楚雄师范学院
题 目 奖助学金分配模型
2013年8月14日
奖助学奖分配模型
摘要：奖助学金的分配问题，先用相对不公平度来检验问题所给出方案的相对不公平度，再采用比例法和最大Q 值法，将总名额分别分配给三个系，这样可以保证总名额数分配给三个系是相对比较公平的。即便某一种奖学金名额分配存在问题，但是我们总能保证分配给各系的总名额是相对公平合理的。同时，为了是结果的准确性，在根据各类奖助学金的名额数分配到各个系，保证各类奖助学金能相对公平的分配到各个系。
关键字：相对不公平度
Q值法 奖助学金分配 比例法 MATLAB
一 问题重述
某校有甲、乙、丙三个系学生分别为437人，636人，816人，某一学年学
个合理的分配方案。
二 问题分析
该问题属于典型的分配问题，对于此类问题我们在模型中先计算出相对不公平度来检验题目中的方案是否公平，在采用比例法、Q 值法进行求解和分析，运用Matlab 计算可得出各系分配所得名额的总体情况。
三 模型假设
1．假设题目所给的数据真实可靠；
2．假设各系都具有符合各评选条件的学生；
3．假设所有的相对不公平度最小时，便视为分配结果公平； 4．假设上文求解的结果对下文都可以利用且视为真实可靠的。
四 符号说明
1. p i 表示各系固定人数
2. n i 表示各系分配名额 3. r i 表示各系的相对不公平度
4. S 表示某校总学生数 5. N j 表示各种奖助学金名额 6. q i 表示各系学生人数的比例 7. m i 表示各系比例分配名额 8. R i 是m i 取整，表示i 系分到的名额
9. k 表示未分配完的名额，i=1,2,3分别表示甲乙丙系，j=1,2,3,4,分别表示国家奖学金，国家一等助学金，国家二等助学金，省政府奖学金
五 模型的建立与求解
(一) 相对不公平度
设
p i 表示各系固定人数，n i 表示各系分配名额，r i 表示各系的相对不公平
度。(i=1,2,3分别表示甲乙丙系)
若p 1/n 1>p i /n i ，i=2,3，则甲系的的相对不公平度
r 1=
p 1/n 1-p i /n i
，i=2,3
p i /n i
若p 2/n 2>p i /n i ，i=1,3，则乙系的的相对不公平度
r 1=
p 2/n 2-p i /n i
，i=1,3
p i /n i
若p 3/n 3>p i /n i ，i=1,2，则甲系的的相对不公平度
r 3=
p 3/n 3-p i /n i
，i=1，2
p i /n i
根据已知条件得p 1/n 1=2. 89，p 2/n 2=2. 92，p 3/n 3=2. 90 故甲乙两系奖助学金总名额相比较，对乙的相对不公平度r 21=0. 0104； 甲丙两系奖助学金总名额相比较，对丙的相对不公平度r 31=0. 0035； 乙丙两系奖助学金总名额相比较，对乙的相对不公平度r 23=0. 0069 （二）比例法模型 1、模型建立
设S 表示某校总学生数，N j 表示各种奖助学金名额，
p i 表示各系固定人数，n i 表示各系
分配名额，q i 表示各系学生人数的比例，m i 表示各系比例分配名额。(i=1,2,3分别表示甲乙丙系，j=1,2,3,4,分别表示国家奖学金，国家一等助学金，国家二等助学金，省政府奖学金) 其中，
q i =
p i
，m i =q i ⨯N j ，n i ≈m i （m i 四舍五入后的取值） S
2、模型求解
根据模型建立中的公式分别计算出奖助学金总名额和各类助学金名额分配到各个系的名额如表一和表二。
表二是各系各种奖助学金的名额和总金额。
（三）Q 值法模型 1、模型建立
设R i 是m i 取整，表示i 系分到的名额，k 表示未分配完的名额。 用Q 值法来衡量是否公平：如果两个数相等，它们的比值是1。即如果
p j p i p j p
=，则(i ) /() =1，（i,j=1,2,3，i,j 不能同时相等）。并且上述比值越i j i j
大，对i 来说，这种分配方案就越不公平。用(
