南昌教育学院学报
JOURNA L OF NANCHANG COLL EGE OF EDUCATI ON
第22卷第2期Vo. l 22No . 22007
多面体欧拉公式的历史和方法论
———纪念欧拉诞生300周年
汤彬如
(南昌教育学院 江西南昌 330006)
摘 要:多面体欧拉公式的历史源远流长, 最早猜测到多面体欧拉公式的是笛卡儿, 但他没有证明。后来, 欧拉又重新发现了这个公式, 并第一次证明这个公式, 所以把这个公式称为多面体欧拉公式。后来又有许多数学家重新证明或简化证明。现在, 一般的数学书上用的都是德国数学施陶特的证明。笛卡儿和欧拉发现这个公式, 用的是归纳法和类比法。数学哲学家拉卡托斯用这个公式来论证他的数学发现的逻辑。
关键词:多面体欧拉公式 笛卡儿 归纳法 类比法 数学发现的逻辑
中图分类号:O 156文献标识码:A 文章编号:1008-6757(2007) 02-0018-04
欧拉(1707—1783) 是瑞士数学家, 他出生于瑞士巴塞尔, 长期在普鲁士和俄罗斯生活和工作, 最后长眠在俄罗斯的土地上。今年是欧拉诞生300周年。欧拉生活的18世纪, 是数学史上的英雄时代, 而欧拉就是英雄时代的数学英雄。欧拉在数学史上与阿基米得、牛顿、高斯齐名, 被称为四个最伟大的数学家之一。他学术渊博、创造力旺盛。他在微积分、微分方程、几何、数论、变分法等领域都作出了重大贡献, 至今在几乎每一个数学分支中, 都可以看到欧拉的名字。例如:初等几何的欧拉线、立体解析几何的欧拉变换公式、四次方程的欧拉解法、数论中的欧拉函数、微分方程中的欧拉方程、级数论中的欧拉常数、变分法中的欧拉方程、复变函数论中的欧拉公式等等。欧拉是历史上最多产的数学家, 他撰写的论文和书籍浩如烟海, 被称为“分析的化身”。法国数学家拉普拉斯说:“学习欧拉, 他是我们大家的老师”。在欧拉的所有数学成就中, 最广为人知的, 就是哥尼斯堡七桥问题的解决和多面体欧拉公式的重新发现和证明。多面体欧拉公式意义重大, 多面体欧拉公式及其推广, 是拓扑学的一个中心定理, 是大量几何课题的源泉和出发点。多面体欧拉公式的证明为图论和四色问题的证明提供了有用的研究方法。
一、多面体欧拉公式的历史
多面体欧拉公式的研究, 可以追溯到古希腊。古希腊的毕达哥拉斯学派和柏拉图学派, 都曾对多面体做过许多研究。他们发现了五种正多面体:正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。欧几里得在《几何原本》中曾试图证明只有这五种正多面体, 但没有成功。在很长的历史时期里, 这个问题没有解决。后来, 人们逐渐认识到, 依靠角度、长度、面积等几何量的测量或计算, 这个问题难以解决, 而从多面体的顶点数、棱数和面数的关系入手, 有可能获得成功。
1639年, 笛卡儿考察了五种正多面体顶点数(V )、棱数(E ) 和面数(F ) 的关系, 采用不完全归纳法, 猜测到:顶点数与面数之和减去棱数, 是一个不变量2, 也就是:
收稿日期:2007-04-05
作者简介:汤彬如(1933-), 男, 江西丰城人, 副教授, 主要从事数学哲学和数学史研究。
第22卷 第2期 汤彬如:多面体欧拉公式的历史和方法论———纪念欧拉诞生300周年
V +F -E =2
后来, 他又用一些简单的多面体来验证自己的猜想, 但是没有给出严格的证明, 也没有发表。19
1675年, 莱布尼茨在巴黎阅读笛卡儿的遗作时, 手抄了这篇文章。没过多久, 原稿和手抄本都遗失了, 直到1860年, 人们才重新发现了莱布尼茨的手抄本, 并把它刊印, 但那时欧拉已经逝世七十多年了。
1750年, 欧拉在给哥德巴赫的一封信中, 列举了多面体的一些性质, 其中就有这一性质。1751年, 欧拉给出了这一性质的一个证明。后人称它为多面体欧拉公式。欧拉之所以对这一性质感兴趣, 是要用它来做多面体的分类。但欧拉没有考虑到连续变换下的不变性。
1811年, 法国数学家柯西利用不变量的思想, 重新给出了这个公式的证明。
1813年, 瑞士数学家吕利埃发现欧拉公式并非对任何多面体都成立。例如, 一个正立方体中挖去一个小立方体, 则:
