【学法指导】
多面体外接球问题的变式探究
陈志超
（辽宁省大连市金州高级中学，辽宁大连116100）
多面体的外接球问题是有关球的问题的基本题型之一，它能全方立体几何是培养空间想象能力很好的素材，摘要：
这类问题由于不易画图而变得抽象难解，解决此类问题常有两种策略：位、多角度、深层次考查空间想象能力。一是通过
“截面”把立体几何问题转化为平面问题，二是构造典型的几何体模型。
转化；构造关键词：立体几何；空间想象能力；
中图分类号：G632.41
文献标志码：A
文章编号：1674-9324（2013）
17-0112-02
【例题】一个正四面体的所有棱长都为a ，四个顶点在
同一个球面上，求此球的表面积.
分析：求解球的表面积或体积关键就是解决球的半径R. 解法一：设AO 1是正四面体ABCD 的高，则它的外接球的球心就在AO 1上，设其为O ，则OA=OD=R，易知O 1D=a ，
AO 1=a ，在Rt △OO 1D 中，
∵OO 12+O1D 2=O1D 2，∴（22
a-R ）+（a ）=R2，∴R=
3
易知OO 1=，O 1A=a ，所勾股定理得OO 12+O1A 2=OA2，
222
以OA 2=7a ，即R 2=7a ，所以S 球=4πR 2=7πR .
[变式2]已知P 、A 、B 、C 是球O 面上的四点，PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA=PB=PC=1，求球的体积与表面积。
分析：PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA=PB=PC=1
所符合正方体的特点，
以构造正方体。正方体的棱长为1，所以对角线长为√ ，所以半径R=，所以外接球的体2
表面积为S=4πR 2=3π. 积V==πR 3=π，
3
[变式3]已知S 、A 、B 、C 是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，SA=AB=1，BC=√ ，求球O 的表面积. 分析：由SA ⊥平面ABC ，得SA ⊥AB ，SA ⊥BC ，又AB ⊥BC ，SA=AB=1，BC=对所以补成长方体，√ ，
角线SC=2，所以外接球半径R=1，所以球O 的表面积S=4πR 2=4π.
[变式4]一个几何体的三视图如图所示，其中主
视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，
（则该几何体的外接球的表面积为）A.12πB.4 πC.3π D.12√ π
分析：由三视图可判断该几何体是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥。如图四棱锥A —BCDE ，可将其还原成一个
球的直正方体，则四棱锥的外接球即为正方体的外接球，径为AC=√ ，则外接球的面积S=3π，选C.
a ，∴外接球的表面积
S=4πR 2=3πa 2.
解法二：如图，构造正方体，所以正方体的棱长为a ，正方体的对角线为外接球的直径，其长度为a ，所以R=a ，所以24
外接球的表面积S=4πR 2πa 2.
注：法一是利用空间几何体的对称性判断球心的位置，通常过多面体的一条侧棱和球心、接点做出截面图，通过
“截面”把立体几何问题转化为平面问题，可用球的截面性
解直角三角形求得半径，体质，借助题设给定的等量关系，
类似于这样现了解决立体几何问题最重要的思想—转化，
正四棱锥等都可以采的几何体，如：正三棱锥、正三棱柱、
用这种方法；法二是根据已知几何体的特殊性，构造典型的几何体模型，如正方体等。
所有棱长都为a [变式1]设三棱柱的侧棱垂直于底面，
则该球，顶点都在一个球面上，
的表面积为_______.
