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高校理科研究
浅谈抽屉原理及其简单应用
曲靖师范学院数学与信息科学学院
王坤
［摘要］抽屉原理是组合数学中最基本的计数原理之一，是处理涉及存在性问题的重要方法。本文主要介绍抽屉原理及其各种等
面积问题、染色问题及其他相关问题，并通过一些实例来验证。价形式，并给出该原理的简单应用，包括整除问题、
［关键词］抽屉原理数学应用抽屉原理是离散数学中的一个重要原理,在数论和组合论中有着广泛的应用，是处理存在性问题的一个重要方法。用它可以解决生活中遇到的很多有趣的问题,并且常常能够得到令人惊奇的结果,因此数学竞赛中经常选用这方面的题目。
抽屉原理又叫鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷（Dirichlet
1805-1859
）首先发现，因此又叫狄利克雷原理。它的概念是这样的：“如果有五个鸽子笼，养鸽人养了6只鸽子，
那么当鸽子飞回笼中后，至少有一个笼子中装有2只鸽子。”抽屉原理是组合数学中一个最基本的原理，在组合数学的发展中起到了至关重要的作用。狄利克雷在研究数论的问题时最早很巧妙运用抽屉原理去解决问题。后来德国数学家闵可夫斯基（Minkowski，1864-1909）也运用这原理得到一些结果。到了20世纪初期杜尔（A.Thue1863-1922）在不知道狄利克雷和闵可夫斯基的工作情况下，很机巧地利用鸽笼原理来解决不定方程的有理数解的问
题，有12篇论文是用到这个原理。
后来西根（C.L.Siegel，1896-？）利用杜尔的结果发现了现在称为西根引理的东西，这引理（Lemma
）是在研究超越数时最基本必用的工具。本文全面而系统的归纳总结了抽屉原理在不同方面的简单应用，通过巧妙应用抽屉原理解决数学上及日常生活中的一些问题。
在数学的学习研究中，我们也可以把抽屉原理看作是一种重要的非常规解题方法，应用它能解决许多涉及存在性的数学问题。
1.抽屉原理的相关原理
原理1把多于n+1个的物体放到n个抽屉里，
则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。
或者说把n+1个元素分成n类，不管怎么分，则一定有一类中有2个或2个以上的元素。
证明（反证法）：如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的
总数至多是n，
而不是题设的n+k(k≥1)，这不可能。原理2把多于mn(m乘以n)个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有m+1个或多于m+1个的物体。
证明（反证法）：若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn个物体,与题设不符，故不可能。
原理3把无穷多个元素放入有限个集合里，则一定有一个集合里含有无穷多个元素。
原理1、2、3都是第一抽屉原理的表述。原理4把（mn-1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至
多有（m-1）个物体。证明（反证法）：若每个抽屉都有不少于m个物体，则总共至少有mn个物体，与题设矛盾，故不可能。
把它推广到一般情形有以下几种表现形式。形式一n+1个元素分为n个集合，那么必有一个集合中含有两个或两个以上的元素。
证明：设把n+1个元素分为n个集合A1，A2，…，An，用a1，a2，…，an
表示这n个集合里相应的元素个数，需要证明至少存在某个ai大于或等于2。
