小学奥数竞赛专题之同余问题 [专题介绍]：同余问题
生活中我会经常遇到与余数有关的问题，比如：某年级有将近400名学生。有一次演出节目排队时出现：如果每8人站成一列则多余1人；如果改为每9人站成一列则仍多余1人；结果发现现成每10人结成一列，结果还是多余1人；聪名的你知道该年级共有学生多少名吗？
假设有一名学生不参加演出，则结果一定是不管每列站8人或9人或10人都将刚好站齐。因此此时学生人数应是8、9、10公倍数，而8、9、10的最小公倍数是360，因此可知该年级共有361人。
研究与余数有关的问题，能帮助我们解决很多较为复杂的问题。 [分析]
1、两个整数a 和b ，除以一个大于1的自然数m 所得余数相同，就称a 和b 对于模m 同余或称a 和b 在模m 下同余，即a≡b（modm ） 2、同余的重要性质及举例。 〈1〉a≡a（modm ）（a 为任意自然） 〈2〉若a≡b（modm ），则b≡a（modm ）
〈3〉若a≡b（modm ），b≡c（modm ）则a≡c（modm ） 〈4〉若a≡b（modm ），则ac≡bc（modm ）
〈5〉若a≡b（modm ），c≡d（modm ），则ac=bd（modm ） 〈6〉若a≡b（modm ）则an≡bm（modm ）
其中性质〈3〉常被称为" 同余的可传递性" ，性质〈4〉、〈5〉常被称为" 同余的可乘性，" 性质〈6〉常被称为" 同余的可开方性" 注意：一般地同余没有" 可除性" ，但是：
如果：ac=bc（modm ）且（c ，m ）=1则a≡b（modm ） 3、整数分类：
〈1〉用2来将整数分类，分为两类： 1，3，5，7，9，……（奇数）
0，2，4，6，8，……（偶数） 〈2〉用3来将整数分类，分为三类： 0，3，6，9，12，……（被3除余数是0） 1，4，7，10，13，……（被3除余数是1） 2，5，8，11，14，……（被3除余数是2）
〈3〉在模6的情况下，可将整数分成六类，分别是： 0（mod6）：0，6，12，18，24，…… 1（mod6）：1，7，13，19，25，…… 2（mod6）：2，8，14，20，26，…… 3（mod6）：3，9，15，21，27，…… 4（mod6）：4，10，16，22，29，…… 5（mod6）：5，11，17，23，29，…… [经典例题]
例1：求437×309×1993被7除的余数。
思路分析：如果将437×309×1993算出以后，再除以7，从而引得到，即437×309×1993=269120769，此数被7除的余数为1。但是能否寻找更为简变的办法呢？ 473≡3（mod7） 309≡1（mod7） 由" 同余的可乘性" 知：
437×309≡3×1（mod7）≡3（mod7） 又因为1993≡5（mod7）
所以：437×309×1993≡3×5（mod7） ≡15（mod7）≡1（mod7） 即：437×309×1993被7除余1。
例2：70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的三倍恰好等于它两边两个数的和，这一行最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，……，问这一行数最右边的一个数被6除的余数是几？
思路分析：如果将这70个数一一列出，得到第70个数后，再用它去除以6得余数，总是可以的，但计算量太大。
即然这70个数中：中间的一个数的3倍是它两边的数的和，那么它们被6除以后的余数是否有类似的规律呢？
0，1，3，8，21，55，144，……被6除的余数依次是 0，1，3，2，3，1，0，……
结果余数有类似的规律，继续观察，可以得到：
0，1，3，2，3，1，0，5，3，4，3，5，0，1，3，2，3，…… 可以看出余数前12个数一段，将重复出现。
70÷2=5……10，第六段的第十个数为4，这便是原来数中第70个数被6除的余数。 思路分析：我们被直接用除法算式，结果如何。 例4、分别求满足下列条件的最小自然数： （1）用3除余1，用5除余1，用7除余1。 （2）用3除余2，用5除余1，用7除余1。 （3）用3除余1，用5除余2，用7除余2。 （4）用3除余2，用7除余4，用11除余1。 思路分析：
（1）该数减去1以后，是3，5和7的最小公倍数105，所以该数的是105+1=106 （2）该数减去1以后是5和7的公倍数。因此我们可以以5和7的公倍数中去寻找答案。下面列举一些同时被5除余1，被7除余1的数，即
1，36，71，106，141，176，211，246，……从以上数中寻找最小的被3除余2的数。 36≡0（mod3），71≡2（mod3），符合条件的最小的数是71。
（3）我们首先列举出被5除余2，被7除余2的数，2，37，72，107，142，177，212，247，……
从以上数中寻找最小的被3除余1的数。
2（mod3），37≡（mod3）、因此符合条件的最小的数是37。 （4）我们从被11除余1的数中寻找答案。
1，12，23，34，45，56，67，78，89，100，133，144，155，166，177，188，199，210，232，243，……
