2012-2013数学必修四练习题
一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1. cos 70cos 335+sin 110sin 25结果是（ ）
A. 1 B. 2. 已知sin α=
22
C.
32
D.
12
35
，α∈(
π
2
, π) ，则cos(2
π
4
-α) 的值为（ ）
725
A. -
25
B. -
10
C. -
7210
D. -
3.
sin 15 +cos 15 sin 15-cos 15
3
的值为（ ）
A. B.
2+64
C.
2-64
D. -3
4. 若cos α=-
45
1+tan
，α是第三象限的角，则
αα
=（ ）
1-tan
12
2
A. -
12
B.
2
C. 2 D. -2
5. 函数f (x ) =cos (x -
π
12
) +sin 2(x +
π
12
) -1是（ ）
A. 奇函数 B. 偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D. 既不是奇函数又不是偶函数 6. 若cos θ>0，且sin 2θ
3π2
C. π D.
π 2
8. 设M 和m 分别表示函数y = A.
13
cos x -1的最大值和最小值，则M +m 等于（ ） 43
D. -2
23
B. -
23
C. -
9. 若θ∈(0,
π
2
) ，sin θ-cos θ=
32
22
，则cos 2θ等于（ ）
A.
2
B. - C. ±
32
D. ±
12
10. 当0
π
412
时，函数f (x ) =
cos 2x cos x sin x -sin x
2
的最小值是（ ）
A.
14
B. C. 2 D. 4
二．填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11. (cos
π
12
-sin
π
12
)(cos
π
12
+sin
π
12. 若tan(α+13. tan α=
π
4
) =3+22，则
13
12
1-cos 2αsin 2α
) 12
，tan β=，0
π
2
，0
3π2
，则α+β的值是14. 若θ是第二象限角，cos
θ
2
-sin
θ
2
=-sin θ，则角
θ
所在的象限是 2
15. 如果向量a =(4, 3) ，b =(sinα, cos α) ，且a ⊥b ，那么tan 2α等于
三．解答题（本大题共6小题，共75分） 16. （12分）若2sin(
π
4
+α) =sin θ+cos θ，2sin 2β=sin 2θ，求证：sin 2α+
12
cos 2β=0.
1+2cos(2x -
17. （12分）已知函数f (x ) =
π
sin(x +
（1）求f (x ) 的定义域；
（2）若角α在第一象限，且cos α=
π
2
)
)
35
，求f (α)
18. （12分）已知f (x ) =2sin x +2cos x +cos 2x -3 （1）求函数f (x ) 的最小正周期； （2）求函数f (x ) 在闭区间[
442
, ]上的最小值，并求出f (x ) 取最小值时x 的取值。 1616
π3π
→→
2
19. （12分）已知O 为坐标原点，OA =(2cos x , 1) ，OB =(1, 3sin 2x +a ) ，(x ∈R , a ∈R , a 是常数），→→若y =OA ⋅OB
（1）求y 关于x 的函数解析式f (x ) ；
（2）若x ∈[0,
π
2
]时，f (x ) 的最大值为2，求a 的值并指出f (x ) 的单调区间。
20. （13分）设f (x ) =6cos x -3sin 2x （1）求f (x ) 的最大值及最小正周期；
（2）若锐角α满足f (α) =3-23，求tan(α) 的值
2
4
5
21. （14分）已知函数f (x ) =tan x ，x ∈(0,
π
2
) ，若x 1, x 2∈(0,
π
2
) ，x 1≠x 2，证明：
12
[f (x 1) +f (x 2)]>f (
x 1+x 2
2
)
答案：
1.B (提示：诱导公式cos 335=cos 25，sin 110=cos 70） 2.B （提示：cos(
π
4
-α) =cos
π
4=
cos α+sin 1+tan 15 1-tan 15
）
π
4
sin α）
3.D （提示：
sin 15 +cos 15 sin 15-cos 15
=tan(
π
4
+α) ）
4.A （提示：tan
α
2
=
1+cos α1-cos α
5.A （提示：把cos (x -
π
12
), sin (x +
π
12
) 展开）
6.D 7.A （提示：f (x ) =(1+tan x ) cos x =cos x +3sin x =2sin(x +8.D 9.B （提示：(sinθ+cos θ) =(sinθ-cos θ) +2sin θcos θ） 10.D
2
2
π
6
) ）
11.
