余数性质及同余定理
知识框架
一、 带余除法的定义及性质
1. 定义：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）, 若有a ÷b =q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r ,
0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里：
(1)当r =0时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商
(2)当r ≠0时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商
一个完美的带余除法讲解模型:如图
这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。
2. 余数的性质
⑴ 被除数=除数⨯商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数；
⑵ 余数小于除数．
二、 余数定理：
1. 余数的加法定理
a 与b 的和除以c 的余数，等于a , b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为
2
2. 余数的加法定理
a 与b 的差除以c 的余数，等于a , b 分别除以c 的余数之差。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝
2.
当余数的差不够减时时，补上除数再减。
例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4
＝4
3. 余数的乘法定理
a 与b 的乘积除以c 的余数，等于a , b 分别除以c 的余数的积，或者这个积除以c 所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。当余数的和比除
数大时，所求的余数等于余数之积再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 乘方：如果a 与b 除以m 的余数相同，那么a n 与b n 除以m 的余数也相同．
一、
1、 定义
整数a 和b ，除以一个大于1的自然数m 所得余数相同，就称a 和b 对于模m 同余或称a 和b 在模m 下同余，即 a≡b（modm ）
2、 同余的重要性质及举例。
〈1〉a≡a（modm ）（a 为任意自然）；
〈2〉若a≡b（modm ），则b≡a（modm ）
〈3〉若a≡b（modm ），b≡c（modm ）则a≡c（modm ）；
〈4〉若a≡b（modm ），则ac≡bc（modm ）
〈5〉若a≡b（modm ），c≡d（modm ），则ac=bd（modm ）；
〈6〉若a≡b（modm ）则an≡bm（modm ）
其中性质〈3〉常被称为" 同余的可传递性" ，性质〈4〉、〈5〉常被称为" 同余的可乘性，" 性质〈6〉常被称为" 同余的可开方性"
注意：一般地同余没有" 可除性" ，但是：如果：ac=bc（modm ）且（c ，m ）=1则a≡b（modm ）
3、 整数分类：
〈1〉用2来将整数分类，分为两类：
1，3，5，7，9，……（奇数）；
0，2，4，6，8，……（偶数）
〈2〉用3来将整数分类，分为三类：
0，3，6，9，12，……（被3除余数是0）
1，4，7，10，13，……（被3除余数是1）
2，5，8，11，14，……（被3除余数是2） 同余定理
〈3〉在模6的情况下，可将整数分成六类，分别是：
0（mod6）：0，6，12，18，24，……
1（mod6）：1，7，13，19，25，……
2（mod6）：2，8，14，20，26，……
3（mod6）：3，9，15，21，27，……
4（mod6）：4，10，16，22，29，……
5（mod6）：5，11，17，23，29，……
重难点
一个自然数被9除的余数和这个自然数所有数字之和被9除的余数相同。
同余在解答竞赛题中有着广泛的应用．在这一讲中，我们将深入理解同余的概念和性质，悟出它的一些运用技巧和方法．
例题精讲
【例 1】 一个两位奇数除1477，余数是49，那么，这个两位奇数是多少？
【巩固】 2024除以一个两位数，余数是22．求出符合条件的所有的两位数．
【例 2】 两数相除，商4余8，被除数、除数、商数、余数四数之和等于415，则被除数是_______．
【巩固】 用一个自然数去除另一个自然数，商为40，余数是16. 被除数、除数、商、余数的和是933，求
这2个自然数各是多少？
【例 3】 一个家庭，有父、母、兄、妹四人，他们任意三人的岁数之和都是3的整数倍，每人的岁数都
是一个质数，四人岁数之和是100，父亲岁数最大，问：母亲是多少岁?
余数性质及同余定理
知识框架
一、 带余除法的定义及性质
1. 定义：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）, 若有a ÷b =q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r ,
0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里：
(1)当r =0时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商
(2)当r ≠0时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商
一个完美的带余除法讲解模型:如图
这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。
2. 余数的性质
⑴ 被除数=除数⨯商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数；
⑵ 余数小于除数．
二、 余数定理：
1. 余数的加法定理
a 与b 的和除以c 的余数，等于a , b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为
2
2. 余数的加法定理
a 与b 的差除以c 的余数，等于a , b 分别除以c 的余数之差。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝
2.
当余数的差不够减时时，补上除数再减。
例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4
＝4
3. 余数的乘法定理
a 与b 的乘积除以c 的余数，等于a , b 分别除以c 的余数的积，或者这个积除以c 所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。当余数的和比除
数大时，所求的余数等于余数之积再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 乘方：如果a 与b 除以m 的余数相同，那么a n 与b n 除以m 的余数也相同．
一、
1、 定义
整数a 和b ，除以一个大于1的自然数m 所得余数相同，就称a 和b 对于模m 同余或称a 和b 在模m 下同余，即 a≡b（modm ）
2、 同余的重要性质及举例。
〈1〉a≡a（modm ）（a 为任意自然）；
〈2〉若a≡b（modm ），则b≡a（modm ）
〈3〉若a≡b（modm ），b≡c（modm ）则a≡c（modm ）；
〈4〉若a≡b（modm ），则ac≡bc（modm ）
〈5〉若a≡b（modm ），c≡d（modm ），则ac=bd（modm ）；
〈6〉若a≡b（modm ）则an≡bm（modm ）
其中性质〈3〉常被称为" 同余的可传递性" ，性质〈4〉、〈5〉常被称为" 同余的可乘性，" 性质〈6〉常被称为" 同余的可开方性"
注意：一般地同余没有" 可除性" ，但是：如果：ac=bc（modm ）且（c ，m ）=1则a≡b（modm ）
3、 整数分类：
〈1〉用2来将整数分类，分为两类：
1，3，5，7，9，……（奇数）；
0，2，4，6，8，……（偶数）
〈2〉用3来将整数分类，分为三类：
0，3，6，9，12，……（被3除余数是0）
1，4，7，10，13，……（被3除余数是1）
2，5，8，11，14，……（被3除余数是2） 同余定理
〈3〉在模6的情况下，可将整数分成六类，分别是：
0（mod6）：0，6，12，18，24，……
1（mod6）：1，7，13，19，25，……
2（mod6）：2，8，14，20，26，……
3（mod6）：3，9，15，21，27，……
4（mod6）：4，10，16，22，29，……
5（mod6）：5，11，17，23，29，……
重难点
一个自然数被9除的余数和这个自然数所有数字之和被9除的余数相同。
同余在解答竞赛题中有着广泛的应用．在这一讲中，我们将深入理解同余的概念和性质，悟出它的一些运用技巧和方法．
例题精讲
【例 1】 一个两位奇数除1477，余数是49，那么，这个两位奇数是多少？
【巩固】 2024除以一个两位数，余数是22．求出符合条件的所有的两位数．
【例 2】 两数相除，商4余8，被除数、除数、商数、余数四数之和等于415，则被除数是_______．
【巩固】 用一个自然数去除另一个自然数，商为40，余数是16. 被除数、除数、商、余数的和是933，求
这2个自然数各是多少？
【例 3】 一个家庭，有父、母、兄、妹四人，他们任意三人的岁数之和都是3的整数倍，每人的岁数都
是一个质数，四人岁数之和是100，父亲岁数最大，问：母亲是多少岁?