一、空间几何体
（一） 空间几何体的结构：
1、 几何体： 2、 多面体： 3、 旋转体： 4、 棱柱： 5、 棱锥： 6、 棱台： 7、 圆柱： 8、 圆锥： 9、 圆台： 10、球： （二）简单几何体的构成：
1、 2、 （三）三视图： 1、投影： 2、投影类型：
3、三视图：（1）正视图
（2）侧视图： （3）俯视图：
（三）直观图： （1）直观图： （2）斜二测画法规则： （四）体积面积公式：
1、柱体体积： 2、锥体体积： 3、台体体积： 4、球体体积：球体表面积：
5、祖暅原理：
二、平面的性质与直线的位置关系
1、平面意义：
（1（2）平面图形与空间图形的概念：如果一个图形的所有点都在同一个平面内，则称这个（3）平面的两个特征：①无限延展 ②平的（没有厚度）
公理1 推理模式：
A ∈α⎫
⎬⇒AB ⊂α． 如图示： B ∈α⎭
或者：∵A ∈α, B ∈α，∴AB ⊂α
⎨
⎧a ⊂α
⇒A ∈α．
⎩A ∈a
公理2如果两个不重合平面有一个公共点, 推理模式：
A ∈α⎫
⎬⇒A ∈l =αA ∈β⎭
β
或者：∵A ∈α, A ∈β，∴αβ=l , A ∈l
公理3 A , B , C 不共线⎫
⎪
推理模式：A , B , C ∈α⎬⇒α与βA , B , C ∈β⎪⎭
或者：∵A , B , C 不共线，∴存在唯一的平面α，使得A , B , C ∈α.
应用：①确定平面；②证明两个平面重合 “有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性．在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证．
推论1： 推论2： 推论3： 3、
（1）相交——有且只有一个公共点；
（2）平行——在同一平面内，没有公共点； （3）异面——不同在任何一个平面内，没有公共点； ．．
4、平线直线：
（1）公理4
推理模式：a //b , b //c ⇒a //c ．
（2）空间四边形：顺次连结不共面的四点A,B,C,D 所组成的四边形叫空间四边形，相对顶点的连线AC,BD （3）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个 (4)等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行, 那么这两条直线所成的锐角(或直角) 相等.
指出:等角定理及其推论, 说明了空间角通过任意平行移动具有保值性, 因而成为异面直线所成角的基础.
5、异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点 ．．
（1）. 空间两条异面直线的画法
1
C
b
A A
（2）异面直线判定定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这推理模式：A ∉α, B ∈α, l ⊂α, B ∉l ⇒AB 与l （3）异面直线判定方法：判定定理、反证法。
（4）异面直线所成的角：已知两条异面直线a , b ，经过空间任一点
O 作直线a '//a , b '//b ，a ', b '所成的锐角（或直角）叫异面直线a , b 所成的
角（或夹角）．为了简便，点O 异面直线所成的角的范围：(0,
π
2
（5）．异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线a , b 垂直，记作a ⊥b ．
(6)．求异面直线所成的角的方法：
①通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；
②找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求
③向量法：
（7）、两条异面直线的公垂线、距离
①和两条异面直线都垂直相交的直线，．．．．②两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离．
三、空间中的平行关系
（一）线面平行问题： 1．直线和平面的位置关系
（1）直线在平面内（无数个公共点）；a ⊂α （2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；a ∩α=A （3
//α．，
a
a
α
α
2．线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．
推理模式：l ⊄α, m ⊂α, l //m ⇒l //α．
3. 线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行． 推理模式：l //α, l ⊂β, α
β=m ⇒l //m ．
l
m
α
（二）面面平行问题：
1．平行平面：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行． 2．平行平面的判定：
判定一：判定定理： 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行．
推理模式：：a ⊂β，b ⊂β，a ∩b=P，a //α，b //α⇒β//α． 判定二：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行．
b a
a b =P , a ⊂α, b ⊂α, a 'b '=P ', a '⊂β, b '⊂β, a //a ', b //b '⇒α//β
判定三：垂直于同一条直线的两平面平行
判定四、如果直线a 、b 异面, 平面α过a 且平行于b , 平面β过b 且平行于a , 则α//β
a
γ
a a '
β a ''
3．平行平面的性质:
性质定理1：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行． 推理模式：
α//β, γα=a , γβ=b ⇒a //b ．
性质2：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面． 推理模式：α//β, a ⊂α⇒a //β．
性质3、夹在两个平行平面间的两条平行线段相等．
性质4、若α//β，β//γ，则α//γ．
性质5、经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行
四、空间中的垂直关系
（一）线面垂直：
如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们a ⊥α
判定方法1：判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条判定方法2：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平判定方法3：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直。 判定方法4：定义。
3、直线与平面垂直的性质：
性质1：如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于平面内的所有直线。 性质2：垂直于同一平面的两条直线互相平行。
（二）面面垂直： , 垂线, 射影
⑴垂线 自一点向平面引垂线, 垂足叫这点在这个平面上的射影. 这个点和垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段.
