；若干时间后的本金加利息，叫“本利和”，又叫“终值”，如上例的１．１万元就是终值。
利息又有单利、复利之分。单利的利息不转为本金；复利则是利息转为本金又参加计息，俗称“利滚利”。
设ＰＶ为本金（复利现值） ｉ为利率 ｎ为时间（期数） Ｓ为本利和（复利终值）
则计算公式如下：
１．求复利终值
Ｓ＝ＰＶ（１＋ｉ）＾n （１）
２．求复利现值
ＰＶ＝Ｓ／（１＋ｉ）＾n （２）
显然，终值与现值互为倒数。
公式中的（１＋ｉ）＾n 和１／（１＋ｉ）＾n 又分别叫“复利终值系数”、“复利现值系数”。可分别用符号“Ｓ（ｎ，ｉ）”、“ＰＶ（ｎ，ｉ）”表示，这些系数既可以通过公式求得，也可以查表求得。
例１、本金３万元，年复利６％，期限３年，求到期的本利和（求复利终值）。 解:Ｓ＝ＰＶ（１＋ｉ）＾n
这（１＋ｉ）＾n 可通过计算，亦可查表求得，
查表，（１＋６％）＾3＝１．１９１
所以 Ｓ＝３万×１．１９１＝３．５７３万元（终值）
例２、５年后需款３０００万元，若年复利１０％，问现在应一次存入银行多少？（求复利现值）
解：ＰＶ＝Ｓ×１／（１＋ｉ）＾n ＝３０００万×１／（１＋１０％）＾5 查表，１／（１＋１０％）＾5＝０．６２１
所以，Ｓ＝３０００万×０．６２１＝１８６３万元（现值）
普通年金的计算公式
普通年金终值：F=A[（1+i）^n-1]/i 或：A （F/A，i ，n ）
普通年金现值：P=A{[1-(1+i)^-n]/i} 或：A （P/A，i ，n ）
例3 每年存入银行２万元，年复利８％，５年，问折现值多少？
解：A ＝２万元，ｉ＝８％，ｎ＝５，求Ｐ
Ｐ＝A{[1-(1+i)^-n]/i}＝２万×［１－（１＋８％）^－５］／８％ 查表，［１－（１＋８％）^－５］／８％＝３．９９３
Ｐ＝２万×３．９９３＝７．９８６万元
投资回收额： A=P/{[1-(1+i)^-n]/i}或：P （A/P，i ，n ）
是普通年金现值的逆运算, 是已知年金现值，求年金。
年金现值系数的倒数为投资回收系数。
例4 现有３０万元，一次存入银行，分５年取出，年复利１２％，问每年末可取多少？
解：这是由现值倒求年金。
Ｐ＝３０万，ｉ＝１２％，ｎ＝５，求A 。
A=P/{[1-(1+i)^-n]/i}＝３０万/［１－（１＋12％）^－５］／12％ 查表，［１－（１＋12％）^－５］／12％＝３．６０５
A ＝３０万／３．６０５＝８．３２１８万元
即付年金计算公式
即付年金是指从第一期起，在一定时期内每期期初等额收付的系列款项，又称先付年金。即付年金与普通年金的区别仅在于付款时间的不同。
普通年金的计算公式
普通年金终值：F=A[（1+i）^n-1]/i 或：A （F/A，i ，n ）
普通年金现值：P=A{[1-(1+i)^-n]/i} 或：A （P/A，i ，n ）
即付年金的计算公式
即付年金终值：F=A{（1+i）^（n+1）-1]/i} 或：A[（F/A，i ，n+1）-1] 即付年金现值：P=A{[1-(1+i)^-（n+1）]/i+1} 或：A[（P/A，i ，n-1）+1]
例: 即付年金与普通年金的换算
一般的年金表，都是普通年金。若遇期初收付款的即付年金，则需用手工作繁琐的计算，不过也可通过普通年金换算求出。换算公式为：
ＰＡ（ｎ，ｉ）＝ＰＡ（ｎ－１，ｉ）＋1 即：期数减1，系数加1 例：即付年金每期１元，５期，年复利８％，求现值。
即付年金现值系数＝{[1-(1+i)^-（n －1）]/i+1}
按ＰＡ初（５，８％）代入，
ＰＡ（５，８％）＝［［１－（１＋８％）^-（5－1）／８％］+1］ ＝４．３１２
改按普通年金计算为：
ＰＡ（４，８％），查表ＰＡ（４，８％）＝３．３１２