1（mod3）；1（mod7），不符合 12≡0（mod3），12≡5（mod7）不符合 23≡2（mod3），23≡2（mod7）不符合 34≡1（mod3），34≡6（mod7）不符合 45≡0（mod3），45≡3（mod7）不符合 56≡2（mod3），56≡0（mod7）不符合 67≡1（mod3），67≡4（mod7）不符合 78≡0（mod3），78≡1（mod7）不符合 89≡2（mod3），89≡5（mod7）不符合 100≡1（mod3），100≡2（mod7）不符合 122≡2（mod3），122≡3（mod7）不符合 133≡1（mod3），133≡0（mod7）不符合 144≡1（mod3），144≡4（mod7）不符合 155≡2（mod3），155≡1（mod7）不符合 166≡1（mod3），166≡5（mod7）不符合 177≡0（mod3），177≡2（mod7）不符合 188≡2（mod3），188≡6（mod7）不符合 199≡1（mod3），199≡3（mod7）不符合 210≡0（mod3），210≡0（mod7）不符合 221≡2（mod3），221≡4（mod7）符合
因此符合条件的数是221。 例5判断以下计算是否正确
（1）42784×3968267=[1**********]46 （2）42784×3968267=[1**********]48 思路分析：若直接将右边算出，就可判断
41784×3968267=[1**********]8，可知以上两结果均是错的；但是计算量太大。 如果右式和左式相等，则它们除以某一个数余数一定相同。因为求一个数除以9的余数只需要先求这个数数字之和除以9的余数，便是原数除以9的余数。我考虑上式除以9的余数，如果余数不相同，则上式一定不成立。
（1）从个位数字可知，右式的个位数字只能是8，而右式个位为6，因此上式不成立。 （2）右式和左式的个位数字相同，因而无法断定上式是否成立，但是 4+2+7+8+4=25，25≡7（mod9） 3+9+6+8+2+6+7=41，41≡5（mod9） 42784≡7（mod9）；3968267≡5（mod9） 42784×3968267≡35（mod9） ≡8（mod9）
（1+6+9+7+5+9+8+9+4+2+3+4+8）≡3（mod9） 因此（2）式不成立
以上是用" 除9取余数" 来验证结果是否正确，常被称为" 弃九法" 。
不过应该注意，用弃九法可发现错误，但用弃九法没找出错误却不能保证原题一定正确。 习题
1、求16×941×1611被7除的余数。
3、判断结果是否正确：（1）5483×9117=49888511 （2）1226452÷2683=334 4、乘法算式
3145×92653=291093995的横线处漏写了一个数字，你能以最快的办法补出吗？
5、13511，13903，14589被自然数m 除所得余数相同，问m 最大值是多少？
第14讲 数论之同余与余数问题
【和差积的余数同余余数的和差积】
【1】
【解析】（9+7+2）×(9-7) ×(7-2)=18×2×5=180，180除以11余4. 【2】
【解】3、6、9除以3，余数是0，所以只须看表达式1
3
6
9
1
+22+44+55+77+88除以3余几．
注意：如果a 除以3余a 1, b 除以3余b 1. ，那 a ×b 除以3所得的余数就是内a 1×b 1除以3所得的余数 因为4、7除以3余1，所以4、7，除以3，余数也是1 . 因为5、8除以3余2，所以5、8除以3，余数与2, 以3 余2 , 于是1
1
4
7
585
28除以3的余数相同而24=16 除以3余1，所以25=24×2除
28=24×24除以3余l （=1×1）
+22+44+55+77+88除以3，所得余数与l ＋4＋l ＋2＋1＋1除以3，所得余数相同，即余数是1 .
【3】
【解】 有已知，乙，丙，丁三人取走的七盒中，糖的块数是丁所取糖块数的5倍. 八盒糖的总块数是
9＋17＋24＋28＋30＋31＋33＋44=216 216除以5的余数为1，所以甲取走的一盒除以5余1. 因此甲取走的一盒中有31块奶糖. 【4】
【解法1】 甲余11人，乙余36－11=25人. 甲团人数与乙团人数的积除以36，余数与11×25除以36的余数相同，即余23. 所以最后一卷拍了23张，还可拍36－23=13张.
【解法2】因为除去最后一辆车，其它个车里两团代表人数都是36的倍数，所以剩下胶片是最后一辆车里两团代表拍完照留下的. 25×11÷36=7……23 还可拍36－23=13(张).
【5】
【分析】任何数乘方的尾数都是4 个数一周期．
7是7、9、3、1循环，因为2010÷4 ＝502 … 2，所以2017
98
2010
尾数是9.
8 是8、4、2、6循环，因为98 ÷4余2，所以10765868尾数是4 .
9 是9、1、9、9循环，因为2009÷4余1 ，所以2009
2009
尾的数是9 .
9+9×4=45，个位为5. 【6】
【分析】 求结果除以l0的余数即求从l 到2005 这2005 个数的个位数字是10 个一循环的，而对于一个数的幂方的个位数，我们知道它总是4 个一循环的，因此把每个加数的个位数按20 个一组，则不同组中对应的数字应该是一样的．
首先计算1+2+3+4+L +20的个位数字为M . 2005 个加数中有100 组多5 个数，100 组的个位数是M ×100的个位数即O , 另外5 个数为2001它们和的个位数字是1＋4＋7＋6＋5＝23 的个位数3.
【7】
【分析】 同余的性质的应用． 【解】 ∵ 143≡3 ( mod7 ) ∴143≡3 ( mod 7) ∵3≡1(mod 7) ∴
6
89
2001
1
2
3
4
20
、20022002、20032003、20042004、20052005，
89
14389≡389≡36⨯14+5≡35≡5 (mod 7) .