分析：根据已知条件可知此三棱柱为正三棱柱，再由空间几何体的对称性，外接球的球心位于上下底面的中心连线的中点，所以在Rt △OO 1A 中，由
-112-
【学法指导】
浅谈小学数学教学中的学法指导
程明义
四川（四川省平昌县云台小学，
平昌636446）
在小学数学教学过程中，要重视学生的学习过程，研究学生的学习方法，让学生“会学”“爱学”、，掌握学习方摘要：
要真正让学生从单纯的与“发现学习”积极法，进行有效的学习。在教学中，“接受学习”转变为“接受学习”的有机结合，
实施“自主、合作、探究”的学习方式，在发挥教师角色的作用下培养孩子们的自主学习，发现问题，解决问题的能力。
探究；总结关键词：学法；预习；质疑；
中图分类号：G622.0
文献标志码：A
文章编号：1674-9324（2013）17-0113-02
学习方法是学校教育领域的一个重要课题，也是课程
改革的一个主要内容之一。基础教育课程改革强调了对学生的学习方法的指导，这对一线教师的工作提出了新的要求和挑战。学习方法是学生完成学习任务时基本的行为和认知取向。在现在的教学中，还有不少教师进行的教学模式仍是传统的灌输、填鸭式；学生的学习方式基本上是听讲、练习、再现老师传授的知识，学生基本处在被动接受的状态。要真正让学生从单纯的“接受学习”转变为“接受学习”，
“自主、合作、探究”的学与“发现学习”有机结合，积极实施
发现习方式，教师在教学中要注意培养孩子们的自主学习，
问题，解决问题的能力。因此在小学数学教学过程中，要重视学生的学习过程，研究学生的学习方法，要让学生“会学”“、爱学”，掌握学习方法，进行有效的学习。我认为在数学课堂教学中加强对学生的学法指导应做到以下几点。
一、激发学生学习数学的兴趣
在小学数学教学中，学生学习数学的兴趣对于学习效果起着重要的作用。由于年龄和认知水平的影响，小学生对枯燥的数理、公式等缺乏兴趣。因此在教学过程中，教师应采用多种方法激发学生学习数学的兴趣。比如：及时准确的
巧用竞赛、结合进行鼓励、创设问题情境、借助多媒体教学、
学数学的浓厚兴趣。生活实际等都能引起学生爱数学、
二、教给学生阅读教材的方法阅读教材是实现学生自我教育、学习的途径。在数学课堂上指导学生阅读教材，是完成教学任务，提高学生学习成绩，掌握学习方法的重要途径之一。小学数学教师应
（1）指导学生从三个方面进行阅读数学教材。指导学生课
预习习惯前预习教材。课前预习是一种良好的学习习惯，
是学生学习过的养成对于学生的自学能力有很大的帮助，
程中的首要环节。教学前，学生通过课前预习，对所学习的内容有了一定的认识，将一些简单易懂，自己有兴趣的内容进行了内化，并产生了困惑和疑问，在课堂上学生提出问题，师生共同探讨。这样既能激起学生的学习兴趣和解
为掌握新知识做决问题的欲望，又能使听课具有针对性，
对将要学习好心理的准备。课前教师指导学生预习教材，
的新知识进行自学，要提出一些有探究性的问题，学生为了解决问题，就有了学习的欲望、学习的动力、学习的目标，对学习就会产生兴趣。学生课前通过预习教材，结合生
体会到数学就在身边，领活实际，收集生活中的数学问题，
（2）悟到数学的魅力，就能提高学习数学的乐趣。指导学生
在课堂上看书。有些教材中的内容比较简单易懂，学生通过自主学习就可以掌握，教师只需要加以指导，提出注意的地方，然后让学生自己通过动手操作、实践、探究、分析、总结得出结论，让学生在阅读教材的过程中主动经历知识
促使学生思维的发展，的形成过程，了解知识的来龙去脉，（3）激发和培养学生的创新意识。指导学生课后自读课本。
若知识在经过人们的反复阅读之后，会形成短暂的记忆，
是及时复习，就会被人们牢记，所以指导学生课后再读课本，及时巩固，经学到的知识转化成自己容易理解记忆的
[变式5]直三棱柱ABC-A 1B 1C 1各顶点都在同一球面上，
若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，求此球的表面积.
分析：由已知条件，可补成一个正六棱柱，正六棱柱最径R=√ ，所以外接球
的面积S=4πR 2=20π.
以上是对多面体外接球问题的几种变式探究，如果一个几何体的所有顶点都在另一个几何体的表面上称这两个几何体相接，明确接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并做出
合适的截面图，截面能够暴露出球与其他多面体间的相互位置关系，使空间问题转化成平面问题求解。若球与柱、锥长的对角线为外接球的直径，易得直径为2√ ，所以半
等的组合体中，当柱或锥具有特定形状时，将其补成正方
体或长方体，对于计算球与柱或锥的相关量有很好的“平台”作用，这种构造典型几何体模型的思想在解决其他立体几何问题时也具有很好的优越性，应当注意这类问题的应用。
从这几年的高考试卷上看，对空间想象能力的考查，一般是集中体现在立体几何试题上的，对球与多面体的考题，一般以基础题为主. 解决这类题目，需要掌握相关的截
希面图和结论. 事实上，球与多面体之间还有相切的问题，
望在以后的教学过程中不断探究和总结。
参考文献：[1]教育部2003《普通高中数学课程标准》（实验稿）[M].北京：北京师范大学出版社.
[2]试题调研[M].乌鲁木齐：新疆青少年出版社，
2012.
