动量和角动量习题

4-1. 如图所示的圆锥摆，绳长为l，绳子一端固定，另一端系一质量为m的质点，以匀角速ω绕铅直线作圆周运动，绳子与铅直线的夹角为θ。在质点旋转一周的过程中，试求：

（1）质点所受合外力的冲量I；

（2）质点所受张力T的冲量IT。

解：

（1）根据冲量定理：t

t0FdtdPP PP0

其中动量的变化：mvmv0

在本题中，小球转动一周的过程中，速度没有变化，动量的变化就为0，冲量之和也为0，所以本题中质点所受合外力的冲量I为零

（2）该质点受的外力有重力和拉力，且两者产生的冲量大小相等，方向相反。

重力产生的冲量=mgT=2mg/；所以拉力产生的冲量2mg/，方向为竖直向上。

4-2.一物体在多个外力作用下作匀速直线运动，速度=4m/s。已知其中一力F方向恒与运动方向一致，大小随时间变化内关系曲线为半个椭圆，如图。求：

（1）力F在1s到3s间所做的功；

（2）其他力在1s到s间所做的功。

解：

（1）由做功的定义可知：

WFdxFvdtvFdtvS椭圆125.6J x111x233

（2）由动能定理可知，当物体速度不变时，外力做的总功为零，所以当该F做的功为125.6J时，其他的力的功为-125.6J。

4-3.质量为m的质点在Oxy平面内运动，运动学方程为racostibsintj，求：

（1）质点在任一时刻的动量；

（2）从t0到t2/的时间内质点受到的冲量。

解：（1）根据动量的定义：Pmvm(asintibcostj)

（2）从t0到t2/的时间内质点受到的冲量等于它在这段时间内动量的变化，因为动量没变，所以冲量为零。

4-4.质量为M=2.0kg的物体（不考虑体积），用一根长为l=1.0m的细绳悬挂在天花板上。今有一质量为m=20g的子弹以v0=600m/s的水平速度射穿物体。刚射出物体时子弹的速度大小v=30m/s，设穿透时间极短。求：

（1）子弹刚穿出时绳中张力的大小；

（2）子弹在穿透过程中所受的冲量。

解：

（1）解：由碰撞过程动量守恒可得： mv0mvMv1

代入数据 0.026000.02302v1 可得：v15.7m/s

v12v2根据圆周运动的规律：T-G=M TMg84.6 NR

（2）根据冲量定理可得： Imvmv00.0257011.4Ns

4-5. 一静止的原子核经放射性衰变产生出一个电子和一个中微子，巳知电子的动量为1.21022kgm/s，中微子的动量为6.41023kgm/s，两动量方向彼此垂直。（1）求核反冲动量的大小和方向；（2）已知衰变后原子核的质量为

5.81026kg，求其反冲动能。

由碰撞时，动量守恒，分析示意图，可写成分量式：

m1sinm2cos

Pm1cosm2sin

所以P1.41022kgm/s 151.9 

P2（2）反冲的动能为：Ek0.171018J

4-6. 一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为F400410t/3，子弹从枪口射出时的速率为300m/s。设子弹离开枪口处合力刚好为零。求：

（1）子弹走完枪筒全长所用的时间t；

（2）子弹在枪筒中所受力的冲量I；

（3）子弹的质量。

解：（1）由F400410t/3和子弹离开枪口处合力刚好为零，则可以得到：F400410t/30 算出t=0.003s。

（2）由冲量定义： 555

I

0.0030Fdt0.0030（4004105t/3）dt400t2105t2/30.00300.6Ns

（3）由动量定理：I

FdtPmv0.6Ns 所以：m0.6/3000.002kg00.003

4-7. 有质量为2m的弹丸，从地面斜抛出去，它的落地点为xc。如果它在飞行到最高点处爆炸成质量相等的两碎片。其中一碎片铅直自由下落，另一碎片水平抛出，它们同时落地。问第二块碎片落在何处。