【评析】 这类题都是通过找几次方除以7得余数1作为突破，大大简化题目的难度。 【巩固】
【解析】2011÷8余3，
20112009
与
32009
除以8的余数相同，3×3除以8余1，所以
20112009≡32009≡32⨯1004+1≡3(mod8)
【同余-用于求除数】同余：a ÷x 余r, b÷x 余r ，则(a-b)是x 的倍数。
【基础知识练习】
【分析】 所求自然数减去 63 的差可被 247 与 248 整除，再考虑这个差被 26 除的余数． 【解】 设所求自然数减去63，差是 A ，则 A 被 247 与 248 整除，
247 = 19×13 , 248=2 ×124
所以 A 被13与2整除，13与2 互质，得 A 被 26 整除．原来的自然数是 A + 63 ，所以只要考
虑 63 被 26 除后的余数．
63 = 26×2+ 11
因此这个自然数被 26 除余11 答：所求余数是11.
【评析】 如果一个整数能被甲、乙两数整除，并不能得出它被甲、乙两数的积整除．在甲、乙两数互质时，才能导出这个数被甲、乙两数的积整除． 【1】
【解析】由85-69=16，93-85=8，推出A=8或4或2，97÷8=12……1. 所以丁团分成每组A 人的若干组后还剩1人。 【2】
【解析】 这个数A 除55l,745个数去除551,745,1,1133,1327, 所得的余数相同, 所以有551,745,1133,1327两两做差而得到的数一定是除数A 的倍数．
1327-1133=194,1133-745=388,745-551=194,1327-745=582,1327-551=776,1133-551=582．
这些数都是A 的倍数, 所以A 是它们的公约数, 而它们的最大公约数(194，388，194，582，776，582)=194． 所以, 这个数最大可能为194． 【3】
【分析与解】 设这个除数为M, 设它除63,90,130所得的余数依次为a,b,c, 商依次为A,B,C ． 63÷M=A……a 90÷M=B……b 130÷M=C……c
a+b+c=25,则(63+90+130)-(a+b+c)=(A+B+C)×M, 即283-25=258=(A+B+C)×M．
所以M 是258的约数. 258=2×3×43, 显然当除数M 为2、3、6时,3个余数的和最大为3×(2-1)=3，3×(3-1)=6,3×(6-1)=15,所以均不满足．
而当除数M 为43×2, 43×3, 43×2×3时, 它除63的余数均是63, 所以也不满足． 那么除数M 只能是43, 它除63,90,130的余数依次为20,4,1, 余数的和为25, 满足．
显然这3个余数中最大的为20．
【余数三大类问题-用于求被除数】
(1)余同：最小公倍数的倍数+余数，（2）差同(差=除数-余数) ：最小公倍数的倍数-差 (3)都不同：结合中国剩余定理与不定方程两边对某数求余数的方法。 【1】
【分析】 N 加上 1 ，就可以被 10 、 9 、 8 、 … 、 2 整除．
【解】 由于N 十l 被10、9、8、…、2整除，而10、 9 、 8 、 … 、 2 的最小公倍数是
5×9×8×7=2520
因此， N 十 1 被 2520 整除． N 的最小值是
2520 一 1 = 2519
答： N 的最小值是 2519 .
【2】
【解】设这个数为23a ＋7，因为它除以19余9，所以，23a ＋7一9 =19a＋4a 一2被19整除，即4a 一2被19整除．令a = l , 2 ，…，代入检验，在 a = 10 时，4a －2 = 38 第一次被19整除，所以所求的自然教最小是23×10＋7 = 237 【3】
【分析与解】设这个圆圈有n 个孔, 那么有n 除以3余1,n 除以5余1.n 能被7整除．
则将n-1是3、5的倍数, 即是15的倍数, 所以n=15t+1,又因为凡是7的倍数, 即15t+1=7A,将系数与常数对7取模, 有t+1≡0(mod7),所以t 取6或6与7的倍数和.
对应孔数为15×6+l=91或91与105的倍数和，满足题意的孔数只有91．
即这个圆圈上共有91个孔．
【活学活用】
【1】
【解析一：教材方法】甲、乙两数的差被 3 整除，即甲、乙两数被 3 除的余数相同．
一个自然数被 3 除，余数只有 3 种情况，即0、1、2.
由分析可知：甲、乙两数被 3 除，余数相同，下面分三种情况讨论
（1） 如果甲、乙两数被 3 除都余 1 ，那么，它们的和被 3 整除，不符合题意． （2）
如果甲、乙两数被 3 除都余 1 ，那么，它们的和被 3 除余 2 , 也不符合题意．
（3） 如果甲、乙两数被 3 除都余 2 ，那么，它们的和被 3 除正好余 l . 答：甲数被 3 除的余数是 2 .
【解析二：致远推荐】A+B=3m+1，A-B=3n，解得2A=3m+3n+1，所以A=[3×(m+n)+1]÷2，无论m+n为奇数还是偶数，
A 除以3余2. 【2】
【解析】 设a 、b 、c 为连续三项，则
c= 3×b 一a
考虑原数列各项除以3所得的余数，组成数列 0 , l , 0 , 2 , 0 , l , 0 , 2， … 每4项重复出现
考虑原数列各项除以2所得的余数，组成数列 0，1，1，0，1，1，0，1，1，…， 每3项重复出现.
