奖学金分配制度

一、问题重述

奖学金制度是高校普遍采用的一种对学生进行奖励、激励的制度，评定奖学金成为高校每年工作的一个重要环节。奖学金评定有其明确的标准，这些标准是学校培养目标的具体化，奖学金评定对学生的行为具有导向功能。

目前，高校奖学金主要有综合奖学金和单项奖学金两大类。综合奖学金主要是对各方面表现都比较优秀的学生设立的，单项奖学金则主要是针对在某一方面表现比较突出的学生设立的。

根据某校某班的数据，考虑到该班级所在学校对奖学金的评定有基本条件限制，如考试课成绩不能低于70分等，得到满足符合申请奖学金基本条件的同学的信息。请建立数学模型，根据资料中提供的数据，确定奖学金获得者名单。具体问题如下：

问题一： 根据Excel中的相关数据，选择一种合理的方法，计算出学生的综合成绩（包括考试课和考查课两部分），并给出具体排名。

问题二：结合你所了解的相关情况，确定出综合成绩、卫生、学生工作、获奖情况和学生民主投票在奖学金评定过程中所占的权重。

问题三：该班级的奖学金获奖指标为一等奖1个，二等奖3个，三等奖5个，请给出具体获奖名单。 问题四： 撰写一篇不超过2页的奖学金评定说明，向负责奖学金评定的人（如班主任、班长等）阐述你们计算奖学金的主要依据和过程。为了方便奖学金评定操作，建议大部分计算过程最好能够使用Excel完成（评定说明中只要给出具体公式即可，这些公式应该能够在Excel中实现）。如果你的模型中用到的数学方法比较复杂，可以简化模型的相关内容，以方便具体计算过程，提高模型的实用性。

二、问题分析

2.1 背景介绍

综合奖学金是高校普遍采用的一种对学生进行奖励、激励的制度。相对主要针对在某一方面表现比较突出的学生设立的单项奖学金，综合奖学金的设立是对各方面表现都比较优秀的学生的一种鼓励，鼓励学生全面发展，提高综合素质。所以综合奖学金评定的通常是依据多个指标的，例如学习，学生工作，创新实践都可作为其评定指标，而指标间权重的设定则体现了学校的培养期望。

2.2 概念分析

2.2.1 综合奖学金对学校培养目标体现程度

不同的学校会有不同的培养目标，例如理工科学校侧重工作实践，文理类学校侧重成绩，那么学校设置综合奖学金时，会参考自己的培养目标进行权重设置，这个权重设置与学校的培养目标的相应程度即对学校培养目标的体现程度。例如某侧重学习成绩的理工科学校，在设置综合奖学金时对学习成绩这个指标赋予较大权重，学习成绩优秀的同学在参评时占优势，那么这个权重就较好地体现了该学校对学习成绩这个培养目标的侧重。

2.2.2 综合奖学金评定方法的合理性 高校除了设置综合奖学金之外，通常还设有单项奖学金以奖励在某一方面表现突出的学生。在各种奖学金的评定中，综合奖学金评定各指标权重若设置不当，会导致综合奖学金的评定结果和其他单项奖学金的评定结果有较大重复。

例如某校综合奖学金中学习指标的比重过大，并且对于成绩优秀的学生又另设置了成绩优异奖。那么便造成了奖学金发放的重复率增大，而奖学金发放的覆盖率降低，而奖学金是为了鼓励学生引导学生的，据此我们认为覆盖率更大的奖学金发放方案更为合理，所以我们对综合奖学金进行设置时，认为综合奖学金的评定结果与其他单项奖学金的评定结果重复率越低，即总获奖面越大越合理。 2.3 问题具体分析

由2.1中概念的解释，我们以奖学金覆盖率最大和最符合学校培养目标为目标，建立优化模型优化设计综合奖学金评选各项指标权重，并据此权重建立具体的奖学金评定方案对题目给出的参评学生信息进行评定。根据题目要求我们可以问题分为如下几个子问题：

一、对综合成绩的定量评价。首先对定量描述的数据进行量化，再建立综合成绩建立综合评价体系，对各指标进行分析和确定，再参照实际情况和经验对各指标进行主观赋权，最后确定评价函数，并根据题目的要求计算给出评价结果。 二、综合奖学金评定办法的设计与各评奖指标权重的设置问题。引入综合分作为评定综合奖学金的最终指标。以成绩、卫生、学生工作、获奖情况和学生民主投票为指标建立对综合分的综合评价体系。并设计评奖方案，建立综合分各项指标权重的权重优化模型，以获奖覆盖率最高和奖学金评定导向性与学校培养目标的一致性最高为目标对权重进行优化求解。求解所用的大量参评信息通过由计算机进行合理模拟，通过对大量数据的计算检测求平均值得方法，提高求解结果的普适性。

三、根据问题二所得出的权重建立综合奖学金评定方案，对题目所给的奖学金参评学生信息进行综合奖学金的评定。

四、对综合奖学金的评定方法和依据进行阐述和说明。

三、模型假设

1.假设题目给出的评奖信息所在学校要求评定成绩优异奖，对每班综合成绩前三位的同学评予成绩优异奖，该奖项不分将次；

2.假设题目所给的评奖信息所在学校的其他班级的参评学生信息与题目所给的信息基本相似；

3.假设问题要求所设计的综合奖学金评定方案主要运用于附录中评奖信息所在学校。

四、符号说明

p:综合成绩 Ai: 第

i门考试课成绩 i门考查课成绩

q:综合分 Bi: 第

ni: 第i 门考试课学分 mi: 第i门考查学分

五、问题一

本小节主要研究综合成绩的评价计算方法，根据实际情况建立具体的评价指标和评价函数，给出综合成绩的定量评价和具体计算方法，并给出题目所要求的参评学生信息的综合成绩排名情况。 5.1 数据处理

为了最终计算综合成绩以及进行具体排名的方便，需要对考查课的等级做出数据形式的量化。 5.1.1 个别说明

对于考查课1，每个参与评奖的学生在这门课上得到的等级均为合格，那么在这个指标上学生之间不具有可比性，可以认为考查课1的成绩只作为参评资格的约束，计算综合成绩时考查课1不列入考虑。

5.1.2 考查课2~6成绩的量化

对于考查课2~6，所有的成绩均以优秀、良好、中等三个等级定性描述，分别对这三个等级进行如下定量的数据化处理：

优秀90 良好80 中等70

5.2 综合评价指标体系的建立

具体的评价指标体系如5.1图所示：

图5.1评价指标体系

如上图，根据课程的重要性程度不同，我们首先把综合成绩分为考查课成绩和考试课成绩，不同的考查课以及不同的考试课之间的重要程度又是不同的，所以我们再分别把考试课成绩和考查课成绩分为高于三个学分课程的成绩和低于三个学分课程的成绩。具体的各项指标分析和确定分析如下：

5.2.1 考试课成绩

不同考试课之间的重要程度不同，通常越重要的学科学分越高，据此我们将考试课分为学分高3.0和低于3.0的两类，认为学分高于3.0的课程为主要课程，低于3.0的课程为相对次要课程。

