策, H 代表这种决策的某种状态, 损失函数L 具有非负性. 除此之外, 还得了解D 的各种状态H , 所有的各种状态互不相容, 构成了样本空间的一种划分, 并对各种状态H 发生的概率P (H ) 都要做出正确的估计, 这样就可以建立决策函数的数学模型R (D ) . 决策函数R (D ) 的值越小, 说明D 代表的决策风险就越小.
要建立风险意识, 风险小的事情可以去做, 风险大的事情不要去做, 否则要冒风险. 但是还应当注意到在经济生产实践中往往风险与收益成正比, 风险大收益也大, 所以应当在能够承担的风险限度中追求收益的最大化.
建立数学模型时除了使用课本的例子外, 还可以就学生所关心的问题来建立数学模型, 切实地解决问题, 这样的教学效果就更好. 3 组织学生自己进行风险分析与决策实践
掌握了风险与决策这一专题的基本知识以后, 应当组织学生进行实践, 每个学生都要对自己选择的风险问题进行分析决策实践, 可以将实践的结果写成一篇小论文, 按问题的类型分组进行交流讨论. 将学到的知识应用于实践, 学生能够亲身体会数学知识的作用和力量, 并从自己的实践中提高应用数学的能力, 分析问题和解决问题的能力. 4 对这一专题学习的评价的探讨
由于这一专题的学习方式是实践、理论、再实践, 因此要注重对学生学习过程的评价, 比如参与数学活动的积极性、自信心、合作交流的意识、独立思考的习惯、数学语言的表达能力、反思等. 还要恰当地对学生基础知识与基本技能的评价, 重点应当考查能否在具有现实意义的背景中应用本专题的基础知识与技能, 是否具有风险意识.
参考文献
[1] 严士健、张奠宙、王尚志主编. 普通高中数学课程 标准（实验）解读. 江苏教育出版社.2004.4.
球内接多面体的1号心及性质
湖南沅陵一中 周永国
全文约定, 符号Ω(n ) 表示内接于球(球心为O , 半径为R ) 的任意一个多面体, 这个多面体的顶点为A 1, A 2, L , A n . 从多面体Ω(n ) 的n 个顶点中任意除去两个顶点A j 和A m , 其余n −2个顶点组成的集合, 称为Ω(n ) 的二级顶点子集, 记作B jm (1≤j
本文用解析法, 建立了多面体1号心的概念, 并探讨了它的性质.
定义 以多面体Ω(n ) 的外心O 为原点, 建立空间直角坐标系, 设Ω(n ) 的顶点A 1的坐标为(x i , y i , z i )(i =1,2, L , n ) , 令
x H =∑i =1x i , y H =∑i =1y i , z H =∑i =1z i . ① 则称点H (x H , y H , z H ) 为Ω(n ) 的1号心, 当n =3时, H 即为△ABC 的垂心([1]).
定理1设多面体Ω(n ) 的二级顶点子集B jm 的1号心为H jm , 过点H jm 作与直线A j A m 垂直的平面πjm , 则诸平面πjm (1≤j
证明 以Ω(n ) 的外心O 为原点, 建立空间直角坐标系, 设顶点A 1的坐标为(x i , y i , z i )(i = 1,2, L , n ) , 点H 的坐标为(x H , y H , z H ) , 点H jm 的坐标为(x , y , z ) , 则由定义可知
x =∑i =1x i −x j −x m , y =∑i =1y i −y j −y m , z =∑i =1z i −z j −z m . ② 依题意, 平面πjm 通过点H jm 且垂直于直线A j A m , 易知平面πjm 的方程为
(x −x )(x j −x m ) +(y −y )(y j −y m ) +(z −z )(z j −z m ) =0. ③ 由于顶点A j , A m 都在Ω(n ) 外接球(球心为O , 半径为R ) 上, 可知
222222
x 2j +y j +z j =R =x m +y m +z m . ④
・21・
n n
n
n
n
n
于是, 在③中取x =x H , y =y H , z =z H . 并注意到①, ②, ④式, 可得
③式左边=(x j +x m )(x j −x m ) +(y j
+y m )(y j −y m ) +(z j +z m )(z j −z m )
22222
=(x 2j +y j +z j ) −(x m +y m +z m ) =0.
2
≤n ) , 则H jm H 2+A j A m =4R 2.
证明 以Ω(n ) 的外心O 为原点, 建立空间直角坐标系, 设顶点A i 的坐标为(x i , y i , z i )(i = 1,2, L , n ) , 点H 的坐标为(x H , y H , z H ) , 点H jm 的坐标为(x , y , z ) , 则由两点间距离公式可得 H jm H 2=(x H −x ) 2+(y H −y ) 2+(z H −z ) 2
=(x j +x m ) 2+(y j +y m ) 2+(z j +z m ) 2,
2A j A m =(x j −x m ) 2+(y j −y m ) 2+(z j −z m ) 2,
这表明, 点H 的坐标满足方程③, 所以平
面πjm 通过点H . 命题得证.
