解决问题的策略----倒过来推想
庐江县第二希望小学 张小娟
【教学内容】
苏教版义务教育课程标准实验教材五年级（下）第88—89页《解决问题的策略》。
【教学目标】
1.使学生学会用“倒推”的策略寻求解决问题的思路，并能根据实际的问题确定合理的解题方法，从而有效地解决问题。
2.让学生体验“倒推”的策略对于解决特定问题的价值，增强解决问题的策略意识，进一步发展分析、综合和简单推理的能力。
3.使学生进一步积累解决问题的经验，获得解决问题的成功体验，提高学好数学的信心。
【教学重难点】
重点：学会运用“倒推”的策略解决问题,并能根据问题的具体情况确定合理的解题方法和步骤。 难点：在解决问题过程中体验“倒推”的策略对于解决特定问题的价值。
【教学准备】
多媒体课件。
【教学过程】
一、游戏导入
学说正反话。
二、教学例1.
师：在此之前，我们已经学习过用列表、整理信息、画图等策略来解决问题，今天我们将用新的策略——倒推来解决新的问题！
1．谈话导入例1，课件动态演示。
师：同学们，从图中你可以了解到哪些信息？
师：如果咱们使两个杯子里的果汁同样多,现在你可以知道原来甲、乙两杯各有多少毫升吗？ 师：你们还想让老师提供一个怎样的信息？（突出还要有变化的过程）
多媒体补上信息:甲杯倒入乙杯40毫升。
追问：分别起了什么变化？
2．解决问题。
①把讨论的结果填在表格中并列算式。
②交流：展示学生的表格，说一说想法？
3．回顾反思。
提问：回想一下，刚才解决这个问题运用了什么策略？怎样解决的？
小结：倒过来推想就要从现在的数据出发，根据各自发生的变化往回推算出原来的数据，也可以简称倒推的策略。
过渡：其实在我们的实际生活中，很多地方都会用到倒推的策略来解决实际问题。
三、自主探究，理解策略
1．探索例2。
出示例2：小明原来有一些邮票，今年又收集了24张。送给小军30张，还剩52张。小明原来有多少张邮票？
（1）学生读题。
师：想自己来解决这个问题吗？我为大家提供一些建议，请看屏幕：
让学生说一说意思。
（2）解决问题，教师巡视。
（3）小组交流，集体反馈。
抽样展示出学生的方法，
可能的思路：
思路一：
原有？张 → 又收集24张 → 送给小军30张 → 还剩52张
原有？张 ← 去掉24张 ← 跟小军要回30张 ← 还剩52张
或符号表达：
思路二：可能出现的算法：（板书）
52+30-24=58（张） 说一说每一步的意思。
52+（30-24）=58（张）比原来少了6张，现在有52张，原来应该有58张。
52-30+24=46（张） 他这样做对不对？46张对不对？
2．回顾反思，对比深化。
回忆：在解决例1、例2问题的过程中有什么相同点？有什么不同点？
师：你认为什么样的情况适合用“倒推”的策略来解决问题呢？怎样运用呢？
小结：某种数量经过一系列变化后，都是已知现在的结果，要求原来的数量，就可以用倒推的策略。先从结果出发，一步一步往前倒推，直至求出答案。
四、综合应用，深化理解。
3．玩一玩。
如果我这有4张纸牌，按照一定的顺序操作：把四张纸牌排成一行，将第1张和第3张交换位置，再将第2张和第4张交换，翻开看到的结果。这四张牌原来是怎样放的呢？
机动:同位互玩。
师：同学们，咱们只要勤于思考，一定会感到数学好玩，只要刻苦努力，一定会玩好数学，大家一起努力，相信一定会让数学成为好玩的数学！
五、课堂总结，拓展延伸
今天我们学习了运用倒推的策略解决问题，你是怎样理解倒推的策略的？
小结：因此，同样运用倒推的策略解决问题，但是整理信息的方法是不唯一的！应该具体问题具体对待！
教材简析：
本节课是在学生已经学习了用画图和列表的策略解决问题的基础上，教学用“倒过来推想”的策略解决相关实际问题。“倒过来推想”是一种运用于特定问题情境下的解题策略。通常情况下，已知某种数量或事物按照明确的方法和步骤发展、变化后的结果，又要追溯它的起始状态，便适合用“倒过来推想”的策略加以解决。
教材首先通过两道图文结合的例题让学生解决具体的问题，体会适合用“倒过来推想”的策略来解决的问题的特点，初步掌握运用这一策略解决问题的基本思考方法和过程；再在接下来的练习中安排了不同的实际问题，让学生灵活运用学过的数学知识去解决，进一步体会“倒过来推想”的策略意义及其适用性，提高解决实际问题的能力。
目标预设：
知识：通过生活中常见的数学实例的探讨，学会用“倒过来推想”的策略去解决问题，并能在不断的反思中体会到最合理的解题步骤。
技能：通过不断的总结体会，让学生充分体会“倒推法”的解题策略对于解决特定问题的价值，发展学生的推理能力。
情感：丰富学生的认知体验，提高他们对生活中事物的兴趣，激发他们探索知识的热情。 教学重难点：
重点：引导学生体验感受事物和数量的发展变化情况，从变化后的结果开始，运用“倒过来推想“的策略解决实际问题。
难点：引导学生综合应用学过的各种策略整理实际问题中的信息，体会不同策略在解决问题过程中的不同价值。
设计理念：