（用反证法）假设结论不成立，即对每一个ai都有ai＜2，则因为ai是整数，应有ai≤1，于是有：
a1+a2+…+an≤1+1+…+1=n＜n+1这与题设矛盾。所以，至少有一个ai≥2，即必有一个集合中含有两个或两个以上的元素。
形式二n/m+1个元素分为n个集合中，那么至少有一个集合中存在m+1个元素。
证明：设把n/m+1个元素分为n个集合A1，A2，…，An，用a1，a2，…，an
表示这n个集合里相应的元素个数，需要证明至少存在某个ai大于或等于m+1。
（用反证法）假设结论不成立，即对每一个ai都有ai＜m+1，则因为
是整数，应有ai≤m，
于是有：a1+a2+…+an≤m+m+…+m＝n,m＜n/m+1。n个m这与题设相矛盾。所以，至少存在一个ai≥m+1。
形式三n个元素分为k个集合中，其中必有一个集合中元素个数大于或等于[n/k]。
证明：设把n个元素分为k个集合A1，A2，…，Ak，用a1，a2，…，ak表示这k个集合里相应的元素个数，需要证明至少存在某个ai大于或等于[n/k]。（用反证法）假设结论不成立，即对每一个ai都有ai＜[n/k]，于是有：
a1+a2+…+ak＜[n/k]+[n/k]+…+[n/k]=k/[n/k]≤k/(n/k)=nk个[n/k]∴a1+a2+…+ak＜n这与题设相矛盾。所以，必有一个集合中
—520—
元素个数大于或等于[n/k]。
形式四q1+q2+…+qn-n+1元素分为n个集合,那么必有一个i(1
证明：设把q1+q2+…+qn-n+1个元素分为n个集合A1，A2，…，An，用a1，a2，…，an表示这n个集合里相应的元素个数，需要证明至少存在某个i，使得ai大于或等于qi。（用反证法）假设结论不成立，即对每一个ai都
有ai＜qi，
因为ai为整数，应有ai≤qi-1，于是有：a1+a2+…+an≤q1+q2+…+qn-n＜q1+q2+…+qn-n+1这与题设矛盾。
所以，假设不成立，故必有一个i,在第i个集合中元素个数ai≥qi。形式五设有无穷多个元素按任一确定的方式分成有限个集合，那么至少有一个集合含有无穷多个元素。
证明：（用反证法）将无穷多个元素分为有限个集合，假设这有限个集合中的元素的个数都是有限个，则有限个有限数相加，所得的数必是有限数，这就与题设产生矛盾，所以，假设不成立，故必有一个集合含有无穷多个元素。
2.抽屉原理在整除问题中的应用
把所有整数按照除以某个自然数m的余数分为m类，
叫做m的剩余类或同余类，用[0]，[1]，[2]，…，[m-1]表示。每一个类含有无穷多个数，
例如[1]中含有1，
m+1，2m+1，3m+1，…。在研究与整除有关的问题时，常用剩余类作为抽屉。
根据抽屉原理，可以证明：任意n+1个自然数中，总有两个自然数的差是n的倍数。
例1对于任意的五个自然数，证明其中必有3个数的和能被3整除。
证明：∵任何数除以3所得余数只能是0，1，2，不妨分别构造为3个抽屉：[0]，[1]，[2]。
①若这五个自然数除以3后所得余数分别分布在这3个抽屉中(即抽屉中分别为含有余数为0,1,2的数)，我们从这三个抽屉中各取1个(如1~5中取3,4,5)，其和(3+4+5=12)必能被3整除。
②若这5个余数分布在其中的两个抽屉中，则其中必有一个抽屉，包含有3个余数（抽屉原理），而这三个余数之和或为0，或为3，或为6，故所对应的3个自然数之和是3的倍数。
③若这5个余数分布在其中的一个抽屉中，很显然，必有3个自然数之和能被3整除。
例2对于任意的11个整数，证明其中一定有6个数，它们的和能被6整除。
证明：设这11个整数为：a1，a2，a3，……，a11又∵6=2×3①先考虑被3整除的情形
由例1知，
在11个任意整数中，必存在：3a1+a2+a3，不妨设a1+a2+a3=b1；
