人教A 版选修2-1双曲线及其标准方程(1)的教学设计
一 设计思想：
本课为解析几何内容，充分体现了解析法的应用．学好概念是本课的关键，在辅助媒体的选用上我选择了实物投影和课件共用．利用Flash 动画再现椭圆的形成过程，借助于实物投影演示双曲线的形成，课件呈现图表类比，对比椭圆与双曲线的异同．本课将通过让学生动手演示，动口叙述，动脑编题等方式，充分调动学生的思维，形成以学生为主体的课堂氛围．
二 教材分析：
本内容选自人教A 版普通高中课程标准实验教科书选修2-1第2章第3节双曲线的第一课时，双曲线是三种圆锥曲线中最复杂的一种，传统的处理方法是先学习椭圆，再学习双曲线，这充分考虑了紧密联系 知识体系和由易到难的教学要求，符合学生的学习，在新课程教材中继续保留，前面有椭圆知识及学习方法的铺垫，后面有抛物线学习的综合加强，有利于学生掌握和巩固．
本课的主要学习内容有：①探求轨迹（双曲线）②学习双曲线的概念 ③推导双曲线标准方程 ④学习标准方程的简单求法
三 学情分析：
学生先前已经学习了椭圆，基本掌握了椭圆的有关问题及研究方法，而双曲线问题，它与椭圆问题有类似性，知识的正迁移作用可在本节课中充分显示．也就是说，学生在经过前期解析几何的系统学习，已初步掌握了解析法思想和解析研究的能力，学习本课已具备一定的基础．在学习过程，较椭圆而言，从直观图形轨迹到抽象概念的形成，中间一些细节问题的处理要求学生有更细致入微的分析和更强的领悟性，因此学生概括起来有更高的难度．特别是对于为什么需要加绝对值，c 与a 的有怎么样大小关系，为什么是这样的等等．另外，与椭圆除了本身内容的区别之外，初中所学的“反比例函数图象”在学生的头脑里有一个原有认知，而这个认知对于现在的学习会产生一定帮助的同时，其方程形式的不同也会带来一定的认知冲突．
四 教学目标：
△通过双曲线轨迹的探索过程，体验双曲线的特征，探求总结双曲线的定义； △通过类比椭圆的标准方程，推导并掌握双曲线的标准方程；
△通过对双曲线概念和标准方程的探索，培养学生观察分析抽象的能力，体验解析思想，激发学生探究事物运动规律，进一步认清事物的本质特征的兴趣；
五 重点难点：
△重点：双曲线的定义及其标准方程；
△难点：准确理解表述双曲线的定义，标准方程的推导
六 课前准备：
△教具准备：①全班按4人一组分成若干组，每组准备8K 纸一张，拉链一根
②教师准备小木板一块，长拉链一根，图钉两枚，美工笔一支．
③实物投影仪，Flash 课件．
△教法准备：在教师的指导下探究学习，通过作图——原理分析——定义——方程推导
的探究，深化对双曲线的认识，并注意与椭圆的类比．
七 教学过程：
（一） 回顾椭圆， 寻求引领方法
问题1：椭圆的第一定义是什么？椭圆的标准方程是怎么样的？怎么推导而来？
问题2：如何作椭圆？
（边回顾知识，边播放Flash 课件，动画展示椭圆的形成过程，注重于研究问题的方法） （二）动手演示，感受双曲线形成
在椭圆定义中，到两定点的距离之“和”改为到两定点的距离之“差”为定值，则曲线的轨迹又会如何？能否利用手头的工具来演示得到满足这样条件的曲线呢？
（师生共同研究探索作图方案，主要解决如何来实现距离之差为定值）
总结方法：取拉链，拉开一部分，在拉开的一边上取其
端点，在另一边的中部位置取一点分别固定在纸上的两
个定点F 1和F 2处，（注意F 1F 2的距离要比拉链两点的
差要大），把笔尖搭在拉链头M 处，随着拉链的拉开或闭
合，笔尖就画出一条曲线．
（学生动手，老师指导，然后在讲台上演示）
（三）剖析特征，提炼双曲线定义
3.1 分析演示结果
展示学生画图结果一：
拉链在拉开闭拢的过程中，拉开的两边长始终相等，即|MF1|=|MF2|+|F1F 2|．动点M 变化时，|MF1|与|MF2|在不断变化，但总有|MF1|-|MF2|=|F1F 2|，而|F1F 2|为定长，所以
点M 到两定点F 1和F 2的距离之差为常数，记为2a ，即|MF1|-|MF2|=2a
展示学生画图结果二：
画出来的曲线开口向左边
（把学生的图在实物投影下展示，发现存在的差异，
讨论点M 到F1与F2两点的距离的差确切怎样表示？）
展示学生画图结果三：
拉链头拉不到F2点，图画不出来
（引发学生思考为什么会画不出来？||MF1|-|MF2||