“解决问题策略的学习是和解决问题紧密联系在一起的，问题是策略学习的载体，策略是解决问题的工具。”因此，教学中应紧紧围绕以提高学生解决问题的能力，形成策略意识为中心，抓住学生“数学思维发展过程”这一核心,引导学生用数学的眼光提出问题、理解问题和解决问题,在主动参与、乐于探究中，培养学生搜集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力。
1、情境设置策略
心理学研究表明，学生在学习中的情绪与教学效果有直接关系，而教学的情境又是影响学生情绪的重要原因。因此，教学中教师能结合知识点，开发一些学生感兴趣的内容，显得尤为重要。
2、活动参与策略
现代教育理论强调，教师不仅要引导学生掌握知识，更重要的是引导学生参与学习活动。在教学过程中，教师要创造一定的条件，通过学生的耳、眼、口、手、脑等多种器官的感受和体验，探究解决问题的能力策略。
教学准备：PPT课件
教学流程:
一、导入，初步体验
格子棋游戏（课件出示）
师：同学们，学习新知识之前，我们一起来玩格子棋游戏轻松一下，好吗？
师生互动：先介绍一下玩法，这个游戏叫“找原位”。
北
师：比如说,棋子向南走1格，现在到12号，它原来在几号？
现在开始游戏，快速抢答：
师：棋子向东走2格，现在到16号，它原来在几号？
棋子先向南走1格，再向西走1格，现在到10号，它原来在几号？
师：最后给你们一次机会考同桌，仿照刚才的例子设计棋子的路线和现在位置，最多2步，让对方找出它的原位。（学生开始游戏）
师：游戏结束，是不是意犹未尽？学完这一课，我们会设计出更有趣的游戏！玩得更精彩！ 师：刚才在游戏中，要找到这些棋子的原来位置，都是根据什么推算来的？
生：要从现在的位置——倒过来想——原来（板书：原来 现在 ）
（设计意图：通过游戏，让学生在愉悦的气氛中初步体会“倒过来推想”的解题思路，为倒推策略的探索提供了清晰地新旧知识间的“固着点”。并在数学课的起始阶段，迅速集中学生的注意力，把他们的思绪带进特定的学习情境中，这对一堂数学课的成败与否起着至关重要的作用。）
二、探究，体验理解：
1、 教学例1
（1）过渡：
师：刚刚我们在游戏中已经运用倒推法小试身手，接下来要请同学们和老师一起研究实际生活中的问题。
（2）课件演示例1的场景，理解条件和问题。
师：这里有两杯果汁一共是400毫升
要分给两人喝，这样给公平吗？那该怎么办？倒多少？
出示问题
师：如果刚才从甲杯倒入乙杯的是40毫升，那么甲杯和乙杯原来各有多少毫升呢？
（课件出示：甲杯倒给乙杯40毫升，原来各有多少毫升？）
（3）学生自主探究解答方法，理清思路
师：要求问题，可以先求什么？
（预设：如果学生提出第二种做法，先求两杯相差量，再分别求出两杯果汁，要给予学生时间说明这种想法，然后肯定学生对于数量关系的理解比较透彻，再追问：还可以先求什么？学生提出先求现在的果汁，则问：根据什么来求？）
引导学生认识到：果汁总量不变。
师：再怎样想？
学生提出“倒过来想”时，教师变演示边说：把乙杯的40ml果汁倒回甲杯，甲杯的果汁会——（增加），乙杯的果汁会——（减少）
（4）指导画图，帮助体验倒推法
师：很好，为了更容易观察，我们可以借助示意图先表示出现在的两杯果汁。
（板书现在两杯果汁的示意图）
师：你能根据刚才倒推的过程在自己的本子上画出原来两杯果汁的示意图吗？在自己的本子上画一画，然后在小组中交流一下你为什么这样画。
学生自主画图，小组交流。一生板演。
师：谁能根据这幅图再说一说倒推的过程？
（关键说清甲杯倒给乙杯，所以原来要增加40毫升，乙杯要还给甲杯40毫升，所以要去掉40毫升。结合学生回答得出原来甲、乙两杯各有多少毫升）
小结：倒过来想，我们很容易就求出了2个杯子里原来各有多少毫升果汁。
（5）填表回顾，加深体验“倒推法”
师：回想一下,我们刚才是怎样倒推来解决这个问题的?你能按照解题过程将书上88页的表格填写完整吗?边填边想表中的每个数据各是怎样推算出来的。
（同时课件出示表格）
学生在书上填写。
按顺序回答表中每个数据是怎样推算出来的
（6）列式解答并检验
师：迅速在本子上列式计算
学生做在自备本上。（240—40=200毫升，160+40=200毫升，240+160=400毫升）
集体校对。
追问：为什么求甲杯要加，求乙杯要减？
师：你能对结果作出检验吗？
（7）小结
师：刚才解决这个问题，运用了什么策略?(倒过来推想的策略)
表示倒推的过程又借助了哪些方式？（画图，列表）
你认为倒过来推想的策略有什么特点呢？（已知变化过程和结果，求起始状态）
（设计意图：教师通过倒果汁的示意操作，形象直观地呈现了简单的实际问题，既增强了学生的学习兴趣，激活了学生的生活经验和“数学现实”，又水到渠成地引导学生提出“倒回去”解决问题的策略，让学生初步感知倒推思想在实际生活中的应用。同时，又结合学生思考问题的过程，注意运用多媒体演示操作的过程，让学生进一步感知具体的倒推过程，引导学生体会用倒推的策略思考问题的方法.）
2、教学例2：
（1）过渡
师：在生活和学习中我们解决问题时经常要用到倒推法。请同学们看这道例题。
（2）课件出示例2：小明原来有一些邮票，今年又收集了24张。送给小军30张，还剩52张。小明原来有多少张邮票?
师：哪位同学来读读上面的信息?