V +F -E =4
如果把小立方体上下都挖通, 则:
V +F -E =0
吕利埃发现了欧拉公式成立的条件, 那就是多面体必须是凸多面体。一个多面体, 如果上面没有“洞”,使得它的表面能连续地变形为一个球面, 就是凸多面体。
证明。
后来, 法国数学家彭加莱(1854—1912) 又用拓扑思想重新考察了多面体的欧拉公式, 认识到这一公式是一个典型的拓扑性质定理。[3][2][1]1847年, 德国数学家施陶特简化了多面体欧拉公式的证明, 现在一般拓扑学课本上都是用施陶特的
二、发现多面体欧拉公式的方法
发现多面体欧拉公式的方法主要是归纳法, 可能还有类比法。拉普拉斯说:“甚至在数学里, 发现真理的主要工具也是归纳和类比。”
归纳法是从观察和实验得来的许多个别的事实材料中推出一般性结论的思维方法。归纳法又分为完全归纳法和不完全归纳法。不完全归纳法的步骤是:观察———归纳———猜想。发现多面体的面数(F ) 顶点数(V ) 和棱数(E ) 之间的关系, 就先从观察入手, 拿几个多面体来, 数一数它们的面数、顶点数和棱数, 列成一个表, 例如
多面体
立方体
三棱锥
六棱锥
六棱柱
于2, 即:
F +V -E =2
但是, 由于数据太少, 靠少量数据得出的公式难以令人信服。可能欧拉还会通过多面体的“生成法”进一步去考虑这个问题。例如, 在四面体或六面体之外, 加一个顶点, 使它和靠近那一面的各个顶点联起来, 作成一个新的多面体。然后, 再考虑F 、V 、E 的变化情况, 结果发现(F +V ) 和E 的增加数相同, 所以公式中F +V -E 的数值保持不变。
一般说来, 设想多面体外增加一点A 和靠近它的那一面(例如有n 个顶点的面) 的各顶点联起来, 这就增加了n 个边, 也就是E 增加了数目n ; 另一方面, 又增加了(n -1) 个面, 外加顶点A 、(F +V ) 的数值也增加了(n -1) +1=n , 因此, (F +V ) -E 总保持不变。可以相信, 欧拉正是通过观察———归纳———猜想才得出多面体欧拉公式的。[4]面数(F ) 6478顶点数(V ) 棱数(E ) [1**********]8 在观察这些特例数据的基础上, 进行归纳, 得出猜想:对于任何多面体来说, 面数加顶点数减棱数等
, ,
20 南昌教育学院学报 2007年 相同或相似之处的一种思维方法。多面体可以和多边形类比, 正如一个多边形是平面的一部分一样, 一个多面体是空间的一部分。一个多边形有确定的顶点数V 和确定的棱数(边数) E , 很显然。
V =E
这个关系式对凸多边形成立。而关系式V +F -E =2适用于一切凸多面体。
多面体是三维的, 它的面(多边形) 是二维的, 它的棱是一维的, 它的顶点是0维的。将多边形顶点和棱的关系式改写成:
V -E +1=1……………(1)
将多体顶点、棱和面的关系式改写成:
V -E +F -1=1…………(2)
等式(1) 对于多边形来说, 显然是正确的。将它与多面体对应的等式(2) 类比, 增加了人们对于这一猜想的信心。[5]
三、拉卡托斯对多面体欧拉公式的数学方法论分析
拉卡托斯(1922—1974) 是英籍匈裔数学哲学家和科学哲学家。他的数学哲学包括三个方面:数学理论的性质是拟经验的; 数学理论发展的模式是证明和反驳; 数学理论的真理性要通过潜在的逻辑证伪者和潜在的启发式证伪者来检验。
他以多面体欧拉公式证明的历史过程为案例, 用师生对话的形式, 写成了他的博士论文《证明和反驳》, 来论证他的数学方法论。他认为, 数学理论不是通过定理数目的单调增加来发展的, 而是根据证明和反驳的逻辑, 不断改进猜想而发展的。数学理论的发展是从问题开始的, 接着是通过大胆的猜想, 提出公理、推演定理去解决问题, 然后是严格的检验与反驳。在这个过程中, 推动数学发展的是大胆的推测,
[6]对立理论之间的争论和问题的转换。也就是说, 他认为数学理论是按照问题———猜想———证明和反驳的
模式发展的。他的数学发现的逻辑可以画成下面的示意图:[7
]
在《证明和反驳》中, 他对多面体欧拉公式V +F -E =2, 是这样进行方法论分析的:
在证明的第一步, 想象多面体是中空的, 表面是橡皮做的。如果割掉多面体的一个面, 将剩下的表面拉平, 而且不把它撕裂, 这时就变成V +F -E =1。
证明的第二步, 是用线段将各个顶点和其它的顶点相连, 由此得到一个三角形组合体。由于添加了对角线, 每加一条对角线, 棱E 和面F 都同时增加1, 棱E 和面F 之间的个数关系不受影响。
证明的第三步, 是一个接着一个移走这些三角形, 直到最后只剩下一个三角形为止。如果移走一个三角形、V 、F 、E 个数之间的关系不会发生变化, 在剩下的最后一个三角形中V +F -E =1。如果把最初移走的放回来, (即开始的图形), 则V +F -E =2。
这个结果是从观察得到的, 证明过程确证了(没有驳倒) 原来的猜想。他认为这个论证有助于数学知识的发展, 这个论证有某种认识论力量。[8]
拉卡托斯的数学发现的逻辑是现代数学方法论研究的一个十分重要的进展。他的数学方法论既是发现, , 。[9]
第22卷 第2期 汤彬如:多面体欧拉公式的历史和方法论———纪念欧拉诞生300周年21
但是, 拉卡托斯的数学方法论也存在着严重的缺陷:他的数学发展的证明和反驳的模式不足以解释所有数学分支的成长。因为数学的发展既有不连续的一面, 又有连续的一面。数学的历史发展是一个辩证的过程。其中既有证伪, 也有证实; 既有否证, 也有积累。因此, 片面地强调数学发展的不连续性, 把它说成是“大胆猜测与戏剧性反驳的历史”是不对的。[10]
拉卡托斯“理性再造”多面体欧拉公式的历史, 只是抓住了个别不成熟的非形式数学理论的不完善之处, 诸如, 某些概念含糊不清、定理表述不严格、定理的有效范围不确定等, 然后过分夸大其可反驳性, 来论证自己的方法论。拉卡托斯的数学发展的证明和反驳的模式, 违背了数学发展的规律。
参考文献:
[1]肖文强:《数学证明》第75—76页, 江苏教育出版社, 1990年版。
[2]柯朗、罗宾:《什么是数学》第244—246页, 复旦大学出版社, 2005年版。
[3]赵振威:《数学发现导论》第387—390页, 安徽教育出版社, 1993年版。
[4]徐利治:《漫谈数学的学习和研究方法》第19—21页, 大连理工大学出版社, 1989年版。
[5]波利亚:《数学与猜想》第45—46页, 科学出版社, 2001年版。
[6]林夏水:《数学哲学》第157页, 商务印书馆, 2003年版。
[7]戴维斯、赫什:《数学经验》第263页, 江苏教育出版社, 1991年版。
[8]《自然科学哲学问题丛刊》第16页, 1983年第2期。
[9]徐利治、朱梧槚、郑毓信:《数学方法论教程》第47—50页, 江苏教育出版社, 1992年版。
[10]郑毓信:《数学哲学新论》第138页, 江苏教育出版社, 1990年版。
[11]《自然辩证法研究》第15页, 1993年第8期。[11]
The h istroy and m ethodology of Eur l er ’s for m ul a to polyheron
———In mem ory of the 300anni v ersari e s of Eul e r ’s birth
Tang B in -r u
(Nanchang Colle ge O f Educ ation , Nanc hang J i a ngxi , 330006)
Abst ract :The hist o r y o fEnler ’s fo r m u la to po l y he r on goes back to ancient ti m es . Descartes and Eu l e r discov -ered t h is f o r m ula w it h inducti o n and analog ica lm e t h od . Lakatos , a ph il o sopher ofm a t h e m atica l , used this for -m ula to illastrate the l o gic i n h ism athe m atical discvoe r y .