定理2 设多面体Ω(n ) 的1号心为H , 过点H 作平面πjm (1≤j
仿定理1的证法易证定理2(证明略). 定理3 设多面体Ω(n ) 的1号心为H , 其二级顶点子集B jm 的1号心为H jm (1≤j
直线HH jm 的方程为: x −x H −x H
=y −y H −y H
=z −z H −z H
,
注意到④式, 得
2
H jm H 2+A j A m
222222=2(x 2j +y j +z j ) +2(x m +y m +z m ) =4R .
证毕.
定理5 设多面体Ω(n ) 的1号心为H , 其二级顶点子集B jm 的1号心为H jm (1≤j
H jm H =2OM jm .
证明 由定理4可知
2
H jm H 2=4R 2−A j A m . ⑤ 又依题设, 在△OA j A m 中有, OA j =OA m = R , 且OM jm 是底边上的中线. 于是, 由三角形的中线长公式可知
222
4OM 2jm =2(OA j +OA m ) −A j A m
2
=4R 2−A j A m . ⑥
直线A j A m 的方程为:
x −x m y −y m z −z m
==.
x j −x m y j −y m z j −z m
由①, ②, ④有
(x j −x m )(x H −x ) +(y j −y m )(y H −y )
+(z j −z m )(z H −z )
=(x j −x m )(x j +x m ) +(y j −y m )(y j +y m )
+(z j −z m )(z j +z m )
22222
=(x 2j +y j +z j ) −(x m +y m +z m ) =0.
比较⑤, ⑥可知, H jm H 2=4OM 2jm . 所以, H jm H =2OM jm . 证毕.
参考文献
[1] 熊曾润. 平面闭折线趣谈[M].中国工人出版社, 2002年4月.
[2] 熊曾润. 七谈圆内接闭折线垂心的性质[J].福建中 学数学,2003(7):15～16.
[3] 周永国. 四面体的k 号心及其性质[J].数学通讯, 2003(17):32～33.
[4] 姚建华, 周永国. 多面体的两个性质[J].数学通讯. 2002(7):35～36.
这表明, 直线HH jm 垂直于直线A j A m . 命题得证.
定理4 设多面体Ω(n ) 的1号心为H , 其二级顶点子集B jm 的1号心为H jm (1≤j
・22・
策, H 代表这种决策的某种状态, 损失函数L 具有非负性. 除此之外, 还得了解D 的各种状态H , 所有的各种状态互不相容, 构成了样本空间的一种划分, 并对各种状态H 发生的概率P (H ) 都要做出正确的估计, 这样就可以建立决策函数的数学模型R (D ) . 决策函数R (D ) 的值越小, 说明D 代表的决策风险就越小.
要建立风险意识, 风险小的事情可以去做, 风险大的事情不要去做, 否则要冒风险. 但是还应当注意到在经济生产实践中往往风险与收益成正比, 风险大收益也大, 所以应当在能够承担的风险限度中追求收益的最大化.
建立数学模型时除了使用课本的例子外, 还可以就学生所关心的问题来建立数学模型, 切实地解决问题, 这样的教学效果就更好. 3 组织学生自己进行风险分析与决策实践
掌握了风险与决策这一专题的基本知识以后, 应当组织学生进行实践, 每个学生都要对自己选择的风险问题进行分析决策实践, 可以将实践的结果写成一篇小论文, 按问题的类型分组进行交流讨论. 将学到的知识应用于实践, 学生能够亲身体会数学知识的作用和力量, 并从自己的实践中提高应用数学的能力, 分析问题和解决问题的能力. 4 对这一专题学习的评价的探讨
由于这一专题的学习方式是实践、理论、再实践, 因此要注重对学生学习过程的评价, 比如参与数学活动的积极性、自信心、合作交流的意识、独立思考的习惯、数学语言的表达能力、反思等. 还要恰当地对学生基础知识与基本技能的评价, 重点应当考查能否在具有现实意义的背景中应用本专题的基础知识与技能, 是否具有风险意识.
参考文献
[1] 严士健、张奠宙、王尚志主编. 普通高中数学课程 标准（实验）解读. 江苏教育出版社.2004.4.
球内接多面体的1号心及性质
湖南沅陵一中 周永国
全文约定, 符号Ω(n ) 表示内接于球(球心为O , 半径为R ) 的任意一个多面体, 这个多面体的顶点为A 1, A 2, L , A n . 从多面体Ω(n ) 的n 个顶点中任意除去两个顶点A j 和A m , 其余n −2个顶点组成的集合, 称为Ω(n ) 的二级顶点子集, 记作B jm (1≤j
本文用解析法, 建立了多面体1号心的概念, 并探讨了它的性质.