师：这时候，老师看到的是一张张自信的面庞，还有的同学拿起了笔，没有人怀疑同学们不会解答这样的问题。不过刘老师关心的不是这个，而是——
课件出示学习建议：
①用什么方法可以将题目的意思更清楚地表示出来？
②你准备用什么策略解决这个问题？
③和同桌说说自己的想法。
（3）整理信息，讨论交流
师：你是怎样整理条件的？
生1：原有？张 又收集24张 送给小军30张 还剩52张
+24 -30
生2：（ ） ( ) 52
师：这样摘录条件，使我们更清楚地把握数量变化，倒过来想也更容易。
师：怎样列式？
根据学生回答板书解题过程
（预设：有两种做法，如学生不能回答出第二种，则由老师提出：其实我们也可以直接比较两次变化，收集的比送出的少，所以剩下的也比原来的少，比较难理解。52+30-24=58张，52+（30-24）=58张）
（4）检验。
师: 可以写答了吗?结果是否正确该如何验证呢?
生： 58+24-30=52（张）
（5）小结
师：在解答这题的过程中，我们是如何运用倒推策略的？
生：从现在的邮票开始想起，送出的要要回，又收集的要去掉
师:你觉得适合用逆推策略来解决的问题有什么共同特点？
生交流，然后回答。
师：对了，像这样，如果一件事物或者数量经过一番变化，已经知道了结果，要求出原来的数量，我们就可以从这个结果开始倒推。
（设计意图：例2中事情发展的顺序清晰明了，通过小组交流讨论的形式使学生能根据已有的知识和能力，灵活选择整理条件的方法，自主分析问题，解决问题。在此过程中，教师适当为学生呈现探索建议，让学生采用自主探索的学习方式，尝试解决问题。这样，既注重了解题思路的训练，让学生掌握了解决问题的策略，也培养了学生的主体意识和合作意识。）
三、应用，强化体验：
1、牛刀小试 ：
师：同学们想出的“倒过来推想”这种方法真不错，要不我们换道题试试。
出示课本p89“练一练”
（1）读题后问：“他拿出画片的一半还多1张送给小明”这句话是什么意思？
师：你能换种说法表示这样的意思吗？
（2）学生独立整理摘录条件，然后同桌交流思考方法，再各自列式计算。
（3）指名不同情况学生上台交流，说说每步算出的是什么？是怎样想的？
可能：
文字：小军原来？张→送出一半→送出1张→还剩25张
小军原来？张←取回一半←取回1张←还剩25张
(25+1)×2=52
„„
学生自己分析
师：你觉得这几位同学的谁的整理方法比较好呢？说说你的理由。
学生评价
师：由此可以看出，清晰条件整理可以更准确地去解决问题。
2、初露锋芒：
师：看来同学们真的会用“倒过来推想”解题了。如果不是“送东西”，而是换成了“用时间”问题，同学们有信心解决吗？
出示练习十六第2题
（1）自己读题。问：谁能告诉我这里“最迟”是什么意思？
（2）学生独立解题，指名回答你是怎样想的？并检验。
3、华山论剑：
师：“倒过来推想”这一招真厉害，真能解决很多问题。
同学们都喜欢做游戏，今天老师也和大家来玩一个游戏。
（1）（投影显示）：游戏名称：超级人脑
游戏规则：从1至9这9个数字中，任选一个数，经过乘以2再加7，再乘以5，再加5，再除以10，最后减去4，把结果告诉大家，老师能很快地根据你的结果报出原来你所想的数。
（2）师生共同游戏
（3）师：同学们从刚才的几次游戏中发现了什么吗？（算出来的结果和原来想的数一样）
（4）师：同学们一定很奇怪吧，你能知道这是为什么吗？
？×2 ＋7 ×5 ＋5 ÷10 －4 ＝？（注意运算顺序）
（设计意图：分层次的练习设计，让学生的思维在思考中变得敏捷、流畅。游戏是学生最喜欢的学习方式之一，这里用游戏的方式出示题目，一方面让学生边玩边学，边玩边解决问题，另一方面也是让数学和生活紧密结合起来。）
四、总结，感受价值：
1、今天我们主要研究了什么问题？
2、你认为怎样的问题适合用倒推的策略来解决？
3、你觉得用倒推的策略解决这些问题有什么优点？
五、延伸，激发兴趣：
师：刚才我们解决的都是身边的数学问题，而这种用“倒过来推想”的策略来解决问题，几千年以前我国唐代的天文学家、数学家张遂（课件出示张遂头像）就已经用到了。现在让我们一起跨越时空，去看看古人给我们留下了什么数学问题。
李白喝酒（课件出示）
李白街上走，提壶去买酒。遇店加一倍，见花喝一斗（斗是古代酒具）。三遇店和花，喝光壶中酒。借问此壶中，原有多少酒？
整理条件和问题（分别课件演示）
学生交流讨论，合作完成。
（设计意图：让学生自己小结，给每个人提供了总结学习内容和反思学习情况的机会。课堂结束时，进行了拓展延伸，引入了我国古代数学家编写的数学问题及故事，既富有情趣，又引导学生进一步思考本节课的解题策略，继续激发学生的探究热情。）
反思篇——基于解决问题 为了解决问题
“解决问题的策略”的学习作为数学课程“解决问题”的一个专题章节编入了第二学段各册教材，为学生数学思维的生长提供了有力的保障，这些内容既是对“列表”、“倒推”、“替换”等策略的一次专题探讨，又是对分散于各个章节的“解决问题”中所隐含“策略”的一次提升，更为重要的是其以问题的解决为载体，是基于解决问题，为了解决问题。
一、基于解决问题
策略的丰富内涵是“镶嵌”在具体情境中的，只有在具体解决实际问题时，学生才能亲身实践如何把现实问题提炼、转换为数学问题，并在这一过程中全面理解数学策略的内涵。《解决问题的策略——倒推》中例l正是“镶嵌”了“倒过来推想”策略的现实情境，学生需要在各种信息的辨析中作出合理决策，这不仅体现了”倒过来推想”的必要性，更突出了适用“倒过来推想”策略的问题模型。因此，解决问题策略的学习不可能脱离解决问题的过程，它是和解决问题紧密联系在一起的，在策略学习即例题学习过程中，问题是策略学习的载体，也就是说，解决问题策略的学习是基于解决问题。