同理，剩下的8个任意整数中，由例2，必存在：3a4+a5+a6。设a4+a5+a6=b2；
同理，其余的5个任意整数中，有：3a7+a8+a9，设：a7+a8+a9=b3。②再考虑b1、b2、b3被2整除。依据抽屉原理，b1、b2、b3这三个整数中，至少有两个是同奇或同偶，这两个同奇（或同偶）的整数之和必为偶数。不妨设2b1+b2
则：6b1+b2，即：6a1+a2+a3+a4+a5+a6∴任意11个整数，其中必有6个数的和是6的倍数。例3从1-100的自然数中，任意取出51个数，证明其中一定有两个数，它们中的一个是另一个的整数倍。
解析：由已知“两个数”，可得其中一个是另一个的整数倍。构造“抽屉”
，使得每个抽屉里任取两个数，都有一个是另一个的整数倍，这只有把公比是正整数的整个等比数列都放进去同一个抽屉才行，这里用得到一个自然数分类的基本知识：任何一个正整数都可以表示成一个奇数与2的方幂的积，即若m∈N+，K∈N+，n∈N,则m=(2k-1)·2n，并且这种表示方式是唯一的，如1=1×2°，2=1×21，3=3×2°，……
证明：因为任何一个正整数都能表示成一个奇数乘2的方幂，并且这种表示方法是唯一的，所以我们可把1-100的正整数分成如下50个抽屉（因为1-100中共有50个奇数）：
（1）{1，1×2，1×22，1×23，1×24，1×25，1×26}；（2）{3，3×2，3×22，3×23，3×24，3×25}；（3）{5，5×2，5×22，5×23，5×24}；（4）{7，7×2，7×22，7×23}；（5）{9，9×2，9×22，9×23}；（6）{11，11×2，11×22，11×23}；……（下转第521页）
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中心极限定理在社会保险中的应用
菏泽学院数学系
朱青
［摘要］中心极限定理表明，数理统计中许多复杂随机变量的分布都可以用正态分布近似。本文通过两个具体的例子探讨了中心极限定理在社会保险中的应用。［关键词］中心极限定理正态分布保险概率论是研究随机现象及其规律性的一门学科，它最早起源于赌博问题。随着社会和科技的发展，概率论的价值早已远远超出“博彩”，
《概率分析理论》中所说：“这被广泛应用于众多领域。正如拉普拉斯在
门源自考虑赌博中的机运的科学，必将成为人类知识中最重要的一部分。生活中最重要的问题中的大部分，将都只是概率问题。”本文探讨了概率论中占有重要地位的中心极限定理在社会保险中的应用。
定理1(中心极限定理)设随机变量X1,X2,…,Xn,…相互独立，服从同
2
一分布，且E(Xi)=μ，D(Xi)=σ(i=1,2,…)，则
-∞≤x
σ姨定理2(棣莫佛—拉普拉斯定理)设随机变量X1,X2,…,Xn,…相互独立，且都服从参数为p的0-1分布，则对任意实数x，有
n→∞
5000
司一年内从此项业务中所得到的总收益为(0.016×5000-2×ΣXi)万元。
i=1
所以
P20≤0.016×5000-2×ΣXi≤40=P20≤ΣXi≤30=P
≤
5000
limP
ΣX-nμ
i
i=1
n
≤乙
x
=
-t/2
1edt=Φ(x)姨2
limP
n→∞
ΣX-np
i
i=1
n
姨定理2是定理1的一个特例，由棣莫佛提出，拉普拉斯推广，故又称为棣莫佛—拉普拉斯定理，它是历史上最早的中心极限定理。
20世纪20年代，林德伯格(Lindeberg)和勒维(Levy)给出了定理1的定理1表明：当n充分大时，n个具有期望和方差的独立同分布的证明。
随机变量之和近似服从正态分布。而正态分布有许多完美的理论，从而可以获得既简单又实用的统计分析。下面通过两个具体的例子探讨中心极限定理在社会保险中的应用。