定义 以多面体Ω(n ) 的外心O 为原点, 建立空间直角坐标系, 设Ω(n ) 的顶点A 1的坐标为(x i , y i , z i )(i =1,2, L , n ) , 令
x H =∑i =1x i , y H =∑i =1y i , z H =∑i =1z i . ① 则称点H (x H , y H , z H ) 为Ω(n ) 的1号心, 当n =3时, H 即为△ABC 的垂心([1]).
定理1设多面体Ω(n ) 的二级顶点子集B jm 的1号心为H jm , 过点H jm 作与直线A j A m 垂直的平面πjm , 则诸平面πjm (1≤j
证明 以Ω(n ) 的外心O 为原点, 建立空间直角坐标系, 设顶点A 1的坐标为(x i , y i , z i )(i = 1,2, L , n ) , 点H 的坐标为(x H , y H , z H ) , 点H jm 的坐标为(x , y , z ) , 则由定义可知
x =∑i =1x i −x j −x m , y =∑i =1y i −y j −y m , z =∑i =1z i −z j −z m . ② 依题意, 平面πjm 通过点H jm 且垂直于直线A j A m , 易知平面πjm 的方程为
(x −x )(x j −x m ) +(y −y )(y j −y m ) +(z −z )(z j −z m ) =0. ③ 由于顶点A j , A m 都在Ω(n ) 外接球(球心为O , 半径为R ) 上, 可知
222222
x 2j +y j +z j =R =x m +y m +z m . ④
・21・
n n
n
n
n
n
于是, 在③中取x =x H , y =y H , z =z H . 并注意到①, ②, ④式, 可得
③式左边=(x j +x m )(x j −x m ) +(y j
+y m )(y j −y m ) +(z j +z m )(z j −z m )
22222
=(x 2j +y j +z j ) −(x m +y m +z m ) =0.
2
≤n ) , 则H jm H 2+A j A m =4R 2.
证明 以Ω(n ) 的外心O 为原点, 建立空间直角坐标系, 设顶点A i 的坐标为(x i , y i , z i )(i = 1,2, L , n ) , 点H 的坐标为(x H , y H , z H ) , 点H jm 的坐标为(x , y , z ) , 则由两点间距离公式可得 H jm H 2=(x H −x ) 2+(y H −y ) 2+(z H −z ) 2
=(x j +x m ) 2+(y j +y m ) 2+(z j +z m ) 2,
2A j A m =(x j −x m ) 2+(y j −y m ) 2+(z j −z m ) 2,
这表明, 点H 的坐标满足方程③, 所以平
面πjm 通过点H . 命题得证.
定理2 设多面体Ω(n ) 的1号心为H , 过点H 作平面πjm (1≤j
仿定理1的证法易证定理2(证明略). 定理3 设多面体Ω(n ) 的1号心为H , 其二级顶点子集B jm 的1号心为H jm (1≤j
直线HH jm 的方程为: x −x H −x H
=y −y H −y H
=z −z H −z H
,
注意到④式, 得
2
H jm H 2+A j A m
222222=2(x 2j +y j +z j ) +2(x m +y m +z m ) =4R .
证毕.
定理5 设多面体Ω(n ) 的1号心为H , 其二级顶点子集B jm 的1号心为H jm (1≤j
H jm H =2OM jm .
证明 由定理4可知
2
H jm H 2=4R 2−A j A m . ⑤ 又依题设, 在△OA j A m 中有, OA j =OA m = R , 且OM jm 是底边上的中线. 于是, 由三角形的中线长公式可知
222
4OM 2jm =2(OA j +OA m ) −A j A m
2
=4R 2−A j A m . ⑥
直线A j A m 的方程为:
x −x m y −y m z −z m
==.
x j −x m y j −y m z j −z m
由①, ②, ④有
(x j −x m )(x H −x ) +(y j −y m )(y H −y )
+(z j −z m )(z H −z )
=(x j −x m )(x j +x m ) +(y j −y m )(y j +y m )
+(z j −z m )(z j +z m )
22222
=(x 2j +y j +z j ) −(x m +y m +z m ) =0.
比较⑤, ⑥可知, H jm H 2=4OM 2jm . 所以, H jm H =2OM jm . 证毕.
参考文献
[1] 熊曾润. 平面闭折线趣谈[M].中国工人出版社, 2002年4月.
[2] 熊曾润. 七谈圆内接闭折线垂心的性质[J].福建中 学数学,2003(7):15～16.
[3] 周永国. 四面体的k 号心及其性质[J].数学通讯, 2003(17):32～33.
[4] 姚建华, 周永国. 多面体的两个性质[J].数学通讯. 2002(7):35～36.
这表明, 直线HH jm 垂直于直线A j A m . 命题得证.
定理4 设多面体Ω(n ) 的1号心为H , 其二级顶点子集B jm 的1号心为H jm (1≤j
・22・