15.433 投资学 第3节： 资产组合理论
第1部分：提出问题
2003年春
一小段历史
1952年3月，Harry Markowitz，一个25岁的芝加哥大学研究生，在The Journal of Finance上发表了一篇文章《资产组合选择》。
文章开始提到：“选择资产组合的过程可以分成两个阶段。第一阶段通过观察跟经验，最后获得相关证券未来业绩的预测。第二阶段通过相关的预测最终选择合理的资产组合”。
38年后，这篇文章使他获得了诺贝尔经济学奖。
绪论
投资的两个基本元素：
z 投资时机 z 投资者
本节课的任务：
z 金融资产的模型 z 投资者模型
z 最优资产组合的选择
金融收益模型
事实上所有的实物资产都是有风险的。金融资产，从实物资产中产生，也要承受这种风险：
z 一些是用来使风险最小化 z 一些是用来进行风险捕获
图1：墨西哥比索的收益，来源：Bloomberg Professional。
图2：SP500指数的收益， 图3：短期国库券10年的收益， 来源：Bloomberg Professional。 来源：Bloomberg Professional。
投资者模型
总体上，投资者都是风险厌恶型的，尽管程度不同。“我们认为投资者希望得到高的预
”－Markowitz（1952）。 期收益，而且希望收益的方差较低。
投资者的不同类型：
z 个人投资者与机构投资者 z 享有不同边际税率的投资者 z 有消息来源的与没有的 z 年轻的与年老的
z 按行为分类：厌恶损失、心理账户、过度自信、反应过度、反应不足等等
在A、B中选择
在C、D中选择
等价选择
提出问题
我们需要什么？一个处方跟一些配料
投资时机：
z 无风险收益率：z 风险收益率：
一个均方差投资者：1 BKM p.157ff
（1）
最优资产组合选择：
z 将总财富以比例y投入到风险资产中，其他的投入无风险资产。 z 可能的资产组合：
z
最优组合？
其中R表示整个实数空间。
1
系数0.005是用来校准主观风险厌恶系数A的一个校准系数。
资产组合构建
投资时机的集合已经固定了：
同
我们唯一要决定的变量是y（投资多少到风险资产组合中）。
最终结果：
风险收益组合
每选择一个y都会产生一对收益E与风险标准差 z 对
，我们有：
（10） ，我们有：
z 更一般的，对任意
（11）
y可以在整个正实轴上任意变化，但上述等式总成立
E与标准差存在一个线性关系：
（12）
资本配置线
对所有
，我们可以得到适合投资者的风险收益组合
。
图4：资本配置线
图5：不同视角的资本配置线
Sharpe比率
衡量某一资产组合r的吸引力的一个标准是它的Sharpe比率（S）：
直观上看，S衡量的是增加一个单位风险得到的收益。
（13）
前面CAL可以写成：
（14）
选定了增加风险的标准差而且，对由
同
（通过y）
，增加的回报为：
都是相同的：
。
构建的任意资产组合的Sharpe比率
（15）
对任意
，这个对你有意义么？
转化为最优化问题
现在准备使我们的资产组合满足最优化原理：
（16）
其中：
（17）
从前面的推导，我们得到：
最优化问题因此变成 max f(y)：
（19）
18） （
最优化原理
一个优化问题的三个组成部分： z
目标函数
；
z 变量 y； z 搜索域R
解优化问题的三种方法： z 分析方法 z 数值方法 z 图像法
数学基础： z 用y*
表示的解；
z 如果，那么y*最优解。
图解
图6：优化资产组合比重
分析解
设定风险厌恶系数A＝4，最优比重y*＝0.41。
对y求导：
1．
寻找满足
的y*：
（22）
2．检验y*
的最优性：
（20）（21）
资产组合比重的决定因素
更一般的，最优解可以表示成：
（23）
一个更加厌恶风险的投资者（风险厌恶系数A更大）会比较少的投资到风险资产中。
图7：效用函数。
如果最初风险资产的风险溢价他所持有的风险资产。
如果最初的资产是有风险的（
），但风险溢价为0，这时没有风险厌恶减少，风险厌恶型投资者就会相应的减少
型投资者愿意持有风险资产。如果风险溢价为负值，风险厌恶型投资者就会开始减持资产。
一个带有这样效用函数的投资者的最优资产组合比重y*是多少呢？
提示：投资者只需要关心Sharpe比率。
推广
我们假设下面情况成立：
1． 一个均方差的投资者； 2． 投资范围固定为一年； 3． 两者间不存在动态调整。
当然，这样设定对于实际投资问题不够精确。
不过，这个例子还是有价值的：
z 首先，它为我们提供了一个考虑资产组合最优化问题的框架 z 其次，尽管比较简单，它仍提供了丰富的直观认识。
现在我们可以进行下一步。
3种扩展形式
1． 偏度：允许有偏度的资产收益，倾向正偏度的，厌恶负偏度的。
2． 投资目光：允许投资目光改变。
3． 动态：允许动态调整。
课余读物
“Fourteen Pages to Fame，” Peter Bernstein的《资本观点》第2章
要点：
第6、7章
z p.157（方程6.1） z p.161 z p.163-166 z p.188
z p.191-195（效用函数，效用曲线，CAL）
读物：Kritzman（1992）
可能题型：第6章概念检测题3、4，p.168ff，2、9、10 第7章概念检测题2、3、4、5，p.200ff，4、8、13
下节问题
阅读BKM第6章附录A、B，Black（1995），Kritzman（1992）。
什么是市场危机？在制定投资决策的时候，发生风险概率很小但是冲击很大的事件可以被忽视么？
你怎么理解BKM对均方差分析的辩护？Paul Samuelson验证中的主要假设是什么？这样假设是否现实？