2
，12.
22
，13.
5π4
，14. 第三象限， 15. -
247
16. 证明：2s i +α) =s i θn +c o θs ，得
π
4
2c o αs +2s i αn =s i θn +c o θs ，两边平方得
2
2(1+sin 2α) =1+sin 2θ，即si n 2α=
入（1）得sin 2α+17. （1）sin(x +
12
s i （1），2n (sin 2θ-1) ，β=n s i 2θ，得1-cos 2β=si n 2θ代
12
cos 2β=0
π
2
) ≠0，得{x |x ≠k π-
π
2
, k ∈Z }
45
1+2c
，
从
而
（2）由已知条件
s αi =-c
2
o α=s f (α) =
s
) (
παi +) (
2
o 2α-s
π
=
1+cos 2α+sin 2α
cos α
=2(cosα+sin α) =
145
18. 化简得f (x ) =cos 4x -1（1）f (x ) 的最小正周期是
2π4
=
π3π
（2）x =时，f (x ) 最小值为216
cos
3π4
-1=-
2+22
19. 因为
→→πππ
y =OA ⋅OB =2cos 2x +sin 2x +a =2sin(2x +) +1+a 所以2x +=解得
662
∈[0, ]时，f (x ) 取最大值3+a ，所以有a =-1，可以解得单调增区间[k π-, k π+]，单调
6236
π2π
减区间[k π+, k π+]
63
1+cos 2x π
20. （1）f (x ) =6⨯-sin 2x =23cos(2x +) +3故最大值为23+3，最小正周期是
26
2πππ5
=π（2）由f (α) =3-2，于是co s (2x +) =-1，又由0
t an α) =3
5x =
21. 证明：tan x 1+tan x 2=
ππππ
sin x 1cos x 1
+
sin x 2cos x 2
=
sin(x 1+x 2) cos x 1cos x 2
=
2sin(x 1+x 2) cos(x 1+x 2) +cos(x 1-x 2)
因为x 1, x 2∈(0,
π
2
) ，所以0
2sin(x 1+x 2) 1+cos(x 1+x 2)
=2tan
x 1+x 2
2
，即结论成立
由此tan x 1+tan x 2>
2012-2013数学必修四练习题
一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1. cos 70cos 335+sin 110sin 25结果是（ ）
A. 1 B. 2. 已知sin α=
22
C.
32
D.
12
35
，α∈(
π
2
, π) ，则cos(2
π
4
-α) 的值为（ ）
725
A. -
25
B. -
10
C. -
7210
D. -
3.
sin 15 +cos 15 sin 15-cos 15
3
的值为（ ）
A. B.
2+64
C.
2-64
D. -3
4. 若cos α=-
45
1+tan
，α是第三象限的角，则
αα
=（ ）
1-tan
12
2
A. -
12
B.
2
C. 2 D. -2
5. 函数f (x ) =cos (x -
π
12
) +sin 2(x +
π
12
) -1是（ ）
A. 奇函数 B. 偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D. 既不是奇函数又不是偶函数 6. 若cos θ>0，且sin 2θ
3π2
C. π D.
π 2
8. 设M 和m 分别表示函数y = A.
13
cos x -1的最大值和最小值，则M +m 等于（ ） 43
D. -2
23
B. -
23
C. -
9. 若θ∈(0,
π
2
) ，sin θ-cos θ=
32
22
，则cos 2θ等于（ ）
A.
2
B. - C. ±
32
D. ±
12
10. 当0
π
412
时，函数f (x ) =
cos 2x cos x sin x -sin x
2
的最小值是（ ）
A.
14
B. C. 2 D. 4
二．填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11. (cos
π
12
-sin
π
12
)(cos
π
12
+sin
π
12. 若tan(α+13. tan α=
π
4
) =3+22，则
13
12
1-cos 2αsin 2α
) 12
，tan β=，0
π
2
，0
3π2
，则α+β的值是14. 若θ是第二象限角，cos
θ
2
-sin
θ
2
=-sin θ，则角
θ
所在的象限是 2
15. 如果向量a =(4, 3) ，b =(sinα, cos α) ，且a ⊥b ，那么tan 2α等于
三．解答题（本大题共6小题，共75分） 16. （12分）若2sin(
π
4
+α) =sin θ+cos θ，2sin 2β=sin 2θ，求证：sin 2α+
12
cos 2β=0.
