第２３卷第３期南通职业大学学报
ＶＯＩ．２３Ｎｏ．３加∞年９月
ＪｏＵＲＮＡＬｏＦＮＡＮＴｏＮＧＶｏＣＡＴＩｏＮＡＬ
ＣｏＬＬＥＧＥ
Ｓｅｐｔ．２００９
代数学中基本定理证明的探讨
胡承钧
（沙市大学基础课部。湖北荆州４３４０００）
摘要：代数学基本定理的经典证明用到较多的代数知识，且难以理解，文章探讨用数学分析的方法予以证明。该证明从复变多项式无非零最小模引入，并在此基础上简单证明了代数学的基本定理。关键词：基本定理；多项式的根；引理；证明
中图分类号：０１５１．１
文献标识码：Ａ
文章编号：１００８—５３２７（２００９）０３—００６５—０２
在学习《高等代数》时，常会遇到这样的问题：推论１复系数ｎ次多项式有ｎ个根（包括
定理的证明过程虽然正确无误，但难以理解。本文重根）。
从数学分析的角度来证明代数基本定理，以达到证明若．厂（算）有复数根ａ，则使学生容易理解的目的。
八髫）＝（菇一ａ）ｇ（ｘ），下面给出代数基本定理的两个证明，第一个用归纳法即可证明此推论。
证明与高斯原始证明基本相同。
代数学基本定理的证明需要域论知识。所用引理１实系数奇次多项式至少有一个实代数知识较多。下面我们给出一个纯分析的证明。
数根。
引理２对于复系数ｎ次多项式证明参看文献【１】。以算）＝％矿＋ａｎ－１ｘ＂－１＋…＋ａｏ，（％≠０），
定理ｌ
（代数学基本定理）复系数ｎ（ｎ＞０）
如果对某一点Ｘ，Ｏ有以戈。）≠ｏ，则存在一个ＩｈＩ
次多项式至少有一个复数根ｌｌ，２１。
充分小的复数ｈ，使得
证明设
帆石。）Ｊ＞抓戈。＋ｈ）Ｉ。
ｆ（ｘ）２％矿＋吗ｌ－ｌ∥’１＋…＋口ｌ戈＋ａｏ证明
由泰勒公式
是复系数ｎ次多项式。令
ｇ（ｘ）＝磊矿＋豇１Ｘ＂－１＋…＋面
ｆ（ｘｏ＋＾）＝以砧＋知７（Ｘｏ）＋．知‰ｏ）＋
其中，磊是ａｉ的共轭复数。
…＋％西’‰）
令ｇ（ｘ）ｆ＜ｘ）＝ｂｚ，ｘ知＋６孙ｌ菇缸１＋…＋ｂ应注意，上式对多项式．厂（戈）是恒等式。这里，ｂｂ。：∑儡西，所以∑ａｉ弓＝ｂｋ为实这里，ｔ＝乞儡西，所以乞弓＝
为实由于ｆ‘４’（粕）＝，ｌ！％≠０，假设ｋ是使得ｉ＋ｉ＝ｋ
ｉ＋ｉ＝ｋ
，‘‘’（ｘｏ）≠０的最小正整数，则有ｆ’（菇ｏ）＝…＝
数，即ｇ（ｘ）．厂（菇）是实系数多项式。
，扣”（戈ｏ）＝０，而严’（ｘｏ）≠ｏ，所以
根据引理１，该实系数多项式ｇ（ｘ）以戈）＝６抽户＋６拓ｌ石孙１＋…－Ｉ－ｂ至少有一个复数根，即
八”＾）＝ｆ（ｘｏ）＋和∞（砧＋．．・＋知㈤（砒
至少有一个根卢，使ｇ∞）－ｆＯｓ）＝０。
．丛堑±垒２：】＋．ｈｙ＇ｋ＇（ｘｏ）－＋…＋垒Ｚ！：！（墅２：
若ｆＯｓ）＝０，则以石）有一根卢；若ｇ∞）＝０，则
ｆ（ｘｏ）～后！ｆ（ｘｏ）。
。凡！ｆ（ｘｏ）郧）＝ｇ∞）＝０，即八ｚ）有根卢．
所以，无论哪种情况，．厂（戈）均有复数根。
这鼽＝｝甜（ｉ＝ｋ，…∽
１＋ｃ＾ｈ‘＋ｃ“ｌｈ‘“＋…＋Ｃｎｈ４，
收稿日期：２００９－０５－０５
作者简介：胡承钧（１９６３一），男，湖北荆州人，副教授，主要研究方向为代数学。
６５
南通职业大学学报
２００９年
所以。
１嘞矿ｌ—Ｉ吗，１∥’１ｌ一…一ＩａｏＩ＝
‰笋＝…ｔｈ‘＋ｃｋ以≯＋
羔±虫＾２＋…＋旦ＬＪ｝ｌ’“），
ＣＩ
Ｃ‘
川（…一峰斗一・一抖）
Ｉ丑Ｉ
ｌ石ｎｌ
由于％≠ｏ，而当ＩｘＩ一＋∞时，ｌ｝Ｉ，…，ｌ矿ａｏ
Ｚ
则存在一个复数＾，且ＩｈＩ充分小，使得
Ｉ纽ＣＪ，¨警舻＋．．．＋笠Ｃｋ叫＜争，
ｃＩ
