《中学教学杂志》2012年第8期刊登了曹嘉兴老师的“坎迪定理的等价命题”（文[1]），间接地证明了闻名中外的经典数学名题——蝴蝶定理.它是世界数学宝库中的一颗明珠，自1815年问世近200年来，广泛博得许多数学家和爱好者的青睐，纷纷对其研究推广，先后发现了坎迪定理，三翅、圆外、椭圆、筝形等蝴蝶定理（文[2]和文[3]）.而我独辟蹊径，发现了它的近支——圆的双切线不完全对称蝴蝶定理（如图1，P为蝶心，△EFP和△PJK构成蝴蝶的一对翅膀.查阅了有关文献和大量的资料，没有发现相应或相似的论述或证明）.它图形之优美，结论之简洁，无不凸现数学美的神韵，笔者精心证明（只用初中知识），以飨读者. 定理 如图1，四边形ABCD内接于⊙O，P为两对角线AC、BD的交点，对角线AC为定长，过P作作EP∥AD、FP∥AB、PJ∥DC、PK∥BC分别交过A、C两点的⊙O的切线于E、F和J、K四点，△EFP和△PJK的外接圆⊙O1、⊙O2分别与AC的左右延长线交于H、M两点，两圆半径分别为R1和R2，连接JM、MK（为突出蝴蝶图形，将⊙O内接四边形ABCD四边标为虚线），则： （1） EF=JK； （2） HP=PM=AC（定值）； （3） R1=R2. 先证明一个引理： 引理 如图2，四边形ABCD内接于⊙O，P为两对角线AC与BD的交点， 则AB·ADBC·CD=APPC. ① 简证 在⊙O中，显然易证△APB∽△CPD和△APD∽△BPC，所以ABCD=APPD，ADBC=PDPC，两式相乘得AB·ADBC·CD=APPC. ① 证明 （1）如图1，因为EF切⊙O于A，EP∥AD，所以∠EAP=∠ADC（弦切角等于它所夹弧所对的圆周角），∠EPA=∠CAD，所以△EPA∽△ADCEADC=APADEA=AP·DCAD. ② 同理可证 △PCK∽△ABCCK=PC·ABBC， ③ △FAP∽△ABCAF=AP·BCAB， ④ △PJC∽△ADCJC=PC·ADDC， ⑤ ②÷③得，EACK=APPC·BC·DCAB·AD， 将①代入此式得EACK=AB·ADBC·CD·BC·DCAB·AD=1，所以EA=CK. 同理由④÷⑤并结合引理可证AF=JC，所以EA+AF=CK+JC，即EF=JK.此即结论（1）. （2）如图1，②×④得，EA·AF=AP2·BC·DCAB·AD，由引理得BC·DCAB·AD=PCAP，所以EA·AF=AP2·PCAP=AP·PC. ⑥ 在⊙O1中，由相交弦定理得 EA·AF=AP·HA. ⑦ 比较⑥、⑦可得，HA=PC. 同理可证，CM=AP. 所以HP=HA+AP=PC+AP=AC. 同理可证PM=AC，所以HP=PM=AC（定值）.此即结论（2）. 推论：若P为AC的中点时，则HA=CM=12AC. （3）如图1，因为AD∥EP，PJ∥DC，并结合弦切角和圆周角定理，所以∠FEP=∠FAD=∠ABD=∠ACD=∠JPM=∠JKM，即∠FEP=∠JKM. 同理可证∠EFP=∠KJM. 又因为EF=JK——结论（1），所以△EFP≌△JMK（ASA），又P、J、M、K四点共圆于⊙O2，所以R1=R2，圆的双切线蝴蝶定理得证.易证⊙O1与⊙O2外切于P点，且另一对角线BD为过P点的两圆公切线. 试想，若以⊙O1和⊙O2等为母圆继续重复以上作法，可呈现一个奇异景象：无数只蝴蝶共栖一枝（AC及其延长线），排成“一字长蝴蝶阵”. 参考文献 [1] [1]曹嘉兴.坎迪定理的等价命题[J].中学数学杂志（初中），2012，（8）. [2] 周春荔，蝴蝶定理——研究性学习的一个好课题[J].数学通报，2004，（1） [3] 黄家礼.几何明珠[M].北京：科学普及出版社，1997. 作者简介 丁位卿，男，河南长葛人，发表论文数篇.