K ey w ords :Eu ler ' s fo r m u la to hp l y heron Desca rtes induction analog ica lm e t h od The log ic o fm a t h e m atica l discove r y
[责任编辑:林柳生]
南昌教育学院学报
JOURNA L OF NANCHANG COLL EGE OF EDUCATI ON
第22卷第2期Vo. l 22No . 22007
多面体欧拉公式的历史和方法论
———纪念欧拉诞生300周年
汤彬如
(南昌教育学院 江西南昌 330006)
摘 要:多面体欧拉公式的历史源远流长, 最早猜测到多面体欧拉公式的是笛卡儿, 但他没有证明。后来, 欧拉又重新发现了这个公式, 并第一次证明这个公式, 所以把这个公式称为多面体欧拉公式。后来又有许多数学家重新证明或简化证明。现在, 一般的数学书上用的都是德国数学施陶特的证明。笛卡儿和欧拉发现这个公式, 用的是归纳法和类比法。数学哲学家拉卡托斯用这个公式来论证他的数学发现的逻辑。
关键词:多面体欧拉公式 笛卡儿 归纳法 类比法 数学发现的逻辑
中图分类号:O 156文献标识码:A 文章编号:1008-6757(2007) 02-0018-04
欧拉(1707—1783) 是瑞士数学家, 他出生于瑞士巴塞尔, 长期在普鲁士和俄罗斯生活和工作, 最后长眠在俄罗斯的土地上。今年是欧拉诞生300周年。欧拉生活的18世纪, 是数学史上的英雄时代, 而欧拉就是英雄时代的数学英雄。欧拉在数学史上与阿基米得、牛顿、高斯齐名, 被称为四个最伟大的数学家之一。他学术渊博、创造力旺盛。他在微积分、微分方程、几何、数论、变分法等领域都作出了重大贡献, 至今在几乎每一个数学分支中, 都可以看到欧拉的名字。例如:初等几何的欧拉线、立体解析几何的欧拉变换公式、四次方程的欧拉解法、数论中的欧拉函数、微分方程中的欧拉方程、级数论中的欧拉常数、变分法中的欧拉方程、复变函数论中的欧拉公式等等。欧拉是历史上最多产的数学家, 他撰写的论文和书籍浩如烟海, 被称为“分析的化身”。法国数学家拉普拉斯说:“学习欧拉, 他是我们大家的老师”。在欧拉的所有数学成就中, 最广为人知的, 就是哥尼斯堡七桥问题的解决和多面体欧拉公式的重新发现和证明。多面体欧拉公式意义重大, 多面体欧拉公式及其推广, 是拓扑学的一个中心定理, 是大量几何课题的源泉和出发点。多面体欧拉公式的证明为图论和四色问题的证明提供了有用的研究方法。
一、多面体欧拉公式的历史
多面体欧拉公式的研究, 可以追溯到古希腊。古希腊的毕达哥拉斯学派和柏拉图学派, 都曾对多面体做过许多研究。他们发现了五种正多面体:正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。欧几里得在《几何原本》中曾试图证明只有这五种正多面体, 但没有成功。在很长的历史时期里, 这个问题没有解决。后来, 人们逐渐认识到, 依靠角度、长度、面积等几何量的测量或计算, 这个问题难以解决, 而从多面体的顶点数、棱数和面数的关系入手, 有可能获得成功。
1639年, 笛卡儿考察了五种正多面体顶点数(V )、棱数(E ) 和面数(F ) 的关系, 采用不完全归纳法, 猜测到:顶点数与面数之和减去棱数, 是一个不变量2, 也就是:
收稿日期:2007-04-05
作者简介:汤彬如(1933-), 男, 江西丰城人, 副教授, 主要从事数学哲学和数学史研究。
第22卷 第2期 汤彬如:多面体欧拉公式的历史和方法论———纪念欧拉诞生300周年
V +F -E =2
后来, 他又用一些简单的多面体来验证自己的猜想, 但是没有给出严格的证明, 也没有发表。19
1675年, 莱布尼茨在巴黎阅读笛卡儿的遗作时, 手抄了这篇文章。没过多久, 原稿和手抄本都遗失了, 直到1860年, 人们才重新发现了莱布尼茨的手抄本, 并把它刊印, 但那时欧拉已经逝世七十多年了。
1750年, 欧拉在给哥德巴赫的一封信中, 列举了多面体的一些性质, 其中就有这一性质。1751年, 欧拉给出了这一性质的一个证明。后人称它为多面体欧拉公式。欧拉之所以对这一性质感兴趣, 是要用它来做多面体的分类。但欧拉没有考虑到连续变换下的不变性。
1811年, 法国数学家柯西利用不变量的思想, 重新给出了这个公式的证明。