1、引入策略——在学生熟悉的、简单的、有趣的事件中提取经验，感受策略
《数学课程标准》中提出的“掌握解决问题的一些基本策略”，这里的“策略”首要的也应是“搜集信息”将问题数学化的策略，受现实生活中数学问题信息过多的干扰，以至学生往往会不能抓住问题的关键，解题策略就很难找到，这就需要学生从数学的角度思考问题，培养学生筛选有效信息，并将其数学化的能力。
本节课的学习，学生在日常生活中已经积累了一些关于“倒过去想”的经验，但学生的思考还处于“潜意识阶段”，没有形成解决问题的策略。因此，在导入环节，课件出示“格子棋游戏”，棋子先向南走1格，再向西走1格，现在到10号，它原来在几号？刚才在游戏中，要找到这些棋子的原来位置，都是根据什么推算来的？以此揭示要想知道棋子原来在几号，就要将棋子按原来的路线倒过来走。设计棋子变化路线这样一个操作性强、过程清晰、形象直观、生动有趣的问题情境，让他们试一试、看一看、想一想，在学生解题经验的一次次“自我提取”过程中，突出了与“策略”
相匹配的问题特征，既增强学生的学习兴趣，激活学生的生活经验，又水到渠成地引导学生提出“倒过来想”解决问题的策略，让学生初步感知“倒过来想”的策略在实际生活中的应用。
2、体验策略——继续使用有关策略解决问题，熟悉策略
教材主编沈重予老师曾经说过：“解决问题的教学，其目的不仅仅满足于找到问题的答案，而在于形成解决问题的策略与能力。过去的解题经历，是形成策略的宝贵资源，形成策略需要自主体验。”而这一过程必须充分利用学生已有的生活经验和数学经验让学生获得对策略深层次的感悟，学生对某一种解决问题的策略有了初步的感受后，教师应引导学生将策略明朗化。如：呈现例1的新问题后，安排了两项活动：一是让学生在画图、填表等操作过程中思考可以用什么策略解决问题，感受、体会“倒过去”的策略，体会它对解决问题的作用，使学生具有明确的应用策略的意识；解决问题后，再组织学生交流解决问题的过程，反思解决问题的过程。通过反思，学生对题目特点有了一定的认识，使“倒回去”推想的策略实现“化隐为现”，从而走出“潜意识阶段”。这样，随着解决问题策略的初步应用以及对解决问题过程的回顾与反思，解决问题的策略就逐步“浮出水面”并凸现出来，“解决问题的过程”由“潜意识阶段”步入“明朗化阶段”，逐渐走向“深刻化阶段”。学生在学习解决问题策略的过程中不断整合、应用不同策略，不断丰富自己解决问题的经验，并在新的问题中主动、综合、灵活应用各种策略解决问题。
二、为了解决问题
在应用练习中，策略又是解决问题的工具。也就是说，解决问题策略的学习是为了解决问题。
1、应用策略——让学生在实际应用的过程中，感悟策略
课中学生因为有了例1的学习经验，对“倒过去想”有了一定的感受，在学习例2时，学生就能根据已有的知识和能力，自主整理条件，分析问题，解决问题，因此老师提出①用什么方法可以将题目的意思更清楚地表示出来？②你准备用什么策略解决这个问题？③和同桌说说自己的想法这3个建议后放手让学生自主探索，尝试解决问题，于是，学生用自己喜欢的方式，有的用文字，有的图文结合，有的列方程，这样更加容易整理出事情有哪些变化，是怎样变化的，以及变化的次序，既注重了解题思路的训练，让学生体验解决问题策略的多样性，也培养了学生的主体意识和合作意识。之后，再组织学生检验答案是否正确，又让学生再次体验事情的变化是有次序的，从而感悟到无论顺推还是逆推，有条理地思考是十分重要的。这一过程实际就是重视了学生的内心体验，关注了学生的内心体验，使学生在应用策略解决问题中进一步感悟了策略。
2、强化策略——适当解决一些新颖问题，加强策略
在学生比较充分地感知了解决问题的策略、明确了解决问题的策略后，安排一定的练习，对相关策略进行集中强化，以加深学生对策略的理解与掌握，使学生对策略的认识更深刻，逐步达到运用自如的境界。在这一过程中，老师通过牛刀小试、初露锋芒、华山论剑等不同层次、步步深入的练习，深化对倒推策略的理解。课堂结束时，进行了拓展延伸，引入了我国古代数学家编写的数学问题及故事，体会数学文化的源远流长，又不断引导学生继续反思自己所使用的策略，对策略的本质有更深入的认识，促进学生形成稳定的解决问题的策略，使学生能得心应手地应用策略解决问题。
基于解决问题，为了解决问题，策略教学不是“为教策略而教策略”，其最终目标是为了让学生掌握解决问题中的各种策略，发展数学思维，从而长效地、持久地在学习的过程中形成独立获取知识的意识，提高主动解决问题的能力。
一天，池塘里流进了一些刺激睡莲生长的化学污染物，它们可以让睡莲每24小时增多1倍。这对青蛙而言是个问题，一旦睡莲覆盖了整个池塘，他们将无处容身。
如果睡莲可以在50天内覆盖整个池塘，第49天睡莲会覆盖池塘的多少呢？
古人用倒推法做诗，前两句是：花香满园庭，我爱邻居邻爱我。你知道后两句是什么吗？
我爱邻居邻爱我，庭园满香花
解决问题的策略----倒过来推想
庐江县第二希望小学 张小娟
【教学内容】
苏教版义务教育课程标准实验教材五年级（下）第88—89页《解决问题的策略》。
【教学目标】
1.使学生学会用“倒推”的策略寻求解决问题的思路，并能根据实际的问题确定合理的解题方法，从而有效地解决问题。
2.让学生体验“倒推”的策略对于解决特定问题的价值，增强解决问题的策略意识，进一步发展分析、综合和简单推理的能力。
3.使学生进一步积累解决问题的经验，获得解决问题的成功体验，提高学好数学的信心。
【教学重难点】
重点：学会运用“倒推”的策略解决问题,并能根据问题的具体情况确定合理的解题方法和步骤。 难点：在解决问题过程中体验“倒推”的策略对于解决特定问题的价值。
【教学准备】
多媒体课件。
【教学过程】
一、游戏导入
学说正反话。
二、教学例1.
