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精品小班课程辅导讲义
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一次函数 知识点
1．函数的概念：
例题1：下列各图给出了变量x 与y 之间的函数是：【 】
例题2：若等腰三角形周长为30，一腰长为a ，底边长为L ，则L 关于a 的函数解析式
为 ，它是 ，也是 .
例题3、下列各式中，y 与x 成正比例关系的是 （填关系式的序号），成一次函数关系的是 .
（1）y =
（4
）y =39x ； （2
）y =x ； （3）y =- ； 44x ； （5
）xy +2 ； （6）3x +4y =5 .
2．数学上表示函数关系的方法通常有三种：
例题4：已知y －1与x ＋2成正比例，且当x ＝1时，y ＝－5, 求y 与x 之间的函数关系式；若点 （－2，a ）在这个函数的图象上，求出a 的值.
3．关于函数的关系式(解析式) 的理解：
（1）函数关系式是等式．例如y =4x 就是一个函数关系式．
（2）函数关系式中指明了那个是自变量，哪个是函数．
通常等式右边代数式中的变量是自变量，等式左边的一个字母表示函数．
例如：y =x 是自变量，y 是x 的函数．
（3）函数关系式在书写时有顺序性．
1-y 例如：y =-3x +1是表示y 是x 的函数，若写成x =就表示x 是y 的函数． 3
（4）求y 与x 的函数关系时，必须是只用变量x 的代数式表示y ，得到的等式右边只含x 的代数式．
4．自变量的取值范围：
（1）整式型：一切实数
（2）根式型：当根指数为偶数时，被开方数为非负数．
（3）分式型：分母不为0．
（4）复合型：不等式组
（5）应用型：实际有意义即可
例题5：函数y =x +2中的自变量x 的取值范围是【 】 x -1
A 、x ≥－2 B、x ≠1 C、x ＞－2且x ≠1 D、x ≥－2且x ≠1
例题6：函数y =x -1-4
2x -2x -24x -x 2-48例题7：函数y =中的自变量x 的取值范围为_________________ x -7
例题8：若等腰三角形周长为30，一腰长为a ，底边长为L ，则L 关于a 的函数解析式为 .
5．函数图象：函数的图象是由平面直角中的一系列点组成的．
6．函数图像的位置决定两个函数的大小关系：
例题9：直线l 1：y ＝k 1x ＋b 与直线l 2：y ＝k 2x ＋c 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式k 1x ＋b ＜k
2x ＋c 的解集为【 】
A 、x ＞1 B、x ＜1 C、x ＞－2 D、x ＜－2 中的自变量x 的取值范围为_________________
0) ，关于x 的不等式kx +b >0的例题10：如图，直线y =kx +b (k
解集是【 】
A ．x 3 C．x >0 D．x
7．描点法画函数图象的步骤：（1）列表； （2）描点； （3）连线．
例题11：画出函数y =2x +4的图像
8．函数解析式与函数图象的关系：
（1）满足函数解析式的有序实数对为坐标的点一定在函数图象上；
（2）函数图象上点的坐标满足函数解析式．
9．验证一个点是否在图像上方法：代入、求值、比较、判断
例题12：下列各点中，在反比例函数y ＝6图象上的是【 】 x
A ．（－2，3） B．（2，－3） C．（1，6） D．（－1，6）
10．一次函数及其性质
例题13：一次函数y =kx +b 的图象只经过第一、二、三象限，则【 】
A ．k 0
D ．k
B ．k >0，
b >0 C ．k >0，b
例题14：如果一次函数y =kx +b 的图象经过第一象限，且与y 轴负半轴相交，那么
【 】
A ．k >0，b >0 B．k >0，b 0 D ．k
例题15：已知一次函数的图象过点（3，5）与（－4，－9），求该函数图像的截距
例题16、已知直线经过点M (3,1)，截距是-5，求这条直线的表达式.