因此，原数列最右边的（第70个）数，除以3余1（70 = 4×17＋2），除以2 所余0（70=3×23＋1） 于是最右一个数被6除余4. 【3】 【分析】 算出
20042004÷7 所得的余数，便可推得结论．若把 2004连乘，用所得的结果除以 7 ，计算
太复杂了！因此先找出与 2004 除以 7同余的最小数，然后根据余数的有关性质解题． 【解】 因为 2004 除以 7 的余数是 2 .
所以 而2
200420047 与22004÷7 的余数相同．
2004
（2） = =
÷7与1
668
3668
668
8668=（7+1）
所以2
2004
÷7=1÷7的余数相同.
故2004
2004
÷7 的余数为 1 .
2004
因为今天是星期一，所以再过2004
m
天是星期二．
【评析】 若 a =pq ＋r ，则a ÷q 与r ÷q 余数相同，在遇到一些非常大的数的若干次幂时，可使用幂的相关性质进行分解，使大数化成小数，如：a
m ⨯n
m
=(a
m n
) , a m+n=a m ⋅a n ．
【天天练】
【1】
【解】 甲数是13的倍数加7，乙数是13的倍数加9，所以它们的积是13的倍数加7×9，而7×9除以13余11，所以甲、乙的积除以13余11 . 【2】
【解】 甲、乙手中卡片上的数之和必是3的倍数. 六张卡片上的数分别除以3，依次余2、1、0、0、1、l ，推知只有后五个数之和能被3整除，所以丙手中卡片上的数是1193 . 【3】
【解析】如下表所示：
盘是最多的。
【4】
【解】 1477一49 = 1428 是这两位数的倍数
又1428=2×2×3×7×17
=51×28
=68×21
=84×17
因此，所求的两位数51或68或84
【5】
【解】由1992÷46=43… …14得1992=46×43＋14，所以a= 43,r =14.
【6】
【分析】 这个整数除300、262得到相同的余数．所以300一262的差，一定被这个整数整除．也就是说，
这个整数是300一262的因数．同样，这个整数也是300一205的因数．
【解】 300一 262 = 38 =2×19
300 一 205 = 95 = 5×19
所以这个整数是 19 .
答：这个整数是 19 .
【评析】 同余问题转化为整除问题，是解决这类问题的常用方法．
【7】
【解】 200一5 = 195 . 300一l = 299 , 400一10 = 390
195 , 299 , 390 的最大公约数是13于是，这个数是13 .
【8】
【解】2008 被这样的自然数除余数是10 ，那么，1998 就是这些自然数的倍数，换句话说，我们要求1998 的约数有几个，但注意到除数比余数大，所以我们要求的是1998 的约数中那些大于10 的，枚举显然不可取，我们考虑用约数个数公式： 1998＝2×3×37 , d (1998) ＝(l＋l) ×(3＋l) (1＋l) ＝16
其中小于10 的约数有l, 2, 3, 6, 9，去掉它们还有11 个，因此这样的自然数共有11个．
【评析】 注意到除数比余数大． 3101，126，173，193被3除的余数分别为2，0，2，1，故他们之间的比赛盘数如上表，由表可以看出，126号运动员打了5
【9】
【分析】 同余的性质5的应用．若a ≡b ( mod m) , c≡d ( mod m)，那么ac ≡bd ( mod m) （可乘性）.
【解】
∵ 418≡2 (mod 13),
814≡8 (mod 13), 1616≡4(mod 13),
∴ 根据同余的性质5 可得
418×814×1616≡2×8×4≡64≡12 (mod 13) .
所以，乘积418 火81 生只1616 除以13 余数是12 .
【评析】 若先求乘积，再求余数，计算量太大．利用同余的性质可以使“大数化小”，减少计算量．
【10】
【分析】a 与b 的和除以c 的余数，等于a , b 分别除以c 的余数之和（或这个和除以c 的余数）．当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c 的余数．
【解】 根据递推关系把这串数除以9的余数列出来如下：
学习最好的朋友是谦虚地向别人学习好的方面！ 09年秋季五年级第14讲-数论之同余与余数问题教师版 Page11of12
l 、3、8、4、6、2、7、O 、5、l 、3，…
发现恰好每9个一循环，2000被9 除余数是2 ，所以第200个和第2 个一样除以9 的余数是3 .
【11】
【解】 去掉3人后，总数被3、5、7整除，因而是105的倍数，原人数在90～110之间，因而是105＋3=108.
【12】
【解】 [3,4,5,6]=60,60－1=59(人) 答：上体育课的同学最少有59名.
【13】
【解析】 到会人数加上1，正好是9与7的公倍数，因而是63的倍数. 这个数除以5余4，在63的小于200的倍数63 , 126 , 189中，只有189满足这一条件. 因此到会的代表有l88（= 189一l ）人
【14】
【解析】如果 A = 35 ，则它被 14 除的余数是 7 .
如果 A 大于 35 ，则 A 一 35 能被 1981 和 1982 整除．又
1981=7×283
能被 7 整除，且 1982 能被 2 整除，所以 A 一 35 能被 14 整除．
由 A =（ A 一 35 ) + 35
知 A 被 14 除的余数就是 35 被 14 除的余数，为 7 .
答： A 被 14 除的余数是 7 .
【15】
解：由题意( 63 ＋ 91 ＋ 129 ）一 25 = 258
能被所求的整数整除258 = 2×3×43
因为三个余数的和是25，所以其中一定有一个余数大于8，从而这个整数大于 8 ．另外，这个整数不会超过被除数 63 . 因此，符合条件的只有 43 .
答：所求的整数是 43 .