师：在此之前，我们已经学习过用列表、整理信息、画图等策略来解决问题，今天我们将用新的策略——倒推来解决新的问题！
1．谈话导入例1，课件动态演示。
师：同学们，从图中你可以了解到哪些信息？
师：如果咱们使两个杯子里的果汁同样多,现在你可以知道原来甲、乙两杯各有多少毫升吗？ 师：你们还想让老师提供一个怎样的信息？（突出还要有变化的过程）
多媒体补上信息:甲杯倒入乙杯40毫升。
追问：分别起了什么变化？
2．解决问题。
①把讨论的结果填在表格中并列算式。
②交流：展示学生的表格，说一说想法？
3．回顾反思。
提问：回想一下，刚才解决这个问题运用了什么策略？怎样解决的？
小结：倒过来推想就要从现在的数据出发，根据各自发生的变化往回推算出原来的数据，也可以简称倒推的策略。
过渡：其实在我们的实际生活中，很多地方都会用到倒推的策略来解决实际问题。
三、自主探究，理解策略
1．探索例2。
出示例2：小明原来有一些邮票，今年又收集了24张。送给小军30张，还剩52张。小明原来有多少张邮票？
（1）学生读题。
师：想自己来解决这个问题吗？我为大家提供一些建议，请看屏幕：
让学生说一说意思。
（2）解决问题，教师巡视。
（3）小组交流，集体反馈。
抽样展示出学生的方法，
可能的思路：
思路一：
原有？张 → 又收集24张 → 送给小军30张 → 还剩52张
原有？张 ← 去掉24张 ← 跟小军要回30张 ← 还剩52张
或符号表达：
思路二：可能出现的算法：（板书）
52+30-24=58（张） 说一说每一步的意思。
52+（30-24）=58（张）比原来少了6张，现在有52张，原来应该有58张。
52-30+24=46（张） 他这样做对不对？46张对不对？
2．回顾反思，对比深化。
回忆：在解决例1、例2问题的过程中有什么相同点？有什么不同点？
师：你认为什么样的情况适合用“倒推”的策略来解决问题呢？怎样运用呢？
小结：某种数量经过一系列变化后，都是已知现在的结果，要求原来的数量，就可以用倒推的策略。先从结果出发，一步一步往前倒推，直至求出答案。
四、综合应用，深化理解。
3．玩一玩。
如果我这有4张纸牌，按照一定的顺序操作：把四张纸牌排成一行，将第1张和第3张交换位置，再将第2张和第4张交换，翻开看到的结果。这四张牌原来是怎样放的呢？
机动:同位互玩。
师：同学们，咱们只要勤于思考，一定会感到数学好玩，只要刻苦努力，一定会玩好数学，大家一起努力，相信一定会让数学成为好玩的数学！
五、课堂总结，拓展延伸
今天我们学习了运用倒推的策略解决问题，你是怎样理解倒推的策略的？
小结：因此，同样运用倒推的策略解决问题，但是整理信息的方法是不唯一的！应该具体问题具体对待！
教材简析：
本节课是在学生已经学习了用画图和列表的策略解决问题的基础上，教学用“倒过来推想”的策略解决相关实际问题。“倒过来推想”是一种运用于特定问题情境下的解题策略。通常情况下，已知某种数量或事物按照明确的方法和步骤发展、变化后的结果，又要追溯它的起始状态，便适合用“倒过来推想”的策略加以解决。
教材首先通过两道图文结合的例题让学生解决具体的问题，体会适合用“倒过来推想”的策略来解决的问题的特点，初步掌握运用这一策略解决问题的基本思考方法和过程；再在接下来的练习中安排了不同的实际问题，让学生灵活运用学过的数学知识去解决，进一步体会“倒过来推想”的策略意义及其适用性，提高解决实际问题的能力。
目标预设：
知识：通过生活中常见的数学实例的探讨，学会用“倒过来推想”的策略去解决问题，并能在不断的反思中体会到最合理的解题步骤。
技能：通过不断的总结体会，让学生充分体会“倒推法”的解题策略对于解决特定问题的价值，发展学生的推理能力。
情感：丰富学生的认知体验，提高他们对生活中事物的兴趣，激发他们探索知识的热情。 教学重难点：
重点：引导学生体验感受事物和数量的发展变化情况，从变化后的结果开始，运用“倒过来推想“的策略解决实际问题。
难点：引导学生综合应用学过的各种策略整理实际问题中的信息，体会不同策略在解决问题过程中的不同价值。
设计理念：
“解决问题策略的学习是和解决问题紧密联系在一起的，问题是策略学习的载体，策略是解决问题的工具。”因此，教学中应紧紧围绕以提高学生解决问题的能力，形成策略意识为中心，抓住学生“数学思维发展过程”这一核心,引导学生用数学的眼光提出问题、理解问题和解决问题,在主动参与、乐于探究中，培养学生搜集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力。
1、情境设置策略
心理学研究表明，学生在学习中的情绪与教学效果有直接关系，而教学的情境又是影响学生情绪的重要原因。因此，教学中教师能结合知识点，开发一些学生感兴趣的内容，显得尤为重要。