1813年, 瑞士数学家吕利埃发现欧拉公式并非对任何多面体都成立。例如, 一个正立方体中挖去一个小立方体, 则:
V +F -E =4
如果把小立方体上下都挖通, 则:
V +F -E =0
吕利埃发现了欧拉公式成立的条件, 那就是多面体必须是凸多面体。一个多面体, 如果上面没有“洞”,使得它的表面能连续地变形为一个球面, 就是凸多面体。
证明。
后来, 法国数学家彭加莱(1854—1912) 又用拓扑思想重新考察了多面体的欧拉公式, 认识到这一公式是一个典型的拓扑性质定理。[3][2][1]1847年, 德国数学家施陶特简化了多面体欧拉公式的证明, 现在一般拓扑学课本上都是用施陶特的
二、发现多面体欧拉公式的方法
发现多面体欧拉公式的方法主要是归纳法, 可能还有类比法。拉普拉斯说:“甚至在数学里, 发现真理的主要工具也是归纳和类比。”
归纳法是从观察和实验得来的许多个别的事实材料中推出一般性结论的思维方法。归纳法又分为完全归纳法和不完全归纳法。不完全归纳法的步骤是:观察———归纳———猜想。发现多面体的面数(F ) 顶点数(V ) 和棱数(E ) 之间的关系, 就先从观察入手, 拿几个多面体来, 数一数它们的面数、顶点数和棱数, 列成一个表, 例如
多面体
立方体
三棱锥
六棱锥
六棱柱
于2, 即:
F +V -E =2
但是, 由于数据太少, 靠少量数据得出的公式难以令人信服。可能欧拉还会通过多面体的“生成法”进一步去考虑这个问题。例如, 在四面体或六面体之外, 加一个顶点, 使它和靠近那一面的各个顶点联起来, 作成一个新的多面体。然后, 再考虑F 、V 、E 的变化情况, 结果发现(F +V ) 和E 的增加数相同, 所以公式中F +V -E 的数值保持不变。
一般说来, 设想多面体外增加一点A 和靠近它的那一面(例如有n 个顶点的面) 的各顶点联起来, 这就增加了n 个边, 也就是E 增加了数目n ; 另一方面, 又增加了(n -1) 个面, 外加顶点A 、(F +V ) 的数值也增加了(n -1) +1=n , 因此, (F +V ) -E 总保持不变。可以相信, 欧拉正是通过观察———归纳———猜想才得出多面体欧拉公式的。[4]面数(F ) 6478顶点数(V ) 棱数(E ) [1**********]8 在观察这些特例数据的基础上, 进行归纳, 得出猜想:对于任何多面体来说, 面数加顶点数减棱数等
, ,
20 南昌教育学院学报 2007年 相同或相似之处的一种思维方法。多面体可以和多边形类比, 正如一个多边形是平面的一部分一样, 一个多面体是空间的一部分。一个多边形有确定的顶点数V 和确定的棱数(边数) E , 很显然。
V =E
这个关系式对凸多边形成立。而关系式V +F -E =2适用于一切凸多面体。
多面体是三维的, 它的面(多边形) 是二维的, 它的棱是一维的, 它的顶点是0维的。将多边形顶点和棱的关系式改写成:
V -E +1=1……………(1)
将多体顶点、棱和面的关系式改写成:
V -E +F -1=1…………(2)
等式(1) 对于多边形来说, 显然是正确的。将它与多面体对应的等式(2) 类比, 增加了人们对于这一猜想的信心。[5]
三、拉卡托斯对多面体欧拉公式的数学方法论分析
拉卡托斯(1922—1974) 是英籍匈裔数学哲学家和科学哲学家。他的数学哲学包括三个方面:数学理论的性质是拟经验的; 数学理论发展的模式是证明和反驳; 数学理论的真理性要通过潜在的逻辑证伪者和潜在的启发式证伪者来检验。
他以多面体欧拉公式证明的历史过程为案例, 用师生对话的形式, 写成了他的博士论文《证明和反驳》, 来论证他的数学方法论。他认为, 数学理论不是通过定理数目的单调增加来发展的, 而是根据证明和反驳的逻辑, 不断改进猜想而发展的。数学理论的发展是从问题开始的, 接着是通过大胆的猜想, 提出公理、推演定理去解决问题, 然后是严格的检验与反驳。在这个过程中, 推动数学发展的是大胆的推测,
[6]对立理论之间的争论和问题的转换。也就是说, 他认为数学理论是按照问题———猜想———证明和反驳的
模式发展的。他的数学发现的逻辑可以画成下面的示意图:[7
]
在《证明和反驳》中, 他对多面体欧拉公式V +F -E =2, 是这样进行方法论分析的:
在证明的第一步, 想象多面体是中空的, 表面是橡皮做的。如果割掉多面体的一个面, 将剩下的表面拉平, 而且不把它撕裂, 这时就变成V +F -E =1。
