一元二次方程的知识点梳理

解与解法一元二次方程根的判别

韦达定理

②③只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程就是一．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

元二次方程。

2bxc0(a0)

“未知数的最高次数是2”：

①该项系数不为“0”；

②未知数指数为“2”；

③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）

112 A 3x12x1 B 220 xx

C ax2bxc0 D x22xx21

变式：当k 时，关于x的方程kx22xx23是一元二次方程。

例2、方程m2xm3mx

10是关于x的一元二次方程，则m的值为 。

1、方程8x27的一次项系数是。

2、若方程m2xm10是关于x的一元一次方程，

⑴求m的值；⑵写出关于x的一元一次方程。

3、若方程m1x2mx1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是

4

、若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ）

A.m=n=2 B.m=2,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1

例1、已知2y2y3的值为2，则4y22y1的值为

例2、关于x的一元二次方程a2x2xa240的一个根为0，则a的值为 例3、已知关于x的一元二次方程ax2bxc0a0的系数满足acb，则此方程 必有一根为 。

例4、已知a,b是方程x24xm0的两个根，b,c是方程y28y5m0的两个根， 则m的值为 。

1、已知方程x2kx100的一根是2，则k为。 2、已知关于x的方程x2kx20的一个解与方程

⑴求k的值； ⑵方程的另一个解。

3、已知m是方程x2x10的一个根，则代数式m2m 。

4、已知a是x23x10的根，则2a26a 。

5、方程abx2bcxca0的一个根为（ ）

A 1 B 1 C bc D a x13的解相同。 x1

6、若2x5y30,则4x32y 。

x2mm0,xm

对于xa2m，axm2bxn2等形式均适用直接开方法

例1、解方程：12x280; 22516x2=0; 31x290;

例2、若9x1216x22，则x的值为

）

A.x232x21 B.x220 C.2x31x D.x290

xx1xx20xx1,

或xx2

0”，

axm2bxn2，xaxb

xaxc ，

x22axa20

例1、2xx35x3的根为（ ）

A x5

2 B x3 C x52

12,x23 D x5

例2、若4xy234xy40，则4x+y的值为

变式1：a2b22a2b260,则a2b2 。

变式2：若xy2xy30，则x+y的值为 。

变式3：若x2xyy14，y2xyx28，则x+y的值为。

例3、方程x2x60的解为（ ）

A.x1

3，x22 B.x13，x22 C.x13，x23 D.x12，x22

1、下列说法中：

①方程x2pxq0的二根为x1，x2，则x2pxq(xx1)(xx2)

② x26x8(x2)(x4).

③a25ab6b2(a2)(a3)

④ x2y2(xyxy)(xy)

⑤方程(3x1)270可变形为(3x1)(3x17)0

正确的有（ ）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

2、以17与17为根的一元二次方程是（）

A．x22x60 B．x22x60

C．y22y60 D．y22y60

3、⑴写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为倒数： ⑵写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为相反数：

4、若实数x、y满足xy3xy20，则x+y的值为（ ）

A、-1或-2 B、-1或2 C、1或-2 D、1或2

15、方程：x222的解是。

x

bb24acbxc0a0x 22a4a22

在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式

的值或极值之类的问题。

例1、 试用配方法说明x22x3的值恒大于0。

例2、 已知x、y为实数，求代数式x2y2

2x4y7的最小值。

例3、 已知x2y24x6y130，x、y为实数，求xy的值。

1、试用配方法说明10x27x4的值恒小于0。

2、已知x21

x2x1x40，则x1x .

3、若t23x212x9，则t的最大值为

a0,且b24ac0

xbb2

4ac,a0,且b2

2a4ac0

例1、选择适当方法解下列方程：

⑴31x26. ⑵x3x68. ⑶x24x10

⑷3x24x10 ⑸3x13x1x12x5

例2、在实数范围内分解因式：

（1）x222x3； （2）4x28x1. ⑶2x24xy5y2

说明：①对于二次三项式ax2bxc的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，一般情况要用求根公式，这种方法首先令ax2bxc

=0，求出两根，再写成

ax2bxc=a(xx1)(xx2

).

②分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去.

⑴求代数式的值； ⑵解二元二次方程组。

例1、 已知x3x20，求代数式x13

2x21

x1的值。

a32a25a1例2、已知a是一元二次方程x3x10的一根，求的值。 2a12

例3、用两种不同的方法解方程组

2xy6,22x5xy6y0.(1)(2)

说明：解二元二次方程组的具体思维方法有两种：①先消元，再降次；②先降次，再 消元。但都体现了一种共同的数学思想——化归思想，即把新问题转化归结为我们已 知的问题.

