九 年级 数学 科辅导讲义（第 讲）
学生姓名： 授课教师： 授课时间：
解一元二次方程—公式法和因式分解法
第一部分 知识点梳理
1. 一元二次方程ax +bx +c =0(a ≠0) 的求根公式是 。
2. 一元二次方程的根的判别式是：△= 。
（1）当△＞0时，一元二次方程 的实数根。
（2）当△= 0时，一元二次方程 的实数根。
（3）当△＜0时，一元二次方程 的实数根。
3. 用求根公式解一元二次方程的一般步骤：
（1）把原方程整理成 形式，即 的形式；
（2）确定 ， ， 的值；
（3）计算△= b﹣4ac 的值，若△ 时，则将a. b.c 代入求根公式计算；
（4）写出答案： x1= , x2= .
4. 把一元二次方程左边因式分解，使方程化成两个一次因式的积等于0，再使这两个一次因式分别等于0，
从而实现降次，这种解方程的方法叫 法。
5. 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
（1）把原方程整理成 形式。即 的形式；
（2）把方程的左边分解成 的形式，右边为 ；
（3）令这两个一次因式分别等于 ，得到两个一元一次方程；
（4）分别解两个一元一次方程，求出每个方程的解；
（5）写出答案。
第二部分 例题解析
例1、用公式法解下列方程
22
121-x 22-x 1+= （1）-x +x +2=0 （2）2233
例2. 用因式分解法解下列方程。
（1）6x -5x +1=0 （2）6x +13x +6=0
22
例5. 若关于x 的方程x +4x +2k =0有两个实数根，求k 的取值范围及k 的非负整数值。
2
【变式练习】
(x -a )(x -b )+(x -b ) (x -c )+(x -c )(x -a )=0已知a,b,c 为三角形ABC 的三边，且方程
的实数根，试判别∆ABC 的形状
第三部分 章节练习
1. 若x 2-6x 的值等于7，则x 的值是（ ）
A ．7 B.-1 C.7或-1 D.-7
2. 方程x 2=0的根是（ ）
A ．x=0 B.x=-1 C. x=1 D.
3. 方程(y -1)(y +2)=0的根是（ ）
A ．y=1 B.y 1=1, y 2=-2 C.x =1, y =-2 D.
4. 方程2x (x -1)=0的根是（）
A ．x 1
1=2,x2=1 B.x 1=0, x 2=1 C.x 1=2, x 2=1 D.
5.
若x 2-6x +90则x +y 的值是（ ）
A ．1 B.-1 C.7 D.-7
6. 选择适当方法解方程
(1)2x 2-3x -5=0 (2)x 2-1=2x (x +1)
有两个相等或1 x 1=x 2=0 x =-1, y =2 x 1=x 2=1
(3)(x +1)(x +3)=2 (4)-2x 2+2x +1=0
7. 已知a 2+ab -b 2=0(ab ≠0)求
8. 已知ab ≠0且a -ab -20b =0。求
9. 在等腰三角形ABC 中，三边分别为a.b.c 其中a=5若关于x 的方程x +(b +2)x +6-b =0有两个相2221a 。 b b a +的值。 a b
等的实数根，求∆ABC 的周长。
10. 如果关于x 的一元二次方程mx 2-2(m +2)x +m +5=0没有实数根，试判断关于x 的方程 (m -5)x 2-2(m +1)x +m =0的根的情况。
第四部分 中考体验
1. 一元二次方程x -2x -1=0的两个实根分别为x 1, x 2则(x 1-1)(x 2-1)= 。 2
2. 定义新运算“⊕”如下；当a ≥b 时，a ⊕b =ab +b ，当a 若(2x -1)⊕(x +2)=0。则x=
23. 已知ABCD 的两边AB,AD 的长是关于x 的方程x -mx +b 时，a ⊕b =ab -a ， m 1-=0的两个根。 24
（1）当m 为何值时，四边形ABCD 是菱形？求出菱形的边长。
（2）若AB=2，那么ABCD 的周长是多少？
九 年级 数学 科辅导讲义（第 讲）
学生姓名： 授课教师： 授课时间：
解一元二次方程—公式法和因式分解法
第一部分 知识点梳理
1. 一元二次方程ax +bx +c =0(a ≠0) 的求根公式是 。
2. 一元二次方程的根的判别式是：△= 。
（1）当△＞0时，一元二次方程 的实数根。
（2）当△= 0时，一元二次方程 的实数根。
（3）当△＜0时，一元二次方程 的实数根。
3. 用求根公式解一元二次方程的一般步骤：
（1）把原方程整理成 形式，即 的形式；
（2）确定 ， ， 的值；
（3）计算△= b﹣4ac 的值，若△ 时，则将a. b.c 代入求根公式计算；
（4）写出答案： x1= , x2= .