解：在爆炸的前后，质心始终只受重力的作用，因此，质心的轨迹为一抛物线，它的落地点为xc。

xcm1x1m2x2x 因为m1m2m，x1c m1m2故 xc

mxc2mx23,x2xc 4m2

4-8. 两个质量分别为m1和m2的木块A、B，用一劲度系数为k的轻弹簧连接，放在光滑的水平面上。A紧靠墙。今用力推B块，使弹簧压缩x0然后释放。（已知m1m，m23m）求：

（1）释放后A、B两滑块速度相等时的瞬时

速度的大小；

（2）弹簧的最大伸长量。

解：分析题意，可知在弹簧由压缩状态回到原长时，是弹簧的弹性势能转换为B木块的动能，然后B带动A一起运动，此时动量守恒，可得到两者相同的速度v ，并且此时就是弹簧伸长最大的位置，由机械能守恒可算出其量值。

1122m2v20kx0 22

m2v20（m1m2）v 所以v3k x043m

1112m2v20kx2m1m2）v2 222

1那么计算可得：xx0 2（2）

4-9. 二质量相同的小球，一个静止，一个以速度0与另一个小球作对心碰撞，求碰撞后两球的速度。（1）假设碰撞是完全非弹性的；（2）假设碰撞是完全弹性的；（3）假设碰撞的恢复系数e0.5.

解：由碰撞过程动量守恒以及附加条件，可得

（1）假设碰撞是完全非弹性的，即两者将以共同的速度前行：mv02mv 所以：v1v0 2

（2）假设碰撞是完全弹性的，

mv0

mv1mv2

111222mv0mv1mv2 222

两球交换速度， v10 v2v0

（3）假设碰撞的恢复系数e0.5，也就是

mv0mv1mv2

v2v10.5 v10v20

所以：v113v0 ， v2v0 44

4-10. 如图，光滑斜面与水平面的夹角为30，轻质弹簧上端固定．今在

弹簧的另一端轻轻地挂上质量为M1.0kg的木块，木块沿斜面从静止开始向下滑动．当木块向下滑x30cm时，恰好有一质量

m0.01kg的子弹，沿水平方向以速度v200m/s

射中木块并陷在其中。设弹簧的劲度系数为

k25N/m。求子弹打入木块后它们的共同速度。

解：由机械能守恒条件可得到碰撞前木快的速度，碰撞过程中子弹和木快沿斜面方向动量守恒，可得：

11Mv12kx2Mgxsin v10.83 (碰撞前木快的速度) 22

Mv1mvcos（mM）v v0.89

4-11. 水平路面上有一质量m15kg的无动力小车以匀速率02m/s运动。小车由不可伸长的轻绳与另一质量为m225kg的车厢连接，车厢前端有一质量为m320kg的物体，物体与车厢间摩擦系数为0.2。

开始时车厢静止，

绳未拉紧。求：

(1)当小车、车厢、物体以共同速度运动时，物体相对车厢的位移；

(2)从绳绷紧到三者达到共同速度所需要的时间。(车与路面间摩擦不计，取g =10m/s2)

解：（1）由碰撞过程动量守恒，可得

m1v0（m1m2m3）v v0.2s

m1v0(m1m2)v v1

212m1521v0s m1m25253m3gs(m1m2)v2m1m2m3）v2

11(m1m2)v2m1m2m3）v1m sm3g60

（2）m3vμm3gt t

4-12. 一质量为M千克的木块，系在一固定于墙壁的弹簧的末端，静止在光滑水平面上，弹簧的劲度系数为k.一质量为m的子弹射入木块后，弹簧长度被压缩了L.

(1)求子弹的速度；(2)若子弹射入木块的深度为s，求子弹所受的平均阻力。 解：（1）碰撞过程中子弹和木块动量守恒，碰撞结束后的运动由机械能守恒条件可得， v0.20.1s μg0.210

mv0（mM）v

11mM）v2kL2 22

计算得到：v0Lk（mM） m

（2）子弹射入木快所受的阻力做功使子弹动能减小，木块动能增加，两次作功的位移差为s，所以：

12m（v0v2） 2

1fxMv2 其中xxs 2fxMkL2

所以：f 2ms

4-13. 质量为M、长为l的船浮在静止的水面上，船上有一质量为m的人，开始时人与船也相对静止，然后人以相对于船的速度u从船尾走到船头，当人走到船头后人就站在船头上，经长时间后，人与船又都静止下来了。设船在运动过程中受到的阻力与船相对水的速度成正比，即fkv.求在整个过程中船的位移x.