例1某市保险公司开办一年人身保险业务，被保险人每年需缴纳保费160元，若一年内发生重大人身事故，其本人或家属可获2万元赔金。已知该市人员一年内发生重大人身事故的概率为0.005，现有5000人参加此项保险，问保险公司一年内从此项业务中所得到的总收益在20万元到40万元之间的概率是多少？
[分析]该问题属于二项分布的范畴。由棣莫佛—拉普拉斯定理知，正态分布是二项分布的极限分布，从而可以将问题转化为正态分布，便于解决问题。
1，若第i个被保险人发生重大事故
解：记Xi=i=1，2，…，5000，，
0，若第i个被保险人未发生重大事故
于是，Xi均服从参数为p=0.005的0-1分布，P{Xi=1}=0.005，np=25。
≤x
≤乙
x
=
-∞
-t/2
1edt=Φ(x)姨2
ΣXi-25
20-2530-25≤i=1≤姨姨姨≈Φ(1)-Φ(-1)≈0.6826
例2某城市的市民在一年里遭遇交通事故的概率达到千分之一，为此该市某保险公司决定在这个城市开设一种交通事故险，每个投保人每年交付18元保险费，一旦发生事故将得到1万元赔偿，经调查预计有10万人购买这种保险，保险公司的其他成本为40万元，问保险公司亏本的概率有多大？平均利润为多少？
[分析]由中心极限定理可将其转化为正态分布。另外平均利润即为利润的期望值，由问题中“遭遇交通事故人数”这一随机变量的期望与“利润”的期望之间的关系，利用期望的性质，可以方便地计算出结果。
解：设X表示遭遇交通事故的人数，则X~b(105,0.001),从而E(X)=100，D(X)=99.9，于是保险公司亏本的概率为
X-E(X)≤140-100
P{X>180-40}=P{X>140}=P
姨姨40
≈1-Φ=1-Φ(4.002)=1-0.99997=0.00003
9.995
又保险公司的利润Y=180-40-X(万元)
故保险公司的平均利润为E(Y)=E(140-X)=140-E(X)=40(万元)由以上两例可以看出，中心极限定理在分析保险盈亏、利润情况等方面具有重要的作用。我们可以根据某地区人身、交通、教育、投资等各种情况，设计既有利于投保人又使保险公司能够达到期望收益的最佳保险品种。
i=1
≤≤
5000
i=1
5000
≤
≤
≤
Φ
≤
ΣX是5000个被保险人中一年内发生重大人身事故的人数，保险公
i
i=1
5000
参考文献［1］吴赣昌.概率论与数理统计(经管类第三版［)M］.北京：中国人民
2009.大学出版社，
［2］同济大学概率统计教研组.概率统计(第三版［)M］.上海：同济大学出版社，2004.重要技巧。
例5将平面上每点都任意地染上黑白两色之一。求证:一定存在一个边长为1或3的正三角形,它的三个顶点同色。
证明：在这个平面上作一个边长为1的正三角形。如果A、B、C这三点同色，则结论成立，故不妨设A和B异色。以线段AB为底边,作一个腰长为2的等腰ABD。由于点A和B异色,故无论D为何色,总有一腰的两个端点异色。不妨设点A和D异色。设AD的中点为E,则AE=ED=1。不妨设点A和E为白色,点D为黑色。
以AE为一边,在直线AD两侧各作一个等边三角形:AEF与AEG。若点F和G中有一个是白点,则导致一个边长为1的等边三角形的三个顶点都是白点；否则,边长为3的等边DFG的三个顶点同为黑点。
抽屉原理是一种重要的非常规解题方法，应用它能解决许多涉及存在性的数学问题。
参考文献［1］曹汝成.组合数学［M］.广州：华南理工大学出版社，2000：170-177.
［2］钟颖.关于抽屉原理［J］.成都教育学院学报，2003，17（7）：75.［3］朱华伟,符开广.抽屉原理［J］.数学通讯，2006，19（17）：37.