2、活动参与策略
现代教育理论强调，教师不仅要引导学生掌握知识，更重要的是引导学生参与学习活动。在教学过程中，教师要创造一定的条件，通过学生的耳、眼、口、手、脑等多种器官的感受和体验，探究解决问题的能力策略。
教学准备：PPT课件
教学流程:
一、导入，初步体验
格子棋游戏（课件出示）
师：同学们，学习新知识之前，我们一起来玩格子棋游戏轻松一下，好吗？
师生互动：先介绍一下玩法，这个游戏叫“找原位”。
北
师：比如说,棋子向南走1格，现在到12号，它原来在几号？
现在开始游戏，快速抢答：
师：棋子向东走2格，现在到16号，它原来在几号？
棋子先向南走1格，再向西走1格，现在到10号，它原来在几号？
师：最后给你们一次机会考同桌，仿照刚才的例子设计棋子的路线和现在位置，最多2步，让对方找出它的原位。（学生开始游戏）
师：游戏结束，是不是意犹未尽？学完这一课，我们会设计出更有趣的游戏！玩得更精彩！ 师：刚才在游戏中，要找到这些棋子的原来位置，都是根据什么推算来的？
生：要从现在的位置——倒过来想——原来（板书：原来 现在 ）
（设计意图：通过游戏，让学生在愉悦的气氛中初步体会“倒过来推想”的解题思路，为倒推策略的探索提供了清晰地新旧知识间的“固着点”。并在数学课的起始阶段，迅速集中学生的注意力，把他们的思绪带进特定的学习情境中，这对一堂数学课的成败与否起着至关重要的作用。）
二、探究，体验理解：
1、 教学例1
（1）过渡：
师：刚刚我们在游戏中已经运用倒推法小试身手，接下来要请同学们和老师一起研究实际生活中的问题。
（2）课件演示例1的场景，理解条件和问题。
师：这里有两杯果汁一共是400毫升
要分给两人喝，这样给公平吗？那该怎么办？倒多少？
出示问题
师：如果刚才从甲杯倒入乙杯的是40毫升，那么甲杯和乙杯原来各有多少毫升呢？
（课件出示：甲杯倒给乙杯40毫升，原来各有多少毫升？）
（3）学生自主探究解答方法，理清思路
师：要求问题，可以先求什么？
（预设：如果学生提出第二种做法，先求两杯相差量，再分别求出两杯果汁，要给予学生时间说明这种想法，然后肯定学生对于数量关系的理解比较透彻，再追问：还可以先求什么？学生提出先求现在的果汁，则问：根据什么来求？）
引导学生认识到：果汁总量不变。
师：再怎样想？
学生提出“倒过来想”时，教师变演示边说：把乙杯的40ml果汁倒回甲杯，甲杯的果汁会——（增加），乙杯的果汁会——（减少）
（4）指导画图，帮助体验倒推法
师：很好，为了更容易观察，我们可以借助示意图先表示出现在的两杯果汁。
（板书现在两杯果汁的示意图）
师：你能根据刚才倒推的过程在自己的本子上画出原来两杯果汁的示意图吗？在自己的本子上画一画，然后在小组中交流一下你为什么这样画。
学生自主画图，小组交流。一生板演。
师：谁能根据这幅图再说一说倒推的过程？
（关键说清甲杯倒给乙杯，所以原来要增加40毫升，乙杯要还给甲杯40毫升，所以要去掉40毫升。结合学生回答得出原来甲、乙两杯各有多少毫升）
小结：倒过来想，我们很容易就求出了2个杯子里原来各有多少毫升果汁。
（5）填表回顾，加深体验“倒推法”
师：回想一下,我们刚才是怎样倒推来解决这个问题的?你能按照解题过程将书上88页的表格填写完整吗?边填边想表中的每个数据各是怎样推算出来的。
（同时课件出示表格）
学生在书上填写。
按顺序回答表中每个数据是怎样推算出来的
（6）列式解答并检验
师：迅速在本子上列式计算
学生做在自备本上。（240—40=200毫升，160+40=200毫升，240+160=400毫升）
集体校对。
追问：为什么求甲杯要加，求乙杯要减？
师：你能对结果作出检验吗？
（7）小结
师：刚才解决这个问题，运用了什么策略?(倒过来推想的策略)
表示倒推的过程又借助了哪些方式？（画图，列表）
你认为倒过来推想的策略有什么特点呢？（已知变化过程和结果，求起始状态）
（设计意图：教师通过倒果汁的示意操作，形象直观地呈现了简单的实际问题，既增强了学生的学习兴趣，激活了学生的生活经验和“数学现实”，又水到渠成地引导学生提出“倒回去”解决问题的策略，让学生初步感知倒推思想在实际生活中的应用。同时，又结合学生思考问题的过程，注意运用多媒体演示操作的过程，让学生进一步感知具体的倒推过程，引导学生体会用倒推的策略思考问题的方法.）
2、教学例2：
（1）过渡
师：在生活和学习中我们解决问题时经常要用到倒推法。请同学们看这道例题。
（2）课件出示例2：小明原来有一些邮票，今年又收集了24张。送给小军30张，还剩52张。小明原来有多少张邮票?
师：哪位同学来读读上面的信息?