4-14． 以初速度0将质量为m的质点以倾角从坐标原点处抛出。设质点在Oxy平面内运动，不计空气阻力，以坐标原点为参考点，计算任一时刻：

（1）作用在质点上的力矩M；

（2）质点的角动量L 

解：（1）MrFmgv0costk

tmgv02Mdtcostk （2）Lrmv02

4-15． 人造地球卫星近地点离地心r1=2R，（R为地球半径），远地点离地心r2=4R。求：

（1）卫星在近地点及远地点处的速率1和2（用地球半径R以及地球表面附近的重力加速度g来表示）；

（2）卫星运行轨道在近地点处的轨迹的曲率半径ρ。

解：利用角动量守恒：Lr1mv1r2mv2 2v14v2

同时利用卫星的机械能守恒，所以：

1Mm1Mm2mv12G0mv2G0

22R24R

G0Mmmg 2R

所以： v12Rg v23

mv2Rg 68R 3（2）G0Mm2 可得到：

4-16火箭以第二宇宙速度v2离地球过程中，火箭发动机停止工作，不计空气阻力，求火箭在距地心4R的A处的速度。

解：第二宇宙速度E0，由机械

能守恒:

1Mm 0mvA2G24R

vA mv2RmvA4Rsin

v230

4-1. 一思考题4

粒子初时沿x轴负向以速度v运动，后被位于坐标原点的金核所散

射，使其沿与x轴成120的方向运动(速庹大小不变)．试用矢量在图上表出粒

子所受到的冲量I的大小和方向。

见图4-25。

4-2. 试用所学的力学原理解释

逆风行舟的现象。

可用动量定理来解释。设风沿与航向成α角的方向从右前方吹来，以风中一小块沿帆面吹过来的空气为研究对象，Δm表示这块空气的质量，v1和v2分别表示它吹向帆面和离开帆面时的速度，由于帆面比较光滑，风速大小基本不变，但是由于Δm的速度方向改变了，所以一定是受到帆的作用力，根据牛顿第三定律，Δm必然对帆有一个反作用力f，此力的方向偏向船前进的方向，将f分解为两个分量，垂直船体的分量与水对船的阻力相平衡，与船的航向平行的分量就是推动帆及整个船体前进的作用力。

4-3. 两个有相互作用的质点m1和m2（m2m1），已知在不受外力时它们2

的总动量为零，m1的轨迹如图，试画出m2质点的运动轨迹。

见图4-26。

4-4. 当质量为m的人造卫星在轨道上运动时，常常列出下列三个方程：

12Gmem12Gmem mv2mv12r22r1

mv2sin2mv1sin1

mv2Gmem 2rr

试分析上述三个方程各在什么条件下成立。

4-5. 在水平冰面上以一定速度向东行驶的炮车，向东南（斜向上）方向发射一炮弹，对于炮车和炮弹这一系统，在此过程中（忽略冰面摩擦力及空气阻力）哪些量守恒？

对于这个系统，能量守恒，因为没有外力做功；

4-6. 体重相同的甲乙两人，分别用双手握住跨过无摩擦滑轮的绳子两端，当他们由同一高度向上爬时，相对于绳子，甲的速度是乙的两倍，则到达顶点情况是：

（A）甲先到达；（B）乙先到达；（C）同时到达；（D）谁先到达不能确定。 答:本题测试的是刚体系统的角动量定理和角动量守恒的概念.

当两小孩质量相等时,M=0.则系统角动量守恒,两人的实际的速度相同,将同时到达滑轮处,与谁在用力,谁不在用力无关.

