圆内相关计算
【基础知识回顾】 一、 正多边形和圆：
1、各边相等，也相等的多边形是正多边形
2、每一个正多边形都有一个外接圆，外接圆的圆心叫正多边形的 外接圆的半径叫
正多边形的 一般用字母R 表示，每边所对的圆心角叫 用α表示，中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的 用r 表示
3、每一个正几边形都被它的半径分成一个全等的三角形，被它的半径和边心距分成一个全等的 三角形 二、 弧长与扇形面积计算：
⊙O 的半径为R ，弧长为L ，圆心角为n 0，扇形的面积为S 扇，则有如下公式： S 扇 三、圆柱和圆锥：
1、如图：设圆柱的高为L, 底面半径为R
则有：⑴S 圆柱侧= ⑵S 圆柱全= ⑶V 圆柱= 2、如图：设圆锥的母线长为L ，底面半径为R 高为h ，则有：
⑴S 圆锥侧 、⑵S 圆锥全 ⑶V 圆锥
【典型例题】 考点一：正多边形和圆
例1 如图，⊙O 的外切正六边形ABCDEF 的边长为2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A ．
考点二：圆周长与弧长
例2 如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC 的顶点都在格点上，将△ABC 绕点C 顺时针旋转60°，则顶点A 所经过的路径长为（ ）
A ．10π
B ．
π
2
B
2ππ2π
C
． D
． 323
D ．π
C ．
33
考点三：扇形面积与阴影部分面积
A ．0.64
考点四：圆柱、圆锥的侧面展开图
例4 如图，已知圆O 的半径为4，∠A=45°，若一个圆锥的侧面展开图与扇形OBC 能完全重合，则该圆锥的底面圆的半径为 1 ．
考点五：关于圆内接正多边形的作图
例5 在下图中，试分别按要求画出圆O 的内接正多边形
(1)正三角形
(2)正方形 (3)正五边形
C ．1.68
D ．0.36
B ．1.64
反思：利用直尺和圆规还能作出那些圆内接正多边形？ 如果有量角器呢？又应该如何作图那？
课堂练习：
1．为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a ，则阴影部分的面积为（ ） A ．2a 2
．）π（结果用含有π的式子表示）
3. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠CDB=30°，积为（ ）
A ．4π B ．2π
C ．π D ．
B ．3a 2
C ．4a 2
D ．5a 2
2
π 3
A ．π
B ．
C ．7π D ．6π 2
6．如图，AB 是⊙O 的直径，点E 为BC 的中点，AB=4，∠BED=120°，则图中阴影部分的面积之和为（ ） A ．1
7．如图，“凸轮”的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成．已知正三角形的边长为1，则凸轮的周长等于 π ．
8. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=2．将△ABC 绕顶点A 顺时针方向旋转至△AB′C′的位置，B ，A ，C′三点共线，则线段BC 扫过的区域面积为
．
9．已知：如图，⊙O 的半径为R ，正方形ABCD ，A ′B ′C ′D 分别是⊙O 的内接正方形和
外切正方形．求二者的边长比AB ∶A ′B ′和面积比S 内∶S 外．
10．已知：如图，以线段AB 为直径作半圆O 1，以线段AO 1为直径作半圆O 2，半径O 1C 交
半圆O 2于D 点．试比较
与
的长．
B ．
2
C ．
D ．
11．已知：如图，扇形OAB 和扇形OA ′B ′的圆心角相同，设AA ′＝BB ′＝d ．
＝l 2．求证：图中阴影部分的面积S =
12．如图，矩形ABCD 中，AB =18cm，AD =12cm，以AB 上一点O 为圆心，OB 长为半径画
恰与DC 边相切，交AD 于F 点，连结OF ．若将这个扇形OBF 围成一个圆锥，求这个圆锥的底面积S ．
13．如图，圆锥的轴截面是边长为6cm 的正三角形ABC ，P 是母线
AC
的中点．
求在圆锥的侧面上从B 点到P 点的最短路线的长
1
(l 1+l 2) d . 2
＝l
1，