师：这时候，老师看到的是一张张自信的面庞，还有的同学拿起了笔，没有人怀疑同学们不会解答这样的问题。不过刘老师关心的不是这个，而是——
课件出示学习建议：
①用什么方法可以将题目的意思更清楚地表示出来？
②你准备用什么策略解决这个问题？
③和同桌说说自己的想法。
（3）整理信息，讨论交流
师：你是怎样整理条件的？
生1：原有？张 又收集24张 送给小军30张 还剩52张
+24 -30
生2：（ ） ( ) 52
师：这样摘录条件，使我们更清楚地把握数量变化，倒过来想也更容易。
师：怎样列式？
根据学生回答板书解题过程
（预设：有两种做法，如学生不能回答出第二种，则由老师提出：其实我们也可以直接比较两次变化，收集的比送出的少，所以剩下的也比原来的少，比较难理解。52+30-24=58张，52+（30-24）=58张）
（4）检验。
师: 可以写答了吗?结果是否正确该如何验证呢?
生： 58+24-30=52（张）
（5）小结
师：在解答这题的过程中，我们是如何运用倒推策略的？
生：从现在的邮票开始想起，送出的要要回，又收集的要去掉
师:你觉得适合用逆推策略来解决的问题有什么共同特点？
生交流，然后回答。
师：对了，像这样，如果一件事物或者数量经过一番变化，已经知道了结果，要求出原来的数量，我们就可以从这个结果开始倒推。
（设计意图：例2中事情发展的顺序清晰明了，通过小组交流讨论的形式使学生能根据已有的知识和能力，灵活选择整理条件的方法，自主分析问题，解决问题。在此过程中，教师适当为学生呈现探索建议，让学生采用自主探索的学习方式，尝试解决问题。这样，既注重了解题思路的训练，让学生掌握了解决问题的策略，也培养了学生的主体意识和合作意识。）
三、应用，强化体验：
1、牛刀小试 ：
师：同学们想出的“倒过来推想”这种方法真不错，要不我们换道题试试。
出示课本p89“练一练”
（1）读题后问：“他拿出画片的一半还多1张送给小明”这句话是什么意思？
师：你能换种说法表示这样的意思吗？
（2）学生独立整理摘录条件，然后同桌交流思考方法，再各自列式计算。
（3）指名不同情况学生上台交流，说说每步算出的是什么？是怎样想的？
可能：
文字：小军原来？张→送出一半→送出1张→还剩25张
小军原来？张←取回一半←取回1张←还剩25张
(25+1)×2=52
„„
学生自己分析
师：你觉得这几位同学的谁的整理方法比较好呢？说说你的理由。
学生评价
师：由此可以看出，清晰条件整理可以更准确地去解决问题。
2、初露锋芒：
师：看来同学们真的会用“倒过来推想”解题了。如果不是“送东西”，而是换成了“用时间”问题，同学们有信心解决吗？
出示练习十六第2题
（1）自己读题。问：谁能告诉我这里“最迟”是什么意思？
（2）学生独立解题，指名回答你是怎样想的？并检验。
3、华山论剑：
师：“倒过来推想”这一招真厉害，真能解决很多问题。
同学们都喜欢做游戏，今天老师也和大家来玩一个游戏。
（1）（投影显示）：游戏名称：超级人脑
游戏规则：从1至9这9个数字中，任选一个数，经过乘以2再加7，再乘以5，再加5，再除以10，最后减去4，把结果告诉大家，老师能很快地根据你的结果报出原来你所想的数。
（2）师生共同游戏
（3）师：同学们从刚才的几次游戏中发现了什么吗？（算出来的结果和原来想的数一样）
（4）师：同学们一定很奇怪吧，你能知道这是为什么吗？
？×2 ＋7 ×5 ＋5 ÷10 －4 ＝？（注意运算顺序）
（设计意图：分层次的练习设计，让学生的思维在思考中变得敏捷、流畅。游戏是学生最喜欢的学习方式之一，这里用游戏的方式出示题目，一方面让学生边玩边学，边玩边解决问题，另一方面也是让数学和生活紧密结合起来。）
四、总结，感受价值：
1、今天我们主要研究了什么问题？
2、你认为怎样的问题适合用倒推的策略来解决？
3、你觉得用倒推的策略解决这些问题有什么优点？
五、延伸，激发兴趣：
师：刚才我们解决的都是身边的数学问题，而这种用“倒过来推想”的策略来解决问题，几千年以前我国唐代的天文学家、数学家张遂（课件出示张遂头像）就已经用到了。现在让我们一起跨越时空，去看看古人给我们留下了什么数学问题。
李白喝酒（课件出示）
李白街上走，提壶去买酒。遇店加一倍，见花喝一斗（斗是古代酒具）。三遇店和花，喝光壶中酒。借问此壶中，原有多少酒？
整理条件和问题（分别课件演示）
学生交流讨论，合作完成。
（设计意图：让学生自己小结，给每个人提供了总结学习内容和反思学习情况的机会。课堂结束时，进行了拓展延伸，引入了我国古代数学家编写的数学问题及故事，既富有情趣，又引导学生进一步思考本节课的解题策略，继续激发学生的探究热情。）
反思篇——基于解决问题 为了解决问题
“解决问题的策略”的学习作为数学课程“解决问题”的一个专题章节编入了第二学段各册教材，为学生数学思维的生长提供了有力的保障，这些内容既是对“列表”、“倒推”、“替换”等策略的一次专题探讨，又是对分散于各个章节的“解决问题”中所隐含“策略”的一次提升，更为重要的是其以问题的解决为载体，是基于解决问题，为了解决问题。
一、基于解决问题