（上接第520页）
（25）{49，49×2}；（26）{51}；……（50）{99}。这样，1-100的正整数就无重复，无遗漏地放进这50个抽屉内了。从这100个数中任取51个数，也即从这50个抽屉内任取51个数，根据抽屉原则，其中必定至少有两个数属于同一个抽屉，即属于（1）-（25）号中的某一个抽屉，显然，在这25个抽屉中的任何同一个抽屉内的两个数中，一个是另一个的整数倍。
3.抽屉原理在面积问题中的应用
例4已知在边长为1的等边三角形内（包括边界）有任意10个点。证明至少有两个点之间的距离不大于1/3。
证明：把正三角形的每条边都三等分，并连接各点，将这个三角形化分成9个边长为1/3的正三角形。10个点放在9个小三角形中，根据抽屉原理必有两个点在同一个小正三角形内（包括边界），这两点之间的距离不大于1/3。
4.抽屉原理在染色问题中的应用
最简单的染色问题是从一种民间游戏中发展起来的方格盘上的染色问题。解决这类问题的方法后来又发展成为解决方格盘铺盖问题的
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浅谈抽屉原理及其简单应用
曲靖师范学院数学与信息科学学院
王坤
［摘要］抽屉原理是组合数学中最基本的计数原理之一，是处理涉及存在性问题的重要方法。本文主要介绍抽屉原理及其各种等
面积问题、染色问题及其他相关问题，并通过一些实例来验证。价形式，并给出该原理的简单应用，包括整除问题、
［关键词］抽屉原理数学应用抽屉原理是离散数学中的一个重要原理,在数论和组合论中有着广泛的应用，是处理存在性问题的一个重要方法。用它可以解决生活中遇到的很多有趣的问题,并且常常能够得到令人惊奇的结果,因此数学竞赛中经常选用这方面的题目。
抽屉原理又叫鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷（Dirichlet
1805-1859
）首先发现，因此又叫狄利克雷原理。它的概念是这样的：“如果有五个鸽子笼，养鸽人养了6只鸽子，
那么当鸽子飞回笼中后，至少有一个笼子中装有2只鸽子。”抽屉原理是组合数学中一个最基本的原理，在组合数学的发展中起到了至关重要的作用。狄利克雷在研究数论的问题时最早很巧妙运用抽屉原理去解决问题。后来德国数学家闵可夫斯基（Minkowski，1864-1909）也运用这原理得到一些结果。到了20世纪初期杜尔（A.Thue1863-1922）在不知道狄利克雷和闵可夫斯基的工作情况下，很机巧地利用鸽笼原理来解决不定方程的有理数解的问
题，有12篇论文是用到这个原理。
后来西根（C.L.Siegel，1896-？）利用杜尔的结果发现了现在称为西根引理的东西，这引理（Lemma
）是在研究超越数时最基本必用的工具。本文全面而系统的归纳总结了抽屉原理在不同方面的简单应用，通过巧妙应用抽屉原理解决数学上及日常生活中的一些问题。
在数学的学习研究中，我们也可以把抽屉原理看作是一种重要的非常规解题方法，应用它能解决许多涉及存在性的数学问题。
1.抽屉原理的相关原理
原理1把多于n+1个的物体放到n个抽屉里，
则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。
或者说把n+1个元素分成n类，不管怎么分，则一定有一类中有2个或2个以上的元素。
证明（反证法）：如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的
总数至多是n，
而不是题设的n+k(k≥1)，这不可能。原理2把多于mn(m乘以n)个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有m+1个或多于m+1个的物体。
证明（反证法）：若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn个物体,与题设不符，故不可能。
原理3把无穷多个元素放入有限个集合里，则一定有一个集合里含有无穷多个元素。
原理1、2、3都是第一抽屉原理的表述。原理4把（mn-1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至