课后作业：
一、选择题
1 .一个扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2πcm，则这个扇形的半径为（ ）
A ．6cm B ．12cm C ．
cm D ．6cm 2 .如图，一枚直径为4cm 的圆形古钱币沿着直线滚动一周，圆心移动的距离是（ ）
A ．2πcm A ．30°
B ．45° B ．4πcm
C ．8πcm
D ．16πcm
C ．60°
D ．90°
4．如图，四边形OABC 为菱形，点A ，B 在以O 为圆心的弧上，若OA=3，∠1=∠2，则扇形ODE 的面积为（ ）
A ．
5．如图，在△ABC 中，BC=4，以点A 为圆心，2为半径的⊙A 与BC 相切于点D ，交AB 于点E ，交AC 于点F ，点P 是⊙A 上的一点，且∠EPF=45°，则图中阴影部分的面积为（ ） A ．4-π
B ．4-2π
C ．
8+π
D ．8-2π
4
π 3
B ．π C ．2π D ．3π
53
6．如图所示，扇形AOB 的圆心角为120°，半径为2，则图中阴影部分的面积为（
） A ．
4π
3
B ．
4π
-3
C
．
4π4π- D ． 323
7. 如图，正方形MNEF 的四个顶点在直径为4的大圆上，小圆与正方形各边都相切，AB 与CD 是大圆的直径，AB ⊥CD ，CD ⊥MN ，则图中阴影部分的面积是（ ）
A ．4π
B ．3π
C ．2π
D ．π
8．用半径为2cm 的半圆围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面半径为（ ）
A ．1cm
B ．2cm
C ．πcm
D ．2πcm
9．若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为（ ）
A ．120°
B ．180°
C ．240°
D ．300°
10． 如图，用邻边分别为a ，b （a ＜b ）的矩形硬纸板裁出以a 为直径的两个半圆，再裁出与矩形的较长边、两个半圆均相切的两个小圆．把半圆作为圆锥形圣诞帽的侧面，小圆恰好能作为底面，
从而做成两个圣诞帽（拼接处材料忽略不计），则a 与b 满足的关系式是（ ） A
． B ．
b=
11．一个几何体的三视图如图所示，网格中小正方形的边长均为1
，那么下列选项中最接近这个几何体的侧面积的是（ ）
A ．24.0
B ．62.8
C ．74.2
D ．113.0
1
a 2
C ．
b=
a D ．b= 2
a
12如图，矩形ABCD 中，AB=1，BC=2，把矩形ABCD 绕AB 所在直线旋转一周所得圆柱的侧面积为（ ）
A ．10π
二、填空题
13．已知一个圆的半径为5cm ，则它的内接六边形的边长为 5cm
B ．4π
C ．2π
D ．2
．
14．若一个正六边形的周长为24，则该六边形的面积为
15．在半径为1cm 的圆中，圆心角为120°的扇形的弧长是 cm
21. 如图，在▱ABCD 中，AD=2，AB=4，∠A=30°，以点A 为圆心，AD 的长为半径画弧交AB 于点E ，连接CE ，则阴影部分的面积是 （结果保留π）π
29如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，且AB =13，BC =5． （1）求sin ∠BAC 的值；
（2）如果OD ⊥AC ，垂足为D ，求AD 的长； （3）求图中阴影部分的面积（精确到0.1）．
30. 如图，从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为90的扇形． （1）求这个扇形的面积（结果保留π）；
（2）在剩下的三块余料中，能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个
圆锥？请说明理由．
（3）当⊙O 的半径R (R >0) 为任意值时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
B
31、如图，AB 为⊙O 的直径，CD ⊥AB 于点E ，交⊙O 于点D ，OF ⊥AC 于点F ．
32．已知：如图，⊙O 的半径为R ，求⊙O 的内接正六边形、⊙O 的外切正六边形的边长比
AB ∶A ′B ′和面积比S 内∶S 外．