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小学奥数竞赛专题之同余问题 [专题介绍]：同余问题
生活中我会经常遇到与余数有关的问题，比如：某年级有将近400名学生。有一次演出节目排队时出现：如果每8人站成一列则多余1人；如果改为每9人站成一列则仍多余1人；结果发现现成每10人结成一列，结果还是多余1人；聪名的你知道该年级共有学生多少名吗？
假设有一名学生不参加演出，则结果一定是不管每列站8人或9人或10人都将刚好站齐。因此此时学生人数应是8、9、10公倍数，而8、9、10的最小公倍数是360，因此可知该年级共有361人。
研究与余数有关的问题，能帮助我们解决很多较为复杂的问题。 [分析]
1、两个整数a 和b ，除以一个大于1的自然数m 所得余数相同，就称a 和b 对于模m 同余或称a 和b 在模m 下同余，即a≡b（modm ） 2、同余的重要性质及举例。 〈1〉a≡a（modm ）（a 为任意自然） 〈2〉若a≡b（modm ），则b≡a（modm ）
〈3〉若a≡b（modm ），b≡c（modm ）则a≡c（modm ） 〈4〉若a≡b（modm ），则ac≡bc（modm ）
〈5〉若a≡b（modm ），c≡d（modm ），则ac=bd（modm ） 〈6〉若a≡b（modm ）则an≡bm（modm ）
其中性质〈3〉常被称为" 同余的可传递性" ，性质〈4〉、〈5〉常被称为" 同余的可乘性，" 性质〈6〉常被称为" 同余的可开方性" 注意：一般地同余没有" 可除性" ，但是：
如果：ac=bc（modm ）且（c ，m ）=1则a≡b（modm ） 3、整数分类：
〈1〉用2来将整数分类，分为两类： 1，3，5，7，9，……（奇数）
0，2，4，6，8，……（偶数） 〈2〉用3来将整数分类，分为三类： 0，3，6，9，12，……（被3除余数是0） 1，4，7，10，13，……（被3除余数是1） 2，5，8，11，14，……（被3除余数是2）
〈3〉在模6的情况下，可将整数分成六类，分别是： 0（mod6）：0，6，12，18，24，…… 1（mod6）：1，7，13，19，25，…… 2（mod6）：2，8，14，20，26，…… 3（mod6）：3，9，15，21，27，…… 4（mod6）：4，10，16，22，29，…… 5（mod6）：5，11，17，23，29，…… [经典例题]
例1：求437×309×1993被7除的余数。
思路分析：如果将437×309×1993算出以后，再除以7，从而引得到，即437×309×1993=269120769，此数被7除的余数为1。但是能否寻找更为简变的办法呢？ 473≡3（mod7） 309≡1（mod7） 由" 同余的可乘性" 知：
437×309≡3×1（mod7）≡3（mod7） 又因为1993≡5（mod7）
所以：437×309×1993≡3×5（mod7） ≡15（mod7）≡1（mod7） 即：437×309×1993被7除余1。
例2：70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的三倍恰好等于它两边两个数的和，这一行最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，……，问这一行数最右边的一个数被6除的余数是几？
思路分析：如果将这70个数一一列出，得到第70个数后，再用它去除以6得余数，总是可以的，但计算量太大。
即然这70个数中：中间的一个数的3倍是它两边的数的和，那么它们被6除以后的余数是否有类似的规律呢？
0，1，3，8，21，55，144，……被6除的余数依次是 0，1，3，2，3，1，0，……
结果余数有类似的规律，继续观察，可以得到：
0，1，3，2，3，1，0，5，3，4，3，5，0，1，3，2，3，…… 可以看出余数前12个数一段，将重复出现。
70÷2=5……10，第六段的第十个数为4，这便是原来数中第70个数被6除的余数。 思路分析：我们被直接用除法算式，结果如何。 例4、分别求满足下列条件的最小自然数： （1）用3除余1，用5除余1，用7除余1。 （2）用3除余2，用5除余1，用7除余1。 （3）用3除余1，用5除余2，用7除余2。 （4）用3除余2，用7除余4，用11除余1。 思路分析：
（1）该数减去1以后，是3，5和7的最小公倍数105，所以该数的是105+1=106 （2）该数减去1以后是5和7的公倍数。因此我们可以以5和7的公倍数中去寻找答案。下面列举一些同时被5除余1，被7除余1的数，即
1，36，71，106，141，176，211，246，……从以上数中寻找最小的被3除余2的数。 36≡0（mod3），71≡2（mod3），符合条件的最小的数是71。
（3）我们首先列举出被5除余2，被7除余2的数，2，37，72，107，142，177，212，247，……
从以上数中寻找最小的被3除余1的数。
2（mod3），37≡（mod3）、因此符合条件的最小的数是37。 （4）我们从被11除余1的数中寻找答案。
1，12，23，34，45，56，67，78，89，100，133，144，155，166，177，188，199，210，232，243，……