多有（m-1）个物体。证明（反证法）：若每个抽屉都有不少于m个物体，则总共至少有mn个物体，与题设矛盾，故不可能。
把它推广到一般情形有以下几种表现形式。形式一n+1个元素分为n个集合，那么必有一个集合中含有两个或两个以上的元素。
证明：设把n+1个元素分为n个集合A1，A2，…，An，用a1，a2，…，an
表示这n个集合里相应的元素个数，需要证明至少存在某个ai大于或等于2。
（用反证法）假设结论不成立，即对每一个ai都有ai＜2，则因为ai是整数，应有ai≤1，于是有：
a1+a2+…+an≤1+1+…+1=n＜n+1这与题设矛盾。所以，至少有一个ai≥2，即必有一个集合中含有两个或两个以上的元素。
形式二n/m+1个元素分为n个集合中，那么至少有一个集合中存在m+1个元素。
证明：设把n/m+1个元素分为n个集合A1，A2，…，An，用a1，a2，…，an
表示这n个集合里相应的元素个数，需要证明至少存在某个ai大于或等于m+1。
（用反证法）假设结论不成立，即对每一个ai都有ai＜m+1，则因为
是整数，应有ai≤m，
于是有：a1+a2+…+an≤m+m+…+m＝n,m＜n/m+1。n个m这与题设相矛盾。所以，至少存在一个ai≥m+1。
形式三n个元素分为k个集合中，其中必有一个集合中元素个数大于或等于[n/k]。
证明：设把n个元素分为k个集合A1，A2，…，Ak，用a1，a2，…，ak表示这k个集合里相应的元素个数，需要证明至少存在某个ai大于或等于[n/k]。（用反证法）假设结论不成立，即对每一个ai都有ai＜[n/k]，于是有：
a1+a2+…+ak＜[n/k]+[n/k]+…+[n/k]=k/[n/k]≤k/(n/k)=nk个[n/k]∴a1+a2+…+ak＜n这与题设相矛盾。所以，必有一个集合中
—520—
元素个数大于或等于[n/k]。
形式四q1+q2+…+qn-n+1元素分为n个集合,那么必有一个i(1
证明：设把q1+q2+…+qn-n+1个元素分为n个集合A1，A2，…，An，用a1，a2，…，an表示这n个集合里相应的元素个数，需要证明至少存在某个i，使得ai大于或等于qi。（用反证法）假设结论不成立，即对每一个ai都
有ai＜qi，
因为ai为整数，应有ai≤qi-1，于是有：a1+a2+…+an≤q1+q2+…+qn-n＜q1+q2+…+qn-n+1这与题设矛盾。
所以，假设不成立，故必有一个i,在第i个集合中元素个数ai≥qi。形式五设有无穷多个元素按任一确定的方式分成有限个集合，那么至少有一个集合含有无穷多个元素。
证明：（用反证法）将无穷多个元素分为有限个集合，假设这有限个集合中的元素的个数都是有限个，则有限个有限数相加，所得的数必是有限数，这就与题设产生矛盾，所以，假设不成立，故必有一个集合含有无穷多个元素。
2.抽屉原理在整除问题中的应用
把所有整数按照除以某个自然数m的余数分为m类，
叫做m的剩余类或同余类，用[0]，[1]，[2]，…，[m-1]表示。每一个类含有无穷多个数，
例如[1]中含有1，
m+1，2m+1，3m+1，…。在研究与整除有关的问题时，常用剩余类作为抽屉。
根据抽屉原理，可以证明：任意n+1个自然数中，总有两个自然数的差是n的倍数。
例1对于任意的五个自然数，证明其中必有3个数的和能被3整除。
证明：∵任何数除以3所得余数只能是0，1，2，不妨分别构造为3个抽屉：[0]，[1]，[2]。
①若这五个自然数除以3后所得余数分别分布在这3个抽屉中(即抽屉中分别为含有余数为0,1,2的数)，我们从这三个抽屉中各取1个(如1~5中取3,4,5)，其和(3+4+5=12)必能被3整除。
②若这5个余数分布在其中的两个抽屉中，则其中必有一个抽屉，包含有3个余数（抽屉原理），而这三个余数之和或为0，或为3，或为6，故所对应的3个自然数之和是3的倍数。
③若这5个余数分布在其中的一个抽屉中，很显然，必有3个自然数之和能被3整除。
例2对于任意的11个整数，证明其中一定有6个数，它们的和能被6整除。
证明：设这11个整数为：a1，a2，a3，……，a11又∵6=2×3①先考虑被3整除的情形
由例1知，
在11个任意整数中，必存在：3a1+a2+a3，不妨设a1+a2+a3=b1；
同理，剩下的8个任意整数中，由例2，必存在：3a4+a5+a6。设a4+a5+a6=b2；