⑵斜线 一条直线和一个平面相交, 但不和这个平面垂直, ⑶射影 过斜线上斜足外的一点向平面引垂线, 2．射影长相等定理:从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线中 ⑵相等的斜线段射影相等，较长的斜线段射影较长 ⑴OB=OC⇒AB=AC OB>OC ⇒AB >AC
⑵AB=AC⇒OB=OC AB>AC ⇒OB >OC
⑶OA
3．直线和平面所成角
（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成一直线平行于平面或在平面内，所成角为0︒角
直线和平面所成角范围： [0，
π] 2
（2）定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜已知平面α的斜线a 与α内一直线b 相交成θ角，且a 与α相交成ϕ1角，a 在α上的射影c 与b 相交成ϕ2角，则有
cos ϕ1cos ϕ2=cos θ
4
（1）二面角的概念：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半
l ，两个面分别为α, β的二面角记为α-l -β；
（2）二面角的平面角：
O B （1）过二面角的棱上的一点O 分别在两个半平面内作棱的两条垂线OA , OB ，则∠A
叫做二面角α-l -β（2）一个平面垂直于二面角α-l -β的棱l ，且与两半平面交线分别为OA , OB , O 为垂足，则∠AOB 也是α-l -
β说明：（1）二面角的平面角范围是[0,180]；
（2（3）求二面角的方法步骤：
作：定义法；垂面法；三垂线定理。证；求：解三角形；向量法。 α
A
5、（1）两个平面垂直的定义：两个相交成直二面角的两个平面互相垂直；
D
（2）面面垂直的判定方法：判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂E B β
C
（3）．两平面垂直的性质定理： 若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交
（三）三垂线定理：
在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它2．三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的PO ⊥α, O ∈α⎫
⎪
推理模式： PA α=A ⎬⇒a ⊥AO ．
a ⊂α, a ⊥AP ⎪⎭
五、空间角问题
1、异面直线所成的角的意义是： ；
异面直线所成的角的范围
异面直线所成的角的求法：求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法
一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移，利用特殊点(线段的端点或中点) 作平行线平移，补形平移. 计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行。若需要补形，则用向量法较好.
２、直线和平面所成角的定义：
线面角的范围：
直线和平面所成角的求法::
3、(1)．二面角的有关概念
半平面： 二面角：
二面角的平面角： 二面角的平面角的表示方法： 直二面角： 二面角的范围： (2)二面角的作法：（步骤为：作，证，求．）
定义法： 垂面法： 三垂线定理： 4、三垂线定理：
如果平面内的一条直线与这个平面的一条斜线的射影垂直, 那么这条直线就和这条斜线垂直.
α
C
B
a
如果平面内的一条直线与这个平面的一条斜线垂直, 那么这条直线就和这条直线在这个平面内的射影垂直.