1（mod3）；1（mod7），不符合 12≡0（mod3），12≡5（mod7）不符合 23≡2（mod3），23≡2（mod7）不符合 34≡1（mod3），34≡6（mod7）不符合 45≡0（mod3），45≡3（mod7）不符合 56≡2（mod3），56≡0（mod7）不符合 67≡1（mod3），67≡4（mod7）不符合 78≡0（mod3），78≡1（mod7）不符合 89≡2（mod3），89≡5（mod7）不符合 100≡1（mod3），100≡2（mod7）不符合 122≡2（mod3），122≡3（mod7）不符合 133≡1（mod3），133≡0（mod7）不符合 144≡1（mod3），144≡4（mod7）不符合 155≡2（mod3），155≡1（mod7）不符合 166≡1（mod3），166≡5（mod7）不符合 177≡0（mod3），177≡2（mod7）不符合 188≡2（mod3），188≡6（mod7）不符合 199≡1（mod3），199≡3（mod7）不符合 210≡0（mod3），210≡0（mod7）不符合 221≡2（mod3），221≡4（mod7）符合
因此符合条件的数是221。 例5判断以下计算是否正确
（1）42784×3968267=[1**********]46 （2）42784×3968267=[1**********]48 思路分析：若直接将右边算出，就可判断
41784×3968267=[1**********]8，可知以上两结果均是错的；但是计算量太大。 如果右式和左式相等，则它们除以某一个数余数一定相同。因为求一个数除以9的余数只需要先求这个数数字之和除以9的余数，便是原数除以9的余数。我考虑上式除以9的余数，如果余数不相同，则上式一定不成立。
（1）从个位数字可知，右式的个位数字只能是8，而右式个位为6，因此上式不成立。 （2）右式和左式的个位数字相同，因而无法断定上式是否成立，但是 4+2+7+8+4=25，25≡7（mod9） 3+9+6+8+2+6+7=41，41≡5（mod9） 42784≡7（mod9）；3968267≡5（mod9） 42784×3968267≡35（mod9） ≡8（mod9）
（1+6+9+7+5+9+8+9+4+2+3+4+8）≡3（mod9） 因此（2）式不成立
以上是用" 除9取余数" 来验证结果是否正确，常被称为" 弃九法" 。
不过应该注意，用弃九法可发现错误，但用弃九法没找出错误却不能保证原题一定正确。 习题
1、求16×941×1611被7除的余数。
3、判断结果是否正确：（1）5483×9117=49888511 （2）1226452÷2683=334 4、乘法算式
3145×92653=291093995的横线处漏写了一个数字，你能以最快的办法补出吗？
5、13511，13903，14589被自然数m 除所得余数相同，问m 最大值是多少？
第14讲 数论之同余与余数问题
【和差积的余数同余余数的和差积】
【1】
【解析】（9+7+2）×(9-7) ×(7-2)=18×2×5=180，180除以11余4. 【2】
【解】3、6、9除以3，余数是0，所以只须看表达式1
3
6
9
1
+22+44+55+77+88除以3余几．
注意：如果a 除以3余a 1, b 除以3余b 1. ，那 a ×b 除以3所得的余数就是内a 1×b 1除以3所得的余数 因为4、7除以3余1，所以4、7，除以3，余数也是1 . 因为5、8除以3余2，所以5、8除以3，余数与2, 以3 余2 , 于是1
1
4
7
585
28除以3的余数相同而24=16 除以3余1，所以25=24×2除
28=24×24除以3余l （=1×1）
+22+44+55+77+88除以3，所得余数与l ＋4＋l ＋2＋1＋1除以3，所得余数相同，即余数是1 .
【3】
【解】 有已知，乙，丙，丁三人取走的七盒中，糖的块数是丁所取糖块数的5倍. 八盒糖的总块数是
9＋17＋24＋28＋30＋31＋33＋44=216 216除以5的余数为1，所以甲取走的一盒除以5余1. 因此甲取走的一盒中有31块奶糖. 【4】
【解法1】 甲余11人，乙余36－11=25人. 甲团人数与乙团人数的积除以36，余数与11×25除以36的余数相同，即余23. 所以最后一卷拍了23张，还可拍36－23=13张.
【解法2】因为除去最后一辆车，其它个车里两团代表人数都是36的倍数，所以剩下胶片是最后一辆车里两团代表拍完照留下的. 25×11÷36=7……23 还可拍36－23=13(张).
【5】
【分析】任何数乘方的尾数都是4 个数一周期．
7是7、9、3、1循环，因为2010÷4 ＝502 … 2，所以2017
98
2010
尾数是9.
8 是8、4、2、6循环，因为98 ÷4余2，所以10765868尾数是4 .
9 是9、1、9、9循环，因为2009÷4余1 ，所以2009
2009
尾的数是9 .
9+9×4=45，个位为5. 【6】
【分析】 求结果除以l0的余数即求从l 到2005 这2005 个数的个位数字是10 个一循环的，而对于一个数的幂方的个位数，我们知道它总是4 个一循环的，因此把每个加数的个位数按20 个一组，则不同组中对应的数字应该是一样的．
首先计算1+2+3+4+L +20的个位数字为M . 2005 个加数中有100 组多5 个数，100 组的个位数是M ×100的个位数即O , 另外5 个数为2001它们和的个位数字是1＋4＋7＋6＋5＝23 的个位数3.
【7】
【分析】 同余的性质的应用． 【解】 ∵ 143≡3 ( mod7 ) ∴143≡3 ( mod 7) ∵3≡1(mod 7) ∴
6
89
2001
1
2
3
4
20
、20022002、20032003、20042004、20052005，
89
14389≡389≡36⨯14+5≡35≡5 (mod 7) .