圆内相关计算
【基础知识回顾】 一、 正多边形和圆：
1、各边相等，也相等的多边形是正多边形
2、每一个正多边形都有一个外接圆，外接圆的圆心叫正多边形的 外接圆的半径叫
正多边形的 一般用字母R 表示，每边所对的圆心角叫 用α表示，中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的 用r 表示
3、每一个正几边形都被它的半径分成一个全等的三角形，被它的半径和边心距分成一个全等的 三角形 二、 弧长与扇形面积计算：
⊙O 的半径为R ，弧长为L ，圆心角为n 0，扇形的面积为S 扇，则有如下公式： S 扇 三、圆柱和圆锥：
1、如图：设圆柱的高为L, 底面半径为R
则有：⑴S 圆柱侧= ⑵S 圆柱全= ⑶V 圆柱= 2、如图：设圆锥的母线长为L ，底面半径为R 高为h ，则有：
⑴S 圆锥侧 、⑵S 圆锥全 ⑶V 圆锥
【典型例题】 考点一：正多边形和圆
例1 如图，⊙O 的外切正六边形ABCDEF 的边长为2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A ．
考点二：圆周长与弧长
例2 如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC 的顶点都在格点上，将△ABC 绕点C 顺时针旋转60°，则顶点A 所经过的路径长为（ ）
A ．10π
B ．
π
2
B
2ππ2π
C
． D
． 323
D ．π
C ．
33
考点三：扇形面积与阴影部分面积
A ．0.64
考点四：圆柱、圆锥的侧面展开图
例4 如图，已知圆O 的半径为4，∠A=45°，若一个圆锥的侧面展开图与扇形OBC 能完全重合，则该圆锥的底面圆的半径为 1 ．
考点五：关于圆内接正多边形的作图
例5 在下图中，试分别按要求画出圆O 的内接正多边形
(1)正三角形
(2)正方形 (3)正五边形
C ．1.68
D ．0.36
B ．1.64
反思：利用直尺和圆规还能作出那些圆内接正多边形？ 如果有量角器呢？又应该如何作图那？
课堂练习：
1．为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a ，则阴影部分的面积为（ ） A ．2a 2
．）π（结果用含有π的式子表示）
3. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠CDB=30°，积为（ ）
A ．4π B ．2π
C ．π D ．
B ．3a 2
C ．4a 2
D ．5a 2
2
π 3
A ．π
B ．
C ．7π D ．6π 2
6．如图，AB 是⊙O 的直径，点E 为BC 的中点，AB=4，∠BED=120°，则图中阴影部分的面积之和为（ ） A ．1
7．如图，“凸轮”的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成．已知正三角形的边长为1，则凸轮的周长等于 π ．
8. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=2．将△ABC 绕顶点A 顺时针方向旋转至△AB′C′的位置，B ，A ，C′三点共线，则线段BC 扫过的区域面积为
．
9．已知：如图，⊙O 的半径为R ，正方形ABCD ，A ′B ′C ′D 分别是⊙O 的内接正方形和
外切正方形．求二者的边长比AB ∶A ′B ′和面积比S 内∶S 外．
10．已知：如图，以线段AB 为直径作半圆O 1，以线段AO 1为直径作半圆O 2，半径O 1C 交
半圆O 2于D 点．试比较
与
的长．
B ．
2
C ．
D ．
11．已知：如图，扇形OAB 和扇形OA ′B ′的圆心角相同，设AA ′＝BB ′＝d ．
＝l 2．求证：图中阴影部分的面积S =
12．如图，矩形ABCD 中，AB =18cm，AD =12cm，以AB 上一点O 为圆心，OB 长为半径画
恰与DC 边相切，交AD 于F 点，连结OF ．若将这个扇形OBF 围成一个圆锥，求这个圆锥的底面积S ．
13．如图，圆锥的轴截面是边长为6cm 的正三角形ABC ，P 是母线
AC
的中点．
求在圆锥的侧面上从B 点到P 点的最短路线的长
1
(l 1+l 2) d . 2
＝l
1，