选择C。

4-1. 如图所示的圆锥摆，绳长为l，绳子一端固定，另一端系一质量为m的质点，以匀角速ω绕铅直线作圆周运动，绳子与铅直线的夹角为θ。在质点旋转一周的过程中，试求：

（1）质点所受合外力的冲量I；

（2）质点所受张力T的冲量IT。

解：

（1）根据冲量定理：t

t0FdtdPP PP0

其中动量的变化：mvmv0

在本题中，小球转动一周的过程中，速度没有变化，动量的变化就为0，冲量之和也为0，所以本题中质点所受合外力的冲量I为零

（2）该质点受的外力有重力和拉力，且两者产生的冲量大小相等，方向相反。

重力产生的冲量=mgT=2mg/；所以拉力产生的冲量2mg/，方向为竖直向上。

4-2.一物体在多个外力作用下作匀速直线运动，速度=4m/s。已知其中一力F方向恒与运动方向一致，大小随时间变化内关系曲线为半个椭圆，如图。求：

（1）力F在1s到3s间所做的功；

（2）其他力在1s到s间所做的功。

解：

（1）由做功的定义可知：

WFdxFvdtvFdtvS椭圆125.6J x111x233

（2）由动能定理可知，当物体速度不变时，外力做的总功为零，所以当该F做的功为125.6J时，其他的力的功为-125.6J。

4-3.质量为m的质点在Oxy平面内运动，运动学方程为racostibsintj，求：

（1）质点在任一时刻的动量；

（2）从t0到t2/的时间内质点受到的冲量。

解：（1）根据动量的定义：Pmvm(asintibcostj)

（2）从t0到t2/的时间内质点受到的冲量等于它在这段时间内动量的变化，因为动量没变，所以冲量为零。

4-4.质量为M=2.0kg的物体（不考虑体积），用一根长为l=1.0m的细绳悬挂在天花板上。今有一质量为m=20g的子弹以v0=600m/s的水平速度射穿物体。刚射出物体时子弹的速度大小v=30m/s，设穿透时间极短。求：

（1）子弹刚穿出时绳中张力的大小；

（2）子弹在穿透过程中所受的冲量。

解：

（1）解：由碰撞过程动量守恒可得： mv0mvMv1

代入数据 0.026000.02302v1 可得：v15.7m/s

v12v2根据圆周运动的规律：T-G=M TMg84.6 NR

（2）根据冲量定理可得： Imvmv00.0257011.4Ns

4-5. 一静止的原子核经放射性衰变产生出一个电子和一个中微子，巳知电子的动量为1.21022kgm/s，中微子的动量为6.41023kgm/s，两动量方向彼此垂直。（1）求核反冲动量的大小和方向；（2）已知衰变后原子核的质量为

5.81026kg，求其反冲动能。

由碰撞时，动量守恒，分析示意图，可写成分量式：

m1sinm2cos

Pm1cosm2sin

所以P1.41022kgm/s 151.9 

P2（2）反冲的动能为：Ek0.171018J

4-6. 一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为F400410t/3，子弹从枪口射出时的速率为300m/s。设子弹离开枪口处合力刚好为零。求：

（1）子弹走完枪筒全长所用的时间t；

（2）子弹在枪筒中所受力的冲量I；

（3）子弹的质量。

解：（1）由F400410t/3和子弹离开枪口处合力刚好为零，则可以得到：F400410t/30 算出t=0.003s。

（2）由冲量定义： 555

I

0.0030Fdt0.0030（4004105t/3）dt400t2105t2/30.00300.6Ns

（3）由动量定理：I

FdtPmv0.6Ns 所以：m0.6/3000.002kg00.003

4-7. 有质量为2m的弹丸，从地面斜抛出去，它的落地点为xc。如果它在飞行到最高点处爆炸成质量相等的两碎片。其中一碎片铅直自由下落，另一碎片水平抛出，它们同时落地。问第二块碎片落在何处。