证明的第二步, 是用线段将各个顶点和其它的顶点相连, 由此得到一个三角形组合体。由于添加了对角线, 每加一条对角线, 棱E 和面F 都同时增加1, 棱E 和面F 之间的个数关系不受影响。
证明的第三步, 是一个接着一个移走这些三角形, 直到最后只剩下一个三角形为止。如果移走一个三角形、V 、F 、E 个数之间的关系不会发生变化, 在剩下的最后一个三角形中V +F -E =1。如果把最初移走的放回来, (即开始的图形), 则V +F -E =2。
这个结果是从观察得到的, 证明过程确证了(没有驳倒) 原来的猜想。他认为这个论证有助于数学知识的发展, 这个论证有某种认识论力量。[8]
拉卡托斯的数学发现的逻辑是现代数学方法论研究的一个十分重要的进展。他的数学方法论既是发现, , 。[9]
第22卷 第2期 汤彬如:多面体欧拉公式的历史和方法论———纪念欧拉诞生300周年21
但是, 拉卡托斯的数学方法论也存在着严重的缺陷:他的数学发展的证明和反驳的模式不足以解释所有数学分支的成长。因为数学的发展既有不连续的一面, 又有连续的一面。数学的历史发展是一个辩证的过程。其中既有证伪, 也有证实; 既有否证, 也有积累。因此, 片面地强调数学发展的不连续性, 把它说成是“大胆猜测与戏剧性反驳的历史”是不对的。[10]
拉卡托斯“理性再造”多面体欧拉公式的历史, 只是抓住了个别不成熟的非形式数学理论的不完善之处, 诸如, 某些概念含糊不清、定理表述不严格、定理的有效范围不确定等, 然后过分夸大其可反驳性, 来论证自己的方法论。拉卡托斯的数学发展的证明和反驳的模式, 违背了数学发展的规律。
参考文献:
[1]肖文强:《数学证明》第75—76页, 江苏教育出版社, 1990年版。
[2]柯朗、罗宾:《什么是数学》第244—246页, 复旦大学出版社, 2005年版。
[3]赵振威:《数学发现导论》第387—390页, 安徽教育出版社, 1993年版。
[4]徐利治:《漫谈数学的学习和研究方法》第19—21页, 大连理工大学出版社, 1989年版。
[5]波利亚:《数学与猜想》第45—46页, 科学出版社, 2001年版。
[6]林夏水:《数学哲学》第157页, 商务印书馆, 2003年版。
[7]戴维斯、赫什:《数学经验》第263页, 江苏教育出版社, 1991年版。
[8]《自然科学哲学问题丛刊》第16页, 1983年第2期。
[9]徐利治、朱梧槚、郑毓信:《数学方法论教程》第47—50页, 江苏教育出版社, 1992年版。
[10]郑毓信:《数学哲学新论》第138页, 江苏教育出版社, 1990年版。
[11]《自然辩证法研究》第15页, 1993年第8期。[11]
The h istroy and m ethodology of Eur l er ’s for m ul a to polyheron
———In mem ory of the 300anni v ersari e s of Eul e r ’s birth
Tang B in -r u
(Nanchang Colle ge O f Educ ation , Nanc hang J i a ngxi , 330006)
Abst ract :The hist o r y o fEnler ’s fo r m u la to po l y he r on goes back to ancient ti m es . Descartes and Eu l e r discov -ered t h is f o r m ula w it h inducti o n and analog ica lm e t h od . Lakatos , a ph il o sopher ofm a t h e m atica l , used this for -m ula to illastrate the l o gic i n h ism athe m atical discvoe r y .
K ey w ords :Eu ler ' s fo r m u la to hp l y heron Desca rtes induction analog ica lm e t h od The log ic o fm a t h e m atica l discove r y
[责任编辑:林柳生]