1、学分高于3.0的考试课的综合成绩x1

学分高于3.0的课程中，课程重要程度依然存在差别，我们还是依据学分越高越重要对其进行区分，在计算学分高于3.0的考试课的综合成绩就以课程学分为其权重对各科成绩加权求平均值作为其最后的综合成绩。具体表达式如下：



x1

ni3.0

Aini

ni



（1.1）

ni3.0

2、学分低于3.0的考试课的综合成绩x2

同学分高于3.0的考试课一样学分低于3.0的课程中，课程重要程度依然存在差别，计算其综合成绩时与高于学分3.0的课程一样进行加权求平均值。具体表达式如下：



x2

ni3.0

Aini

ni



（1.2）

ni3.0

5.2.2 考查课成绩 同考试课一样，量化后的考查课综合成绩采取和考试课综合成绩相同的计算方式。

1、学分高于3.0的考查课的综合成绩x3

对学分高于3.0的考查课的综合成绩进行加权求平均值，具体表达式如下：



x3

Bimi

mi

ni3.0



（1.3）

ni3.0

2、学分低于3.0的考查课的综合成绩x4：

对学分低于3.0的考查课的综合成绩进行加权求平均值，具体表达式如下：



x4

Bimi

mi

ni3.0



（1.4）

ni3.0

5.3 指标权重的确定

参考培养计划上课程的侧重，我们认为考试课程普遍要比考查课程重要，学分高于3.0的课程较学分低于3.0的课程相对重要。

由此，我们对各权值进行主观的给定，以凸显出不同课程综合成绩的重要程度：

12/3 21/3 ；13/5 22/5 （1.5）

1:为考试课程权重 2: 为考查课权重

1:为学分大于3的课程权重 2: 为学分小于3的课程权重

5.4 评价函数的建立

由5.2给出的指标表达式（1.1~1.4）和5.3中给出的各指标权重（1.5）建立综合成绩的评价函数如下:

p11x112x221x322x4

其中：



x1

ni3.0

Ainini



；x2

ni3.0

Ainini

；x3

B

ni3.0

i

mi

B

；x4

ni3.0

i

mi



mi

ni3.0



mi

ni3.0ni3.0ni3.0

符号说明：

p:综合成绩

x1:学分大于3.0考试课的综合成绩

x2:学分小于3.0考试课的综合成绩 x3:学分大于3.0考查课的综合成绩 x4:学分大于3.0考查课的综合成绩

Ai:第i门考试课成绩 Bi: 第i门考查课成绩（量化后） ni:第i 门考试课学分 mi:第i门考查学分

5.4 评价结果

5.4.1 评价函数的求解

根据给出的Excel中奖学金评定信息表，由5.3中的评价函数，计算可得各参评奖学金学生的综合成绩如下表：

表5.1综合成绩表

5.4.2 评价结果的分析

对上述表中的数据进行分析，发现学生N与学生A在成绩上的优势十分明显，而学生D、E、M在综合成绩上有待提高。

六、问题二

本小节主要通过建立对指标权重的评价指标，结合问题分析和假设，以获奖覆盖率最高和最小为目标，通过计算机模拟参评学生数据进行对指标权重的优化求解。

6.1 数据的处理准备与综合奖学金评奖方案的设计 6.1.1 定性数据的量化及归一化处理 1、综合成绩的归一化处理

根据5.4中得到的各参评学生的综合成绩，对综合成绩pi进行如下归一化处理：

(pi)pi (i1,2...14)

2、卫生情况的数据趋同性及归一化处理

题目附件中的奖学金评定信息表给出了宿舍卫生扣分情况，由此，先对数据进行趋同性处理，将宿舍卫生扣分情况转换为宿舍卫生得分情况：

卫生得分100卫生扣分

再对卫生得分Si进行如下归一化处理：

(Si)Si (i1,2...14)

3、学生工作的量化及归一化处理

根据题目附件的信息，我们将学生工作分为两类，一类是班委，一类是社团干部，将这两类进行等级的量化划分（见下表6.1，注：如果身兼两职，则对相应等级进行累加）：

表6.1 职位等级划分表

职位 班长、团支书 其他班委 社团干部

再对相应等级进行01间的赋值（见下表6.2），以此在归一化的过程中体现等级间的差别：

表6.2 职位等级赋值表 等级 0 1 2 3

、

4、竞赛情况的量化及归一化处理

与学生工作的处理一致，将获奖情况进行等级的量化划分，并对相应的级别进行01间的赋值（见下表6.3），以此体现等级间的差别：

表6.3 获奖情况等级划分赋值表

获奖情况 校二、三校一等 省二、三省一等 国家二、国家一

等 等 三等 等

级别 1级 2级 3级 4级 5级 6级

赋值

5、投票情况的归一化处理

由于投票情况是全班对一个学生满意程度的体现，所以对第i个参评学生的投票数Ki进行归一化处理，得到的就是全班同学对该参评学生的客观满意程度：

(Ki)Ki (i1,2...14)

6.1.2 综合奖学金的评定方法 1、综合分的定义

根据各项指标标准处理后的数据和各指标的权重进行线性加权得到的综合分数，用以描述学生的综合表现。表达式如下：

q

0.2 0.3 0.5 0.7 0.9 1.0



i

ai

i1,2,3,4,5

i:第i项指标的权重 ai:第i项指标的归一化后的数据 说明：

i为1,2,3,4,5分别对应指标综合成绩，卫生，学生工作，获奖情况，民主投票。

2、综合奖学金评奖方案

依据问题三所要求得评奖方式我们给出如下评奖方案：

表6.4 综合奖学金评定方案

6.1.3 数据的模拟

根据假设3，设计的综合奖学金的评定方法主要运用于与题目所给评奖信息所在评奖环境相类似的评奖范围。据此，我们以附件Excel班级中奖学金参评学生的信息为标准，模拟50组奖学金参评学生信息。

数据模拟的过程如下：（数据模拟代码见附录一）

图6.1参评学生数据模拟流程图

6.2 权重评价指标

根据问题分析2.2中对综合奖学金对学校培养目标体现程度以及对综合奖学金评定方法的合理性分析，我们定义如下指标来评价综合奖学金的评价指标的权重。

6.2.1 获奖覆盖率 1、获奖覆盖率的定义

获奖覆盖率即对于一个集体内实际获奖的人数占集体总人数的比例。奖学金对学生起到导向和激励作用，奖学金获奖覆盖率的越大那么就能更多的学生起到激励作用，在一定得范围内，某种奖学金评定办法对学生成绩评定得到评奖结果获奖覆盖率越大，那么这种奖学金评定办法的激励效果越好。 2、获奖覆盖率的表达式



Cover()



nN

说明：

Cover()



表示使用权重向量所确定的综合奖学金评价方法并结合单

项奖学金的评奖计算所得的获奖覆盖率。n表示获奖人数，N表示班级总人数。获奖人数里包括只获一奖的和重复获奖的人。

6.2.2 理想权重 1、理想权重的定义

理想权重是我们根据学校希望实现的培养目标，而严格按照学校对学生在各个方便要求的重要程度对各个评奖指标所作的权重配比，即理想权重的各部分权重应完全地体现了学校对学生各方面期望和要求的侧重。 2、层次分析法确定理想权重 建立层次结构：

由于问题只需要确定五个因素的权值，由此，修改一般的层次分析法，将问题的层次结构分成两层：第一层为准则层(C)：相关因素，依次为综合成绩、卫生情况、学生工作、获奖情况和学生民主投票，分别记为Ck(k1,2,3,4,5)；第二层为方案层(P)：14个参评人员，依次记为Pi(i1,2...14)。 确定方案层(P)对准则层(C)的权重W：

根据我校培养计划的目标，我们可以做出五个相关因素的重要程度排序（重要程度由高到低）：综合成绩、获奖情况、学生工作、学生民主投票、卫生情况。 参照大多数学校的综合奖学金评奖办法，主要是以成绩为主，结合获奖情况、学生工作、学生民主投票、卫生情况等因素进行奖学金的评定的。所以成绩在奖学金评定的过程中是最主要因素，又由于大学鼓励学生多参加竞赛、科研项目的理念，以及重点培养学生各方面能力的目标，可知获奖情况和学生工作也是奖学金评定的过程中的主要因素。