课后作业：
一、选择题
1 .一个扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2πcm，则这个扇形的半径为（ ）
A ．6cm B ．12cm C ．
cm D ．6cm 2 .如图，一枚直径为4cm 的圆形古钱币沿着直线滚动一周，圆心移动的距离是（ ）
A ．2πcm A ．30°
B ．45° B ．4πcm
C ．8πcm
D ．16πcm
C ．60°
D ．90°
4．如图，四边形OABC 为菱形，点A ，B 在以O 为圆心的弧上，若OA=3，∠1=∠2，则扇形ODE 的面积为（ ）
A ．
5．如图，在△ABC 中，BC=4，以点A 为圆心，2为半径的⊙A 与BC 相切于点D ，交AB 于点E ，交AC 于点F ，点P 是⊙A 上的一点，且∠EPF=45°，则图中阴影部分的面积为（ ） A ．4-π
B ．4-2π
C ．
8+π
D ．8-2π
4
π 3
B ．π C ．2π D ．3π
53
6．如图所示，扇形AOB 的圆心角为120°，半径为2，则图中阴影部分的面积为（
） A ．
4π
3
B ．
4π
-3
C
．
4π4π- D ． 323
7. 如图，正方形MNEF 的四个顶点在直径为4的大圆上，小圆与正方形各边都相切，AB 与CD 是大圆的直径，AB ⊥CD ，CD ⊥MN ，则图中阴影部分的面积是（ ）
A ．4π
B ．3π
C ．2π
D ．π
8．用半径为2cm 的半圆围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面半径为（ ）
A ．1cm
B ．2cm
C ．πcm
D ．2πcm
9．若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为（ ）
A ．120°
B ．180°
C ．240°
D ．300°
10． 如图，用邻边分别为a ，b （a ＜b ）的矩形硬纸板裁出以a 为直径的两个半圆，再裁出与矩形的较长边、两个半圆均相切的两个小圆．把半圆作为圆锥形圣诞帽的侧面，小圆恰好能作为底面，
从而做成两个圣诞帽（拼接处材料忽略不计），则a 与b 满足的关系式是（ ） A
． B ．
b=
11．一个几何体的三视图如图所示，网格中小正方形的边长均为1
，那么下列选项中最接近这个几何体的侧面积的是（ ）
A ．24.0
B ．62.8
C ．74.2
D ．113.0
1
a 2
C ．
b=
a D ．b= 2
a
12如图，矩形ABCD 中，AB=1，BC=2，把矩形ABCD 绕AB 所在直线旋转一周所得圆柱的侧面积为（ ）
A ．10π
二、填空题
13．已知一个圆的半径为5cm ，则它的内接六边形的边长为 5cm
B ．4π
C ．2π
D ．2
．
14．若一个正六边形的周长为24，则该六边形的面积为
15．在半径为1cm 的圆中，圆心角为120°的扇形的弧长是 cm
21. 如图，在▱ABCD 中，AD=2，AB=4，∠A=30°，以点A 为圆心，AD 的长为半径画弧交AB 于点E ，连接CE ，则阴影部分的面积是 （结果保留π）π
29如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，且AB =13，BC =5． （1）求sin ∠BAC 的值；
（2）如果OD ⊥AC ，垂足为D ，求AD 的长； （3）求图中阴影部分的面积（精确到0.1）．
30. 如图，从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为90的扇形． （1）求这个扇形的面积（结果保留π）；
（2）在剩下的三块余料中，能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个
圆锥？请说明理由．
（3）当⊙O 的半径R (R >0) 为任意值时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
B
31、如图，AB 为⊙O 的直径，CD ⊥AB 于点E ，交⊙O 于点D ，OF ⊥AC 于点F ．
32．已知：如图，⊙O 的半径为R ，求⊙O 的内接正六边形、⊙O 的外切正六边形的边长比
AB ∶A ′B ′和面积比S 内∶S 外．