p i p j
) /() =1作为衡量i 不公平的值。R i R j
假定把名额给j ，计算i 的不公平程度，然后假定把名额给i ，计算j 的不公平程度。我们的分配方案将使不公平程度最低。
在这种情况下，当(
p j p j p p ) /(i )
(p j ) 2(p i ) 2
>化，我们可得到：当时，j 获得额外名额。记：
R i (R i +1) R j (R j +1)
(p i ) 2
Q i =
R i (R i +1)
则把名额分配给Q 大的一方。
将该方法推广到n 个专业的名额分配情况。设各专业分配的人数R i 已经确定，当再增加1名额时，计算各专业的Q 值。其中Q 值为：
(p i ) 2
Q i =, i =1, 2, 3
R i (R i +1)
将该名额分配给Q 值最大的一方，这样可使造成的不公平程度最小。 2、模型求解
用MATLAB 求解（程序见附录），得下列数据： 输入名额的总数650 p =650
各系分配名额：150 219 281
输入名额的总数5 p = 5
各系分配名额： 1 2 2
输入名额的总数220 p = 220
各系分配名额：51 74 95
输入名额的总数418 p = 418
各系分配名额：97 141 180
输入名额的总数7 p = 7
各系分配名额： 2 2 3
若按奖助学金的总名额来来分配，甲乙丙各系分别有150、219、281个名额。
若按奖助学金的种类来分配，国家奖学金分配到甲乙丙各系的名额分别为1,2,2人；国家一等助学金分配到甲乙丙各系的名额分别为51,74,95人；国家二等助学金分配到甲乙丙各系的名额分别为97,141,180人；省政府奖学金分配到甲乙丙各系的名额分别为2,2,3人。
六、学模型评价
模型的优点：
模型采用最大Q 值法，将总名额分别分配给三个系，这样可以保证总名额数分配给三个系是相对比较公平的。即便某一种奖学金名额分配存在问题，但是我
们总能保证分配给各系的总名额是相对公平合理的。同时，为了是结果的准确性，在根据各类奖助学金的名额数分配到各个系，保证各类奖助学金能相对公平的分配到各个系。 模型的缺点：
模型中计算相对不公平度时只计算出了总名额的相对不公平度，没有把各类奖助学金分配名额的不公平度计算出来。建立比例法模型与Q 值法模型采取的方法相对比较科学，但模型求解结果并不完善，模型中不同种类奖学金在现实生活中存在不科学性，同时观察程序分配后的数据发现在份额越小的情况下，相差较少人数的不同系可能分到的名额却具有较大的差异。
参考文献
[1] 姜启源、谢金星、叶俊 数学模型 [M].北京：清华大学出版社，2003,08； [1] 谢金星、薛毅、优化模型与LINGO/LINGO软件 [M].北京：清华大学出版社；
[2] 岳林, 关于Q 值法的一种新定义[J]系统工程1995 13（4）：70-72； [3] 华勇, 实用数学建模与软件应用第1版. 西北工业大学出版社，2008； [4] 姜启源, 数学模型第3版. 高等教育出版社,2003；
[5] Ishizuka Y, AiyoshiE. Double penalty method for bilevel optimization problems. Annals of Operations Research, 24: 73- 88，1992。
附件
模型一的求解程序： >> clc;clear
a=[437,636,816]; n=length(a);
p=input('输入名额的总数') S=sum(a); x=ones(1,n); Q=zeros(1,n); L=sum(x); while (L
Q(i)=a(i)^2/(x(i)*(x(i)+1)); end
[u,k]=max(Q); x(k)=x(k)+1; L=L+1; end
fprintf('各系分配名额：') for i=1:n
fprintf('%2d\n',x(i)); end
fprintf('\n');