由此，构造比较矩阵如下（按照综合成绩、卫生情况、学生工作、获奖情况和学生民主投票的顺序）：

11/7A1/3

1/31/5

71352

31/3131/2

31/51/311/3

51/2

2 31

这是一个5阶的正互反矩阵，经过计算求得A的最大特征值为max5.1349，相应的特征向量做归一化后为

T

W1(0.472,0.05,0.136,0.258,0.084)

对应的随机一致性指标RI11.12,则一致性指标CI1(max5)(51)0.0337，一致性比率指标CR1CI1RI10.0301120.1,于是W1可作为P层对O层的权重向量。

6.2.3 理想权重偏差度

根据问题分析2.2中对综合奖学金对学校培养目标体现程度的分析，我们定义理想权重偏差度来描述综合奖学金对学校培养目标体现程度。 1、理想权重偏差度的定义

理想权重是我们根据学校希望实现的培养目标，而严格按照学校对学生在各个方面要求的重要程度对各个评奖指标所作的权重配比，即理想权重的各部分权重应完全地体现了学校对学生各方面期望和要求的侧重。

而在实际操作奖学金的评奖中，如果直接采用理想权重往往会导致评奖结果的不科学，如过多的同学重复获奖，导致获奖率偏低。

理想权重偏差度即是我们实际采用的各项评奖指标权重与相应各项理想权重的平方差之和。所使用权重的理想权重偏差度越小，即 2、理想权重偏差度的表达式

5



d

i1

(ii)5

p2

说明：i表示权重向量的第i个坐标分量，ip表示理想权重向量的第i个分量。 6.3 权重优化模型的分析与建立

结合假设1，对综合成绩在班级前三名的同学授予成绩优异奖，那么在存在其他单项奖学金的情况下，采用6.1.2综合奖学金的评定方法，根据不同的指标权重所给出的综合奖学金评定方案，使用6.1.3所模拟的参评学生信息进行评定时，获奖覆盖率可能不相同。那么在此基础上建立权重优化模型，对所给的权重进行优化，模型的建立与分析过程如下：

6.3.1 决策变量分析与选取

根据题意，我们需要确定一组包括综合成绩，卫生，学生工作，获奖情况，民主投票这些评奖指标的权重，那么我们选取这五个指标的权重所组成的一个五

维权重向量来作为决策变量。



6.3.2 目标分析

根据6.2中给出的权重比例评价指标，对权重比例的优化设如下目标： 目标一：理想权重偏差度最小

5



Min

d

i1

(ii)5

p2

（6.1)

目标二：所选权重所确定的评奖办法使得平均获奖覆盖最高

Cover

Max

i

i



()i

nN

1

（6.2)

6.3.3 约束分析 

约束一：权重向量各分量之和为1。





i

1i1,2,3,4,5

（6.3)

约束二：权重向量各分量非负。

i0

i1,2,3,4,5

（6.4)

6.3.4 模型的建立

根据6.3.2和6.3.3的分析，综合（6.1）~（6.4），建立权重优化模型如下：

5



Min

d

i1

(ii)5

p2



Max

i



Coveri()

nN

1

i



i1S.T.



0i

i1,2,3,4,5

i1,2,3,4,5

符号说明：

d：理想权重偏差度； 

：五维权重向量，各分量代表各指标权重； 

i：权重向量的第i个坐标分量； ip：理想向量p的第i个坐标分量；



Coverj()：使用权重向量时第j组学生数据评奖结果的获奖覆盖率； n：实际获奖人数； N：班级总人数。

6.4 权重优化模型的求解

6.4.1求解的方法

1、多目标转化为单目标

我们将覆盖率转化为约束，以理想权重偏差度最小为目标进行求解。

2、初解设置，和趋近步长设置

利用层次分析法降低综合成绩在综合奖学金中的评定比重得出符合覆盖率 

p

要求的初解，然后设置初解和理想解的步长差距为(0)/m，然后以每

次的距离趋近理想解，没趋近一次对当前解的约束进行检验，若满足约束继

续趋近，不满足约束当前解减去一个即为最优解，m的大小反应了趋近的速率，针对本问本文我们设置m=100。

注：因为单项奖学金针对综合成绩，导致重复获奖的因素主要在于综合成绩突出的学生在综合奖学金评定中的重复，故适当降低综合成绩在综合分计算中的比重。

3、通过对计算机模拟学生数据评奖检测约束

对某一组学生信息的评奖结果来判断一个评价方法得出的结论不具有普适性，所以我们通过计算机模拟生成50组数据通过对50组学生数据评奖结果覆盖率的平均情况来检查所采用的权值比例是否符合覆盖率的条件。

6.4.2 求解的步骤 第一步：利用层次分析法降低综合成绩比重计算得出权重初解并计算趋近步 

长(p0)/m。 

第二步：当前解向量附加一个趋近步长。

50

第三步：利用计算机模拟的50组成绩计算平均覆盖率Cover

Cover

i1

i

()

50

。



第四步：若当前解的平均覆盖率Cover满足要求那么返回第二步，否者返回





即为最终解。

6.4.3 求解结果

用matlab编程（代码见附录）对学生数据各项成绩进行模拟，并编程对最优权值进行求解，最后解得在满足获奖覆盖率大于31%的约束下理想权重偏差度最小的各项评奖指标的权值分如下：

6.4.4结果的分析与评价 

最终解所确定的评奖方法对五十组模拟数据进行评奖，平均获奖覆盖率为：31.32%。 

理想权重p所确定的评奖方法对五十组模拟数据进行评奖，平均获奖覆盖率为：28.87%。

该组权重相对理想权重的获奖率有明显的提高，并且该组权重在保证一定获奖覆盖率的前提下是对理想权重的一组最优趋近解，据此我们可以认为该组权重所确定的奖学金评定方法在激励更多的同学下的目标下又很好的体现了学校希望实现的培养目标。

七、问题三

7.1 综合奖学金的评定方案的确立

根据6.1.2综合奖学金的评定方法，以及结合6.3.2的各指标权重求解结果，针对题目所要求的参评学生信息确立综合奖学金评定方案。方案如下：

综合分的计算公式：

q



i

ai

i1,2,3,4,5

ai:第i项指标的归一化后的数据

说明： i为

1,2,3,4,5分别对应指标综合成绩，卫生，学生工作，获奖情况，民主投票。

7.2 问题要求中班级的综合奖学金评奖评定

结合问题三的要求，利用7.1给出的评定方法，我们对题目所要求的参评学生信息的进行综合奖学金的评定，评定结果如下：

表7.1综合分排名

八、奖学金评定说明

为了加强培养和提高大学生的综合素质、综合能力，激励学生努力学习，鼓励学生参加各种活动，根据〈〈大学生本科教育规范〉〉，并结合该校实际情况特制定此奖学金评定说明。

8.1 评定奖学金的基本条件

1.所有考试课成绩不能低于70分，否则，取消奖学金评定资格；

2.所有考查课必须至少达到合格的标准，否则，取消奖学金评定资格； 3.学期内未受到纪律处分。

8.2 奖项设置

1.综合奖学金：一等奖1名，二等奖3名，三等奖5名（综合分前9名)； 2.成绩优异奖：3名（综合成绩前3名）。

8.3 综合成绩计算方法

综合成绩=

25

 指标一+

415

 指标二+

15

 指标三+

215

 指标四

（1） 指标一是指学分高于3.0的考试课的综合成绩，指标二是指学分低于 3.0 的考试课的综合成绩，指标三是指学分高于3.0的考查课的综合成绩，指标四是指学分低于3.0的考查课的综合成绩。