与|F1F2|有何关系？）
3.2 双曲线定义：
（引导学生概括出双曲线的定义）
平面内与两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数（小于
数学简记：||MF 1|-|MF 2||=±2a （0
（直观感觉双曲线有“两条”（两支），每一支“有点象”抛物线．曾经学过的反比例函数图象是双曲线．那么双曲线就是反比例函数图象？答，不是的，反比例函数图象是双曲线，但双曲线所对应的表达式不一定是反比例函数的形式，下面我们就研究双曲线的方程）
（四）类比椭圆，推导标准方程
4.1 推导
回忆椭圆的标准方程的推导步骤，来推导双曲线的标准方程．
（教师提示步骤，叫一学生上台板演，其余学生自己推导，教师个别指导）
整理修改板演学生的结果：
设M (x , y ) ，F 1(-c , 0) ，F 2(c , 0) ，
由|MF 1|-|MF 2|=±2a ，得(x +c ) 2+y 2-(x -c ) 2+y 2=±2a
⇒(x +c ) 2+y 2=(x -c ) 2+y 2±2a
⇒(x +c ) 2+y 2=(x -c ) 2+y 2±4a (x -c ) 2+y 2+4a 2
⇒cx -a 2=±a (x -c ) 2+y 2
⇒(cx -a 2) 2=a 2[(x -c ) 2+y 2]
⇒(c 2-a 2) x 2-a 2y 2=a 2(c 2-a 2) ，
x 2y 2令c -a =b （b >0），得b x -a y =a b ，即2-2=1． a b 222222222
（讨论：推导的过程是一个等价变形的过程吗？）
4.2 标准方程
①双曲线的标准方程
x 2y 2当焦点在x 轴上，中心在原点时，方程形式：2-2=1 a b
y 2x 2当焦点在y 轴上，中心在原点时，方程形式： -=1 a b
②参数a,b,c 的关系
c 2=a 2+b 2（a , b , c >0） |MF 1|-|MF 2|=±2a （实轴长） |F 1F 2|=2c （焦距） ③与椭圆的对比
(从定义阐述，方程结构特征，a,b,c 之间的关系，焦点坐标的判断着手分析相同点和不同点，并用课件表格的形式呈现)
（五）应用解题，巩固知识要点
例1 写出一个双曲线的标准方程，并让同桌写出相应的焦点坐标及a,b,c 的值．
（学生自己出题，自己解答，巩固标准方程及其中相应的数量关系，并找出具有代表性的例子用实物投影共同分析解答的结果）
x 2y 2
-=1表示焦点在x 轴上的双曲线，则m 的取值范围是 ． 例2 已知方程m -2m +3
变式：（1）改为表示焦点在y 轴上的双曲线呢？
（2）改为表示双曲线呢？
（3）若表示椭圆呢？
（通过变式进一步巩固方程的结构特征，并与椭圆加以区别）
例3在给出的四个选项中选择适当的数填入空格，再解题：已知双曲线的焦点坐标为F 1(-5, 0) , F 2(5, 0) , 双曲线上点P 到F1，F2的差的绝对值等于______，求双曲线的标准方程.
A. 16 B. 6 C.10 D.0
（分析每个选项的特征，进一步理解定义中0
（六）对比总结，整合新学知识
1．应用双曲线和椭圆的对比图表，总结整理双曲线定义的要点，标准方程的形式
2．课本练习 P60 1，2，3
3．思考 （1）当0≤θ≤π时，方程x 2sin θ+y 2cos θ=1表示什么曲线？
（2）反比例函数图象是特殊的双曲线，为什么其方程和标准方程不同？
八 板书设计:
问题研讨：
本节课设计源于本人课堂教学的一个真实案例．在教学思想上，以“问题引导，探究交流”为主，兼容讲解、演示、合作等多种方式，力求灵活运用．在教学目标上，以突出解析思想为主，容知识与技能、过程与方法、情感与体验为一体，力求多元价值取向．在多媒体应用上，力求灵活实用，不跟着课件走，使得多媒体真正做到为课堂有效服务．整堂课下来充实流畅，课堂气氛姣好．但也存在几个值得反思和讨论的问题：
1．让学生动手演示比较费时间，因此在动手之前教师应该把要点准确的分析到位．
2．在标准方程的推导过程中，讨论推导的过程是否为一个等价变形的过程，比较复杂，学生理解起来不是很清楚，这里存在如何能恰到好处的处理这一问题，有待进一步的思考和探讨.