1+2cos(2x -
17. （12分）已知函数f (x ) =
π
sin(x +
（1）求f (x ) 的定义域；
（2）若角α在第一象限，且cos α=
π
2
)
)
35
，求f (α)
18. （12分）已知f (x ) =2sin x +2cos x +cos 2x -3 （1）求函数f (x ) 的最小正周期； （2）求函数f (x ) 在闭区间[
442
, ]上的最小值，并求出f (x ) 取最小值时x 的取值。 1616
π3π
→→
2
19. （12分）已知O 为坐标原点，OA =(2cos x , 1) ，OB =(1, 3sin 2x +a ) ，(x ∈R , a ∈R , a 是常数），→→若y =OA ⋅OB
（1）求y 关于x 的函数解析式f (x ) ；
（2）若x ∈[0,
π
2
]时，f (x ) 的最大值为2，求a 的值并指出f (x ) 的单调区间。
20. （13分）设f (x ) =6cos x -3sin 2x （1）求f (x ) 的最大值及最小正周期；
（2）若锐角α满足f (α) =3-23，求tan(α) 的值
2
4
5
21. （14分）已知函数f (x ) =tan x ，x ∈(0,
π
2
) ，若x 1, x 2∈(0,
π
2
) ，x 1≠x 2，证明：
12
[f (x 1) +f (x 2)]>f (
x 1+x 2
2
)
答案：
1.B (提示：诱导公式cos 335=cos 25，sin 110=cos 70） 2.B （提示：cos(
π
4
-α) =cos
π
4=
cos α+sin 1+tan 15 1-tan 15
）
π
4
sin α）
3.D （提示：
sin 15 +cos 15 sin 15-cos 15
=tan(
π
4
+α) ）
4.A （提示：tan
α
2
=
1+cos α1-cos α
5.A （提示：把cos (x -
π
12
), sin (x +
π
12
) 展开）
6.D 7.A （提示：f (x ) =(1+tan x ) cos x =cos x +3sin x =2sin(x +8.D 9.B （提示：(sinθ+cos θ) =(sinθ-cos θ) +2sin θcos θ） 10.D
2
2
π
6
) ）
11.
2
，12.
22
，13.
5π4
，14. 第三象限， 15. -
247
16. 证明：2s i +α) =s i θn +c o θs ，得
π
4
2c o αs +2s i αn =s i θn +c o θs ，两边平方得
2
2(1+sin 2α) =1+sin 2θ，即si n 2α=
入（1）得sin 2α+17. （1）sin(x +
12
s i （1），2n (sin 2θ-1) ，β=n s i 2θ，得1-cos 2β=si n 2θ代
12
cos 2β=0
π
2
) ≠0，得{x |x ≠k π-
π
2
, k ∈Z }
45
1+2c
，
从
而
（2）由已知条件
s αi =-c
2
o α=s f (α) =
s
) (
παi +) (
2
o 2α-s
π
=
1+cos 2α+sin 2α
cos α
=2(cosα+sin α) =
145
18. 化简得f (x ) =cos 4x -1（1）f (x ) 的最小正周期是
2π4
=
π3π
（2）x =时，f (x ) 最小值为216
cos
3π4
-1=-
2+22
19. 因为
→→πππ
y =OA ⋅OB =2cos 2x +sin 2x +a =2sin(2x +) +1+a 所以2x +=解得
662
∈[0, ]时，f (x ) 取最大值3+a ，所以有a =-1，可以解得单调增区间[k π-, k π+]，单调
6236
π2π
减区间[k π+, k π+]
63
1+cos 2x π
20. （1）f (x ) =6⨯-sin 2x =23cos(2x +) +3故最大值为23+3，最小正周期是
26
2πππ5
=π（2）由f (α) =3-2，于是co s (2x +) =-1，又由0
t an α) =3
5x =
21. 证明：tan x 1+tan x 2=
ππππ
sin x 1cos x 1
+
sin x 2cos x 2
=
sin(x 1+x 2) cos x 1cos x 2
=
2sin(x 1+x 2) cos(x 1+x 2) +cos(x 1-x 2)
因为x 1, x 2∈(0,
π
2
) ，所以0
2sin(x 1+x 2) 1+cos(x 1+x 2)
=2tan
x 1+x 2
2
，即结论成立
由此tan x 1+tan x 2>