北师大理论力学习题答案6第六章思考题

第六章 质点组动力学

思6.1答:这个说法不对。应注意质心是空间的一个位置矢量为r C =m r 的几何点,质i i

M

s6.1 心速度为几何点的速度,并不是位于质心处的质点的速度。O 为固定点,只说明位于O 的质点速度为零,此时质心速度并不为零。

思6.2答:从本质上说, 质心是一个空间几何点,不是一个具有一定质量的质点。另一方面,我们为了使质点组整体运动的图像比较清晰和简化动量、角动量、动能的计算,我们假想一个质量为M =∑m 的质点位于质心,具有速度υ。这个假想质点的运动遵从质心运i c 动定理,它的动量即为质点组的总动量,它对固定点的角动量为r c ⨯M υc ,并具有动能1M υc 。引入假想质点是一种手段,它不反映问题的实质,所以并不意味着真有一个质点2

位于质心。

思6.3解:系统质心即为球心,按定义可知系统总动量 p =m υ

思6.4答:由于半圆柱在水平方向不受力,质心的初速度为0,所以质心C 的运动轨迹是一

条沿竖直方向的直线。

s6.4

思6.5答:初始时系统对Oz 轴的总动量L z =0,从开始跑动后,人绕Oz 轴作圆周运动,

角速度为ω1=ω1k ,盘则沿相反的方向转动,其角速度ω2=-ω2k 。圆盘

开始转动后,系统受轴承施与的摩擦力矩M z >0(系统所受其余外力对Oz

图s6.5 轴力矩均为零) 。在外力矩M z 的作用下,系统动量矩L z 由零开始逐渐增大,

到人停止跑动之时,L z 达最大值。人在停止跑动过程中,圆盘也逐渐停止

转动,人停止跑动后,人与盘一起将继续沿人跑动的方向绕Oz 轴转动。人停止跑动后,圆盘的转动方向改变了,所以受到的摩擦力矩的方向也变为M z '

的作用下,总角动量逐渐减小而趋向于零,因此,人与圆盘一起将逐渐趋于静止。

思6.6答: 由于圆盘与轴间的相互作用比较复杂, 把轴包括在质点组内, 这样轴和盘之间的相互作用就可看作是内力。

思6.7答:当轴承处无摩擦力时,系统所受外力对Oz 轴力矩为零,所以系统对Oz 轴的角动量守恒。所以人走盘动,人停盘停。

思6.8答:这两者并不矛盾。

以人、盘、轴为质点组。质点组角动量的变化与内力无关, 但质点组间的各质点之间可以进行动量变换。人与盘运动状态的改变即是由人与盘之间的动量变换引起的,而质点组间各质点之间的动量变换是由质点组的内力引起的。

思6.9证:由p =∑m υ i i

=M υc

可知υc =0

对惯性系中的任一固定点O ,L 0=r c ⨯M υc +L ' =L '

均等于质点组在质心系中对质心的角动量。

思6.10答:这种说法不对。啮合之后,轮1的角速度ω1=ω

2k ,而轮2的角速度ω2=-ω

2k ,

转动方向不同,在计算系统角动量时,要对同一条轴线进行计算,同时

注意轴矩为代数量,故啮合后系统对O 1z 轴角动量为

L 2z =I ⋅ω

2-I ⋅ω

2=0。可见角动量不守恒,在啮合过程中总角动量由

L 1z =I ω变为L 2z =0,变化的原因是在啮合过程受到外力矩的作用。应

图s6.10 注意在计算外力矩时,也必须对计算角动量的同一条轴线进行计算。在啮合时,轮1和轮2的接触部分有力相互作用,所以此时轮轴对轮的支持力不再沿铅直方向,N 1向左,N 2向右偏斜,因此在啮合过程中,N 2对O 1z 轴的力矩为一负数,正是在这个外力矩的作用下,系统对O 1z 轴的角动量由I ω变为零。

思6.11证:以两球及杆为系统,质心位于杆的中点。 初始时,球1速度为υ0,球2静止,故初始时质心速度υC =1υ0,由于系统所受外力矢量和为零,根据质心运动定理可知质心C 2