人教A 版选修2-1双曲线及其标准方程(1)的教学设计
一 设计思想：
本课为解析几何内容，充分体现了解析法的应用．学好概念是本课的关键，在辅助媒体的选用上我选择了实物投影和课件共用．利用Flash 动画再现椭圆的形成过程，借助于实物投影演示双曲线的形成，课件呈现图表类比，对比椭圆与双曲线的异同．本课将通过让学生动手演示，动口叙述，动脑编题等方式，充分调动学生的思维，形成以学生为主体的课堂氛围．
二 教材分析：
本内容选自人教A 版普通高中课程标准实验教科书选修2-1第2章第3节双曲线的第一课时，双曲线是三种圆锥曲线中最复杂的一种，传统的处理方法是先学习椭圆，再学习双曲线，这充分考虑了紧密联系 知识体系和由易到难的教学要求，符合学生的学习，在新课程教材中继续保留，前面有椭圆知识及学习方法的铺垫，后面有抛物线学习的综合加强，有利于学生掌握和巩固．
本课的主要学习内容有：①探求轨迹（双曲线）②学习双曲线的概念 ③推导双曲线标准方程 ④学习标准方程的简单求法
三 学情分析：
学生先前已经学习了椭圆，基本掌握了椭圆的有关问题及研究方法，而双曲线问题，它与椭圆问题有类似性，知识的正迁移作用可在本节课中充分显示．也就是说，学生在经过前期解析几何的系统学习，已初步掌握了解析法思想和解析研究的能力，学习本课已具备一定的基础．在学习过程，较椭圆而言，从直观图形轨迹到抽象概念的形成，中间一些细节问题的处理要求学生有更细致入微的分析和更强的领悟性，因此学生概括起来有更高的难度．特别是对于为什么需要加绝对值，c 与a 的有怎么样大小关系，为什么是这样的等等．另外，与椭圆除了本身内容的区别之外，初中所学的“反比例函数图象”在学生的头脑里有一个原有认知，而这个认知对于现在的学习会产生一定帮助的同时，其方程形式的不同也会带来一定的认知冲突．
四 教学目标：
△通过双曲线轨迹的探索过程，体验双曲线的特征，探求总结双曲线的定义； △通过类比椭圆的标准方程，推导并掌握双曲线的标准方程；
△通过对双曲线概念和标准方程的探索，培养学生观察分析抽象的能力，体验解析思想，激发学生探究事物运动规律，进一步认清事物的本质特征的兴趣；
五 重点难点：
△重点：双曲线的定义及其标准方程；
△难点：准确理解表述双曲线的定义，标准方程的推导
六 课前准备：
△教具准备：①全班按4人一组分成若干组，每组准备8K 纸一张，拉链一根
②教师准备小木板一块，长拉链一根，图钉两枚，美工笔一支．
③实物投影仪，Flash 课件．
△教法准备：在教师的指导下探究学习，通过作图——原理分析——定义——方程推导
的探究，深化对双曲线的认识，并注意与椭圆的类比．
七 教学过程：
（一） 回顾椭圆， 寻求引领方法
问题1：椭圆的第一定义是什么？椭圆的标准方程是怎么样的？怎么推导而来？
问题2：如何作椭圆？
（边回顾知识，边播放Flash 课件，动画展示椭圆的形成过程，注重于研究问题的方法） （二）动手演示，感受双曲线形成
在椭圆定义中，到两定点的距离之“和”改为到两定点的距离之“差”为定值，则曲线的轨迹又会如何？能否利用手头的工具来演示得到满足这样条件的曲线呢？
（师生共同研究探索作图方案，主要解决如何来实现距离之差为定值）
总结方法：取拉链，拉开一部分，在拉开的一边上取其
端点，在另一边的中部位置取一点分别固定在纸上的两
个定点F 1和F 2处，（注意F 1F 2的距离要比拉链两点的
差要大），把笔尖搭在拉链头M 处，随着拉链的拉开或闭
合，笔尖就画出一条曲线．
（学生动手，老师指导，然后在讲台上演示）
（三）剖析特征，提炼双曲线定义
3.1 分析演示结果
展示学生画图结果一：
拉链在拉开闭拢的过程中，拉开的两边长始终相等，即|MF1|=|MF2|+|F1F 2|．动点M 变化时，|MF1|与|MF2|在不断变化，但总有|MF1|-|MF2|=|F1F 2|，而|F1F 2|为定长，所以
点M 到两定点F 1和F 2的距离之差为常数，记为2a ，即|MF1|-|MF2|=2a
展示学生画图结果二：
画出来的曲线开口向左边
（把学生的图在实物投影下展示，发现存在的差异，
讨论点M 到F1与F2两点的距离的差确切怎样表示？）
展示学生画图结果三：
拉链头拉不到F2点，图画不出来
（引发学生思考为什么会画不出来？||MF1|-|MF2||