则３．３１２+1＝４．３１２
两者结果相同，故换算公式成立。
递延年金计算公式
递延年金是指第一次收付款发生时间与第一期无关，而是隔若干期（m ）后才开始发生的系列等额收付款项。它是普通年金的特殊形式。
递延年金现值：
第一种方法：P=A{[1-(1+i)^-n]/i-[1-(1+i)^-s]/i}
或：A[（P/A，i ，n ）-（P/A，i ，s ）]
第二种方法：P=A{[1-(1+i)^-(n-s)]/i*[（1+i）^-s]}
或：A[（P/A，i ，n-s ）*（P/F，i ，s ）]
如何确定递延年金现值计算公式中的期数n 和s 的数值？
（一）首先讲一下n 的数值的确定：
“n ”的数值就是递延年金中最后一次收付距离第一年年初的间隔期数 。 举例如下：
（1）如果某递延年金是从第4年起，每年年初发生，直至第8年年初为止，由于从第一年初到第八年初共计间隔7年，所以，n=7
（2）如果某递延年金是从第4年起，每年年末发生，直至第8年年末为止，由于从第一年初到第八年年末共计间隔8年，所以，n=8
（3）如果某递延年金是从第4年起，每半年年初发生，直至第8年年初为止，由于从第一年初到第八年初共计间隔7年，而此时是“半年为一期”，所以，n=7×2＝14
（4）如果某递延年金是从第4年起，每半年年末发生，直至第8年年末为止，由于从第一年初到第八年年末共计间隔8年，而此时是“半年为一期”，所以，n=8×2＝16
（二）下面介绍一下递延期间s 的确定方法：
（1）首先搞清楚该递延年金的第一次收付发生在第几期末（假设为第m 期末）；
（2）然后根据（m-1）的数值即可确定递延期间s 的数值；
在确定“该递延年金的第一次收付发生在第几期末”时，应该记住“上一期的期末就是下一期的期初” 下面举例说明：
（1）假如某递延年金为从第4年开始，每年年末支付A 元，则由于第一次收付发生在第四年末，即第四期末，所以，递延期间为：4－1＝3；
（2）假如某递延年金为从第4年开始，每年年初支付A 元，则由于第一次收付发生
在第四年初，即第三期末，所以，递延期间为：3－1＝2；
（3）假如某递延年金为从第4年开始，每半年年初支付A 元，则由于第一次收付发生在第四年初，即第六个半年末，属于第六期末，所以，递延期间为：6－1＝5；
（4）假如某递延年金为从第4年开始，每半年年末支付A 元，则由于第一次收付发生在第四年半，即第七个半年末，属于第七期末，所以，递延期间为：7－1＝6；
现在把上述的内容综合在一起，计算一下上述的例题：
（1） 如果某一递延年金是从第4年起，每年年初发生A ，直至第8年年初为止，则该递延年金的现值为：
A[（P/A,i,7）-(P/A,i,2)= A（P/A,i,7-2）×(P/F,i,2)= A（P/A,i,5）×(P/F,i,2)
（2） 如果某一递延年金是从第4年起，每年年末发生A ，直至第8年年末为止，则该递延年金的现值为：
A[（P/A,i,8）-(P/A,i,3)＝A （P/A,i,8-3）×(P/F,i,3) ＝A （P/A,i,5）×(P/F,i,3)
（3） 如果某一递延年金是从第4年起，每半年年初发生，直至第8年年初为止，则该递延年金的现值为：
A[（P/A,i,14）-(P/A,i,5)= A（P/A,i,14-5）×(P/F,i,5) = A（P/A,i,9）×(P/F,i,5)
（4） 如果某一递延年金是从第4年起，每半年年末发生，直至第8年年末为止，则该递延年金的现值为：
A[（P/A,i,16）-(P/A,i,6)= A（P/A,i,16-6）×(P/F,i,6) = A（P/A,i,10）×(P/F,i,6)