汕 头 大 学 工 学 院 三级项目报告
课 程 名 称 ： 数字信号处理 三级项目题目： 模拟信号的数字谱分析 指 导 教 师 ：
系 别： 电子工程系 专 业： 通信工程
完成时间： 2010年 11月2 日 至 11 月 16 日
成绩： 评阅人：李旭涛
1 内容与要求
（每个项目的要求，粘贴即可）
画出不同采样率、不同持续期的正弦信号波形图，分别用DTFT、DFT和FFT算法计算频谱。通过MATLAB仿真计算，达到以下目标：
1. 理解数字谱分析中物理分辨力和计算分辨力的概念及两者间的关系； 2. 弄清数字谱分析中误差成因及减小误差的方法。
2 报告正文
（依据的理论，具体实现的步骤，程序代码）
（1）数字谱分析中物理分辨力和计算分辨力的概念及两者间的关系：
物理分辨率：fc计算分辨率：fbin
fsL
fs
（矩形窗的c=1，海明窗的c约等于2）
N
（这不仅对矩形窗成立，对其他窗也是成立的）
当c、fs都不变时，增大N可以显著提高计算分辨率，但物理分辨率不变，因为有效的数据点数不变；增大L时，可以提高物理分辨率，能分辨出相邻很近的频率，但计算分辨率不变。有人就认为补零后物理分辨力提升了，这是错误的；因为补零不能增加数据的有效长度，因而补零不能提高物理分辨力。
（2）数字谱分析中误差成因及减小误差的方法： 频谱泄漏：
实际问题中遇到的离散时间序列x(n)通常是无限长序列，因而处理这个序列的时候需要将它截短。截短相当于将序列乘以窗函数w(n)。根据频域卷积定理，时域中x(n)和w(n)相乘对应于频域中它们的离散傅立叶变换X(jw)和W(jw)的卷积。
因此，x(n)截矩后的频谱不同于它以前的频谱。例如，对于频率为fs的正弦序列，它的频谱应该只是在fs处有离散谱。但是，在利用DFT求它的频谱做了截短，结果使信号的频谱不只是在fs处有离散谱，而是在以fs为中心的频带范围内都有谱线出现，它们可以理解为是从fs频率上“泄露”出去的，这种现象称为频谱“泄露”。
为了减小频谱“泄露”的影响，往往在FFT处理中采用加权技术，典型的加权序列有Hanning、Blackman、Gaussian等窗序列。此外，增加窗序列的长度也可以减少频谱“泄露”。 栅栏效应：
对一函数实行采样，即使抽取采样点上对应的函数值。其效果如同透过栅栏的缝漏去看观看外景一样，只有落在缝隙前的少数景象被看到，其余景象均被栅栏挡住而视为零，这样现象称为栅栏效应。只有当采样的频率满足采样定理时，栅栏效应没什么影响。而频率的采样栅栏效应的影响很大，“挡住”或失去的频率成分有可能是重要的或具有特征的成分，使信号处理失去意义。
减小栅栏效应可用提高采样间隔Df也就是频率分辨力的方法来解决。间隔小，频率分辨力高，被“挡住”或丢失的频率成分就会越少。但会增加采样点数，使计算工作量增加。解决此项矛盾可以采用如下方法：在满足采样定理的前提下，采用频率细化技术(ZOOM），亦可用把时域序列变换成频谱序列的方法。
程序代码1：
function [ output_args ] = cdio31( fs,L,N ) % fs是入口参数，单位是Hz； % L 是信号的持续时间，单位是是s；
% N 是DFT采样点的个数 % 函数功能：
% 1.输出y=sin（2*pi*t）经fs的采样频率采样后的时域图；
% 2.在同一坐标上画出采样信号的DTFT、DFT及FFT频谱图，以作比较。 % 说明：
% 1.DTFT图实际是把N扩大很多倍时的DFT； % 2.为方便比较，把FFT的采样点数扩大了一倍。 n=1024*N;
t =0:1/fs:L-1/fs; df=fs/n; y=sin(2*pi*t);