-113-
多面体外接球问题的变式探究
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：
陈志超
辽宁省大连市金州高级中学,辽宁 大连,116100教育教学论坛
jiaoyu jiaoxue luntan2013(17)
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_jyjxlt201317081.aspx
【学法指导】
多面体外接球问题的变式探究
陈志超
（辽宁省大连市金州高级中学，辽宁大连116100）
多面体的外接球问题是有关球的问题的基本题型之一，它能全方立体几何是培养空间想象能力很好的素材，摘要：
这类问题由于不易画图而变得抽象难解，解决此类问题常有两种策略：位、多角度、深层次考查空间想象能力。一是通过
“截面”把立体几何问题转化为平面问题，二是构造典型的几何体模型。
转化；构造关键词：立体几何；空间想象能力；
中图分类号：G632.41
文献标志码：A
文章编号：1674-9324（2013）
17-0112-02
【例题】一个正四面体的所有棱长都为a ，四个顶点在
同一个球面上，求此球的表面积.
分析：求解球的表面积或体积关键就是解决球的半径R. 解法一：设AO 1是正四面体ABCD 的高，则它的外接球的球心就在AO 1上，设其为O ，则OA=OD=R，易知O 1D=a ，
AO 1=a ，在Rt △OO 1D 中，
∵OO 12+O1D 2=O1D 2，∴（22
a-R ）+（a ）=R2，∴R=
3
易知OO 1=，O 1A=a ，所勾股定理得OO 12+O1A 2=OA2，
222
以OA 2=7a ，即R 2=7a ，所以S 球=4πR 2=7πR .
[变式2]已知P 、A 、B 、C 是球O 面上的四点，PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA=PB=PC=1，求球的体积与表面积。
分析：PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA=PB=PC=1
所符合正方体的特点，
以构造正方体。正方体的棱长为1，所以对角线长为√ ，所以半径R=，所以外接球的体2
表面积为S=4πR 2=3π. 积V==πR 3=π，
3
[变式3]已知S 、A 、B 、C 是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，SA=AB=1，BC=√ ，求球O 的表面积. 分析：由SA ⊥平面ABC ，得SA ⊥AB ，SA ⊥BC ，又AB ⊥BC ，SA=AB=1，BC=对所以补成长方体，√ ，
角线SC=2，所以外接球半径R=1，所以球O 的表面积S=4πR 2=4π.
[变式4]一个几何体的三视图如图所示，其中主
视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，
（则该几何体的外接球的表面积为）A.12πB.4 πC.3π D.12√ π
分析：由三视图可判断该几何体是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥。如图四棱锥A —BCDE ，可将其还原成一个
球的直正方体，则四棱锥的外接球即为正方体的外接球，径为AC=√ ，则外接球的面积S=3π，选C.
a ，∴外接球的表面积
S=4πR 2=3πa 2.
解法二：如图，构造正方体，所以正方体的棱长为a ，正方体的对角线为外接球的直径，其长度为a ，所以R=a ，所以24
外接球的表面积S=4πR 2πa 2.
注：法一是利用空间几何体的对称性判断球心的位置，通常过多面体的一条侧棱和球心、接点做出截面图，通过
“截面”把立体几何问题转化为平面问题，可用球的截面性
解直角三角形求得半径，体质，借助题设给定的等量关系，
类似于这样现了解决立体几何问题最重要的思想—转化，
正四棱锥等都可以采的几何体，如：正三棱锥、正三棱柱、
用这种方法；法二是根据已知几何体的特殊性，构造典型的几何体模型，如正方体等。
所有棱长都为a [变式1]设三棱柱的侧棱垂直于底面，
则该球，顶点都在一个球面上，
的表面积为_______.