以υ0作匀速直线运动。因为系统所受对质心C 的外力矩矢量和为零,根据2对质心的角动量定理可知系统对质心的角动量为常矢量

图s6.11 足关系式υC =υυl l 1L ' =L ' t =0=-⋅m ⋅0k ' -⋅m ⋅0k ' =-lm υ0k ' 22222其中m 为小球质量,l 为杆长 所以系统绕质心旋转的角速度为常矢量,ω=-υ0l k ' ;而且ω与υC 之间满l l ω。因此小球的运动情况与半径为,轮心速度为υC ,沿直线轨道作无滑22

动的车轮边缘上一点的运动情况相同,故小球的轨迹为旋轮线。

思6.12答:不是。这个摩擦力f 对自行车不做功,因为无滑动。

思6.13答:不能成立。因一般的动坐标系不具有质心系的特点

υi =υC +υi' (平动) 和

∑m r ' =∑m υ' =0 (原点为质心) i i i i

思6.14答:系统为小球和杆,系统受的外力有小球的重力,杆的重力,水平轴在O 点对杆

的约束力N 0。一般情况下系统在O 点所受外力不沿铅直方向,所以系统

所受外力的矢量和不为零,所以动量不守恒,沿水平方向动量也不守恒。

在碰撞的一瞬间,可以认为小球和杆受到的重力作用线通过O 点,所

以系统所受对O 点的外力矩矢量和为零,因此系统对O 点的角动量守恒。

因碰撞是完全弹性碰撞,所以碰后小球与杆均不变形,系统内力做功

之和为零,碰撞过程中外力(N 0与重力)均不做功,可见系统机械能守

s6.14

思6.15答:上述看法不对。A 点原来有速度,在外力F 的作用下,要使A 点速度为零,则恒。

A 点在外力的方向上一定有位移d r A 。一般d r A 很小,但F 很大,

s6.15

F ⋅d r A 不能忽略,在本题讨论的极限情况下d r A →0,F →∞ ,但仍有F ⋅d r A ≠0。因此杆的机械能不守恒。

第六章 质点组动力学

思6.1答:这个说法不对。应注意质心是空间的一个位置矢量为r C =m r 的几何点,质i i

M

s6.1 心速度为几何点的速度,并不是位于质心处的质点的速度。O 为固定点,只说明位于O 的质点速度为零,此时质心速度并不为零。

思6.2答:从本质上说, 质心是一个空间几何点,不是一个具有一定质量的质点。另一方面,我们为了使质点组整体运动的图像比较清晰和简化动量、角动量、动能的计算,我们假想一个质量为M =∑m 的质点位于质心,具有速度υ。这个假想质点的运动遵从质心运i c 动定理,它的动量即为质点组的总动量,它对固定点的角动量为r c ⨯M υc ,并具有动能1M υc 。引入假想质点是一种手段,它不反映问题的实质,所以并不意味着真有一个质点2

位于质心。

思6.3解:系统质心即为球心,按定义可知系统总动量 p =m υ

思6.4答:由于半圆柱在水平方向不受力,质心的初速度为0,所以质心C 的运动轨迹是一

条沿竖直方向的直线。

s6.4

思6.5答:初始时系统对Oz 轴的总动量L z =0,从开始跑动后,人绕Oz 轴作圆周运动,

角速度为ω1=ω1k ,盘则沿相反的方向转动,其角速度ω2=-ω2k 。圆盘

开始转动后,系统受轴承施与的摩擦力矩M z >0(系统所受其余外力对Oz

图s6.5 轴力矩均为零) 。在外力矩M z 的作用下,系统动量矩L z 由零开始逐渐增大,

到人停止跑动之时,L z 达最大值。人在停止跑动过程中,圆盘也逐渐停止

转动,人停止跑动后,人与盘一起将继续沿人跑动的方向绕Oz 轴转动。人停止跑动后,圆盘的转动方向改变了,所以受到的摩擦力矩的方向也变为M z '