①定根的个数；

②求待定系数的值；

③应用于其它。

例1、若关于x的方程x22kx10有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 例2、关于x的方程m1x22mxm0有实数根，则m的取值范围是( )

A.m0且m1 B.m0 C.m1 D.m1

例3、已知关于x的方程x2k2x2k0

(1)求证：无论k取何值时，方程总有实数根；

(2)若等腰ABC的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求ABC的周长。

例4、已知二次三项式9x2(m6)xm2是一个完全平方式，试求m的值.

x22y26,例5、m为何值时，方程组有两个不同的实数解？有两个相同的实数解？

mxy3.

1、当k 时，关于x的二次三项式x2kx9是完全平方式。

2、当k取何值时，多项式3x24x2k是一个完全平方式？这个完全平方式是什么？

3、已知方程mx2mx20有两个不相等的实数根，则m的值是ykx2,4、k为何值时，方程组2 y4x2y10.

（1）有两组相等的实数解，并求此解；

（2）有两组不相等的实数解；

（3）没有实数解.

5、当k取何值时，方程x24mx4x3m22m4k0的根与m均为有理数？

例1、关于x的方程m1x22mx30

⑴有两个实数根，则m为 ,

⑵只有一个根，则m为 。

例2、 不解方程，判断关于x的方程x22xkk23根的情况。

ax2bxc0而言，当满足①a0、②0时，

才能用韦达定理。

bcx1x2,

x1

x2 aa

例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程2x28x70的两根，则这个直角三 角形的斜边是（ ）

A. B.3 C.6 D.6

例2、已知关于x的方程k2x22k1x10有两个不相等的实数根x1,x2，

（1）求k的取值范围；

（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k的值；若不 存在，请说明理由。

例3、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为1）时，小明因看错

常数项，而得到解为8和2，小红因看错了一次项系数，而得到解为-9和-1。你知道 原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？

例4、已知ab，a22a10，b22b10，求ab变式：若a22a10，b22b10，则ab的值为。 ba

例5、已知,是方程x2x10

的两个根，那么43 .

1、解方程组xy3,(1)

x2y25(2)

2．已知a27a4，b27b4(ab)，求ba

ab的值。

3、已知x32

1,x2是方程x2x90的两实数根，求x17x23x266的值。

今天你学习了什么？_______________________________________________ 遇到了什么困难？_________________________________________________

解与解法一元二次方程根的判别

韦达定理

②③只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程就是一．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

元二次方程。

2bxc0(a0)

“未知数的最高次数是2”：

①该项系数不为“0”；

②未知数指数为“2”；

③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）

112 A 3x12x1 B 220 xx

C ax2bxc0 D x22xx21

变式：当k 时，关于x的方程kx22xx23是一元二次方程。

例2、方程m2xm3mx

10是关于x的一元二次方程，则m的值为 。

1、方程8x27的一次项系数是。

2、若方程m2xm10是关于x的一元一次方程，

⑴求m的值；⑵写出关于x的一元一次方程。

3、若方程m1x2mx1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是

4

、若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ）

A.m=n=2 B.m=2,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1

例1、已知2y2y3的值为2，则4y22y1的值为

例2、关于x的一元二次方程a2x2xa240的一个根为0，则a的值为 例3、已知关于x的一元二次方程ax2bxc0a0的系数满足acb，则此方程 必有一根为 。

例4、已知a,b是方程x24xm0的两个根，b,c是方程y28y5m0的两个根， 则m的值为 。

1、已知方程x2kx100的一根是2，则k为。 2、已知关于x的方程x2kx20的一个解与方程

⑴求k的值； ⑵方程的另一个解。

3、已知m是方程x2x10的一个根，则代数式m2m 。

4、已知a是x23x10的根，则2a26a 。

5、方程abx2bcxca0的一个根为（ ）

A 1 B 1 C bc D a x13的解相同。 x1

6、若2x5y30,则4x32y 。

x2mm0,xm

对于xa2m，axm2bxn2等形式均适用直接开方法

例1、解方程：12x280; 22516x2=0; 31x290;

例2、若9x1216x22，则x的值为

）

A.x232x21 B.x220 C.2x31x D.x290

xx1xx20xx1,

或xx2

0”，

axm2bxn2，xaxb

xaxc ，

x22axa20

例1、2xx35x3的根为（ ）

A x5

2 B x3 C x52

12,x23 D x5

例2、若4xy234xy40，则4x+y的值为

变式1：a2b22a2b260,则a2b2 。

变式2：若xy2xy30，则x+y的值为 。

变式3：若x2xyy14，y2xyx28，则x+y的值为。

例3、方程x2x60的解为（ ）

A.x1

3，x22 B.x13，x22 C.x13，x23 D.x12，x22

1、下列说法中：

①方程x2pxq0的二根为x1，x2，则x2pxq(xx1)(xx2)

② x26x8(x2)(x4).