5、（1）平面的法向量的求法：设n =(x , y , z ) ，利用n 与平面内的两个向量a ，b 垂直，其数量积为零，列出两个三元一次方程，联立后取其一组解。 （2）线面角的求法：设n 是平面α的法向量，是直线l 的方向向量，则直线l 与平面α
。
（3）二面角的求法：①AB ，CD 分别是二面角α—l —
β
的两个面内与棱l 垂直的异面
。
②设n 1, n 2分别是二面角α—l —β的两个平面α, β的法向量，则
cos n 1, n 2=
n 1⋅n
2
, n 1, n 2就是二面角的平面角或其补角。
|n
1|⋅|n 2|
③利用三垂线定理：
六、空间的距离
（一）、方法归纳：
1、空间中的距离包括：两点间的距离，点到直线的距离，点到平面的距离，平行直线间的距离，异面直线直线间的距离，直线与平面的距离，两个平行平面间的距离。这些距离的定义各不相同，但都是转化为平面上两点间的距离来计算的。
2、距离的特征：⑴距离是指相应线段的长度；⑵此线段是所有相关线段中最短的；⑶除两点间的距离外，其余总与垂直相联系。
3、求空间中的距离有⑴直接法，即直接求出垂线段的长度；⑵转化法，转化为线面距或面面距，或转化为某三棱锥的高，由等积法或等面积法求解；⑶向量法求解。 （二）、方法揭示： 1、两点间的距离公式
设空间两点A (x 1, y 1, z 1), B (x 2, y 2, z 2)，则
d AB =l 1, l 2是两条异面直线，2、向量法求异面直线间距离的方法：n 是l 1, l 2
的公垂线段AB 的方向向量，又C 、D 分别是l 1, l 2上的任意两点，则
|AB |=
|⋅n |
。 |n |
3、向量法在求点到平面的距离中
（1）点面距离的求法：设n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条斜线，则点B 到平面α的距离为
|AB ⋅n |
。 |n |
（2）先求出平面的方程，然后用点到平面的距离公式：点P （x 0, y 0,z 0）到平面AX +BY +CZ+D=0︱A x0+B y0+C z0+D︱
的距离d 为：d=222
A +B+C
4、线面距、面面距均可转化为点面距离再用3中方法求解。
七、多面体----棱柱与棱锥
（一）多面体有关概念：
：由若干个多边形围成的空间图形叫多面体；每个多边形叫多面体的面，两个面的公共边叫多面体的棱，棱和棱的公共点叫多面体的顶点，连结不在同一面上的两个顶点的线段叫多面体的对角线．
2．凸多面体：把多面体的任一个面展成
平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫凸多面体．如图的多面体则不是凸多面体．
3．凸多面体的分类：多面体至少有四个面，按照它的面数分别叫四面体、说明：我们今后学习的多面体都是凸．．
（二）棱柱：
1．棱柱的概念：有两个面互相平行，其余每相邻两个面的交线互相平行，（简称底）；其余各面叫棱柱的侧面；两侧面的公共边叫棱柱的侧棱； 2．棱柱的分类：
设集合A ={棱柱}，B ={斜棱柱}，C ={直棱柱}，D ={正棱柱}， 则B
C =A , D ⊂C ．
棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形„„这样的棱柱分别叫三棱柱、四棱柱、五棱柱„„ 3．棱柱的性质
（1）棱柱的侧棱相等，侧面都是平行四边形；直棱柱侧面都是矩形；正棱柱侧面都是全等的矩形；
（2）棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等的多边形（图（1））；
（3）过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形（图（2））．
棱柱的概念有两个本质的属性：①有两个面（底面）互相平行；②其余每相邻两个面的交线互相平行．
要注意“有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体”不一定是棱柱．
4．直棱柱的直观图的画法
画棱柱的直观图共分四个步骤：
①画轴；②画底面；③画侧棱；④成图．
11
（三）平行六面体、长方体、正方体
底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体．侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体，底面是矩形的直平行六面体长方体，棱长都相等的长方体叫正方体．
2．平行六面体、长方体的性质
定理1：平行六面体的对角线交于一点，
定理2：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上的三条棱长的平方和．
（四）棱锥：
：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这样的多面体顶点(S ) ，叫棱锥的顶点，顶点到底面所在平面的垂线段(SO ) ，叫棱锥的高（垂线段的长也简称高）．
2．棱锥的表示：棱锥用顶点和底面各顶点的字母，或用顶点和底面一条对角线端点的字母如图棱锥可表示为S -ABCDE ，或S -AC ． 3．棱锥的分类：（按底面多边形的边数）
分别称底面是三角形，四边形，五边形„„的棱锥为三棱锥，四棱锥，五棱锥„„（如图） 4．棱锥的性质：
定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积比等于顶点到截面的距离与棱锥高的平方比．
5．正棱锥