【评析】 这类题都是通过找几次方除以7得余数1作为突破，大大简化题目的难度。 【巩固】
【解析】2011÷8余3，
20112009
与
32009
除以8的余数相同，3×3除以8余1，所以
20112009≡32009≡32⨯1004+1≡3(mod8)
【同余-用于求除数】同余：a ÷x 余r, b÷x 余r ，则(a-b)是x 的倍数。
【基础知识练习】
【分析】 所求自然数减去 63 的差可被 247 与 248 整除，再考虑这个差被 26 除的余数． 【解】 设所求自然数减去63，差是 A ，则 A 被 247 与 248 整除，
247 = 19×13 , 248=2 ×124
所以 A 被13与2整除，13与2 互质，得 A 被 26 整除．原来的自然数是 A + 63 ，所以只要考
虑 63 被 26 除后的余数．
63 = 26×2+ 11
因此这个自然数被 26 除余11 答：所求余数是11.
【评析】 如果一个整数能被甲、乙两数整除，并不能得出它被甲、乙两数的积整除．在甲、乙两数互质时，才能导出这个数被甲、乙两数的积整除． 【1】
【解析】由85-69=16，93-85=8，推出A=8或4或2，97÷8=12……1. 所以丁团分成每组A 人的若干组后还剩1人。 【2】
【解析】 这个数A 除55l,745个数去除551,745,1,1133,1327, 所得的余数相同, 所以有551,745,1133,1327两两做差而得到的数一定是除数A 的倍数．
1327-1133=194,1133-745=388,745-551=194,1327-745=582,1327-551=776,1133-551=582．
这些数都是A 的倍数, 所以A 是它们的公约数, 而它们的最大公约数(194，388，194，582，776，582)=194． 所以, 这个数最大可能为194． 【3】
【分析与解】 设这个除数为M, 设它除63,90,130所得的余数依次为a,b,c, 商依次为A,B,C ． 63÷M=A……a 90÷M=B……b 130÷M=C……c
a+b+c=25,则(63+90+130)-(a+b+c)=(A+B+C)×M, 即283-25=258=(A+B+C)×M．
所以M 是258的约数. 258=2×3×43, 显然当除数M 为2、3、6时,3个余数的和最大为3×(2-1)=3，3×(3-1)=6,3×(6-1)=15,所以均不满足．
而当除数M 为43×2, 43×3, 43×2×3时, 它除63的余数均是63, 所以也不满足． 那么除数M 只能是43, 它除63,90,130的余数依次为20,4,1, 余数的和为25, 满足．
显然这3个余数中最大的为20．
【余数三大类问题-用于求被除数】
(1)余同：最小公倍数的倍数+余数，（2）差同(差=除数-余数) ：最小公倍数的倍数-差 (3)都不同：结合中国剩余定理与不定方程两边对某数求余数的方法。 【1】
【分析】 N 加上 1 ，就可以被 10 、 9 、 8 、 … 、 2 整除．
【解】 由于N 十l 被10、9、8、…、2整除，而10、 9 、 8 、 … 、 2 的最小公倍数是
5×9×8×7=2520
因此， N 十 1 被 2520 整除． N 的最小值是
2520 一 1 = 2519
答： N 的最小值是 2519 .
【2】
【解】设这个数为23a ＋7，因为它除以19余9，所以，23a ＋7一9 =19a＋4a 一2被19整除，即4a 一2被19整除．令a = l , 2 ，…，代入检验，在 a = 10 时，4a －2 = 38 第一次被19整除，所以所求的自然教最小是23×10＋7 = 237 【3】
【分析与解】设这个圆圈有n 个孔, 那么有n 除以3余1,n 除以5余1.n 能被7整除．
则将n-1是3、5的倍数, 即是15的倍数, 所以n=15t+1,又因为凡是7的倍数, 即15t+1=7A,将系数与常数对7取模, 有t+1≡0(mod7),所以t 取6或6与7的倍数和.
对应孔数为15×6+l=91或91与105的倍数和，满足题意的孔数只有91．
即这个圆圈上共有91个孔．
【活学活用】
【1】
【解析一：教材方法】甲、乙两数的差被 3 整除，即甲、乙两数被 3 除的余数相同．
一个自然数被 3 除，余数只有 3 种情况，即0、1、2.
由分析可知：甲、乙两数被 3 除，余数相同，下面分三种情况讨论
（1） 如果甲、乙两数被 3 除都余 1 ，那么，它们的和被 3 整除，不符合题意． （2）
如果甲、乙两数被 3 除都余 1 ，那么，它们的和被 3 除余 2 , 也不符合题意．
（3） 如果甲、乙两数被 3 除都余 2 ，那么，它们的和被 3 除正好余 l . 答：甲数被 3 除的余数是 2 .
【解析二：致远推荐】A+B=3m+1，A-B=3n，解得2A=3m+3n+1，所以A=[3×(m+n)+1]÷2，无论m+n为奇数还是偶数，
A 除以3余2. 【2】
【解析】 设a 、b 、c 为连续三项，则
c= 3×b 一a
考虑原数列各项除以3所得的余数，组成数列 0 , l , 0 , 2 , 0 , l , 0 , 2， … 每4项重复出现
考虑原数列各项除以2所得的余数，组成数列 0，1，1，0，1，1，0，1，1，…， 每3项重复出现.