楚雄师范学院
题 目 奖助学金分配模型
2013年8月14日
奖助学奖分配模型
摘要：奖助学金的分配问题，先用相对不公平度来检验问题所给出方案的相对不公平度，再采用比例法和最大Q 值法，将总名额分别分配给三个系，这样可以保证总名额数分配给三个系是相对比较公平的。即便某一种奖学金名额分配存在问题，但是我们总能保证分配给各系的总名额是相对公平合理的。同时，为了是结果的准确性，在根据各类奖助学金的名额数分配到各个系，保证各类奖助学金能相对公平的分配到各个系。
关键字：相对不公平度
Q值法 奖助学金分配 比例法 MATLAB
一 问题重述
某校有甲、乙、丙三个系学生分别为437人，636人，816人，某一学年学
个合理的分配方案。
二 问题分析
该问题属于典型的分配问题，对于此类问题我们在模型中先计算出相对不公平度来检验题目中的方案是否公平，在采用比例法、Q 值法进行求解和分析，运用Matlab 计算可得出各系分配所得名额的总体情况。
三 模型假设
1．假设题目所给的数据真实可靠；
2．假设各系都具有符合各评选条件的学生；
3．假设所有的相对不公平度最小时，便视为分配结果公平； 4．假设上文求解的结果对下文都可以利用且视为真实可靠的。
四 符号说明
1. p i 表示各系固定人数
2. n i 表示各系分配名额 3. r i 表示各系的相对不公平度
4. S 表示某校总学生数 5. N j 表示各种奖助学金名额 6. q i 表示各系学生人数的比例 7. m i 表示各系比例分配名额 8. R i 是m i 取整，表示i 系分到的名额
9. k 表示未分配完的名额，i=1,2,3分别表示甲乙丙系，j=1,2,3,4,分别表示国家奖学金，国家一等助学金，国家二等助学金，省政府奖学金
五 模型的建立与求解
(一) 相对不公平度
设
p i 表示各系固定人数，n i 表示各系分配名额，r i 表示各系的相对不公平
度。(i=1,2,3分别表示甲乙丙系)
若p 1/n 1>p i /n i ，i=2,3，则甲系的的相对不公平度
r 1=
p 1/n 1-p i /n i
，i=2,3
p i /n i
若p 2/n 2>p i /n i ，i=1,3，则乙系的的相对不公平度
r 1=
p 2/n 2-p i /n i
，i=1,3
p i /n i
若p 3/n 3>p i /n i ，i=1,2，则甲系的的相对不公平度
r 3=
p 3/n 3-p i /n i
，i=1，2
p i /n i
根据已知条件得p 1/n 1=2. 89，p 2/n 2=2. 92，p 3/n 3=2. 90 故甲乙两系奖助学金总名额相比较，对乙的相对不公平度r 21=0. 0104； 甲丙两系奖助学金总名额相比较，对丙的相对不公平度r 31=0. 0035； 乙丙两系奖助学金总名额相比较，对乙的相对不公平度r 23=0. 0069 （二）比例法模型 1、模型建立
设S 表示某校总学生数，N j 表示各种奖助学金名额，
p i 表示各系固定人数，n i 表示各系
分配名额，q i 表示各系学生人数的比例，m i 表示各系比例分配名额。(i=1,2,3分别表示甲乙丙系，j=1,2,3,4,分别表示国家奖学金，国家一等助学金，国家二等助学金，省政府奖学金) 其中，
q i =
p i
，m i =q i ⨯N j ，n i ≈m i （m i 四舍五入后的取值） S
2、模型求解
根据模型建立中的公式分别计算出奖助学金总名额和各类助学金名额分配到各个系的名额如表一和表二。
表二是各系各种奖助学金的名额和总金额。
（三）Q 值法模型 1、模型建立
设R i 是m i 取整，表示i 系分到的名额，k 表示未分配完的名额。 用Q 值法来衡量是否公平：如果两个数相等，它们的比值是1。即如果
p j p i p j p
=，则(i ) /() =1，（i,j=1,2,3，i,j 不能同时相等）。并且上述比值越i j i j
大，对i 来说，这种分配方案就越不公平。用(