其中考查课的成绩已进行如下过量化处理：

优秀90

分 良好80分 中等70分

（2）各个指标的综合成绩计算方式是一致的，具体公式如下：

属于指标指标i综合成绩=

i的课程课程相应学分

属于指标i的课程的总学分

8.4 综合分计算方法

综合分0.28成绩分0.05卫生分0.22工作分0.35竞赛分0.1投票分

成绩得分，卫生得分，工作得分，竞赛得分以及投票得分均是最终数据量化和数据归一化后的得分:

成绩得分=

综合成绩100

卫生得分=

100卫生扣分

100得票数参与投票总人数

投票得分=

工作得分以及竞赛得分以表的形式给出

（注：如果身兼两职，则对相应等级进行累加处理）

获奖情况 校二、三校一等 省二、三省一等 国家二、国家一

等 等 三等 等

8.5 评定依据

8.5.1 综合奖学金评定依据

为了兼顾学校培养计划指标以及整体获奖覆盖率，鼓励同学积极参与科研、竞赛、文体活动，参与各项组织工作，以提高同学的各方面的综合素质，在综合奖学金的评定中，我们削弱了成绩的影响因素，而提高了竞赛、工作在综合评定中的比重，以更好的选拔综合型人才。

8.5.2 成绩优异奖评定依据

由于大学依然是以学习为主，为此，我们仅以课程综合成绩为唯一的指标，设定成绩优异奖，以鼓励同学认真进行专业课程学习，使同学更好地掌握专业知识。由此培养出优秀的专业型人才。

8.6 奖学金评定方法的评价

在高校综合奖学金的评定过程中，我们引入了成绩优异奖这一单项奖学金的评定，旨在给予综合奖学金的评定在奖学金系统中的具体定位，避免其与单项奖学金的重复评奖，从更加客观的角度、更深的层次体现了综合奖学金评定的科学性和合理性。

九、模型的推广与改进

9.1 模型的推广

在第二问模型的建立中，我们综合运用多目标规划以及数据模拟，建立了一个优化模型，最终给出了每一个因素的权重。与主观直接赋权和层次分析赋权法相比，优化模型的引入使得最终得到的结果更加客观、合理。这样的思想将优化模型与评价模型一定程度地结合在一起，给出了确定因素权值的新方法。在建立需要确定因素权值的模型时，可以通过综合运用各种主、客观的方法和我们的模型优化法来确定最终因素的权值。

9.2 模型的改进

由于在高校奖学金系统中，不仅只有综合奖学金和一个单项奖学金，所以在第二问中，我们建立的优化模型是有一定的局限性的。一旦增加单项奖学金的数目或者增加其他奖学金的评定，那么奖学金的覆盖率约束等将发生不同程度上的变化，导致最终优化模型的结果不唯一。所以在奖学金评定过程中，我们只能针对特定的目标（需要评定的奖学金全部列出），给出特定的优化模型。这样的优化模型的普适性很差。如果能打破这一约束，使得在确定因素权值时，我们的优化模型具有更好的普遍应用性，那么将是一个不小的突破。

鉴于此，我们在建立优化模型时，将对于奖学金的覆盖率约束等条件进行逐步地放宽，直到达到优化模型的普适性良好，且最终结果依然客观、合理的程度。

十、参考文献

[1]秦寿康，《综合评价原理与应用》 电子工业出版社，四川，2003 [2]姜启源 谢金星，《数学模型》 高等教育出版社，北京，2004 [3]郭亚军，《综合评价方法、理论及应用》 科学出版社，四川，2007 [4]韩中庚，《数学建模方法及其应用》 高等教育出版社，北京，2006

十一、附录

附录一 数据模拟代码 附录二 优化求解代码

附录三 附录一二中所用到的自定义函数

附录一 数据模拟代码

stu=cell(50,1); kkk=1; for k=1:500;

student=zeros(14,6);

p0=[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14]; p0=p0';

p1=round(unifrnd(70,100.499,[14,1]))/100; p2=round(unifrnd(0,100.499,[14,1]))/100; p5=round(unifrnd(0,100.499,[14,1]))/100;

p3=zeros(14,1);

a1=round(unifrnd(0.5001,14.4999)); p3(a1)=0.5; a2=round(unifrnd(0.5001,14.4999)); p3(a2)=0.3; a3=round(unifrnd(0.5001,14.4999)); p3(a3)=0.2; a4=round(unifrnd(0.5001,14.4999)); p3(a4)=0.2;

p4=zeros(14,1);

a1=round(unifrnd(0.5001,14.4999)); p4(a1)=p4(a1)+0.2; a2=round(unifrnd(0.5001,14.4999)); p4(a2)= p4(a2)+0.2; a3=round(unifrnd(0.5001,14.4999)); p4(a3)=p4(a3)+0.2; a4=round(unifrnd(0.5001,14.4999)); p4(a4)=p4(a4)+0.2; a5=round(unifrnd(0.5001,14.4999)); p4(a5)=p4(a5)+0.2; a6=round(unifrnd(0.5001,14.4999)); p4(a6)=p4(a6)+0.2; a7=round(unifrnd(0.5001,14.4999)); p4(a7)=p4(a7)+0.4; a8=round(unifrnd(0.5001,14.4999)); p4(a8)=p4(a8)+0.4; a9=round(unifrnd(0.5001,14.4999)); p4(a9)=p4(a9)+0.4; a10=round(unifrnd(0.5001,14.4999)); p4(a10)=p4(a10)+0.2;

for i=1:14

student(i,1)=p0(i,1); end

for i=1:14

student(i,2)=p1(i,1); end

for i=1:14

student(i,3)=p2(i,1);

end

for i=1:14

student(i,4)=p4(i,1); end

for i=1:14

student(i,5)=p3(i,1); end

for i=1:14

student(i,6)=p5(i,1); end

cover2=judge222(student,a); %对数据合理性进行判断 cover1=judge222(student,aa); if cover2>0.3 && cover1

附录二 优化求解代码

a=[0.271,0.049,0.236,0.355,0.088]; %初始解 aa=[0.346,0.039,0.112,0.346,0.157]; %理想解 aaa=(aa-a)/100; %步长 ii=0;

while 1

ii=ii+1;

cover=zeros(50,1);

for j=1:50;

[p,q,cover(j,1)]=judge222(stu{j,1},a+aaa*ii); end

coverAVE=mean(cover,1);

if coverAVE

附录三 附录一二中所用到的自定义函数

function [ A ] = T_SORT( A ,n , p ) % 排序函数 % T_SORT( A ,n , p ) % A 根据第n行排序 % p=1升序，2 降 % powered_BY_* SIZE=size(A); if p==1

[xx,idx]=sort(A(n,:)); for i=1:SIZE(1) A(i,:)=A(i,idx); end

elseif p==2

[xx,idx]=sort(A(n,:),'descend'); for i=1:SIZE(1) A(i,:)=A(i,idx); end end

function [m,mm,cover] = judge222( MM ,a ) %求覆盖率函数 覆盖率为参数cover n=size(MM,1); for i=1:n

m(i,2)=a(1)*MM(i,2)+ a(4)*MM(i,5)+a(5)*MM(i,6); m(i,1)=MM(i,1); mm(i,1)=MM(i,1); mm(i,2)=MM(i,2); end

m=(T_SORT(m',2,2))'; mm=(T_SORT(mm',2,2))'; b=zeros(9,1); for j=1:9

b(j,1)=m(j,1); end

for k=1:3 work=1;

for j=1:9

if mm(k,1)==b(j,1) work=0;break end end

if work==1

b(length(b)+1)=mm(k,1); end

end

cover=length(b)/32; end

a(2)*MM(i,3)+a(3)*MM(i,4)+

一、问题重述

奖学金制度是高校普遍采用的一种对学生进行奖励、激励的制度，评定奖学金成为高校每年工作的一个重要环节。奖学金评定有其明确的标准，这些标准是学校培养目标的具体化，奖学金评定对学生的行为具有导向功能。