解：在爆炸的前后，质心始终只受重力的作用，因此，质心的轨迹为一抛物线，它的落地点为xc。

xcm1x1m2x2x 因为m1m2m，x1c m1m2故 xc

mxc2mx23,x2xc 4m2

4-8. 两个质量分别为m1和m2的木块A、B，用一劲度系数为k的轻弹簧连接，放在光滑的水平面上。A紧靠墙。今用力推B块，使弹簧压缩x0然后释放。（已知m1m，m23m）求：

（1）释放后A、B两滑块速度相等时的瞬时

速度的大小；

（2）弹簧的最大伸长量。

解：分析题意，可知在弹簧由压缩状态回到原长时，是弹簧的弹性势能转换为B木块的动能，然后B带动A一起运动，此时动量守恒，可得到两者相同的速度v ，并且此时就是弹簧伸长最大的位置，由机械能守恒可算出其量值。

1122m2v20kx0 22

m2v20（m1m2）v 所以v3k x043m

1112m2v20kx2m1m2）v2 222

1那么计算可得：xx0 2（2）

4-9. 二质量相同的小球，一个静止，一个以速度0与另一个小球作对心碰撞，求碰撞后两球的速度。（1）假设碰撞是完全非弹性的；（2）假设碰撞是完全弹性的；（3）假设碰撞的恢复系数e0.5.

解：由碰撞过程动量守恒以及附加条件，可得

（1）假设碰撞是完全非弹性的，即两者将以共同的速度前行：mv02mv 所以：v1v0 2

（2）假设碰撞是完全弹性的，

mv0

mv1mv2

111222mv0mv1mv2 222

两球交换速度， v10 v2v0

（3）假设碰撞的恢复系数e0.5，也就是

mv0mv1mv2

v2v10.5 v10v20

所以：v113v0 ， v2v0 44

4-10. 如图，光滑斜面与水平面的夹角为30，轻质弹簧上端固定．今在

弹簧的另一端轻轻地挂上质量为M1.0kg的木块，木块沿斜面从静止开始向下滑动．当木块向下滑x30cm时，恰好有一质量

m0.01kg的子弹，沿水平方向以速度v200m/s

射中木块并陷在其中。设弹簧的劲度系数为

k25N/m。求子弹打入木块后它们的共同速度。

解：由机械能守恒条件可得到碰撞前木快的速度，碰撞过程中子弹和木快沿斜面方向动量守恒，可得：

11Mv12kx2Mgxsin v10.83 (碰撞前木快的速度) 22

Mv1mvcos（mM）v v0.89

4-11. 水平路面上有一质量m15kg的无动力小车以匀速率02m/s运动。小车由不可伸长的轻绳与另一质量为m225kg的车厢连接，车厢前端有一质量为m320kg的物体，物体与车厢间摩擦系数为0.2。

开始时车厢静止，

绳未拉紧。求：

(1)当小车、车厢、物体以共同速度运动时，物体相对车厢的位移；

(2)从绳绷紧到三者达到共同速度所需要的时间。(车与路面间摩擦不计，取g =10m/s2)

解：（1）由碰撞过程动量守恒，可得

m1v0（m1m2m3）v v0.2s

m1v0(m1m2)v v1

212m1521v0s m1m25253m3gs(m1m2)v2m1m2m3）v2

11(m1m2)v2m1m2m3）v1m sm3g60

（2）m3vμm3gt t

4-12. 一质量为M千克的木块，系在一固定于墙壁的弹簧的末端，静止在光滑水平面上，弹簧的劲度系数为k.一质量为m的子弹射入木块后，弹簧长度被压缩了L.

(1)求子弹的速度；(2)若子弹射入木块的深度为s，求子弹所受的平均阻力。 解：（1）碰撞过程中子弹和木块动量守恒，碰撞结束后的运动由机械能守恒条件可得， v0.20.1s μg0.210

mv0（mM）v

11mM）v2kL2 22

计算得到：v0Lk（mM） m

（2）子弹射入木快所受的阻力做功使子弹动能减小，木块动能增加，两次作功的位移差为s，所以：

12m（v0v2） 2

1fxMv2 其中xxs 2fxMkL2

所以：f 2ms

4-13. 质量为M、长为l的船浮在静止的水面上，船上有一质量为m的人，开始时人与船也相对静止，然后人以相对于船的速度u从船尾走到船头，当人走到船头后人就站在船头上，经长时间后，人与船又都静止下来了。设船在运动过程中受到的阻力与船相对水的速度成正比，即fkv.求在整个过程中船的位移x.