subplot(2,1,1),stem(t,y,'.'); title('Sampled Signal'); xlabel('t/s');
[H1,w1]=freqz(y,1,n);
f1=w1/2/pi*n*df;%使横轴的单位为rad subplot(2,1,2),plot(f1,abs(H1),'g') hold on;
[H2,w2]=freqz(y,1,N); f2=w2/2/pi*N*(fs/N); stem(f2,abs(H2),'b.'); xlabel('w');
title('DTFT(Green) & DFT(Blue) &FFT(Red)');
z = fft(y,N*2); f3=(0:N*2-1)/N*fs/2;
subplot(2,1,2),plot(f3,abs(z),'xr'); grid on; hold off; end
程序代码2：
function [ output ] = cdio9_8(fs,L,N) % fs是入口参数，单位是Hz； % L 是信号的持续时间，单位是s； % N 是DFT采样点的个数 f1=2;f2=2.5;f3=3; n=0:L-1;
xL=cos(2*pi*f1/fs*n)+cos(2*pi*f2/fs*n)+cos(2*pi*f3/fs*n); y=fft(xL,N);%进行N点fft变换 mag=abs(y);%求幅值
f=(0:length(y)-1)*fs/length(y);%进行对应的频率转换
bar(f,mag,0) hold on plot(f,mag) xlabel('频率/Hz'); ylabel('振幅');
title('Magnitude Spectra') pause clf end
3 结果与分析
（实验的结果，以及对结果的解释和分析。） 在命令窗口输入： cdio31(10,4,100) 得到下图
采样后信号
y=sin(2*pi*t); t =0:1/fs:L-1/fs;
绿色为DTFT，紫色为DFT，红色为FFT 分析：
第一幅图是正弦信号经采样后的图，采样为fs（此图fs=10）
第二个图是DTFT和DFT，FFT的计算频谱图。3个图的形状是一致的，只不过FFT的是双峰的，其他的只是单峰。DTFT的频谱是连续的，但是DFT，FFT的是离散的，因为DTF是在它Z变换的单位圆上的均匀采样，FFT是对DFT的快速计算方法，FFT与DFT是一样
的，只不过FFT是算法，而DFT是变换。
此程序的DTFT计算是基于DTFT的定义，它并不是计算DTFT的最优化算法。从程序中，我们也可以看到，该算法要产生一个（M+1）*N的矩阵，当M和N很大的时候，要占用很大的内存，且矩阵的指数运算要花费大量的时间。
在此程序中，为了方便计算把FFT的计算采样点数扩大了一倍。
在命令窗口输入： cdio9_8(10,10,32) cdio9_8(10,10,64) cdio9_8(10,20,32) cdio9_8(10,20,64) 得到下图
由程序cdio9_8(fs,L,N)看出，当fs都不变时，增大N可以显著提高计算分辨率，但物理分辨率不变，因为有效的数据点数不变；增大L时，可以提高物理分辨率，能分辨出相邻很近的频率，但计算分辨率不变。
4 总 结
5 参考文献
（A.V. Oppenheim 等著， 刘树棠 译. 信号与系统（第二版），西安交通大学出版社，1998.） [1] 程佩青著，数字信号处理教程（第二版），清华大学出版社，2000.
[2] 王华，李有军，刘建存著，MATLAB电子仿真与应用教程（第二版），国防工业出版
社，2007.