目前，高校奖学金主要有综合奖学金和单项奖学金两大类。综合奖学金主要是对各方面表现都比较优秀的学生设立的，单项奖学金则主要是针对在某一方面表现比较突出的学生设立的。

根据某校某班的数据，考虑到该班级所在学校对奖学金的评定有基本条件限制，如考试课成绩不能低于70分等，得到满足符合申请奖学金基本条件的同学的信息。请建立数学模型，根据资料中提供的数据，确定奖学金获得者名单。具体问题如下：

问题一： 根据Excel中的相关数据，选择一种合理的方法，计算出学生的综合成绩（包括考试课和考查课两部分），并给出具体排名。

问题二：结合你所了解的相关情况，确定出综合成绩、卫生、学生工作、获奖情况和学生民主投票在奖学金评定过程中所占的权重。

问题三：该班级的奖学金获奖指标为一等奖1个，二等奖3个，三等奖5个，请给出具体获奖名单。 问题四： 撰写一篇不超过2页的奖学金评定说明，向负责奖学金评定的人（如班主任、班长等）阐述你们计算奖学金的主要依据和过程。为了方便奖学金评定操作，建议大部分计算过程最好能够使用Excel完成（评定说明中只要给出具体公式即可，这些公式应该能够在Excel中实现）。如果你的模型中用到的数学方法比较复杂，可以简化模型的相关内容，以方便具体计算过程，提高模型的实用性。

二、问题分析

2.1 背景介绍

综合奖学金是高校普遍采用的一种对学生进行奖励、激励的制度。相对主要针对在某一方面表现比较突出的学生设立的单项奖学金，综合奖学金的设立是对各方面表现都比较优秀的学生的一种鼓励，鼓励学生全面发展，提高综合素质。所以综合奖学金评定的通常是依据多个指标的，例如学习，学生工作，创新实践都可作为其评定指标，而指标间权重的设定则体现了学校的培养期望。

2.2 概念分析

2.2.1 综合奖学金对学校培养目标体现程度

不同的学校会有不同的培养目标，例如理工科学校侧重工作实践，文理类学校侧重成绩，那么学校设置综合奖学金时，会参考自己的培养目标进行权重设置，这个权重设置与学校的培养目标的相应程度即对学校培养目标的体现程度。例如某侧重学习成绩的理工科学校，在设置综合奖学金时对学习成绩这个指标赋予较大权重，学习成绩优秀的同学在参评时占优势，那么这个权重就较好地体现了该学校对学习成绩这个培养目标的侧重。

2.2.2 综合奖学金评定方法的合理性 高校除了设置综合奖学金之外，通常还设有单项奖学金以奖励在某一方面表现突出的学生。在各种奖学金的评定中，综合奖学金评定各指标权重若设置不当，会导致综合奖学金的评定结果和其他单项奖学金的评定结果有较大重复。

例如某校综合奖学金中学习指标的比重过大，并且对于成绩优秀的学生又另设置了成绩优异奖。那么便造成了奖学金发放的重复率增大，而奖学金发放的覆盖率降低，而奖学金是为了鼓励学生引导学生的，据此我们认为覆盖率更大的奖学金发放方案更为合理，所以我们对综合奖学金进行设置时，认为综合奖学金的评定结果与其他单项奖学金的评定结果重复率越低，即总获奖面越大越合理。 2.3 问题具体分析

由2.1中概念的解释，我们以奖学金覆盖率最大和最符合学校培养目标为目标，建立优化模型优化设计综合奖学金评选各项指标权重，并据此权重建立具体的奖学金评定方案对题目给出的参评学生信息进行评定。根据题目要求我们可以问题分为如下几个子问题：

一、对综合成绩的定量评价。首先对定量描述的数据进行量化，再建立综合成绩建立综合评价体系，对各指标进行分析和确定，再参照实际情况和经验对各指标进行主观赋权，最后确定评价函数，并根据题目的要求计算给出评价结果。 二、综合奖学金评定办法的设计与各评奖指标权重的设置问题。引入综合分作为评定综合奖学金的最终指标。以成绩、卫生、学生工作、获奖情况和学生民主投票为指标建立对综合分的综合评价体系。并设计评奖方案，建立综合分各项指标权重的权重优化模型，以获奖覆盖率最高和奖学金评定导向性与学校培养目标的一致性最高为目标对权重进行优化求解。求解所用的大量参评信息通过由计算机进行合理模拟，通过对大量数据的计算检测求平均值得方法，提高求解结果的普适性。

三、根据问题二所得出的权重建立综合奖学金评定方案，对题目所给的奖学金参评学生信息进行综合奖学金的评定。

四、对综合奖学金的评定方法和依据进行阐述和说明。

三、模型假设

1.假设题目给出的评奖信息所在学校要求评定成绩优异奖，对每班综合成绩前三位的同学评予成绩优异奖，该奖项不分将次；

2.假设题目所给的评奖信息所在学校的其他班级的参评学生信息与题目所给的信息基本相似；

3.假设问题要求所设计的综合奖学金评定方案主要运用于附录中评奖信息所在学校。

四、符号说明

p:综合成绩 Ai: 第

i门考试课成绩 i门考查课成绩

q:综合分 Bi: 第

ni: 第i 门考试课学分 mi: 第i门考查学分

五、问题一

本小节主要研究综合成绩的评价计算方法，根据实际情况建立具体的评价指标和评价函数，给出综合成绩的定量评价和具体计算方法，并给出题目所要求的参评学生信息的综合成绩排名情况。 5.1 数据处理

为了最终计算综合成绩以及进行具体排名的方便，需要对考查课的等级做出数据形式的量化。 5.1.1 个别说明

对于考查课1，每个参与评奖的学生在这门课上得到的等级均为合格，那么在这个指标上学生之间不具有可比性，可以认为考查课1的成绩只作为参评资格的约束，计算综合成绩时考查课1不列入考虑。

5.1.2 考查课2~6成绩的量化

对于考查课2~6，所有的成绩均以优秀、良好、中等三个等级定性描述，分别对这三个等级进行如下定量的数据化处理：

优秀90 良好80 中等70

5.2 综合评价指标体系的建立

具体的评价指标体系如5.1图所示：

图5.1评价指标体系

如上图，根据课程的重要性程度不同，我们首先把综合成绩分为考查课成绩和考试课成绩，不同的考查课以及不同的考试课之间的重要程度又是不同的，所以我们再分别把考试课成绩和考查课成绩分为高于三个学分课程的成绩和低于三个学分课程的成绩。具体的各项指标分析和确定分析如下：

5.2.1 考试课成绩

不同考试课之间的重要程度不同，通常越重要的学科学分越高，据此我们将考试课分为学分高3.0和低于3.0的两类，认为学分高于3.0的课程为主要课程，低于3.0的课程为相对次要课程。