定义：底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面的中心的棱锥叫正棱锥． 性质：（1）正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（叫正棱锥的斜高）． （2）正棱锥的高、斜高、斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形． 6．正棱锥的直观图的画法
在过底面中心的垂线——z ' 轴上取与底面中心距离等于棱锥高的点就得到了棱锥的顶
点． 给出了画图的比例尺，要特别注意平行于y ' 轴的线段的长度的确定．正棱锥的直观图
12
的画法，在具体画图的关键是：
①用斜二测画水平放置的底面的直观图； ②正棱锥的顶点的确定；
③画直观图的四个步骤：画轴（建立空间直角坐标系）⇒画底面⇒画侧棱（正棱锥画高线）⇒成图．
（五）正多面体：
1．正多面体：正方体是一类非常特别的多面体：它的六个面都是正方形，每个顶点处都有三条棱． 正四面体，它的四个面都是三角形，每个顶点处都有三条棱．正方体我们也可以称为正六面体．
每个面都是有相同边数的正多边形，每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体，叫做正多面体．
2．正多面体是一种特殊的凸多面体，它有两个特点： ①每个面都是有相同边数的正多边形； ②每个顶点处都有相同数目的棱．
由定义可以推出：正多面体的各个面是全等的正多边形，各条棱是相等的线段． 3．正多面体共有五种
它们是：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．
今后我们可以证明这个结论．以上五种正多面体的表面展开图如下：
4、棱柱的侧面积是指所有侧面面积之和:
S 直棱柱=c ⋅h (c 为底面周长, h 是高, 即直棱柱的侧棱长) S 斜棱柱=侧棱长⨯直截面的周长
5. 棱柱的体积: V =S ⋅
h
13
八 、球
母表示，例如球O ．
2．球的截面：用一平面α去截一个球O ，设OO '是平面α的
垂线段，O '为垂足，且OO '=d ，则它们的交线上的任一点P
，
这说明交线是到定点O '
距离等于定长是一个定值，
所得的截
面是以球心在截面内的射影为圆心，
以r 球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截3．经度、纬度：
经线：球面上从北极到南极的半个大圆；
纬线：与赤道平面平行的平面截球面所得的小圆；
经度：某地的经度就是经过这点的经线与地轴确定的半平面与0经线及
轴确定的半平面所成的二面角的度数；
4．两点的球面距离：
球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这5．两点的球面距离公式：A 、B 两点的距离=Rθ（其中R 为球半径，θ为A,B 所对应的球心角的弧度数）
6:球的体积：(1)半球的底面： 已知半径为R 的球O ，用过球心的平面去截球O ，球被截面分成大小相等的两个半球，截面圆O （包含它内部
的点）(2)球的体积公式：V =
4
πR 3
7、球的表面积：S =4πR
2
14
一、空间几何体
（一） 空间几何体的结构：
1、 几何体： 2、 多面体： 3、 旋转体： 4、 棱柱： 5、 棱锥： 6、 棱台： 7、 圆柱： 8、 圆锥： 9、 圆台： 10、球： （二）简单几何体的构成：
1、 2、 （三）三视图： 1、投影： 2、投影类型：
3、三视图：（1）正视图
（2）侧视图： （3）俯视图：
（三）直观图： （1）直观图： （2）斜二测画法规则： （四）体积面积公式：
1、柱体体积： 2、锥体体积： 3、台体体积： 4、球体体积：球体表面积：
5、祖暅原理：
二、平面的性质与直线的位置关系
1、平面意义：
（1（2）平面图形与空间图形的概念：如果一个图形的所有点都在同一个平面内，则称这个（3）平面的两个特征：①无限延展 ②平的（没有厚度）
公理1 推理模式：
A ∈α⎫
⎬⇒AB ⊂α． 如图示： B ∈α⎭
或者：∵A ∈α, B ∈α，∴AB ⊂α
⎨
⎧a ⊂α
⇒A ∈α．
⎩A ∈a
公理2如果两个不重合平面有一个公共点, 推理模式：
A ∈α⎫
⎬⇒A ∈l =αA ∈β⎭
β
或者：∵A ∈α, A ∈β，∴αβ=l , A ∈l
公理3 A , B , C 不共线⎫
⎪
推理模式：A , B , C ∈α⎬⇒α与βA , B , C ∈β⎪⎭
或者：∵A , B , C 不共线，∴存在唯一的平面α，使得A , B , C ∈α.
应用：①确定平面；②证明两个平面重合 “有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性．在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证．
推论1： 推论2： 推论3： 3、
（1）相交——有且只有一个公共点；
（2）平行——在同一平面内，没有公共点； （3）异面——不同在任何一个平面内，没有公共点； ．．
4、平线直线：
（1）公理4
推理模式：a //b , b //c ⇒a //c ．
（2）空间四边形：顺次连结不共面的四点A,B,C,D 所组成的四边形叫空间四边形，相对顶点的连线AC,BD （3）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个 (4)等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行, 那么这两条直线所成的锐角(或直角) 相等.