因此，原数列最右边的（第70个）数，除以3余1（70 = 4×17＋2），除以2 所余0（70=3×23＋1） 于是最右一个数被6除余4. 【3】 【分析】 算出
20042004÷7 所得的余数，便可推得结论．若把 2004连乘，用所得的结果除以 7 ，计算
太复杂了！因此先找出与 2004 除以 7同余的最小数，然后根据余数的有关性质解题． 【解】 因为 2004 除以 7 的余数是 2 .
所以 而2
200420047 与22004÷7 的余数相同．
2004
（2） = =
÷7与1
668
3668
668
8668=（7+1）
所以2
2004
÷7=1÷7的余数相同.
故2004
2004
÷7 的余数为 1 .
2004
因为今天是星期一，所以再过2004
m
天是星期二．
【评析】 若 a =pq ＋r ，则a ÷q 与r ÷q 余数相同，在遇到一些非常大的数的若干次幂时，可使用幂的相关性质进行分解，使大数化成小数，如：a
m ⨯n
m
=(a
m n
) , a m+n=a m ⋅a n ．
【天天练】
【1】
【解】 甲数是13的倍数加7，乙数是13的倍数加9，所以它们的积是13的倍数加7×9，而7×9除以13余11，所以甲、乙的积除以13余11 . 【2】
【解】 甲、乙手中卡片上的数之和必是3的倍数. 六张卡片上的数分别除以3，依次余2、1、0、0、1、l ，推知只有后五个数之和能被3整除，所以丙手中卡片上的数是1193 . 【3】
【解析】如下表所示：
盘是最多的。
【4】
【解】 1477一49 = 1428 是这两位数的倍数
又1428=2×2×3×7×17
=51×28
=68×21
=84×17
因此，所求的两位数51或68或84
【5】
【解】由1992÷46=43… …14得1992=46×43＋14，所以a= 43,r =14.
【6】
【分析】 这个整数除300、262得到相同的余数．所以300一262的差，一定被这个整数整除．也就是说，
这个整数是300一262的因数．同样，这个整数也是300一205的因数．
【解】 300一 262 = 38 =2×19
300 一 205 = 95 = 5×19
所以这个整数是 19 .
答：这个整数是 19 .
【评析】 同余问题转化为整除问题，是解决这类问题的常用方法．
【7】
【解】 200一5 = 195 . 300一l = 299 , 400一10 = 390
195 , 299 , 390 的最大公约数是13于是，这个数是13 .
【8】
【解】2008 被这样的自然数除余数是10 ，那么，1998 就是这些自然数的倍数，换句话说，我们要求1998 的约数有几个，但注意到除数比余数大，所以我们要求的是1998 的约数中那些大于10 的，枚举显然不可取，我们考虑用约数个数公式： 1998＝2×3×37 , d (1998) ＝(l＋l) ×(3＋l) (1＋l) ＝16
其中小于10 的约数有l, 2, 3, 6, 9，去掉它们还有11 个，因此这样的自然数共有11个．
【评析】 注意到除数比余数大． 3101，126，173，193被3除的余数分别为2，0，2，1，故他们之间的比赛盘数如上表，由表可以看出，126号运动员打了5
【9】
【分析】 同余的性质5的应用．若a ≡b ( mod m) , c≡d ( mod m)，那么ac ≡bd ( mod m) （可乘性）.
【解】
∵ 418≡2 (mod 13),
814≡8 (mod 13), 1616≡4(mod 13),
∴ 根据同余的性质5 可得
418×814×1616≡2×8×4≡64≡12 (mod 13) .
所以，乘积418 火81 生只1616 除以13 余数是12 .
【评析】 若先求乘积，再求余数，计算量太大．利用同余的性质可以使“大数化小”，减少计算量．
【10】
【分析】a 与b 的和除以c 的余数，等于a , b 分别除以c 的余数之和（或这个和除以c 的余数）．当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c 的余数．
【解】 根据递推关系把这串数除以9的余数列出来如下：
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l 、3、8、4、6、2、7、O 、5、l 、3，…
发现恰好每9个一循环，2000被9 除余数是2 ，所以第200个和第2 个一样除以9 的余数是3 .
【11】
【解】 去掉3人后，总数被3、5、7整除，因而是105的倍数，原人数在90～110之间，因而是105＋3=108.
【12】
【解】 [3,4,5,6]=60,60－1=59(人) 答：上体育课的同学最少有59名.
【13】
【解析】 到会人数加上1，正好是9与7的公倍数，因而是63的倍数. 这个数除以5余4，在63的小于200的倍数63 , 126 , 189中，只有189满足这一条件. 因此到会的代表有l88（= 189一l ）人
【14】
【解析】如果 A = 35 ，则它被 14 除的余数是 7 .
如果 A 大于 35 ，则 A 一 35 能被 1981 和 1982 整除．又
1981=7×283
能被 7 整除，且 1982 能被 2 整除，所以 A 一 35 能被 14 整除．
由 A =（ A 一 35 ) + 35
知 A 被 14 除的余数就是 35 被 14 除的余数，为 7 .
答： A 被 14 除的余数是 7 .
【15】
解：由题意( 63 ＋ 91 ＋ 129 ）一 25 = 258
能被所求的整数整除258 = 2×3×43
因为三个余数的和是25，所以其中一定有一个余数大于8，从而这个整数大于 8 ．另外，这个整数不会超过被除数 63 . 因此，符合条件的只有 43 .
答：所求的整数是 43 .
学习最好的朋友是谦虚地向别人学习好的方面！ 09年秋季五年级第14讲-数论之同余与余数问题教师版 Page12of12