③a25ab6b2(a2)(a3)

④ x2y2(xyxy)(xy)

⑤方程(3x1)270可变形为(3x1)(3x17)0

正确的有（ ）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

2、以17与17为根的一元二次方程是（）

A．x22x60 B．x22x60

C．y22y60 D．y22y60

3、⑴写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为倒数： ⑵写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为相反数：

4、若实数x、y满足xy3xy20，则x+y的值为（ ）

A、-1或-2 B、-1或2 C、1或-2 D、1或2

15、方程：x222的解是。

x

bb24acbxc0a0x 22a4a22

在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式

的值或极值之类的问题。

例1、 试用配方法说明x22x3的值恒大于0。

例2、 已知x、y为实数，求代数式x2y2

2x4y7的最小值。

例3、 已知x2y24x6y130，x、y为实数，求xy的值。

1、试用配方法说明10x27x4的值恒小于0。

2、已知x21

x2x1x40，则x1x .

3、若t23x212x9，则t的最大值为

a0,且b24ac0

xbb2

4ac,a0,且b2

2a4ac0

例1、选择适当方法解下列方程：

⑴31x26. ⑵x3x68. ⑶x24x10

⑷3x24x10 ⑸3x13x1x12x5

例2、在实数范围内分解因式：

（1）x222x3； （2）4x28x1. ⑶2x24xy5y2

说明：①对于二次三项式ax2bxc的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，一般情况要用求根公式，这种方法首先令ax2bxc

=0，求出两根，再写成

ax2bxc=a(xx1)(xx2

).

②分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去.

⑴求代数式的值； ⑵解二元二次方程组。

例1、 已知x3x20，求代数式x13

2x21

x1的值。

a32a25a1例2、已知a是一元二次方程x3x10的一根，求的值。 2a12

例3、用两种不同的方法解方程组

2xy6,22x5xy6y0.(1)(2)

说明：解二元二次方程组的具体思维方法有两种：①先消元，再降次；②先降次，再 消元。但都体现了一种共同的数学思想——化归思想，即把新问题转化归结为我们已 知的问题.

①定根的个数；

②求待定系数的值；

③应用于其它。

例1、若关于x的方程x22kx10有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 例2、关于x的方程m1x22mxm0有实数根，则m的取值范围是( )

A.m0且m1 B.m0 C.m1 D.m1

例3、已知关于x的方程x2k2x2k0

(1)求证：无论k取何值时，方程总有实数根；

(2)若等腰ABC的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求ABC的周长。

例4、已知二次三项式9x2(m6)xm2是一个完全平方式，试求m的值.

x22y26,例5、m为何值时，方程组有两个不同的实数解？有两个相同的实数解？

mxy3.

1、当k 时，关于x的二次三项式x2kx9是完全平方式。

2、当k取何值时，多项式3x24x2k是一个完全平方式？这个完全平方式是什么？

3、已知方程mx2mx20有两个不相等的实数根，则m的值是ykx2,4、k为何值时，方程组2 y4x2y10.

（1）有两组相等的实数解，并求此解；

（2）有两组不相等的实数解；

（3）没有实数解.

5、当k取何值时，方程x24mx4x3m22m4k0的根与m均为有理数？

例1、关于x的方程m1x22mx30

⑴有两个实数根，则m为 ,

⑵只有一个根，则m为 。

例2、 不解方程，判断关于x的方程x22xkk23根的情况。

ax2bxc0而言，当满足①a0、②0时，

才能用韦达定理。

bcx1x2,

x1

x2 aa

例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程2x28x70的两根，则这个直角三 角形的斜边是（ ）

A. B.3 C.6 D.6

例2、已知关于x的方程k2x22k1x10有两个不相等的实数根x1,x2，

（1）求k的取值范围；

（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k的值；若不 存在，请说明理由。

例3、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为1）时，小明因看错

常数项，而得到解为8和2，小红因看错了一次项系数，而得到解为-9和-1。你知道 原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？

例4、已知ab，a22a10，b22b10，求ab变式：若a22a10，b22b10，则ab的值为。 ba

例5、已知,是方程x2x10

的两个根，那么43 .

1、解方程组xy3,(1)

x2y25(2)

2．已知a27a4，b27b4(ab)，求ba

ab的值。

3、已知x32

1,x2是方程x2x90的两实数根，求x17x23x266的值。

今天你学习了什么？_______________________________________________ 遇到了什么困难？_________________________________________________