p i p j
) /() =1作为衡量i 不公平的值。R i R j
假定把名额给j ，计算i 的不公平程度，然后假定把名额给i ，计算j 的不公平程度。我们的分配方案将使不公平程度最低。
在这种情况下，当(
p j p j p p ) /(i )
(p j ) 2(p i ) 2
>化，我们可得到：当时，j 获得额外名额。记：
R i (R i +1) R j (R j +1)
(p i ) 2
Q i =
R i (R i +1)
则把名额分配给Q 大的一方。
将该方法推广到n 个专业的名额分配情况。设各专业分配的人数R i 已经确定，当再增加1名额时，计算各专业的Q 值。其中Q 值为：
(p i ) 2
Q i =, i =1, 2, 3
R i (R i +1)
将该名额分配给Q 值最大的一方，这样可使造成的不公平程度最小。 2、模型求解
用MATLAB 求解（程序见附录），得下列数据： 输入名额的总数650 p =650
各系分配名额：150 219 281
输入名额的总数5 p = 5
各系分配名额： 1 2 2
输入名额的总数220 p = 220
各系分配名额：51 74 95
输入名额的总数418 p = 418
各系分配名额：97 141 180
输入名额的总数7 p = 7
各系分配名额： 2 2 3
若按奖助学金的总名额来来分配，甲乙丙各系分别有150、219、281个名额。
若按奖助学金的种类来分配，国家奖学金分配到甲乙丙各系的名额分别为1,2,2人；国家一等助学金分配到甲乙丙各系的名额分别为51,74,95人；国家二等助学金分配到甲乙丙各系的名额分别为97,141,180人；省政府奖学金分配到甲乙丙各系的名额分别为2,2,3人。
六、学模型评价
模型的优点：
模型采用最大Q 值法，将总名额分别分配给三个系，这样可以保证总名额数分配给三个系是相对比较公平的。即便某一种奖学金名额分配存在问题，但是我
们总能保证分配给各系的总名额是相对公平合理的。同时，为了是结果的准确性，在根据各类奖助学金的名额数分配到各个系，保证各类奖助学金能相对公平的分配到各个系。 模型的缺点：
模型中计算相对不公平度时只计算出了总名额的相对不公平度，没有把各类奖助学金分配名额的不公平度计算出来。建立比例法模型与Q 值法模型采取的方法相对比较科学，但模型求解结果并不完善，模型中不同种类奖学金在现实生活中存在不科学性，同时观察程序分配后的数据发现在份额越小的情况下，相差较少人数的不同系可能分到的名额却具有较大的差异。
参考文献
[1] 姜启源、谢金星、叶俊 数学模型 [M].北京：清华大学出版社，2003,08； [1] 谢金星、薛毅、优化模型与LINGO/LINGO软件 [M].北京：清华大学出版社；
[2] 岳林, 关于Q 值法的一种新定义[J]系统工程1995 13（4）：70-72； [3] 华勇, 实用数学建模与软件应用第1版. 西北工业大学出版社，2008； [4] 姜启源, 数学模型第3版. 高等教育出版社,2003；
[5] Ishizuka Y, AiyoshiE. Double penalty method for bilevel optimization problems. Annals of Operations Research, 24: 73- 88，1992。
附件
模型一的求解程序： >> clc;clear
a=[437,636,816]; n=length(a);
p=input('输入名额的总数') S=sum(a); x=ones(1,n); Q=zeros(1,n); L=sum(x); while (L
Q(i)=a(i)^2/(x(i)*(x(i)+1)); end
[u,k]=max(Q); x(k)=x(k)+1; L=L+1; end
fprintf('各系分配名额：') for i=1:n
fprintf('%2d\n',x(i)); end
fprintf('\n');