指出:等角定理及其推论, 说明了空间角通过任意平行移动具有保值性, 因而成为异面直线所成角的基础.
5、异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点 ．．
（1）. 空间两条异面直线的画法
1
C
b
A A
（2）异面直线判定定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这推理模式：A ∉α, B ∈α, l ⊂α, B ∉l ⇒AB 与l （3）异面直线判定方法：判定定理、反证法。
（4）异面直线所成的角：已知两条异面直线a , b ，经过空间任一点
O 作直线a '//a , b '//b ，a ', b '所成的锐角（或直角）叫异面直线a , b 所成的
角（或夹角）．为了简便，点O 异面直线所成的角的范围：(0,
π
2
（5）．异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线a , b 垂直，记作a ⊥b ．
(6)．求异面直线所成的角的方法：
①通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；
②找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求
③向量法：
（7）、两条异面直线的公垂线、距离
①和两条异面直线都垂直相交的直线，．．．．②两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离．
三、空间中的平行关系
（一）线面平行问题： 1．直线和平面的位置关系
（1）直线在平面内（无数个公共点）；a ⊂α （2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；a ∩α=A （3
//α．，
a
a
α
α
2．线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．
推理模式：l ⊄α, m ⊂α, l //m ⇒l //α．
3. 线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行． 推理模式：l //α, l ⊂β, α
β=m ⇒l //m ．
l
m
α
（二）面面平行问题：
1．平行平面：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行． 2．平行平面的判定：
判定一：判定定理： 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行．
推理模式：：a ⊂β，b ⊂β，a ∩b=P，a //α，b //α⇒β//α． 判定二：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行．
b a
a b =P , a ⊂α, b ⊂α, a 'b '=P ', a '⊂β, b '⊂β, a //a ', b //b '⇒α//β
判定三：垂直于同一条直线的两平面平行
判定四、如果直线a 、b 异面, 平面α过a 且平行于b , 平面β过b 且平行于a , 则α//β
a
γ
a a '
β a ''
3．平行平面的性质:
性质定理1：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行． 推理模式：
α//β, γα=a , γβ=b ⇒a //b ．
性质2：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面． 推理模式：α//β, a ⊂α⇒a //β．
性质3、夹在两个平行平面间的两条平行线段相等．
性质4、若α//β，β//γ，则α//γ．
性质5、经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行
四、空间中的垂直关系
（一）线面垂直：
如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们a ⊥α
判定方法1：判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条判定方法2：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平判定方法3：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直。 判定方法4：定义。
3、直线与平面垂直的性质：
性质1：如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于平面内的所有直线。 性质2：垂直于同一平面的两条直线互相平行。
（二）面面垂直： , 垂线, 射影
⑴垂线 自一点向平面引垂线, 垂足叫这点在这个平面上的射影. 这个点和垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段.
⑵斜线 一条直线和一个平面相交, 但不和这个平面垂直, ⑶射影 过斜线上斜足外的一点向平面引垂线, 2．射影长相等定理:从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线中 ⑵相等的斜线段射影相等，较长的斜线段射影较长 ⑴OB=OC⇒AB=AC OB>OC ⇒AB >AC
⑵AB=AC⇒OB=OC AB>AC ⇒OB >OC
⑶OA
3．直线和平面所成角
（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成一直线平行于平面或在平面内，所成角为0︒角
直线和平面所成角范围： [0，
π] 2
（2）定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜已知平面α的斜线a 与α内一直线b 相交成θ角，且a 与α相交成ϕ1角，a 在α上的射影c 与b 相交成ϕ2角，则有
cos ϕ1cos ϕ2=cos θ
4
（1）二面角的概念：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半
l ，两个面分别为α, β的二面角记为α-l -β；
（2）二面角的平面角：
O B （1）过二面角的棱上的一点O 分别在两个半平面内作棱的两条垂线OA , OB ，则∠A
叫做二面角α-l -β（2）一个平面垂直于二面角α-l -β的棱l ，且与两半平面交线分别为OA , OB , O 为垂足，则∠AOB 也是α-l -
β说明：（1）二面角的平面角范围是[0,180]；
（2（3）求二面角的方法步骤：
作：定义法；垂面法；三垂线定理。证；求：解三角形；向量法。 α
A
5、（1）两个平面垂直的定义：两个相交成直二面角的两个平面互相垂直；
D
（2）面面垂直的判定方法：判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂E B β
C
（3）．两平面垂直的性质定理： 若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交
（三）三垂线定理：
在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它2．三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的PO ⊥α, O ∈α⎫
⎪
推理模式： PA α=A ⎬⇒a ⊥AO ．
a ⊂α, a ⊥AP ⎪⎭
五、空间角问题
1、异面直线所成的角的意义是： ；
异面直线所成的角的范围
异面直线所成的角的求法：求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法
一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移，利用特殊点(线段的端点或中点) 作平行线平移，补形平移. 计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行。若需要补形，则用向量法较好.