[3] [美]Sanjit K. Mitra, 数字信号处理----基于计算机的方法（第二版），电子工业出版社，2005
[4] 陈怀琛，吴大正，高西全，MATLAB及在电子信息课程中的应用，电子工业出版社，2002
[5] 陈怀琛，数字信号处理教程---MATLAB释义与实现，电子工业出版社，2004
汕 头 大 学 工 学 院 三级项目报告
课 程 名 称 ： 数字信号处理 三级项目题目： 模拟信号的数字谱分析 指 导 教 师 ：
系 别： 电子工程系 专 业： 通信工程
完成时间： 2010年 11月2 日 至 11 月 16 日
成绩： 评阅人：李旭涛
1 内容与要求
（每个项目的要求，粘贴即可）
画出不同采样率、不同持续期的正弦信号波形图，分别用DTFT、DFT和FFT算法计算频谱。通过MATLAB仿真计算，达到以下目标：
1. 理解数字谱分析中物理分辨力和计算分辨力的概念及两者间的关系； 2. 弄清数字谱分析中误差成因及减小误差的方法。
2 报告正文
（依据的理论，具体实现的步骤，程序代码）
（1）数字谱分析中物理分辨力和计算分辨力的概念及两者间的关系：
物理分辨率：fc计算分辨率：fbin
fsL
fs
（矩形窗的c=1，海明窗的c约等于2）
N
（这不仅对矩形窗成立，对其他窗也是成立的）
当c、fs都不变时，增大N可以显著提高计算分辨率，但物理分辨率不变，因为有效的数据点数不变；增大L时，可以提高物理分辨率，能分辨出相邻很近的频率，但计算分辨率不变。有人就认为补零后物理分辨力提升了，这是错误的；因为补零不能增加数据的有效长度，因而补零不能提高物理分辨力。
（2）数字谱分析中误差成因及减小误差的方法： 频谱泄漏：
实际问题中遇到的离散时间序列x(n)通常是无限长序列，因而处理这个序列的时候需要将它截短。截短相当于将序列乘以窗函数w(n)。根据频域卷积定理，时域中x(n)和w(n)相乘对应于频域中它们的离散傅立叶变换X(jw)和W(jw)的卷积。
因此，x(n)截矩后的频谱不同于它以前的频谱。例如，对于频率为fs的正弦序列，它的频谱应该只是在fs处有离散谱。但是，在利用DFT求它的频谱做了截短，结果使信号的频谱不只是在fs处有离散谱，而是在以fs为中心的频带范围内都有谱线出现，它们可以理解为是从fs频率上“泄露”出去的，这种现象称为频谱“泄露”。
为了减小频谱“泄露”的影响，往往在FFT处理中采用加权技术，典型的加权序列有Hanning、Blackman、Gaussian等窗序列。此外，增加窗序列的长度也可以减少频谱“泄露”。 栅栏效应：
对一函数实行采样，即使抽取采样点上对应的函数值。其效果如同透过栅栏的缝漏去看观看外景一样，只有落在缝隙前的少数景象被看到，其余景象均被栅栏挡住而视为零，这样现象称为栅栏效应。只有当采样的频率满足采样定理时，栅栏效应没什么影响。而频率的采样栅栏效应的影响很大，“挡住”或失去的频率成分有可能是重要的或具有特征的成分，使信号处理失去意义。
减小栅栏效应可用提高采样间隔Df也就是频率分辨力的方法来解决。间隔小，频率分辨力高，被“挡住”或丢失的频率成分就会越少。但会增加采样点数，使计算工作量增加。解决此项矛盾可以采用如下方法：在满足采样定理的前提下，采用频率细化技术(ZOOM），亦可用把时域序列变换成频谱序列的方法。
程序代码1：
function [ output_args ] = cdio31( fs,L,N ) % fs是入口参数，单位是Hz； % L 是信号的持续时间，单位是是s；
% N 是DFT采样点的个数 % 函数功能：
% 1.输出y=sin（2*pi*t）经fs的采样频率采样后的时域图；
% 2.在同一坐标上画出采样信号的DTFT、DFT及FFT频谱图，以作比较。 % 说明：
% 1.DTFT图实际是把N扩大很多倍时的DFT； % 2.为方便比较，把FFT的采样点数扩大了一倍。 n=1024*N;
t =0:1/fs:L-1/fs; df=fs/n; y=sin(2*pi*t);