同理，其余的5个任意整数中，有：3a7+a8+a9，设：a7+a8+a9=b3。②再考虑b1、b2、b3被2整除。依据抽屉原理，b1、b2、b3这三个整数中，至少有两个是同奇或同偶，这两个同奇（或同偶）的整数之和必为偶数。不妨设2b1+b2
则：6b1+b2，即：6a1+a2+a3+a4+a5+a6∴任意11个整数，其中必有6个数的和是6的倍数。例3从1-100的自然数中，任意取出51个数，证明其中一定有两个数，它们中的一个是另一个的整数倍。
解析：由已知“两个数”，可得其中一个是另一个的整数倍。构造“抽屉”
，使得每个抽屉里任取两个数，都有一个是另一个的整数倍，这只有把公比是正整数的整个等比数列都放进去同一个抽屉才行，这里用得到一个自然数分类的基本知识：任何一个正整数都可以表示成一个奇数与2的方幂的积，即若m∈N+，K∈N+，n∈N,则m=(2k-1)·2n，并且这种表示方式是唯一的，如1=1×2°，2=1×21，3=3×2°，……
证明：因为任何一个正整数都能表示成一个奇数乘2的方幂，并且这种表示方法是唯一的，所以我们可把1-100的正整数分成如下50个抽屉（因为1-100中共有50个奇数）：
（1）{1，1×2，1×22，1×23，1×24，1×25，1×26}；（2）{3，3×2，3×22，3×23，3×24，3×25}；（3）{5，5×2，5×22，5×23，5×24}；（4）{7，7×2，7×22，7×23}；（5）{9，9×2，9×22，9×23}；（6）{11，11×2，11×22，11×23}；……（下转第521页）
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中心极限定理在社会保险中的应用
菏泽学院数学系
朱青
［摘要］中心极限定理表明，数理统计中许多复杂随机变量的分布都可以用正态分布近似。本文通过两个具体的例子探讨了中心极限定理在社会保险中的应用。［关键词］中心极限定理正态分布保险概率论是研究随机现象及其规律性的一门学科，它最早起源于赌博问题。随着社会和科技的发展，概率论的价值早已远远超出“博彩”，
《概率分析理论》中所说：“这被广泛应用于众多领域。正如拉普拉斯在
门源自考虑赌博中的机运的科学，必将成为人类知识中最重要的一部分。生活中最重要的问题中的大部分，将都只是概率问题。”本文探讨了概率论中占有重要地位的中心极限定理在社会保险中的应用。
定理1(中心极限定理)设随机变量X1,X2,…,Xn,…相互独立，服从同
2
一分布，且E(Xi)=μ，D(Xi)=σ(i=1,2,…)，则
-∞≤x
σ姨定理2(棣莫佛—拉普拉斯定理)设随机变量X1,X2,…,Xn,…相互独立，且都服从参数为p的0-1分布，则对任意实数x，有
n→∞
5000
司一年内从此项业务中所得到的总收益为(0.016×5000-2×ΣXi)万元。
i=1
所以
P20≤0.016×5000-2×ΣXi≤40=P20≤ΣXi≤30=P
≤
5000
limP
ΣX-nμ
i
i=1
n
≤乙
x
=
-t/2
1edt=Φ(x)姨2
limP
n→∞
ΣX-np
i
i=1
n
姨定理2是定理1的一个特例，由棣莫佛提出，拉普拉斯推广，故又称为棣莫佛—拉普拉斯定理，它是历史上最早的中心极限定理。
20世纪20年代，林德伯格(Lindeberg)和勒维(Levy)给出了定理1的定理1表明：当n充分大时，n个具有期望和方差的独立同分布的证明。
随机变量之和近似服从正态分布。而正态分布有许多完美的理论，从而可以获得既简单又实用的统计分析。下面通过两个具体的例子探讨中心极限定理在社会保险中的应用。
例1某市保险公司开办一年人身保险业务，被保险人每年需缴纳保费160元，若一年内发生重大人身事故，其本人或家属可获2万元赔金。已知该市人员一年内发生重大人身事故的概率为0.005，现有5000人参加此项保险，问保险公司一年内从此项业务中所得到的总收益在20万元到40万元之间的概率是多少？
[分析]该问题属于二项分布的范畴。由棣莫佛—拉普拉斯定理知，正态分布是二项分布的极限分布，从而可以将问题转化为正态分布，便于解决问题。
1，若第i个被保险人发生重大事故
解：记Xi=i=1，2，…，5000，，
0，若第i个被保险人未发生重大事故