15.433 投资学 第3节： 资产组合理论
第1部分：提出问题
2003年春
一小段历史
1952年3月，Harry Markowitz，一个25岁的芝加哥大学研究生，在The Journal of Finance上发表了一篇文章《资产组合选择》。
文章开始提到：“选择资产组合的过程可以分成两个阶段。第一阶段通过观察跟经验，最后获得相关证券未来业绩的预测。第二阶段通过相关的预测最终选择合理的资产组合”。
38年后，这篇文章使他获得了诺贝尔经济学奖。
绪论
投资的两个基本元素：
z 投资时机 z 投资者
本节课的任务：
z 金融资产的模型 z 投资者模型
z 最优资产组合的选择
金融收益模型
事实上所有的实物资产都是有风险的。金融资产，从实物资产中产生，也要承受这种风险：
z 一些是用来使风险最小化 z 一些是用来进行风险捕获
图1：墨西哥比索的收益，来源：Bloomberg Professional。
图2：SP500指数的收益， 图3：短期国库券10年的收益， 来源：Bloomberg Professional。 来源：Bloomberg Professional。
投资者模型
总体上，投资者都是风险厌恶型的，尽管程度不同。“我们认为投资者希望得到高的预
”－Markowitz（1952）。 期收益，而且希望收益的方差较低。
投资者的不同类型：
z 个人投资者与机构投资者 z 享有不同边际税率的投资者 z 有消息来源的与没有的 z 年轻的与年老的
z 按行为分类：厌恶损失、心理账户、过度自信、反应过度、反应不足等等
在A、B中选择
在C、D中选择
等价选择
提出问题
我们需要什么？一个处方跟一些配料
投资时机：
z 无风险收益率：z 风险收益率：
一个均方差投资者：1 BKM p.157ff
（1）
最优资产组合选择：
z 将总财富以比例y投入到风险资产中，其他的投入无风险资产。 z 可能的资产组合：
z
最优组合？
其中R表示整个实数空间。
1
系数0.005是用来校准主观风险厌恶系数A的一个校准系数。
资产组合构建
投资时机的集合已经固定了：
同
我们唯一要决定的变量是y（投资多少到风险资产组合中）。
最终结果：
风险收益组合
每选择一个y都会产生一对收益E与风险标准差 z 对
，我们有：
（10） ，我们有：
z 更一般的，对任意
（11）
y可以在整个正实轴上任意变化，但上述等式总成立
E与标准差存在一个线性关系：
（12）
资本配置线
对所有
，我们可以得到适合投资者的风险收益组合
。
图4：资本配置线
图5：不同视角的资本配置线
Sharpe比率
衡量某一资产组合r的吸引力的一个标准是它的Sharpe比率（S）：
直观上看，S衡量的是增加一个单位风险得到的收益。
（13）
前面CAL可以写成：
（14）
选定了增加风险的标准差而且，对由
同
（通过y）
，增加的回报为：
都是相同的：
。
构建的任意资产组合的Sharpe比率
（15）
对任意
，这个对你有意义么？
转化为最优化问题
现在准备使我们的资产组合满足最优化原理：
（16）
其中：
（17）
从前面的推导，我们得到：
最优化问题因此变成 max f(y)：
（19）
18） （
最优化原理
一个优化问题的三个组成部分： z
目标函数
；
z 变量 y； z 搜索域R
解优化问题的三种方法： z 分析方法 z 数值方法 z 图像法
数学基础： z 用y*
表示的解；
z 如果，那么y*最优解。
图解
图6：优化资产组合比重
分析解
设定风险厌恶系数A＝4，最优比重y*＝0.41。
对y求导：
1．
寻找满足
的y*：
（22）
2．检验y*
的最优性：
（20）（21）
资产组合比重的决定因素
更一般的，最优解可以表示成：
（23）
一个更加厌恶风险的投资者（风险厌恶系数A更大）会比较少的投资到风险资产中。
图7：效用函数。
如果最初风险资产的风险溢价他所持有的风险资产。
如果最初的资产是有风险的（
），但风险溢价为0，这时没有风险厌恶减少，风险厌恶型投资者就会相应的减少
型投资者愿意持有风险资产。如果风险溢价为负值，风险厌恶型投资者就会开始减持资产。
一个带有这样效用函数的投资者的最优资产组合比重y*是多少呢？
提示：投资者只需要关心Sharpe比率。
推广
我们假设下面情况成立：
1． 一个均方差的投资者； 2． 投资范围固定为一年； 3． 两者间不存在动态调整。
当然，这样设定对于实际投资问题不够精确。
不过，这个例子还是有价值的：
z 首先，它为我们提供了一个考虑资产组合最优化问题的框架 z 其次，尽管比较简单，它仍提供了丰富的直观认识。
现在我们可以进行下一步。
3种扩展形式
1． 偏度：允许有偏度的资产收益，倾向正偏度的，厌恶负偏度的。
2． 投资目光：允许投资目光改变。
3． 动态：允许动态调整。
课余读物
“Fourteen Pages to Fame，” Peter Bernstein的《资本观点》第2章
要点：
第6、7章
z p.157（方程6.1） z p.161 z p.163-166 z p.188
z p.191-195（效用函数，效用曲线，CAL）
读物：Kritzman（1992）
可能题型：第6章概念检测题3、4，p.168ff，2、9、10 第7章概念检测题2、3、4、5，p.200ff，4、8、13
下节问题
阅读BKM第6章附录A、B，Black（1995），Kritzman（1992）。
什么是市场危机？在制定投资决策的时候，发生风险概率很小但是冲击很大的事件可以被忽视么？
你怎么理解BKM对均方差分析的辩护？Paul Samuelson验证中的主要假设是什么？这样假设是否现实？