的作用下,总角动量逐渐减小而趋向于零,因此,人与圆盘一起将逐渐趋于静止。

思6.6答: 由于圆盘与轴间的相互作用比较复杂, 把轴包括在质点组内, 这样轴和盘之间的相互作用就可看作是内力。

思6.7答:当轴承处无摩擦力时,系统所受外力对Oz 轴力矩为零,所以系统对Oz 轴的角动量守恒。所以人走盘动,人停盘停。

思6.8答:这两者并不矛盾。

以人、盘、轴为质点组。质点组角动量的变化与内力无关, 但质点组间的各质点之间可以进行动量变换。人与盘运动状态的改变即是由人与盘之间的动量变换引起的,而质点组间各质点之间的动量变换是由质点组的内力引起的。

思6.9证:由p =∑m υ i i

=M υc

可知υc =0

对惯性系中的任一固定点O ,L 0=r c ⨯M υc +L ' =L '

均等于质点组在质心系中对质心的角动量。

思6.10答:这种说法不对。啮合之后,轮1的角速度ω1=ω

2k ,而轮2的角速度ω2=-ω

2k ,

转动方向不同,在计算系统角动量时,要对同一条轴线进行计算,同时

注意轴矩为代数量,故啮合后系统对O 1z 轴角动量为

L 2z =I ⋅ω

2-I ⋅ω

2=0。可见角动量不守恒,在啮合过程中总角动量由

L 1z =I ω变为L 2z =0,变化的原因是在啮合过程受到外力矩的作用。应

图s6.10 注意在计算外力矩时,也必须对计算角动量的同一条轴线进行计算。在啮合时,轮1和轮2的接触部分有力相互作用,所以此时轮轴对轮的支持力不再沿铅直方向,N 1向左,N 2向右偏斜,因此在啮合过程中,N 2对O 1z 轴的力矩为一负数,正是在这个外力矩的作用下,系统对O 1z 轴的角动量由I ω变为零。

思6.11证:以两球及杆为系统,质心位于杆的中点。 初始时,球1速度为υ0,球2静止,故初始时质心速度υC =1υ0,由于系统所受外力矢量和为零,根据质心运动定理可知质心C 2

以υ0作匀速直线运动。因为系统所受对质心C 的外力矩矢量和为零,根据2对质心的角动量定理可知系统对质心的角动量为常矢量

图s6.11 足关系式υC =υυl l 1L ' =L ' t =0=-⋅m ⋅0k ' -⋅m ⋅0k ' =-lm υ0k ' 22222其中m 为小球质量,l 为杆长 所以系统绕质心旋转的角速度为常矢量,ω=-υ0l k ' ;而且ω与υC 之间满l l ω。因此小球的运动情况与半径为,轮心速度为υC ,沿直线轨道作无滑22

动的车轮边缘上一点的运动情况相同,故小球的轨迹为旋轮线。

思6.12答:不是。这个摩擦力f 对自行车不做功,因为无滑动。

思6.13答:不能成立。因一般的动坐标系不具有质心系的特点

υi =υC +υi' (平动) 和

∑m r ' =∑m υ' =0 (原点为质心) i i i i

思6.14答:系统为小球和杆,系统受的外力有小球的重力,杆的重力,水平轴在O 点对杆

的约束力N 0。一般情况下系统在O 点所受外力不沿铅直方向,所以系统

所受外力的矢量和不为零,所以动量不守恒,沿水平方向动量也不守恒。

在碰撞的一瞬间,可以认为小球和杆受到的重力作用线通过O 点,所

以系统所受对O 点的外力矩矢量和为零,因此系统对O 点的角动量守恒。

因碰撞是完全弹性碰撞,所以碰后小球与杆均不变形,系统内力做功

之和为零,碰撞过程中外力(N 0与重力)均不做功,可见系统机械能守

s6.14

思6.15答:上述看法不对。A 点原来有速度,在外力F 的作用下,要使A 点速度为零,则恒。

A 点在外力的方向上一定有位移d r A 。一般d r A 很小,但F 很大,

s6.15

F ⋅d r A 不能忽略,在本题讨论的极限情况下d r A →0,F →∞ ,但仍有F ⋅d r A ≠0。因此杆的机械能不守恒。


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