例题17 填空：
11x 的图像向y =-x -2的图像； 33
（2）将y =2x -5的图像向 平移 个单位可以得到y =2x 的图像； （1）将y =-
（3）将y =-4x -5的图像向 平移 个单位可以得到y =-4x +6的图像；
（4）y =-x -3的图像是由y =-x -5的图像向 平移 个单位可以得到的.
例题18：已知一次函数(2k -1) x -(k +3) y -k +11=0，试说明：不论k 为何值，这条直线总要经过一个定点，并求出这个定点.
例题19：一次函数y ＝ax ＋b 的图像关于直线y ＝－x 轴对称的图像的函数解析式为____ __
例题20：已知某一次函数当自变量取值范围是2≤y≤6时，函数值的取值范围是5≤x≤9．求此一次函数的解析式．
例题21：已知一次函数y ＝ax ＋4与y ＝bx －2的图象在x 轴上相交于同一点, 则
【 】
11A 、4 B、－2 C、 、－ 22
例题22：求直线y ＝2x －1与两坐标轴所围成的三角形面积.
例题23 已知点A （ 2，a ）和点B （-2，b ）在函数y =-
试比较a 与b 的大小.
b 的值是a 2x +m 的图像上， 3
例题24 已知一次函数y =(1-2m ) x +m +2，函数值y 随自变量x 的值增大而减小，
（1）求m 的取值范围；
（2）在平面直角坐标系xOy 中，这个函数的图像与y 轴的交点M 位于y 轴的正半轴还是 负半轴？
11．直线y =k 1x +b 1（k 1≠0）与y =k 2x +b 2（k 2≠0）的位置关系
（1）两直线平行⇔k 1=k 2且b 1≠b 2
（2）两直线相交⇔k 1≠k 2
（3）两直线重合⇔k 1=k 2且b 1=b 2
（4）两直线垂直⇔k 1k 2=-1
例题25、已知一次函数y=2x+5，另一条直线与之垂直，且过点（4,3），求该该直线的函数解析式
例题26：已知一次函数y =x +1，另一条直线与之平行，且与坐标轴所围成的三角形面积为8，求此一次函数解析式.
例题27、下列四个函数中，y 随x 的增大而减小的是-----------------------------（ ） （A ） y =2x ； （B ） y =-2x +4 ；
3 ； （D ）
y =-1 . x
例题28、已知一次函数y =kx +b 的函数值y 随x 的增大而增大，且kb 0，试确定这个 （C ） y =-函数图像所经过的象限。
例题29、已知一次函数y =(2m -3) x +(m -1) ，根据下列条件确定m 的取值范围：
（1）函数的图象经过第二、三、四象限.
（2）函数值y 随x 的值增大而增大.
（3）它的图像与y 轴的交点在负半轴上.
*（4）它的图象不经过第三象限，求m 的取值范围.
12．一次函数与一元一次方程和一元一次不等式的关系：
例题30、填空
（1）直线y =2x -1与x 轴的交点的横坐标是方程 的根.
（2）直线y =2x -1上位于x 轴上方的点，它们的横坐标的取值范围是
直线y =2x -1上位于x 轴下方的点，它们的横坐标的取值范围是 .
（3）已知函数y =
3x +7，当x y >1；当x 时，y ≤1. 2
2x +1. 3
（1）当x 取何值时，函数值y =5？
（2）当x 取何值时，函数值y >5？ 例题31 已知函数y =
（3）在平面直角坐标系xOy 中，在直线y =
它们的横坐标的取值范围是什么？
例题32 如图，点P 在直线l 上，它的横坐标为-1，根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）直线截距为 .
（2）点P 的坐标是 ，直线l 上所有位于点P 朝上
一侧的点的横坐标的取值范围是 ，这些点
的纵坐标的取值范围是 .
（3）如果直线l 的表达式为y =kx +b ，那么关于x
等式kx +b >0的解集是 ，kx +b
集是 .
