余数的性质
知识结构
三大余数定理：
（1） 余数的加法定理
a 与b 的和除以c 的余数，等于a,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为2
（2） 余数的减法定理
a 与b 的差除以c 的余数，等于a,b 分别除以c 的余数之差。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝2.
当余数的差不够减时时，补上除数再减。
例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝4
（3） 余数的乘法定理
a 与b 的乘积除以c 的余数，等于a,b 分别除以c 的余数的积，或者这个积除以c 所得的余数。
16除以5的余数等于3×1＝3。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c 的余数。
19除以5的余数等于3×4除以5例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×的余数，即2.
乘方：如果a 与b 除以m 的余数相同，那么a n 与b n 除以m 的余数也相同．
例题精讲
【例 1】 在1995，1998，2000，2001，2003中，若其中几个数的和被9除余7，则将这几个数归为一组．这
样的数组共有______组．
【巩固】 号码分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球比赛, 规定每两人比赛的盘数是他们号码的
和被3除所得的余数. 那么打球盘数最多的运动员打了多少盘?
【例 2】 有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是______．
【巩固】 用自然数n 去除63，91，129得到的三个余数之和为25，那么n =________．
【例 3】 六名小学生分别带着14元、17元、18元、21元、26元、37元钱，一起到新华书店购买《成语
大词典》．一看定价才发现有5个人带的钱不够，但是其中甲、乙、丙3人的钱凑在一起恰好可买2本，丁、戊2人的钱凑在一起恰好可买1本．这种《成语大词典》的定价是________元．
【巩固】 商店里有六箱货物，分别重15，16，18，19，20，31千克，两个顾客买走了其中的五箱．已知
一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍，那么商店剩下的一箱货物重量是________千克．
【例 4】 求478⨯296⨯351除以17的余数．
【巩固】
求437⨯309⨯1993被7除的余数．
【例 5】 求644312÷19的余数
【巩固】 求14389除以7的余数．
⨯2009⨯ ⨯2009【例 6】 2009 的个位数字是________．
2010个2009
余数的性质
知识结构
三大余数定理：
（1） 余数的加法定理
a 与b 的和除以c 的余数，等于a,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为2
（2） 余数的减法定理
a 与b 的差除以c 的余数，等于a,b 分别除以c 的余数之差。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝2.
当余数的差不够减时时，补上除数再减。
例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝4
（3） 余数的乘法定理
a 与b 的乘积除以c 的余数，等于a,b 分别除以c 的余数的积，或者这个积除以c 所得的余数。
16除以5的余数等于3×1＝3。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c 的余数。
19除以5的余数等于3×4除以5例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×的余数，即2.
乘方：如果a 与b 除以m 的余数相同，那么a n 与b n 除以m 的余数也相同．
例题精讲
【例 1】 在1995，1998，2000，2001，2003中，若其中几个数的和被9除余7，则将这几个数归为一组．这
样的数组共有______组．
【巩固】 号码分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球比赛, 规定每两人比赛的盘数是他们号码的
和被3除所得的余数. 那么打球盘数最多的运动员打了多少盘?
【例 2】 有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是______．
【巩固】 用自然数n 去除63，91，129得到的三个余数之和为25，那么n =________．
【例 3】 六名小学生分别带着14元、17元、18元、21元、26元、37元钱，一起到新华书店购买《成语
大词典》．一看定价才发现有5个人带的钱不够，但是其中甲、乙、丙3人的钱凑在一起恰好可买2本，丁、戊2人的钱凑在一起恰好可买1本．这种《成语大词典》的定价是________元．
【巩固】 商店里有六箱货物，分别重15，16，18，19，20，31千克，两个顾客买走了其中的五箱．已知
一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍，那么商店剩下的一箱货物重量是________千克．
【例 4】 求478⨯296⨯351除以17的余数．
【巩固】
求437⨯309⨯1993被7除的余数．
【例 5】 求644312÷19的余数
【巩固】 求14389除以7的余数．
⨯2009⨯ ⨯2009【例 6】 2009 的个位数字是________．
2010个2009