1、学分高于3.0的考试课的综合成绩x1

学分高于3.0的课程中，课程重要程度依然存在差别，我们还是依据学分越高越重要对其进行区分，在计算学分高于3.0的考试课的综合成绩就以课程学分为其权重对各科成绩加权求平均值作为其最后的综合成绩。具体表达式如下：



x1

ni3.0

Aini

ni



（1.1）

ni3.0

2、学分低于3.0的考试课的综合成绩x2

同学分高于3.0的考试课一样学分低于3.0的课程中，课程重要程度依然存在差别，计算其综合成绩时与高于学分3.0的课程一样进行加权求平均值。具体表达式如下：



x2

ni3.0

Aini

ni



（1.2）

ni3.0

5.2.2 考查课成绩 同考试课一样，量化后的考查课综合成绩采取和考试课综合成绩相同的计算方式。

1、学分高于3.0的考查课的综合成绩x3

对学分高于3.0的考查课的综合成绩进行加权求平均值，具体表达式如下：



x3

Bimi

mi

ni3.0



（1.3）

ni3.0

2、学分低于3.0的考查课的综合成绩x4：

对学分低于3.0的考查课的综合成绩进行加权求平均值，具体表达式如下：



x4

Bimi

mi

ni3.0



（1.4）

ni3.0

5.3 指标权重的确定

参考培养计划上课程的侧重，我们认为考试课程普遍要比考查课程重要，学分高于3.0的课程较学分低于3.0的课程相对重要。

由此，我们对各权值进行主观的给定，以凸显出不同课程综合成绩的重要程度：

12/3 21/3 ；13/5 22/5 （1.5）

1:为考试课程权重 2: 为考查课权重

1:为学分大于3的课程权重 2: 为学分小于3的课程权重

5.4 评价函数的建立

由5.2给出的指标表达式（1.1~1.4）和5.3中给出的各指标权重（1.5）建立综合成绩的评价函数如下:

p11x112x221x322x4

其中：



x1

ni3.0

Ainini



；x2

ni3.0

Ainini

；x3

B

ni3.0

i

mi

B

；x4

ni3.0

i

mi



mi

ni3.0



mi

ni3.0ni3.0ni3.0

符号说明：

p:综合成绩

x1:学分大于3.0考试课的综合成绩

x2:学分小于3.0考试课的综合成绩 x3:学分大于3.0考查课的综合成绩 x4:学分大于3.0考查课的综合成绩

Ai:第i门考试课成绩 Bi: 第i门考查课成绩（量化后） ni:第i 门考试课学分 mi:第i门考查学分

5.4 评价结果

5.4.1 评价函数的求解

根据给出的Excel中奖学金评定信息表，由5.3中的评价函数，计算可得各参评奖学金学生的综合成绩如下表：

表5.1综合成绩表

5.4.2 评价结果的分析

对上述表中的数据进行分析，发现学生N与学生A在成绩上的优势十分明显，而学生D、E、M在综合成绩上有待提高。

六、问题二

本小节主要通过建立对指标权重的评价指标，结合问题分析和假设，以获奖覆盖率最高和最小为目标，通过计算机模拟参评学生数据进行对指标权重的优化求解。

6.1 数据的处理准备与综合奖学金评奖方案的设计 6.1.1 定性数据的量化及归一化处理 1、综合成绩的归一化处理

根据5.4中得到的各参评学生的综合成绩，对综合成绩pi进行如下归一化处理：

(pi)pi (i1,2...14)

2、卫生情况的数据趋同性及归一化处理

题目附件中的奖学金评定信息表给出了宿舍卫生扣分情况，由此，先对数据进行趋同性处理，将宿舍卫生扣分情况转换为宿舍卫生得分情况：

卫生得分100卫生扣分

再对卫生得分Si进行如下归一化处理：

(Si)Si (i1,2...14)

3、学生工作的量化及归一化处理

根据题目附件的信息，我们将学生工作分为两类，一类是班委，一类是社团干部，将这两类进行等级的量化划分（见下表6.1，注：如果身兼两职，则对相应等级进行累加）：

表6.1 职位等级划分表

职位 班长、团支书 其他班委 社团干部

再对相应等级进行01间的赋值（见下表6.2），以此在归一化的过程中体现等级间的差别：

表6.2 职位等级赋值表 等级 0 1 2 3

、

4、竞赛情况的量化及归一化处理

与学生工作的处理一致，将获奖情况进行等级的量化划分，并对相应的级别进行01间的赋值（见下表6.3），以此体现等级间的差别：

表6.3 获奖情况等级划分赋值表

获奖情况 校二、三校一等 省二、三省一等 国家二、国家一

等 等 三等 等

级别 1级 2级 3级 4级 5级 6级

赋值

5、投票情况的归一化处理

由于投票情况是全班对一个学生满意程度的体现，所以对第i个参评学生的投票数Ki进行归一化处理，得到的就是全班同学对该参评学生的客观满意程度：

(Ki)Ki (i1,2...14)

6.1.2 综合奖学金的评定方法 1、综合分的定义

根据各项指标标准处理后的数据和各指标的权重进行线性加权得到的综合分数，用以描述学生的综合表现。表达式如下：

q

0.2 0.3 0.5 0.7 0.9 1.0



i

ai

i1,2,3,4,5

i:第i项指标的权重 ai:第i项指标的归一化后的数据 说明：

i为1,2,3,4,5分别对应指标综合成绩，卫生，学生工作，获奖情况，民主投票。

2、综合奖学金评奖方案

依据问题三所要求得评奖方式我们给出如下评奖方案：

表6.4 综合奖学金评定方案

6.1.3 数据的模拟

根据假设3，设计的综合奖学金的评定方法主要运用于与题目所给评奖信息所在评奖环境相类似的评奖范围。据此，我们以附件Excel班级中奖学金参评学生的信息为标准，模拟50组奖学金参评学生信息。

数据模拟的过程如下：（数据模拟代码见附录一）

图6.1参评学生数据模拟流程图

6.2 权重评价指标

根据问题分析2.2中对综合奖学金对学校培养目标体现程度以及对综合奖学金评定方法的合理性分析，我们定义如下指标来评价综合奖学金的评价指标的权重。

6.2.1 获奖覆盖率 1、获奖覆盖率的定义

获奖覆盖率即对于一个集体内实际获奖的人数占集体总人数的比例。奖学金对学生起到导向和激励作用，奖学金获奖覆盖率的越大那么就能更多的学生起到激励作用，在一定得范围内，某种奖学金评定办法对学生成绩评定得到评奖结果获奖覆盖率越大，那么这种奖学金评定办法的激励效果越好。 2、获奖覆盖率的表达式



Cover()



nN

说明：

Cover()



表示使用权重向量所确定的综合奖学金评价方法并结合单

项奖学金的评奖计算所得的获奖覆盖率。n表示获奖人数，N表示班级总人数。获奖人数里包括只获一奖的和重复获奖的人。

6.2.2 理想权重 1、理想权重的定义

理想权重是我们根据学校希望实现的培养目标，而严格按照学校对学生在各个方便要求的重要程度对各个评奖指标所作的权重配比，即理想权重的各部分权重应完全地体现了学校对学生各方面期望和要求的侧重。 2、层次分析法确定理想权重 建立层次结构：

由于问题只需要确定五个因素的权值，由此，修改一般的层次分析法，将问题的层次结构分成两层：第一层为准则层(C)：相关因素，依次为综合成绩、卫生情况、学生工作、获奖情况和学生民主投票，分别记为Ck(k1,2,3,4,5)；第二层为方案层(P)：14个参评人员，依次记为Pi(i1,2...14)。 确定方案层(P)对准则层(C)的权重W：

根据我校培养计划的目标，我们可以做出五个相关因素的重要程度排序（重要程度由高到低）：综合成绩、获奖情况、学生工作、学生民主投票、卫生情况。 参照大多数学校的综合奖学金评奖办法，主要是以成绩为主，结合获奖情况、学生工作、学生民主投票、卫生情况等因素进行奖学金的评定的。所以成绩在奖学金评定的过程中是最主要因素，又由于大学鼓励学生多参加竞赛、科研项目的理念，以及重点培养学生各方面能力的目标，可知获奖情况和学生工作也是奖学金评定的过程中的主要因素。