这时有严格不等式
Ｉ笺半ｌ巾帆ｈ＇ｌ＋ｌ严１圳。
设ｃ＾＝／＇（ＣＯＳ
０＋ｉｓｉｎ
均趋于ｏ，所以，当ｌ菇Ｉ充分大时，均有坎菇）ｌ＞｝匈Ｉ。
假设当…≥Ⅳ时，坎菇）ｌ＞Ｉａｏｌ。这时，以石）在闭区域Ｉ菇Ｉ≤Ⅳ内是连续复函数，揪茗）ｌ也是连续函数，在…≤Ⅳ内有最小值，设最小值为抓‰）ｌ。
显然，帆知）ｌ≤Ｉｆ（ｏ）ｌ＝ｌａｏＪ，从而ＩＸ０｛≠Ⅳ，
即ＩＸＯＩ＜Ｎ。
如果ｆ（ｘｏ）≠ｏ，则存在一个＾，且Ｉ菇ｏ＋ｈＩ≤Ｊ７、ｒ，
０），选取
＾＝Ｖ｝（ｃｏｓ孚＋汹ｎ半），其中８是
一个充分大的正实数，则ｃ。胪：一上。于是可相应
地简化为
使得抓算。）ｌ＞ｌ以并。＋ｈ）ｌ，这与帆粕）ｌ是最小值的
结论矛盾，所以ｆ（ｘ。）＝０。
参考文献：
【ｌ】１１ｌｏＩｎ鹪Ｗ．Ｈｕｎｇｅｒｆｏｒｄ．代数学【Ｍ】．冯克勤，译．长沙：湖南人民出
版社．１９８５：４０２－４０４．
［２１北京大学数学系几何代数教研室．高等代数【Ｍ】．第２版．北京：
高等教育出版社，１９８８：２７－２９．
Ｉ毁≯Ｉ＜ｃ卜１占＋专川，
即汉知＋ｈ）Ｉ＜瞰ｘｏ）Ｉ
根据上述引理２可直接证明代数学基本定理．如定理１的证明如下：
责任编辑丁康
妖茗）ｆ＝Ｉ嘞矿＋‰ｌ∥＋…＋ｎ０Ｉ≥
ＴｈｅＥｘｐｌｏｒａｔｉｏｎｏｆｔｈｅＰｒｏｏｆｏｆ
ＨＵ
ＦｕｎｄａｍｅｎｔａｌＴｈｅｏｒｅｍｉｎＡｌｇｅｂｒａ
４３４０００，Ｃｈｉｎａ）
Ｃｈｅｎｇ－ｊａｎ
（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ
ｏｆＢａｓｉｃＣｏｕｒｓｅ，ＳｈａｓｈｉＶｏｃａｔｉｏｎａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｊｉｎｇｚｈｏｕ
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅｐｒｏｏｆｏｆｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌｔｈｅｏｒｅｍｏｆａｌｇｅｂｒａｉｎｖｏｌｖｅｓｍｕｃｈａｌｇｅｂｒａｋｎｏｗｌｅｄｇｅｗｈｉｃｈｉｓｄｉｆｆｉｃｕｌｔｔｏｕｎｄｅｒｓｔａｎｄ．Ｔｈｉｓｐａｐｅｒｅｘｐｌｏｒｅｓｗａｙｓｔｏｐｒｏｖｅｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌｔｈｅｏｒｅｍｏｆａｌｇｅｂｒａｗｉｔｈｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌａｎａｌｙｓｉｓ．Ｔｈｅｐｒｏｏｆｂｅｇｉｎｓｗｉｔｈｐｒｏｖｉｎｇｔｈｅｆａｃｔｔｈａｔ
ａ
ｃｏｍｐｌｅｘｖａｒｉａｂｌｅｈａｓ
１１０
ｍｉｎｉｍｕｍｍｏｄｕｌｕｓｅｘｃｅｐｔｆｏｒｚｅｒｏ．Ｏｎ
ｔｈｅｂａｓｉｓｏｆｔｈｉｓ，ａｓｉｍｐｌｅｐｒｏｏｆｏｆｔｈｅｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌｔｈｅｏｒｅｍｏｆａｌｇｅｂｒａｉｓｓｈｏｗｎ．Ｋｅｙ
Ｗｏｒｄｓ：ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌ
ｔｈｅｏｒｅｍ，ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ
ｒｏｏｔｓ；ｌｅｍｍａ；ｐｒｏｏｆ