分析：根据已知条件可知此三棱柱为正三棱柱，再由空间几何体的对称性，外接球的球心位于上下底面的中心连线的中点，所以在Rt △OO 1A 中，由
-112-
【学法指导】
浅谈小学数学教学中的学法指导
程明义
四川（四川省平昌县云台小学，
平昌636446）
在小学数学教学过程中，要重视学生的学习过程，研究学生的学习方法，让学生“会学”“爱学”、，掌握学习方摘要：
要真正让学生从单纯的与“发现学习”积极法，进行有效的学习。在教学中，“接受学习”转变为“接受学习”的有机结合，
实施“自主、合作、探究”的学习方式，在发挥教师角色的作用下培养孩子们的自主学习，发现问题，解决问题的能力。
探究；总结关键词：学法；预习；质疑；
中图分类号：G622.0
文献标志码：A
文章编号：1674-9324（2013）17-0113-02
学习方法是学校教育领域的一个重要课题，也是课程
改革的一个主要内容之一。基础教育课程改革强调了对学生的学习方法的指导，这对一线教师的工作提出了新的要求和挑战。学习方法是学生完成学习任务时基本的行为和认知取向。在现在的教学中，还有不少教师进行的教学模式仍是传统的灌输、填鸭式；学生的学习方式基本上是听讲、练习、再现老师传授的知识，学生基本处在被动接受的状态。要真正让学生从单纯的“接受学习”转变为“接受学习”，
“自主、合作、探究”的学与“发现学习”有机结合，积极实施
发现习方式，教师在教学中要注意培养孩子们的自主学习，
问题，解决问题的能力。因此在小学数学教学过程中，要重视学生的学习过程，研究学生的学习方法，要让学生“会学”“、爱学”，掌握学习方法，进行有效的学习。我认为在数学课堂教学中加强对学生的学法指导应做到以下几点。
一、激发学生学习数学的兴趣
在小学数学教学中，学生学习数学的兴趣对于学习效果起着重要的作用。由于年龄和认知水平的影响，小学生对枯燥的数理、公式等缺乏兴趣。因此在教学过程中，教师应采用多种方法激发学生学习数学的兴趣。比如：及时准确的
巧用竞赛、结合进行鼓励、创设问题情境、借助多媒体教学、
学数学的浓厚兴趣。生活实际等都能引起学生爱数学、
二、教给学生阅读教材的方法阅读教材是实现学生自我教育、学习的途径。在数学课堂上指导学生阅读教材，是完成教学任务，提高学生学习成绩，掌握学习方法的重要途径之一。小学数学教师应
（1）指导学生从三个方面进行阅读数学教材。指导学生课
预习习惯前预习教材。课前预习是一种良好的学习习惯，
是学生学习过的养成对于学生的自学能力有很大的帮助，
程中的首要环节。教学前，学生通过课前预习，对所学习的内容有了一定的认识，将一些简单易懂，自己有兴趣的内容进行了内化，并产生了困惑和疑问，在课堂上学生提出问题，师生共同探讨。这样既能激起学生的学习兴趣和解
为掌握新知识做决问题的欲望，又能使听课具有针对性，
对将要学习好心理的准备。课前教师指导学生预习教材，
的新知识进行自学，要提出一些有探究性的问题，学生为了解决问题，就有了学习的欲望、学习的动力、学习的目标，对学习就会产生兴趣。学生课前通过预习教材，结合生
体会到数学就在身边，领活实际，收集生活中的数学问题，
（2）悟到数学的魅力，就能提高学习数学的乐趣。指导学生
在课堂上看书。有些教材中的内容比较简单易懂，学生通过自主学习就可以掌握，教师只需要加以指导，提出注意的地方，然后让学生自己通过动手操作、实践、探究、分析、总结得出结论，让学生在阅读教材的过程中主动经历知识
促使学生思维的发展，的形成过程，了解知识的来龙去脉，（3）激发和培养学生的创新意识。指导学生课后自读课本。
若知识在经过人们的反复阅读之后，会形成短暂的记忆，
是及时复习，就会被人们牢记，所以指导学生课后再读课本，及时巩固，经学到的知识转化成自己容易理解记忆的
[变式5]直三棱柱ABC-A 1B 1C 1各顶点都在同一球面上，
若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，求此球的表面积.
分析：由已知条件，可补成一个正六棱柱，正六棱柱最径R=√ ，所以外接球
的面积S=4πR 2=20π.
以上是对多面体外接球问题的几种变式探究，如果一个几何体的所有顶点都在另一个几何体的表面上称这两个几何体相接，明确接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并做出
合适的截面图，截面能够暴露出球与其他多面体间的相互位置关系，使空间问题转化成平面问题求解。若球与柱、锥长的对角线为外接球的直径，易得直径为2√ ，所以半
等的组合体中，当柱或锥具有特定形状时，将其补成正方
体或长方体，对于计算球与柱或锥的相关量有很好的“平台”作用，这种构造典型几何体模型的思想在解决其他立体几何问题时也具有很好的优越性，应当注意这类问题的应用。
从这几年的高考试卷上看，对空间想象能力的考查，一般是集中体现在立体几何试题上的，对球与多面体的考题，一般以基础题为主. 解决这类题目，需要掌握相关的截
希面图和结论. 事实上，球与多面体之间还有相切的问题，
望在以后的教学过程中不断探究和总结。
参考文献：[1]教育部2003《普通高中数学课程标准》（实验稿）[M].北京：北京师范大学出版社.
[2]试题调研[M].乌鲁木齐：新疆青少年出版社，
2012.
-113-
多面体外接球问题的变式探究
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：
陈志超
辽宁省大连市金州高级中学,辽宁 大连,116100教育教学论坛
jiaoyu jiaoxue luntan2013(17)
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_jyjxlt201317081.aspx