由此，构造比较矩阵如下（按照综合成绩、卫生情况、学生工作、获奖情况和学生民主投票的顺序）：

11/7A1/3

1/31/5

71352

31/3131/2

31/51/311/3

51/2

2 31

这是一个5阶的正互反矩阵，经过计算求得A的最大特征值为max5.1349，相应的特征向量做归一化后为

T

W1(0.472,0.05,0.136,0.258,0.084)

对应的随机一致性指标RI11.12,则一致性指标CI1(max5)(51)0.0337，一致性比率指标CR1CI1RI10.0301120.1,于是W1可作为P层对O层的权重向量。

6.2.3 理想权重偏差度

根据问题分析2.2中对综合奖学金对学校培养目标体现程度的分析，我们定义理想权重偏差度来描述综合奖学金对学校培养目标体现程度。 1、理想权重偏差度的定义

理想权重是我们根据学校希望实现的培养目标，而严格按照学校对学生在各个方面要求的重要程度对各个评奖指标所作的权重配比，即理想权重的各部分权重应完全地体现了学校对学生各方面期望和要求的侧重。

而在实际操作奖学金的评奖中，如果直接采用理想权重往往会导致评奖结果的不科学，如过多的同学重复获奖，导致获奖率偏低。

理想权重偏差度即是我们实际采用的各项评奖指标权重与相应各项理想权重的平方差之和。所使用权重的理想权重偏差度越小，即 2、理想权重偏差度的表达式

5



d

i1

(ii)5

p2

说明：i表示权重向量的第i个坐标分量，ip表示理想权重向量的第i个分量。 6.3 权重优化模型的分析与建立

结合假设1，对综合成绩在班级前三名的同学授予成绩优异奖，那么在存在其他单项奖学金的情况下，采用6.1.2综合奖学金的评定方法，根据不同的指标权重所给出的综合奖学金评定方案，使用6.1.3所模拟的参评学生信息进行评定时，获奖覆盖率可能不相同。那么在此基础上建立权重优化模型，对所给的权重进行优化，模型的建立与分析过程如下：

6.3.1 决策变量分析与选取

根据题意，我们需要确定一组包括综合成绩，卫生，学生工作，获奖情况，民主投票这些评奖指标的权重，那么我们选取这五个指标的权重所组成的一个五

维权重向量来作为决策变量。



6.3.2 目标分析

根据6.2中给出的权重比例评价指标，对权重比例的优化设如下目标： 目标一：理想权重偏差度最小

5



Min

d

i1

(ii)5

p2

（6.1)

目标二：所选权重所确定的评奖办法使得平均获奖覆盖最高

Cover

Max

i

i



()i

nN

1

（6.2)

6.3.3 约束分析 

约束一：权重向量各分量之和为1。





i

1i1,2,3,4,5

（6.3)

约束二：权重向量各分量非负。

i0

i1,2,3,4,5

（6.4)

6.3.4 模型的建立

根据6.3.2和6.3.3的分析，综合（6.1）~（6.4），建立权重优化模型如下：

5



Min

d

i1

(ii)5

p2



Max

i



Coveri()

nN

1

i



i1S.T.



0i

i1,2,3,4,5

i1,2,3,4,5

符号说明：

d：理想权重偏差度； 

：五维权重向量，各分量代表各指标权重； 

i：权重向量的第i个坐标分量； ip：理想向量p的第i个坐标分量；



Coverj()：使用权重向量时第j组学生数据评奖结果的获奖覆盖率； n：实际获奖人数； N：班级总人数。

6.4 权重优化模型的求解

6.4.1求解的方法

1、多目标转化为单目标

我们将覆盖率转化为约束，以理想权重偏差度最小为目标进行求解。

2、初解设置，和趋近步长设置

利用层次分析法降低综合成绩在综合奖学金中的评定比重得出符合覆盖率 

p

要求的初解，然后设置初解和理想解的步长差距为(0)/m，然后以每

次的距离趋近理想解，没趋近一次对当前解的约束进行检验，若满足约束继

续趋近，不满足约束当前解减去一个即为最优解，m的大小反应了趋近的速率，针对本问本文我们设置m=100。

注：因为单项奖学金针对综合成绩，导致重复获奖的因素主要在于综合成绩突出的学生在综合奖学金评定中的重复，故适当降低综合成绩在综合分计算中的比重。

3、通过对计算机模拟学生数据评奖检测约束

对某一组学生信息的评奖结果来判断一个评价方法得出的结论不具有普适性，所以我们通过计算机模拟生成50组数据通过对50组学生数据评奖结果覆盖率的平均情况来检查所采用的权值比例是否符合覆盖率的条件。

6.4.2 求解的步骤 第一步：利用层次分析法降低综合成绩比重计算得出权重初解并计算趋近步 

长(p0)/m。 

第二步：当前解向量附加一个趋近步长。

50

第三步：利用计算机模拟的50组成绩计算平均覆盖率Cover

Cover

i1

i

()

50

。



第四步：若当前解的平均覆盖率Cover满足要求那么返回第二步，否者返回





即为最终解。

6.4.3 求解结果

用matlab编程（代码见附录）对学生数据各项成绩进行模拟，并编程对最优权值进行求解，最后解得在满足获奖覆盖率大于31%的约束下理想权重偏差度最小的各项评奖指标的权值分如下：

6.4.4结果的分析与评价 

最终解所确定的评奖方法对五十组模拟数据进行评奖，平均获奖覆盖率为：31.32%。 

理想权重p所确定的评奖方法对五十组模拟数据进行评奖，平均获奖覆盖率为：28.87%。

该组权重相对理想权重的获奖率有明显的提高，并且该组权重在保证一定获奖覆盖率的前提下是对理想权重的一组最优趋近解，据此我们可以认为该组权重所确定的奖学金评定方法在激励更多的同学下的目标下又很好的体现了学校希望实现的培养目标。

七、问题三

7.1 综合奖学金的评定方案的确立

根据6.1.2综合奖学金的评定方法，以及结合6.3.2的各指标权重求解结果，针对题目所要求的参评学生信息确立综合奖学金评定方案。方案如下：

综合分的计算公式：

q



i

ai

i1,2,3,4,5

ai:第i项指标的归一化后的数据

说明： i为

1,2,3,4,5分别对应指标综合成绩，卫生，学生工作，获奖情况，民主投票。

7.2 问题要求中班级的综合奖学金评奖评定

结合问题三的要求，利用7.1给出的评定方法，我们对题目所要求的参评学生信息的进行综合奖学金的评定，评定结果如下：

表7.1综合分排名

八、奖学金评定说明

为了加强培养和提高大学生的综合素质、综合能力，激励学生努力学习，鼓励学生参加各种活动，根据〈〈大学生本科教育规范〉〉，并结合该校实际情况特制定此奖学金评定说明。

8.1 评定奖学金的基本条件

1.所有考试课成绩不能低于70分，否则，取消奖学金评定资格；

2.所有考查课必须至少达到合格的标准，否则，取消奖学金评定资格； 3.学期内未受到纪律处分。

8.2 奖项设置

1.综合奖学金：一等奖1名，二等奖3名，三等奖5名（综合分前9名)； 2.成绩优异奖：3名（综合成绩前3名）。

8.3 综合成绩计算方法

综合成绩=

25

 指标一+

415

 指标二+

15

 指标三+

215

 指标四

（1） 指标一是指学分高于3.0的考试课的综合成绩，指标二是指学分低于 3.0 的考试课的综合成绩，指标三是指学分高于3.0的考查课的综合成绩，指标四是指学分低于3.0的考查课的综合成绩。