于是，Xi均服从参数为p=0.005的0-1分布，P{Xi=1}=0.005，np=25。
≤x
≤乙
x
=
-∞
-t/2
1edt=Φ(x)姨2
ΣXi-25
20-2530-25≤i=1≤姨姨姨≈Φ(1)-Φ(-1)≈0.6826
例2某城市的市民在一年里遭遇交通事故的概率达到千分之一，为此该市某保险公司决定在这个城市开设一种交通事故险，每个投保人每年交付18元保险费，一旦发生事故将得到1万元赔偿，经调查预计有10万人购买这种保险，保险公司的其他成本为40万元，问保险公司亏本的概率有多大？平均利润为多少？
[分析]由中心极限定理可将其转化为正态分布。另外平均利润即为利润的期望值，由问题中“遭遇交通事故人数”这一随机变量的期望与“利润”的期望之间的关系，利用期望的性质，可以方便地计算出结果。
解：设X表示遭遇交通事故的人数，则X~b(105,0.001),从而E(X)=100，D(X)=99.9，于是保险公司亏本的概率为
X-E(X)≤140-100
P{X>180-40}=P{X>140}=P
姨姨40
≈1-Φ=1-Φ(4.002)=1-0.99997=0.00003
9.995
又保险公司的利润Y=180-40-X(万元)
故保险公司的平均利润为E(Y)=E(140-X)=140-E(X)=40(万元)由以上两例可以看出，中心极限定理在分析保险盈亏、利润情况等方面具有重要的作用。我们可以根据某地区人身、交通、教育、投资等各种情况，设计既有利于投保人又使保险公司能够达到期望收益的最佳保险品种。
i=1
≤≤
5000
i=1
5000
≤
≤
≤
Φ
≤
ΣX是5000个被保险人中一年内发生重大人身事故的人数，保险公
i
i=1
5000
参考文献［1］吴赣昌.概率论与数理统计(经管类第三版［)M］.北京：中国人民
2009.大学出版社，
［2］同济大学概率统计教研组.概率统计(第三版［)M］.上海：同济大学出版社，2004.重要技巧。
例5将平面上每点都任意地染上黑白两色之一。求证:一定存在一个边长为1或3的正三角形,它的三个顶点同色。
证明：在这个平面上作一个边长为1的正三角形。如果A、B、C这三点同色，则结论成立，故不妨设A和B异色。以线段AB为底边,作一个腰长为2的等腰ABD。由于点A和B异色,故无论D为何色,总有一腰的两个端点异色。不妨设点A和D异色。设AD的中点为E,则AE=ED=1。不妨设点A和E为白色,点D为黑色。
以AE为一边,在直线AD两侧各作一个等边三角形:AEF与AEG。若点F和G中有一个是白点,则导致一个边长为1的等边三角形的三个顶点都是白点；否则,边长为3的等边DFG的三个顶点同为黑点。
抽屉原理是一种重要的非常规解题方法，应用它能解决许多涉及存在性的数学问题。
参考文献［1］曹汝成.组合数学［M］.广州：华南理工大学出版社，2000：170-177.
［2］钟颖.关于抽屉原理［J］.成都教育学院学报，2003，17（7）：75.［3］朱华伟,符开广.抽屉原理［J］.数学通讯，2006，19（17）：37.
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（25）{49，49×2}；（26）{51}；……（50）{99}。这样，1-100的正整数就无重复，无遗漏地放进这50个抽屉内了。从这100个数中任取51个数，也即从这50个抽屉内任取51个数，根据抽屉原则，其中必定至少有两个数属于同一个抽屉，即属于（1）-（25）号中的某一个抽屉，显然，在这25个抽屉中的任何同一个抽屉内的两个数中，一个是另一个的整数倍。
3.抽屉原理在面积问题中的应用
例4已知在边长为1的等边三角形内（包括边界）有任意10个点。证明至少有两个点之间的距离不大于1/3。
证明：把正三角形的每条边都三等分，并连接各点，将这个三角形化分成9个边长为1/3的正三角形。10个点放在9个小三角形中，根据抽屉原理必有两个点在同一个小正三角形内（包括边界），这两点之间的距离不大于1/3。
4.抽屉原理在染色问题中的应用
最简单的染色问题是从一种民间游戏中发展起来的方格盘上的染色问题。解决这类问题的方法后来又发展成为解决方格盘铺盖问题的
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