《中学教学杂志》2012年第8期刊登了曹嘉兴老师的“坎迪定理的等价命题”（文[1]），间接地证明了闻名中外的经典数学名题——蝴蝶定理.它是世界数学宝库中的一颗明珠，自1815年问世近200年来，广泛博得许多数学家和爱好者的青睐，纷纷对其研究推广，先后发现了坎迪定理，三翅、圆外、椭圆、筝形等蝴蝶定理（文[2]和文[3]）.而我独辟蹊径，发现了它的近支——圆的双切线不完全对称蝴蝶定理（如图1，P为蝶心，△EFP和△PJK构成蝴蝶的一对翅膀.查阅了有关文献和大量的资料，没有发现相应或相似的论述或证明）.它图形之优美，结论之简洁，无不凸现数学美的神韵，笔者精心证明（只用初中知识），以飨读者. 定理 如图1，四边形ABCD内接于⊙O，P为两对角线AC、BD的交点，对角线AC为定长，过P作作EP∥AD、FP∥AB、PJ∥DC、PK∥BC分别交过A、C两点的⊙O的切线于E、F和J、K四点，△EFP和△PJK的外接圆⊙O1、⊙O2分别与AC的左右延长线交于H、M两点，两圆半径分别为R1和R2，连接JM、MK（为突出蝴蝶图形，将⊙O内接四边形ABCD四边标为虚线），则： （1） EF=JK； （2） HP=PM=AC（定值）； （3） R1=R2. 先证明一个引理： 引理 如图2，四边形ABCD内接于⊙O，P为两对角线AC与BD的交点， 则AB·ADBC·CD=APPC. ① 简证 在⊙O中，显然易证△APB∽△CPD和△APD∽△BPC，所以ABCD=APPD，ADBC=PDPC，两式相乘得AB·ADBC·CD=APPC. ① 证明 （1）如图1，因为EF切⊙O于A，EP∥AD，所以∠EAP=∠ADC（弦切角等于它所夹弧所对的圆周角），∠EPA=∠CAD，所以△EPA∽△ADCEADC=APADEA=AP·DCAD. ② 同理可证 △PCK∽△ABCCK=PC·ABBC， ③ △FAP∽△ABCAF=AP·BCAB， ④ △PJC∽△ADCJC=PC·ADDC， ⑤ ②÷③得，EACK=APPC·BC·DCAB·AD， 将①代入此式得EACK=AB·ADBC·CD·BC·DCAB·AD=1，所以EA=CK. 同理由④÷⑤并结合引理可证AF=JC，所以EA+AF=CK+JC，即EF=JK.此即结论（1）. （2）如图1，②×④得，EA·AF=AP2·BC·DCAB·AD，由引理得BC·DCAB·AD=PCAP，所以EA·AF=AP2·PCAP=AP·PC. ⑥ 在⊙O1中，由相交弦定理得 EA·AF=AP·HA. ⑦ 比较⑥、⑦可得，HA=PC. 同理可证，CM=AP. 所以HP=HA+AP=PC+AP=AC. 同理可证PM=AC，所以HP=PM=AC（定值）.此即结论（2）. 推论：若P为AC的中点时，则HA=CM=12AC. （3）如图1，因为AD∥EP，PJ∥DC，并结合弦切角和圆周角定理，所以∠FEP=∠FAD=∠ABD=∠ACD=∠JPM=∠JKM，即∠FEP=∠JKM. 同理可证∠EFP=∠KJM. 又因为EF=JK——结论（1），所以△EFP≌△JMK（ASA），又P、J、M、K四点共圆于⊙O2，所以R1=R2，圆的双切线蝴蝶定理得证.易证⊙O1与⊙O2外切于P点，且另一对角线BD为过P点的两圆公切线. 试想，若以⊙O1和⊙O2等为母圆继续重复以上作法，可呈现一个奇异景象：无数只蝴蝶共栖一枝（AC及其延长线），排成“一字长蝴蝶阵”. 参考文献 [1] [1]曹嘉兴.坎迪定理的等价命题[J].中学数学杂志（初中），2012，（8）. [2] 周春荔，蝴蝶定理——研究性学习的一个好课题[J].数学通报，2004，（1） [3] 黄家礼.几何明珠[M].北京：科学普及出版社，1997. 作者简介 丁位卿，男，河南长葛人，发表论文数篇.