２、直线和平面所成角的定义：
线面角的范围：
直线和平面所成角的求法::
3、(1)．二面角的有关概念
半平面： 二面角：
二面角的平面角： 二面角的平面角的表示方法： 直二面角： 二面角的范围： (2)二面角的作法：（步骤为：作，证，求．）
定义法： 垂面法： 三垂线定理： 4、三垂线定理：
如果平面内的一条直线与这个平面的一条斜线的射影垂直, 那么这条直线就和这条斜线垂直.
α
C
B
a
如果平面内的一条直线与这个平面的一条斜线垂直, 那么这条直线就和这条直线在这个平面内的射影垂直.
5、（1）平面的法向量的求法：设n =(x , y , z ) ，利用n 与平面内的两个向量a ，b 垂直，其数量积为零，列出两个三元一次方程，联立后取其一组解。 （2）线面角的求法：设n 是平面α的法向量，是直线l 的方向向量，则直线l 与平面α
。
（3）二面角的求法：①AB ，CD 分别是二面角α—l —
β
的两个面内与棱l 垂直的异面
。
②设n 1, n 2分别是二面角α—l —β的两个平面α, β的法向量，则
cos n 1, n 2=
n 1⋅n
2
, n 1, n 2就是二面角的平面角或其补角。
|n
1|⋅|n 2|
③利用三垂线定理：
六、空间的距离
（一）、方法归纳：
1、空间中的距离包括：两点间的距离，点到直线的距离，点到平面的距离，平行直线间的距离，异面直线直线间的距离，直线与平面的距离，两个平行平面间的距离。这些距离的定义各不相同，但都是转化为平面上两点间的距离来计算的。
2、距离的特征：⑴距离是指相应线段的长度；⑵此线段是所有相关线段中最短的；⑶除两点间的距离外，其余总与垂直相联系。
3、求空间中的距离有⑴直接法，即直接求出垂线段的长度；⑵转化法，转化为线面距或面面距，或转化为某三棱锥的高，由等积法或等面积法求解；⑶向量法求解。 （二）、方法揭示： 1、两点间的距离公式
设空间两点A (x 1, y 1, z 1), B (x 2, y 2, z 2)，则
d AB =l 1, l 2是两条异面直线，2、向量法求异面直线间距离的方法：n 是l 1, l 2
的公垂线段AB 的方向向量，又C 、D 分别是l 1, l 2上的任意两点，则
|AB |=
|⋅n |
。 |n |
3、向量法在求点到平面的距离中
（1）点面距离的求法：设n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条斜线，则点B 到平面α的距离为
|AB ⋅n |
。 |n |
（2）先求出平面的方程，然后用点到平面的距离公式：点P （x 0, y 0,z 0）到平面AX +BY +CZ+D=0︱A x0+B y0+C z0+D︱
的距离d 为：d=222
A +B+C
4、线面距、面面距均可转化为点面距离再用3中方法求解。
七、多面体----棱柱与棱锥
（一）多面体有关概念：
：由若干个多边形围成的空间图形叫多面体；每个多边形叫多面体的面，两个面的公共边叫多面体的棱，棱和棱的公共点叫多面体的顶点，连结不在同一面上的两个顶点的线段叫多面体的对角线．
2．凸多面体：把多面体的任一个面展成
平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫凸多面体．如图的多面体则不是凸多面体．
3．凸多面体的分类：多面体至少有四个面，按照它的面数分别叫四面体、说明：我们今后学习的多面体都是凸．．
（二）棱柱：
1．棱柱的概念：有两个面互相平行，其余每相邻两个面的交线互相平行，（简称底）；其余各面叫棱柱的侧面；两侧面的公共边叫棱柱的侧棱； 2．棱柱的分类：
设集合A ={棱柱}，B ={斜棱柱}，C ={直棱柱}，D ={正棱柱}， 则B
C =A , D ⊂C ．
棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形„„这样的棱柱分别叫三棱柱、四棱柱、五棱柱„„ 3．棱柱的性质
（1）棱柱的侧棱相等，侧面都是平行四边形；直棱柱侧面都是矩形；正棱柱侧面都是全等的矩形；
（2）棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等的多边形（图（1））；
（3）过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形（图（2））．
棱柱的概念有两个本质的属性：①有两个面（底面）互相平行；②其余每相邻两个面的交线互相平行．
要注意“有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体”不一定是棱柱．
4．直棱柱的直观图的画法
画棱柱的直观图共分四个步骤：