4-14． 以初速度0将质量为m的质点以倾角从坐标原点处抛出。设质点在Oxy平面内运动，不计空气阻力，以坐标原点为参考点，计算任一时刻：

（1）作用在质点上的力矩M；

（2）质点的角动量L 

解：（1）MrFmgv0costk

tmgv02Mdtcostk （2）Lrmv02

4-15． 人造地球卫星近地点离地心r1=2R，（R为地球半径），远地点离地心r2=4R。求：

（1）卫星在近地点及远地点处的速率1和2（用地球半径R以及地球表面附近的重力加速度g来表示）；

（2）卫星运行轨道在近地点处的轨迹的曲率半径ρ。

解：利用角动量守恒：Lr1mv1r2mv2 2v14v2

同时利用卫星的机械能守恒，所以：

1Mm1Mm2mv12G0mv2G0

22R24R

G0Mmmg 2R

所以： v12Rg v23

mv2Rg 68R 3（2）G0Mm2 可得到：

4-16火箭以第二宇宙速度v2离地球过程中，火箭发动机停止工作，不计空气阻力，求火箭在距地心4R的A处的速度。

解：第二宇宙速度E0，由机械

能守恒:

1Mm 0mvA2G24R

vA mv2RmvA4Rsin

v230

4-1. 一思考题4

粒子初时沿x轴负向以速度v运动，后被位于坐标原点的金核所散

射，使其沿与x轴成120的方向运动(速庹大小不变)．试用矢量在图上表出粒

子所受到的冲量I的大小和方向。

见图4-25。

4-2. 试用所学的力学原理解释

逆风行舟的现象。

可用动量定理来解释。设风沿与航向成α角的方向从右前方吹来，以风中一小块沿帆面吹过来的空气为研究对象，Δm表示这块空气的质量，v1和v2分别表示它吹向帆面和离开帆面时的速度，由于帆面比较光滑，风速大小基本不变，但是由于Δm的速度方向改变了，所以一定是受到帆的作用力，根据牛顿第三定律，Δm必然对帆有一个反作用力f，此力的方向偏向船前进的方向，将f分解为两个分量，垂直船体的分量与水对船的阻力相平衡，与船的航向平行的分量就是推动帆及整个船体前进的作用力。

4-3. 两个有相互作用的质点m1和m2（m2m1），已知在不受外力时它们2

的总动量为零，m1的轨迹如图，试画出m2质点的运动轨迹。

见图4-26。

4-4. 当质量为m的人造卫星在轨道上运动时，常常列出下列三个方程：

12Gmem12Gmem mv2mv12r22r1

mv2sin2mv1sin1

mv2Gmem 2rr

试分析上述三个方程各在什么条件下成立。

4-5. 在水平冰面上以一定速度向东行驶的炮车，向东南（斜向上）方向发射一炮弹，对于炮车和炮弹这一系统，在此过程中（忽略冰面摩擦力及空气阻力）哪些量守恒？

对于这个系统，能量守恒，因为没有外力做功；

4-6. 体重相同的甲乙两人，分别用双手握住跨过无摩擦滑轮的绳子两端，当他们由同一高度向上爬时，相对于绳子，甲的速度是乙的两倍，则到达顶点情况是：

（A）甲先到达；（B）乙先到达；（C）同时到达；（D）谁先到达不能确定。 答:本题测试的是刚体系统的角动量定理和角动量守恒的概念.

当两小孩质量相等时,M=0.则系统角动量守恒,两人的实际的速度相同,将同时到达滑轮处,与谁在用力,谁不在用力无关.

选择C。