其中考查课的成绩已进行如下过量化处理：

优秀90

分 良好80分 中等70分

（2）各个指标的综合成绩计算方式是一致的，具体公式如下：

属于指标指标i综合成绩=

i的课程课程相应学分

属于指标i的课程的总学分

8.4 综合分计算方法

综合分0.28成绩分0.05卫生分0.22工作分0.35竞赛分0.1投票分

成绩得分，卫生得分，工作得分，竞赛得分以及投票得分均是最终数据量化和数据归一化后的得分:

成绩得分=

综合成绩100

卫生得分=

100卫生扣分

100得票数参与投票总人数

投票得分=

工作得分以及竞赛得分以表的形式给出

（注：如果身兼两职，则对相应等级进行累加处理）

获奖情况 校二、三校一等 省二、三省一等 国家二、国家一

等 等 三等 等

8.5 评定依据

8.5.1 综合奖学金评定依据

为了兼顾学校培养计划指标以及整体获奖覆盖率，鼓励同学积极参与科研、竞赛、文体活动，参与各项组织工作，以提高同学的各方面的综合素质，在综合奖学金的评定中，我们削弱了成绩的影响因素，而提高了竞赛、工作在综合评定中的比重，以更好的选拔综合型人才。

8.5.2 成绩优异奖评定依据

由于大学依然是以学习为主，为此，我们仅以课程综合成绩为唯一的指标，设定成绩优异奖，以鼓励同学认真进行专业课程学习，使同学更好地掌握专业知识。由此培养出优秀的专业型人才。

8.6 奖学金评定方法的评价

在高校综合奖学金的评定过程中，我们引入了成绩优异奖这一单项奖学金的评定，旨在给予综合奖学金的评定在奖学金系统中的具体定位，避免其与单项奖学金的重复评奖，从更加客观的角度、更深的层次体现了综合奖学金评定的科学性和合理性。

九、模型的推广与改进

9.1 模型的推广

在第二问模型的建立中，我们综合运用多目标规划以及数据模拟，建立了一个优化模型，最终给出了每一个因素的权重。与主观直接赋权和层次分析赋权法相比，优化模型的引入使得最终得到的结果更加客观、合理。这样的思想将优化模型与评价模型一定程度地结合在一起，给出了确定因素权值的新方法。在建立需要确定因素权值的模型时，可以通过综合运用各种主、客观的方法和我们的模型优化法来确定最终因素的权值。

9.2 模型的改进

由于在高校奖学金系统中，不仅只有综合奖学金和一个单项奖学金，所以在第二问中，我们建立的优化模型是有一定的局限性的。一旦增加单项奖学金的数目或者增加其他奖学金的评定，那么奖学金的覆盖率约束等将发生不同程度上的变化，导致最终优化模型的结果不唯一。所以在奖学金评定过程中，我们只能针对特定的目标（需要评定的奖学金全部列出），给出特定的优化模型。这样的优化模型的普适性很差。如果能打破这一约束，使得在确定因素权值时，我们的优化模型具有更好的普遍应用性，那么将是一个不小的突破。

鉴于此，我们在建立优化模型时，将对于奖学金的覆盖率约束等条件进行逐步地放宽，直到达到优化模型的普适性良好，且最终结果依然客观、合理的程度。

十、参考文献

[1]秦寿康，《综合评价原理与应用》 电子工业出版社，四川，2003 [2]姜启源 谢金星，《数学模型》 高等教育出版社，北京，2004 [3]郭亚军，《综合评价方法、理论及应用》 科学出版社，四川，2007 [4]韩中庚，《数学建模方法及其应用》 高等教育出版社，北京，2006

十一、附录

附录一 数据模拟代码 附录二 优化求解代码

附录三 附录一二中所用到的自定义函数

附录一 数据模拟代码

stu=cell(50,1); kkk=1; for k=1:500;

student=zeros(14,6);

p0=[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14]; p0=p0';

p1=round(unifrnd(70,100.499,[14,1]))/100; p2=round(unifrnd(0,100.499,[14,1]))/100; p5=round(unifrnd(0,100.499,[14,1]))/100;

p3=zeros(14,1);

a1=round(unifrnd(0.5001,14.4999)); p3(a1)=0.5; a2=round(unifrnd(0.5001,14.4999)); p3(a2)=0.3; a3=round(unifrnd(0.5001,14.4999)); p3(a3)=0.2; a4=round(unifrnd(0.5001,14.4999)); p3(a4)=0.2;

p4=zeros(14,1);

a1=round(unifrnd(0.5001,14.4999)); p4(a1)=p4(a1)+0.2; a2=round(unifrnd(0.5001,14.4999)); p4(a2)= p4(a2)+0.2; a3=round(unifrnd(0.5001,14.4999)); p4(a3)=p4(a3)+0.2; a4=round(unifrnd(0.5001,14.4999)); p4(a4)=p4(a4)+0.2; a5=round(unifrnd(0.5001,14.4999)); p4(a5)=p4(a5)+0.2; a6=round(unifrnd(0.5001,14.4999)); p4(a6)=p4(a6)+0.2; a7=round(unifrnd(0.5001,14.4999)); p4(a7)=p4(a7)+0.4; a8=round(unifrnd(0.5001,14.4999)); p4(a8)=p4(a8)+0.4; a9=round(unifrnd(0.5001,14.4999)); p4(a9)=p4(a9)+0.4; a10=round(unifrnd(0.5001,14.4999)); p4(a10)=p4(a10)+0.2;

for i=1:14

student(i,1)=p0(i,1); end

for i=1:14

student(i,2)=p1(i,1); end

for i=1:14

student(i,3)=p2(i,1);

end

for i=1:14

student(i,4)=p4(i,1); end

for i=1:14

student(i,5)=p3(i,1); end

for i=1:14

student(i,6)=p5(i,1); end

cover2=judge222(student,a); %对数据合理性进行判断 cover1=judge222(student,aa); if cover2>0.3 && cover1

附录二 优化求解代码

a=[0.271,0.049,0.236,0.355,0.088]; %初始解 aa=[0.346,0.039,0.112,0.346,0.157]; %理想解 aaa=(aa-a)/100; %步长 ii=0;

while 1

ii=ii+1;

cover=zeros(50,1);

for j=1:50;

[p,q,cover(j,1)]=judge222(stu{j,1},a+aaa*ii); end

coverAVE=mean(cover,1);

if coverAVE

附录三 附录一二中所用到的自定义函数

function [ A ] = T_SORT( A ,n , p ) % 排序函数 % T_SORT( A ,n , p ) % A 根据第n行排序 % p=1升序，2 降 % powered_BY_* SIZE=size(A); if p==1

[xx,idx]=sort(A(n,:)); for i=1:SIZE(1) A(i,:)=A(i,idx); end

elseif p==2

[xx,idx]=sort(A(n,:),'descend'); for i=1:SIZE(1) A(i,:)=A(i,idx); end end

function [m,mm,cover] = judge222( MM ,a ) %求覆盖率函数 覆盖率为参数cover n=size(MM,1); for i=1:n

m(i,2)=a(1)*MM(i,2)+ a(4)*MM(i,5)+a(5)*MM(i,6); m(i,1)=MM(i,1); mm(i,1)=MM(i,1); mm(i,2)=MM(i,2); end

m=(T_SORT(m',2,2))'; mm=(T_SORT(mm',2,2))'; b=zeros(9,1); for j=1:9

b(j,1)=m(j,1); end

for k=1:3 work=1;

for j=1:9

if mm(k,1)==b(j,1) work=0;break end end

if work==1

b(length(b)+1)=mm(k,1); end

end

cover=length(b)/32; end

a(2)*MM(i,3)+a(3)*MM(i,4)+