①画轴；②画底面；③画侧棱；④成图．
11
（三）平行六面体、长方体、正方体
底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体．侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体，底面是矩形的直平行六面体长方体，棱长都相等的长方体叫正方体．
2．平行六面体、长方体的性质
定理1：平行六面体的对角线交于一点，
定理2：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上的三条棱长的平方和．
（四）棱锥：
：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这样的多面体顶点(S ) ，叫棱锥的顶点，顶点到底面所在平面的垂线段(SO ) ，叫棱锥的高（垂线段的长也简称高）．
2．棱锥的表示：棱锥用顶点和底面各顶点的字母，或用顶点和底面一条对角线端点的字母如图棱锥可表示为S -ABCDE ，或S -AC ． 3．棱锥的分类：（按底面多边形的边数）
分别称底面是三角形，四边形，五边形„„的棱锥为三棱锥，四棱锥，五棱锥„„（如图） 4．棱锥的性质：
定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积比等于顶点到截面的距离与棱锥高的平方比．
5．正棱锥
定义：底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面的中心的棱锥叫正棱锥． 性质：（1）正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（叫正棱锥的斜高）． （2）正棱锥的高、斜高、斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形． 6．正棱锥的直观图的画法
在过底面中心的垂线——z ' 轴上取与底面中心距离等于棱锥高的点就得到了棱锥的顶
点． 给出了画图的比例尺，要特别注意平行于y ' 轴的线段的长度的确定．正棱锥的直观图
12
的画法，在具体画图的关键是：
①用斜二测画水平放置的底面的直观图； ②正棱锥的顶点的确定；
③画直观图的四个步骤：画轴（建立空间直角坐标系）⇒画底面⇒画侧棱（正棱锥画高线）⇒成图．
（五）正多面体：
1．正多面体：正方体是一类非常特别的多面体：它的六个面都是正方形，每个顶点处都有三条棱． 正四面体，它的四个面都是三角形，每个顶点处都有三条棱．正方体我们也可以称为正六面体．
每个面都是有相同边数的正多边形，每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体，叫做正多面体．
2．正多面体是一种特殊的凸多面体，它有两个特点： ①每个面都是有相同边数的正多边形； ②每个顶点处都有相同数目的棱．
由定义可以推出：正多面体的各个面是全等的正多边形，各条棱是相等的线段． 3．正多面体共有五种
它们是：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．
今后我们可以证明这个结论．以上五种正多面体的表面展开图如下：
4、棱柱的侧面积是指所有侧面面积之和:
S 直棱柱=c ⋅h (c 为底面周长, h 是高, 即直棱柱的侧棱长) S 斜棱柱=侧棱长⨯直截面的周长
5. 棱柱的体积: V =S ⋅
h
13
八 、球
母表示，例如球O ．
2．球的截面：用一平面α去截一个球O ，设OO '是平面α的
垂线段，O '为垂足，且OO '=d ，则它们的交线上的任一点P
，
这说明交线是到定点O '
距离等于定长是一个定值，
所得的截
面是以球心在截面内的射影为圆心，
以r 球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截3．经度、纬度：
经线：球面上从北极到南极的半个大圆；
纬线：与赤道平面平行的平面截球面所得的小圆；
经度：某地的经度就是经过这点的经线与地轴确定的半平面与0经线及
轴确定的半平面所成的二面角的度数；
4．两点的球面距离：
球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这5．两点的球面距离公式：A 、B 两点的距离=Rθ（其中R 为球半径，θ为A,B 所对应的球心角的弧度数）
6:球的体积：(1)半球的底面： 已知半径为R 的球O ，用过球心的平面去截球O ，球被截面分成大小相等的两个半球，截面圆O （包含它内部
的点）(2)球的体积公式：V =
4
πR 3
7、球的表面积：S =4πR
2
14