在五种正多面体中，正四面体和正方体是最特殊，最简单，最常见，也是我们最熟悉的两种几何体。但它们之间很特别的关系，很多学生不一定很熟悉，即使有所了解也不一定能灵活运用，解决正四面体的相关问题时也会感觉到很繁琐。
正四面体和正方体所有度量上的特征都只与它们的棱长有关，如高，体积，外接球的半径等。对于正方体而言，这些方面的结论都很容易记得住，相关问题很简单，解题自然很快。但在正四面体中，这些方面的结论，如果在任何时候都记得住，解决相关问题自然也容易。万一记不住呢？而且，这些结论也确实不容易记住，若再按一般方法推导，费时费力。而从正四面体与正方体的关系入手，推导有关结论就简洁而迅速。
事实上，在正方体abcd-a ′b ′c ′d ′中可以截一个正四面体a ′-bc ′d 出来，反过来正四面体a ′-bc ′d 也可以补全成一个正方体abcd-a ′b ′c ′d ′。如图所示,
正方体的外接球也就是正四面体的外接球。这样把有关正四面体的问题放在正方体中研究就方便的多。
例如，已知正四面体a ′-bc ′d 的棱长为a ，求正四面体的高h ，体积v ，外接球的半径r 。
解：把正四面体a ′-bc ′d 补全成一个正方体abcd-a ′b ′c ′d ′，设正方体的棱长为b ，则易知b=a，先求正四面体的体积v ，设三棱锥a ′-abd 的体积为，易知
再求正四面体的高h ， 即
最后再求外接球的半径r ，易知
即，正四面体的体积，高，外接球的半径。
这种把锥体补全成柱体后，再研究其外接球的思想方法，在解题时灵活运用，准确而迅速，简洁而高效。
例如，三棱锥的三对棱分别相等，分别等于5，，求它的外接球的表面积。（50） 练习：设正四面体的外接球的半径为6，则该正四面体的体积是_________。
在五种正多面体中，正四面体和正方体是最特殊，最简单，最常见，也是我们最熟悉的两种几何体。但它们之间很特别的关系，很多学生不一定很熟悉，即使有所了解也不一定能灵活运用，解决正四面体的相关问题时也会感觉到很繁琐。
正四面体和正方体所有度量上的特征都只与它们的棱长有关，如高，体积，外接球的半径等。对于正方体而言，这些方面的结论都很容易记得住，相关问题很简单，解题自然很快。但在正四面体中，这些方面的结论，如果在任何时候都记得住，解决相关问题自然也容易。万一记不住呢？而且，这些结论也确实不容易记住，若再按一般方法推导，费时费力。而从正四面体与正方体的关系入手，推导有关结论就简洁而迅速。
事实上，在正方体abcd-a ′b ′c ′d ′中可以截一个正四面体a ′-bc ′d 出来，反过来正四面体a ′-bc ′d 也可以补全成一个正方体abcd-a ′b ′c ′d ′。如图所示,
正方体的外接球也就是正四面体的外接球。这样把有关正四面体的问题放在正方体中研究就方便的多。
例如，已知正四面体a ′-bc ′d 的棱长为a ，求正四面体的高h ，体积v ，外接球的半径r 。
解：把正四面体a ′-bc ′d 补全成一个正方体abcd-a ′b ′c ′d ′，设正方体的棱长为b ，则易知b=a，先求正四面体的体积v ，设三棱锥a ′-abd 的体积为，易知
再求正四面体的高h ， 即
最后再求外接球的半径r ，易知
即，正四面体的体积，高，外接球的半径。
这种把锥体补全成柱体后，再研究其外接球的思想方法，在解题时灵活运用，准确而迅速，简洁而高效。
例如，三棱锥的三对棱分别相等，分别等于5，，求它的外接球的表面积。（50） 练习：设正四面体的外接球的半径为6，则该正四面体的体积是_________。