代数学中基本定理证明的探讨
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
胡承钧， HU Cheng-jun
沙市大学,基础课部,湖北,荆州,434000南通职业大学学报
JOURNAL OF NANTONG VOCATIONAL COLLEGE2009，23(3)0次
参考文献(2条)
1. Thomas W Hungerford. 冯克勤 代数学 19852. 北京大学数学系几何代数教研室 高等代数 1988
相似文献(2条)
1.期刊论文 高长峰 实系数多项式实根的分布研究 -科技信息2009,""(5)
根据代数学基本定理,运用初等方法讨论了实系数多项式实根的分布问题.
2.期刊论文 童雪. 李永强. Tong Xue. Li Yongqiang 模型论在代数上的应用 -数学研究2009,42(3)
给出了模型论在代数上的两个应用,得到了下列定理:定理A:如环R的任何有限生成子环均是局部环,则R是局部环.定理B:存在自然数的真扩张R使其具有下列特征:(1)虽然R有无限多零因子,但R中有无限多零因子,但R中的首1多项式的根的个数可以得到很好的控制.(2)R不仅将自然数的素数特征保留下来,而且还可在其上定义指数函数.
本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_ntzydxxb200903015.aspx
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第２３卷第３期南通职业大学学报
ＶＯＩ．２３Ｎｏ．３加∞年９月
ＪｏＵＲＮＡＬｏＦＮＡＮＴｏＮＧＶｏＣＡＴＩｏＮＡＬ
ＣｏＬＬＥＧＥ
Ｓｅｐｔ．２００９
代数学中基本定理证明的探讨
胡承钧
（沙市大学基础课部。湖北荆州４３４０００）
摘要：代数学基本定理的经典证明用到较多的代数知识，且难以理解，文章探讨用数学分析的方法予以证明。该证明从复变多项式无非零最小模引入，并在此基础上简单证明了代数学的基本定理。关键词：基本定理；多项式的根；引理；证明
中图分类号：０１５１．１
文献标识码：Ａ
文章编号：１００８—５３２７（２００９）０３—００６５—０２
在学习《高等代数》时，常会遇到这样的问题：推论１复系数ｎ次多项式有ｎ个根（包括
定理的证明过程虽然正确无误，但难以理解。本文重根）。
从数学分析的角度来证明代数基本定理，以达到证明若．厂（算）有复数根ａ，则使学生容易理解的目的。
八髫）＝（菇一ａ）ｇ（ｘ），下面给出代数基本定理的两个证明，第一个用归纳法即可证明此推论。
证明与高斯原始证明基本相同。
代数学基本定理的证明需要域论知识。所用引理１实系数奇次多项式至少有一个实代数知识较多。下面我们给出一个纯分析的证明。
数根。
引理２对于复系数ｎ次多项式证明参看文献【１】。以算）＝％矿＋ａｎ－１ｘ＂－１＋…＋ａｏ，（％≠０），
定理ｌ
（代数学基本定理）复系数ｎ（ｎ＞０）
如果对某一点Ｘ，Ｏ有以戈。）≠ｏ，则存在一个ＩｈＩ
次多项式至少有一个复数根ｌｌ，２１。
充分小的复数ｈ，使得
证明设
帆石。）Ｊ＞抓戈。＋ｈ）Ｉ。
ｆ（ｘ）２％矿＋吗ｌ－ｌ∥’１＋…＋口ｌ戈＋ａｏ证明
由泰勒公式
是复系数ｎ次多项式。令
ｇ（ｘ）＝磊矿＋豇１Ｘ＂－１＋…＋面
ｆ（ｘｏ＋＾）＝以砧＋知７（Ｘｏ）＋．知‰ｏ）＋
其中，磊是ａｉ的共轭复数。
…＋％西’‰）