4. 把一元二次方程左边因式分解，使方程化成两个一次因式的积等于0，再使这两个一次因式分别等于0，
从而实现降次，这种解方程的方法叫 法。
5. 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
（1）把原方程整理成 形式。即 的形式；
（2）把方程的左边分解成 的形式，右边为 ；
（3）令这两个一次因式分别等于 ，得到两个一元一次方程；
（4）分别解两个一元一次方程，求出每个方程的解；
（5）写出答案。
第二部分 例题解析
例1、用公式法解下列方程
22
121-x 22-x 1+= （1）-x +x +2=0 （2）2233
例2. 用因式分解法解下列方程。
（1）6x -5x +1=0 （2）6x +13x +6=0
22
例5. 若关于x 的方程x +4x +2k =0有两个实数根，求k 的取值范围及k 的非负整数值。
2
【变式练习】
(x -a )(x -b )+(x -b ) (x -c )+(x -c )(x -a )=0已知a,b,c 为三角形ABC 的三边，且方程
的实数根，试判别∆ABC 的形状
第三部分 章节练习
1. 若x 2-6x 的值等于7，则x 的值是（ ）
A ．7 B.-1 C.7或-1 D.-7
2. 方程x 2=0的根是（ ）
A ．x=0 B.x=-1 C. x=1 D.
3. 方程(y -1)(y +2)=0的根是（ ）
A ．y=1 B.y 1=1, y 2=-2 C.x =1, y =-2 D.
4. 方程2x (x -1)=0的根是（）
A ．x 1
1=2,x2=1 B.x 1=0, x 2=1 C.x 1=2, x 2=1 D.
5.
若x 2-6x +90则x +y 的值是（ ）
A ．1 B.-1 C.7 D.-7
6. 选择适当方法解方程
(1)2x 2-3x -5=0 (2)x 2-1=2x (x +1)
有两个相等或1 x 1=x 2=0 x =-1, y =2 x 1=x 2=1
(3)(x +1)(x +3)=2 (4)-2x 2+2x +1=0
7. 已知a 2+ab -b 2=0(ab ≠0)求
8. 已知ab ≠0且a -ab -20b =0。求
9. 在等腰三角形ABC 中，三边分别为a.b.c 其中a=5若关于x 的方程x +(b +2)x +6-b =0有两个相2221a 。 b b a +的值。 a b
等的实数根，求∆ABC 的周长。
10. 如果关于x 的一元二次方程mx 2-2(m +2)x +m +5=0没有实数根，试判断关于x 的方程 (m -5)x 2-2(m +1)x +m =0的根的情况。
第四部分 中考体验
1. 一元二次方程x -2x -1=0的两个实根分别为x 1, x 2则(x 1-1)(x 2-1)= 。 2
2. 定义新运算“⊕”如下；当a ≥b 时，a ⊕b =ab +b ，当a 若(2x -1)⊕(x +2)=0。则x=
23. 已知ABCD 的两边AB,AD 的长是关于x 的方程x -mx +b 时，a ⊕b =ab -a ， m 1-=0的两个根。 24
（1）当m 为何值时，四边形ABCD 是菱形？求出菱形的边长。
（2）若AB=2，那么ABCD 的周长是多少？