策略的丰富内涵是“镶嵌”在具体情境中的，只有在具体解决实际问题时，学生才能亲身实践如何把现实问题提炼、转换为数学问题，并在这一过程中全面理解数学策略的内涵。《解决问题的策略——倒推》中例l正是“镶嵌”了“倒过来推想”策略的现实情境，学生需要在各种信息的辨析中作出合理决策，这不仅体现了”倒过来推想”的必要性，更突出了适用“倒过来推想”策略的问题模型。因此，解决问题策略的学习不可能脱离解决问题的过程，它是和解决问题紧密联系在一起的，在策略学习即例题学习过程中，问题是策略学习的载体，也就是说，解决问题策略的学习是基于解决问题。
1、引入策略——在学生熟悉的、简单的、有趣的事件中提取经验，感受策略
《数学课程标准》中提出的“掌握解决问题的一些基本策略”，这里的“策略”首要的也应是“搜集信息”将问题数学化的策略，受现实生活中数学问题信息过多的干扰，以至学生往往会不能抓住问题的关键，解题策略就很难找到，这就需要学生从数学的角度思考问题，培养学生筛选有效信息，并将其数学化的能力。
本节课的学习，学生在日常生活中已经积累了一些关于“倒过去想”的经验，但学生的思考还处于“潜意识阶段”，没有形成解决问题的策略。因此，在导入环节，课件出示“格子棋游戏”，棋子先向南走1格，再向西走1格，现在到10号，它原来在几号？刚才在游戏中，要找到这些棋子的原来位置，都是根据什么推算来的？以此揭示要想知道棋子原来在几号，就要将棋子按原来的路线倒过来走。设计棋子变化路线这样一个操作性强、过程清晰、形象直观、生动有趣的问题情境，让他们试一试、看一看、想一想，在学生解题经验的一次次“自我提取”过程中，突出了与“策略”
相匹配的问题特征，既增强学生的学习兴趣，激活学生的生活经验，又水到渠成地引导学生提出“倒过来想”解决问题的策略，让学生初步感知“倒过来想”的策略在实际生活中的应用。
2、体验策略——继续使用有关策略解决问题，熟悉策略
教材主编沈重予老师曾经说过：“解决问题的教学，其目的不仅仅满足于找到问题的答案，而在于形成解决问题的策略与能力。过去的解题经历，是形成策略的宝贵资源，形成策略需要自主体验。”而这一过程必须充分利用学生已有的生活经验和数学经验让学生获得对策略深层次的感悟，学生对某一种解决问题的策略有了初步的感受后，教师应引导学生将策略明朗化。如：呈现例1的新问题后，安排了两项活动：一是让学生在画图、填表等操作过程中思考可以用什么策略解决问题，感受、体会“倒过去”的策略，体会它对解决问题的作用，使学生具有明确的应用策略的意识；解决问题后，再组织学生交流解决问题的过程，反思解决问题的过程。通过反思，学生对题目特点有了一定的认识，使“倒回去”推想的策略实现“化隐为现”，从而走出“潜意识阶段”。这样，随着解决问题策略的初步应用以及对解决问题过程的回顾与反思，解决问题的策略就逐步“浮出水面”并凸现出来，“解决问题的过程”由“潜意识阶段”步入“明朗化阶段”，逐渐走向“深刻化阶段”。学生在学习解决问题策略的过程中不断整合、应用不同策略，不断丰富自己解决问题的经验，并在新的问题中主动、综合、灵活应用各种策略解决问题。
二、为了解决问题
在应用练习中，策略又是解决问题的工具。也就是说，解决问题策略的学习是为了解决问题。
1、应用策略——让学生在实际应用的过程中，感悟策略
课中学生因为有了例1的学习经验，对“倒过去想”有了一定的感受，在学习例2时，学生就能根据已有的知识和能力，自主整理条件，分析问题，解决问题，因此老师提出①用什么方法可以将题目的意思更清楚地表示出来？②你准备用什么策略解决这个问题？③和同桌说说自己的想法这3个建议后放手让学生自主探索，尝试解决问题，于是，学生用自己喜欢的方式，有的用文字，有的图文结合，有的列方程，这样更加容易整理出事情有哪些变化，是怎样变化的，以及变化的次序，既注重了解题思路的训练，让学生体验解决问题策略的多样性，也培养了学生的主体意识和合作意识。之后，再组织学生检验答案是否正确，又让学生再次体验事情的变化是有次序的，从而感悟到无论顺推还是逆推，有条理地思考是十分重要的。这一过程实际就是重视了学生的内心体验，关注了学生的内心体验，使学生在应用策略解决问题中进一步感悟了策略。
2、强化策略——适当解决一些新颖问题，加强策略
在学生比较充分地感知了解决问题的策略、明确了解决问题的策略后，安排一定的练习，对相关策略进行集中强化，以加深学生对策略的理解与掌握，使学生对策略的认识更深刻，逐步达到运用自如的境界。在这一过程中，老师通过牛刀小试、初露锋芒、华山论剑等不同层次、步步深入的练习，深化对倒推策略的理解。课堂结束时，进行了拓展延伸，引入了我国古代数学家编写的数学问题及故事，体会数学文化的源远流长，又不断引导学生继续反思自己所使用的策略，对策略的本质有更深入的认识，促进学生形成稳定的解决问题的策略，使学生能得心应手地应用策略解决问题。
基于解决问题，为了解决问题，策略教学不是“为教策略而教策略”，其最终目标是为了让学生掌握解决问题中的各种策略，发展数学思维，从而长效地、持久地在学习的过程中形成独立获取知识的意识，提高主动解决问题的能力。
一天，池塘里流进了一些刺激睡莲生长的化学污染物，它们可以让睡莲每24小时增多1倍。这对青蛙而言是个问题，一旦睡莲覆盖了整个池塘，他们将无处容身。
如果睡莲可以在50天内覆盖整个池塘，第49天睡莲会覆盖池塘的多少呢？
古人用倒推法做诗，前两句是：花香满园庭，我爱邻居邻爱我。你知道后两句是什么吗？
我爱邻居邻爱我，庭园满香花