令ｇ（ｘ）ｆ＜ｘ）＝ｂｚ，ｘ知＋６孙ｌ菇缸１＋…＋ｂ应注意，上式对多项式．厂（戈）是恒等式。这里，ｂｂ。：∑儡西，所以∑ａｉ弓＝ｂｋ为实这里，ｔ＝乞儡西，所以乞弓＝
为实由于ｆ‘４’（粕）＝，ｌ！％≠０，假设ｋ是使得ｉ＋ｉ＝ｋ
ｉ＋ｉ＝ｋ
，‘‘’（ｘｏ）≠０的最小正整数，则有ｆ’（菇ｏ）＝…＝
数，即ｇ（ｘ）．厂（菇）是实系数多项式。
，扣”（戈ｏ）＝０，而严’（ｘｏ）≠ｏ，所以
根据引理１，该实系数多项式ｇ（ｘ）以戈）＝６抽户＋６拓ｌ石孙１＋…－Ｉ－ｂ至少有一个复数根，即
八”＾）＝ｆ（ｘｏ）＋和∞（砧＋．．・＋知㈤（砒
至少有一个根卢，使ｇ∞）－ｆＯｓ）＝０。
．丛堑±垒２：】＋．ｈｙ＇ｋ＇（ｘｏ）－＋…＋垒Ｚ！：！（墅２：
若ｆＯｓ）＝０，则以石）有一根卢；若ｇ∞）＝０，则
ｆ（ｘｏ）～后！ｆ（ｘｏ）。
。凡！ｆ（ｘｏ）郧）＝ｇ∞）＝０，即八ｚ）有根卢．
所以，无论哪种情况，．厂（戈）均有复数根。
这鼽＝｝甜（ｉ＝ｋ，…∽
１＋ｃ＾ｈ‘＋ｃ“ｌｈ‘“＋…＋Ｃｎｈ４，
收稿日期：２００９－０５－０５
作者简介：胡承钧（１９６３一），男，湖北荆州人，副教授，主要研究方向为代数学。
６５
南通职业大学学报
２００９年
所以。
１嘞矿ｌ—Ｉ吗，１∥’１ｌ一…一ＩａｏＩ＝
‰笋＝…ｔｈ‘＋ｃｋ以≯＋
羔±虫＾２＋…＋旦ＬＪ｝ｌ’“），
ＣＩ
Ｃ‘
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Ｉ丑Ｉ
ｌ石ｎｌ
由于％≠ｏ，而当ＩｘＩ一＋∞时，ｌ｝Ｉ，…，ｌ矿ａｏ
Ｚ
则存在一个复数＾，且ＩｈＩ充分小，使得
Ｉ纽ＣＪ，¨警舻＋．．．＋笠Ｃｋ叫＜争，
ｃＩ
这时有严格不等式
Ｉ笺半ｌ巾帆ｈ＇ｌ＋ｌ严１圳。
设ｃ＾＝／＇（ＣＯＳ
０＋ｉｓｉｎ
均趋于ｏ，所以，当ｌ菇Ｉ充分大时，均有坎菇）ｌ＞｝匈Ｉ。
假设当…≥Ⅳ时，坎菇）ｌ＞Ｉａｏｌ。这时，以石）在闭区域Ｉ菇Ｉ≤Ⅳ内是连续复函数，揪茗）ｌ也是连续函数，在…≤Ⅳ内有最小值，设最小值为抓‰）ｌ。
显然，帆知）ｌ≤Ｉｆ（ｏ）ｌ＝ｌａｏＪ，从而ＩＸ０｛≠Ⅳ，
即ＩＸＯＩ＜Ｎ。
如果ｆ（ｘｏ）≠ｏ，则存在一个＾，且Ｉ菇ｏ＋ｈＩ≤Ｊ７、ｒ，
０），选取
＾＝Ｖ｝（ｃｏｓ孚＋汹ｎ半），其中８是
一个充分大的正实数，则ｃ。胪：一上。于是可相应
地简化为
使得抓算。）ｌ＞ｌ以并。＋ｈ）ｌ，这与帆粕）ｌ是最小值的
结论矛盾，所以ｆ（ｘ。）＝０。
参考文献：
【ｌ】１１ｌｏＩｎ鹪Ｗ．Ｈｕｎｇｅｒｆｏｒｄ．代数学【Ｍ】．冯克勤，译．长沙：湖南人民出
版社．１９８５：４０２－４０４．
［２１北京大学数学系几何代数教研室．高等代数【Ｍ】．第２版．北京：
高等教育出版社，１９８８：２７－２９．
Ｉ毁≯Ｉ＜ｃ卜１占＋专川，
即汉知＋ｈ）Ｉ＜瞰ｘｏ）Ｉ
根据上述引理２可直接证明代数学基本定理．如定理１的证明如下：
责任编辑丁康
妖茗）ｆ＝Ｉ嘞矿＋‰ｌ∥＋…＋ｎ０Ｉ≥
ＴｈｅＥｘｐｌｏｒａｔｉｏｎｏｆｔｈｅＰｒｏｏｆｏｆ
ＨＵ
ＦｕｎｄａｍｅｎｔａｌＴｈｅｏｒｅｍｉｎＡｌｇｅｂｒａ
４３４０００，Ｃｈｉｎａ）
Ｃｈｅｎｇ－ｊａｎ
（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ
ｏｆＢａｓｉｃＣｏｕｒｓｅ，ＳｈａｓｈｉＶｏｃａｔｉｏｎａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｊｉｎｇｚｈｏｕ
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅｐｒｏｏｆｏｆｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌｔｈｅｏｒｅｍｏｆａｌｇｅｂｒａｉｎｖｏｌｖｅｓｍｕｃｈａｌｇｅｂｒａｋｎｏｗｌｅｄｇｅｗｈｉｃｈｉｓｄｉｆｆｉｃｕｌｔｔｏｕｎｄｅｒｓｔａｎｄ．Ｔｈｉｓｐａｐｅｒｅｘｐｌｏｒｅｓｗａｙｓｔｏｐｒｏｖｅｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌｔｈｅｏｒｅｍｏｆａｌｇｅｂｒａｗｉｔｈｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌａｎａｌｙｓｉｓ．Ｔｈｅｐｒｏｏｆｂｅｇｉｎｓｗｉｔｈｐｒｏｖｉｎｇｔｈｅｆａｃｔｔｈａｔ
ａ
ｃｏｍｐｌｅｘｖａｒｉａｂｌｅｈａｓ
１１０
ｍｉｎｉｍｕｍｍｏｄｕｌｕｓｅｘｃｅｐｔｆｏｒｚｅｒｏ．Ｏｎ
ｔｈｅｂａｓｉｓｏｆｔｈｉｓ，ａｓｉｍｐｌｅｐｒｏｏｆｏｆｔｈｅｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌｔｈｅｏｒｅｍｏｆａｌｇｅｂｒａｉｓｓｈｏｗｎ．Ｋｅｙ
Ｗｏｒｄｓ：ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌ
ｔｈｅｏｒｅｍ，ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ
ｒｏｏｔｓ；ｌｅｍｍａ；ｐｒｏｏｆ
代数学中基本定理证明的探讨
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
胡承钧， HU Cheng-jun
沙市大学,基础课部,湖北,荆州,434000南通职业大学学报
JOURNAL OF NANTONG VOCATIONAL COLLEGE2009，23(3)0次
参考文献(2条)
1. Thomas W Hungerford. 冯克勤 代数学 19852. 北京大学数学系几何代数教研室 高等代数 1988
相似文献(2条)
1.期刊论文 高长峰 实系数多项式实根的分布研究 -科技信息2009,""(5)
根据代数学基本定理,运用初等方法讨论了实系数多项式实根的分布问题.
2.期刊论文 童雪. 李永强. Tong Xue. Li Yongqiang 模型论在代数上的应用 -数学研究2009,42(3)
给出了模型论在代数上的两个应用,得到了下列定理:定理A:如环R的任何有限生成子环均是局部环,则R是局部环.定理B:存在自然数的真扩张R使其具有下列特征:(1)虽然R有无限多零因子,但R中有无限多零因子,但R中的首1多项式的根的个数可以得到很好的控制.(2)R不仅将自然数的素数特征保留下来,而且还可在其上定义指数函数.
本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_ntzydxxb200903015.aspx
授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：7eecfcad-6f2c-463a-acfc-9dcb012489b3
下载时间：2010年8月7日