2x +1上且位于x 轴下方的所有点， 3
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一次函数 知识点
1．函数的概念：
例题1：下列各图给出了变量x 与y 之间的函数是：【 】
例题2：若等腰三角形周长为30，一腰长为a ，底边长为L ，则L 关于a 的函数解析式
为 ，它是 ，也是 .
例题3、下列各式中，y 与x 成正比例关系的是 （填关系式的序号），成一次函数关系的是 .
（1）y =
（4
）y =39x ； （2
）y =x ； （3）y =- ； 44x ； （5
）xy +2 ； （6）3x +4y =5 .
2．数学上表示函数关系的方法通常有三种：
例题4：已知y －1与x ＋2成正比例，且当x ＝1时，y ＝－5, 求y 与x 之间的函数关系式；若点 （－2，a ）在这个函数的图象上，求出a 的值.
3．关于函数的关系式(解析式) 的理解：
（1）函数关系式是等式．例如y =4x 就是一个函数关系式．
（2）函数关系式中指明了那个是自变量，哪个是函数．
通常等式右边代数式中的变量是自变量，等式左边的一个字母表示函数．
例如：y =x 是自变量，y 是x 的函数．
（3）函数关系式在书写时有顺序性．
1-y 例如：y =-3x +1是表示y 是x 的函数，若写成x =就表示x 是y 的函数． 3
（4）求y 与x 的函数关系时，必须是只用变量x 的代数式表示y ，得到的等式右边只含x 的代数式．
4．自变量的取值范围：
（1）整式型：一切实数
（2）根式型：当根指数为偶数时，被开方数为非负数．
（3）分式型：分母不为0．
（4）复合型：不等式组
（5）应用型：实际有意义即可
例题5：函数y =x +2中的自变量x 的取值范围是【 】 x -1
A 、x ≥－2 B、x ≠1 C、x ＞－2且x ≠1 D、x ≥－2且x ≠1
例题6：函数y =x -1-4
2x -2x -24x -x 2-48例题7：函数y =中的自变量x 的取值范围为_________________ x -7
例题8：若等腰三角形周长为30，一腰长为a ，底边长为L ，则L 关于a 的函数解析式为 .
5．函数图象：函数的图象是由平面直角中的一系列点组成的．
6．函数图像的位置决定两个函数的大小关系：
例题9：直线l 1：y ＝k 1x ＋b 与直线l 2：y ＝k 2x ＋c 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式k 1x ＋b ＜k
2x ＋c 的解集为【 】
A 、x ＞1 B、x ＜1 C、x ＞－2 D、x ＜－2 中的自变量x 的取值范围为_________________
0) ，关于x 的不等式kx +b >0的例题10：如图，直线y =kx +b (k
解集是【 】
A ．x 3 C．x >0 D．x
7．描点法画函数图象的步骤：（1）列表； （2）描点； （3）连线．
例题11：画出函数y =2x +4的图像
8．函数解析式与函数图象的关系：
（1）满足函数解析式的有序实数对为坐标的点一定在函数图象上；
（2）函数图象上点的坐标满足函数解析式．
9．验证一个点是否在图像上方法：代入、求值、比较、判断
例题12：下列各点中，在反比例函数y ＝6图象上的是【 】 x
A ．（－2，3） B．（2，－3） C．（1，6） D．（－1，6）
10．一次函数及其性质
例题13：一次函数y =kx +b 的图象只经过第一、二、三象限，则【 】
A ．k 0
D ．k
B ．k >0，
b >0 C ．k >0，b
例题14：如果一次函数y =kx +b 的图象经过第一象限，且与y 轴负半轴相交，那么
【 】
A ．k >0，b >0 B．k >0，b 0 D ．k
例题15：已知一次函数的图象过点（3，5）与（－4，－9），求该函数图像的截距
例题16、已知直线经过点M (3,1)，截距是-5，求这条直线的表达式.