与|F1F2|有何关系？）
3.2 双曲线定义：
（引导学生概括出双曲线的定义）
平面内与两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数（小于
数学简记：||MF 1|-|MF 2||=±2a （0
（直观感觉双曲线有“两条”（两支），每一支“有点象”抛物线．曾经学过的反比例函数图象是双曲线．那么双曲线就是反比例函数图象？答，不是的，反比例函数图象是双曲线，但双曲线所对应的表达式不一定是反比例函数的形式，下面我们就研究双曲线的方程）
（四）类比椭圆，推导标准方程
4.1 推导
回忆椭圆的标准方程的推导步骤，来推导双曲线的标准方程．
（教师提示步骤，叫一学生上台板演，其余学生自己推导，教师个别指导）
整理修改板演学生的结果：
设M (x , y ) ，F 1(-c , 0) ，F 2(c , 0) ，
由|MF 1|-|MF 2|=±2a ，得(x +c ) 2+y 2-(x -c ) 2+y 2=±2a
⇒(x +c ) 2+y 2=(x -c ) 2+y 2±2a
⇒(x +c ) 2+y 2=(x -c ) 2+y 2±4a (x -c ) 2+y 2+4a 2
⇒cx -a 2=±a (x -c ) 2+y 2
⇒(cx -a 2) 2=a 2[(x -c ) 2+y 2]
⇒(c 2-a 2) x 2-a 2y 2=a 2(c 2-a 2) ，
x 2y 2令c -a =b （b >0），得b x -a y =a b ，即2-2=1． a b 222222222
（讨论：推导的过程是一个等价变形的过程吗？）
4.2 标准方程
①双曲线的标准方程
x 2y 2当焦点在x 轴上，中心在原点时，方程形式：2-2=1 a b
y 2x 2当焦点在y 轴上，中心在原点时，方程形式： -=1 a b
②参数a,b,c 的关系
c 2=a 2+b 2（a , b , c >0） |MF 1|-|MF 2|=±2a （实轴长） |F 1F 2|=2c （焦距） ③与椭圆的对比
(从定义阐述，方程结构特征，a,b,c 之间的关系，焦点坐标的判断着手分析相同点和不同点，并用课件表格的形式呈现)
（五）应用解题，巩固知识要点
例1 写出一个双曲线的标准方程，并让同桌写出相应的焦点坐标及a,b,c 的值．
（学生自己出题，自己解答，巩固标准方程及其中相应的数量关系，并找出具有代表性的例子用实物投影共同分析解答的结果）
x 2y 2
-=1表示焦点在x 轴上的双曲线，则m 的取值范围是 ． 例2 已知方程m -2m +3
变式：（1）改为表示焦点在y 轴上的双曲线呢？
（2）改为表示双曲线呢？
（3）若表示椭圆呢？
（通过变式进一步巩固方程的结构特征，并与椭圆加以区别）
例3在给出的四个选项中选择适当的数填入空格，再解题：已知双曲线的焦点坐标为F 1(-5, 0) , F 2(5, 0) , 双曲线上点P 到F1，F2的差的绝对值等于______，求双曲线的标准方程.
A. 16 B. 6 C.10 D.0
（分析每个选项的特征，进一步理解定义中0
（六）对比总结，整合新学知识
1．应用双曲线和椭圆的对比图表，总结整理双曲线定义的要点，标准方程的形式
2．课本练习 P60 1，2，3
3．思考 （1）当0≤θ≤π时，方程x 2sin θ+y 2cos θ=1表示什么曲线？
（2）反比例函数图象是特殊的双曲线，为什么其方程和标准方程不同？
八 板书设计:
问题研讨：
本节课设计源于本人课堂教学的一个真实案例．在教学思想上，以“问题引导，探究交流”为主，兼容讲解、演示、合作等多种方式，力求灵活运用．在教学目标上，以突出解析思想为主，容知识与技能、过程与方法、情感与体验为一体，力求多元价值取向．在多媒体应用上，力求灵活实用，不跟着课件走，使得多媒体真正做到为课堂有效服务．整堂课下来充实流畅，课堂气氛姣好．但也存在几个值得反思和讨论的问题：
1．让学生动手演示比较费时间，因此在动手之前教师应该把要点准确的分析到位．
2．在标准方程的推导过程中，讨论推导的过程是否为一个等价变形的过程，比较复杂，学生理解起来不是很清楚，这里存在如何能恰到好处的处理这一问题，有待进一步的思考和探讨.