subplot(2,1,1),stem(t,y,'.'); title('Sampled Signal'); xlabel('t/s');
[H1,w1]=freqz(y,1,n);
f1=w1/2/pi*n*df;%使横轴的单位为rad subplot(2,1,2),plot(f1,abs(H1),'g') hold on;
[H2,w2]=freqz(y,1,N); f2=w2/2/pi*N*(fs/N); stem(f2,abs(H2),'b.'); xlabel('w');
title('DTFT(Green) & DFT(Blue) &FFT(Red)');
z = fft(y,N*2); f3=(0:N*2-1)/N*fs/2;
subplot(2,1,2),plot(f3,abs(z),'xr'); grid on; hold off; end
程序代码2：
function [ output ] = cdio9_8(fs,L,N) % fs是入口参数，单位是Hz； % L 是信号的持续时间，单位是s； % N 是DFT采样点的个数 f1=2;f2=2.5;f3=3; n=0:L-1;
xL=cos(2*pi*f1/fs*n)+cos(2*pi*f2/fs*n)+cos(2*pi*f3/fs*n); y=fft(xL,N);%进行N点fft变换 mag=abs(y);%求幅值
f=(0:length(y)-1)*fs/length(y);%进行对应的频率转换
bar(f,mag,0) hold on plot(f,mag) xlabel('频率/Hz'); ylabel('振幅');
title('Magnitude Spectra') pause clf end
3 结果与分析
（实验的结果，以及对结果的解释和分析。） 在命令窗口输入： cdio31(10,4,100) 得到下图
采样后信号
y=sin(2*pi*t); t =0:1/fs:L-1/fs;
绿色为DTFT，紫色为DFT，红色为FFT 分析：
第一幅图是正弦信号经采样后的图，采样为fs（此图fs=10）
第二个图是DTFT和DFT，FFT的计算频谱图。3个图的形状是一致的，只不过FFT的是双峰的，其他的只是单峰。DTFT的频谱是连续的，但是DFT，FFT的是离散的，因为DTF是在它Z变换的单位圆上的均匀采样，FFT是对DFT的快速计算方法，FFT与DFT是一样
的，只不过FFT是算法，而DFT是变换。
此程序的DTFT计算是基于DTFT的定义，它并不是计算DTFT的最优化算法。从程序中，我们也可以看到，该算法要产生一个（M+1）*N的矩阵，当M和N很大的时候，要占用很大的内存，且矩阵的指数运算要花费大量的时间。
在此程序中，为了方便计算把FFT的计算采样点数扩大了一倍。
在命令窗口输入： cdio9_8(10,10,32) cdio9_8(10,10,64) cdio9_8(10,20,32) cdio9_8(10,20,64) 得到下图
由程序cdio9_8(fs,L,N)看出，当fs都不变时，增大N可以显著提高计算分辨率，但物理分辨率不变，因为有效的数据点数不变；增大L时，可以提高物理分辨率，能分辨出相邻很近的频率，但计算分辨率不变。
4 总 结
5 参考文献
（A.V. Oppenheim 等著， 刘树棠 译. 信号与系统（第二版），西安交通大学出版社，1998.） [1] 程佩青著，数字信号处理教程（第二版），清华大学出版社，2000.
[2] 王华，李有军，刘建存著，MATLAB电子仿真与应用教程（第二版），国防工业出版
社，2007.
[3] [美]Sanjit K. Mitra, 数字信号处理----基于计算机的方法（第二版），电子工业出版社，2005
[4] 陈怀琛，吴大正，高西全，MATLAB及在电子信息课程中的应用，电子工业出版社，2002
[5] 陈怀琛，数字信号处理教程---MATLAB释义与实现，电子工业出版社，2004