例题17 填空：
11x 的图像向y =-x -2的图像； 33
（2）将y =2x -5的图像向 平移 个单位可以得到y =2x 的图像； （1）将y =-
（3）将y =-4x -5的图像向 平移 个单位可以得到y =-4x +6的图像；
（4）y =-x -3的图像是由y =-x -5的图像向 平移 个单位可以得到的.
例题18：已知一次函数(2k -1) x -(k +3) y -k +11=0，试说明：不论k 为何值，这条直线总要经过一个定点，并求出这个定点.
例题19：一次函数y ＝ax ＋b 的图像关于直线y ＝－x 轴对称的图像的函数解析式为____ __
例题20：已知某一次函数当自变量取值范围是2≤y≤6时，函数值的取值范围是5≤x≤9．求此一次函数的解析式．
例题21：已知一次函数y ＝ax ＋4与y ＝bx －2的图象在x 轴上相交于同一点, 则
【 】
11A 、4 B、－2 C、 、－ 22
例题22：求直线y ＝2x －1与两坐标轴所围成的三角形面积.
例题23 已知点A （ 2，a ）和点B （-2，b ）在函数y =-
试比较a 与b 的大小.
b 的值是a 2x +m 的图像上， 3
例题24 已知一次函数y =(1-2m ) x +m +2，函数值y 随自变量x 的值增大而减小，
（1）求m 的取值范围；
（2）在平面直角坐标系xOy 中，这个函数的图像与y 轴的交点M 位于y 轴的正半轴还是 负半轴？
11．直线y =k 1x +b 1（k 1≠0）与y =k 2x +b 2（k 2≠0）的位置关系
（1）两直线平行⇔k 1=k 2且b 1≠b 2
（2）两直线相交⇔k 1≠k 2
（3）两直线重合⇔k 1=k 2且b 1=b 2
（4）两直线垂直⇔k 1k 2=-1
例题25、已知一次函数y=2x+5，另一条直线与之垂直，且过点（4,3），求该该直线的函数解析式
例题26：已知一次函数y =x +1，另一条直线与之平行，且与坐标轴所围成的三角形面积为8，求此一次函数解析式.
例题27、下列四个函数中，y 随x 的增大而减小的是-----------------------------（ ） （A ） y =2x ； （B ） y =-2x +4 ；
3 ； （D ）
y =-1 . x
例题28、已知一次函数y =kx +b 的函数值y 随x 的增大而增大，且kb 0，试确定这个 （C ） y =-函数图像所经过的象限。
例题29、已知一次函数y =(2m -3) x +(m -1) ，根据下列条件确定m 的取值范围：
（1）函数的图象经过第二、三、四象限.
（2）函数值y 随x 的值增大而增大.
（3）它的图像与y 轴的交点在负半轴上.
*（4）它的图象不经过第三象限，求m 的取值范围.
12．一次函数与一元一次方程和一元一次不等式的关系：
例题30、填空
（1）直线y =2x -1与x 轴的交点的横坐标是方程 的根.
（2）直线y =2x -1上位于x 轴上方的点，它们的横坐标的取值范围是
直线y =2x -1上位于x 轴下方的点，它们的横坐标的取值范围是 .
（3）已知函数y =
3x +7，当x y >1；当x 时，y ≤1. 2
2x +1. 3
（1）当x 取何值时，函数值y =5？
（2）当x 取何值时，函数值y >5？ 例题31 已知函数y =
（3）在平面直角坐标系xOy 中，在直线y =
它们的横坐标的取值范围是什么？
例题32 如图，点P 在直线l 上，它的横坐标为-1，根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）直线截距为 .
（2）点P 的坐标是 ，直线l 上所有位于点P 朝上
一侧的点的横坐标的取值范围是 ，这些点
的纵坐标的取值范围是 .
（3）如果直线l 的表达式为y =kx +b ，那么关于x
等式kx +b >0的解集是 ，kx +b
集是 .
2x +1上且位于x 轴下方的所有点， 3