第6章 风险定价理论
引导案例
指数基金为何能够独树一帜?
指数基金以获取所追踪的指数收益率为目标。牛市中,因为指数大幅度上涨,指数基金往往成为市场的最大赢家。如在2009年度,中国基金业绩排名显示,指数基金的平均业绩远远高于非指数基金,其中排名第一的基金是指数基金——深证100ETF 。而在熊市中,市场的普遍下跌,指数基金又成为“受伤”最重的基金。据WIND 资讯统计,截至2010年7月20日,最近半年指数基金业绩表现非常糟糕:48只有数据统计的指数基金中,跌幅最小的华夏中小板ETF 跌14.29%,跌幅最大的博时超大盘ETF 跌29.01%。
然而,只要超越市场的短期涨跌,放眼长远却不难发现,由于长期中能够打败指数基金的非指数基金的数量非常少,致使指数基金的生命力非常旺盛,指数基金在整个基金发展中扮演着越来越重要的角色。统计显示,全球指数基金的规模以平均每年20%的速度递增。中国投资市场指数基金的发展速度更是惊人,从2003年3月第一只指数基金——万家上证180(原“天同上证180指数基金”)获准发行,到截止2010年7月已经有近50只指数基金的规模。而且,这种发展呈现加速度的趋势,如仅在2009年,就有27只指数基金获准发行,超过历年指数基金发行数目的总和。
案例思考
指数基金为何能在“牛”“熊”不断交替的市场运行中独树一帜?理论上看,非指数基金因为既要面对一定的非系统风险又要面对系统风险,比仅需承担系统风险的指数基金承担的风险更大,理应获得更高的收益率。但现实情况却与此相去甚远。这似乎与我们认同的投资理念——高风险与高收益必须相匹配相悖?或者高风险高收益相匹配并不能做简单化的理解,其中必须对风险做进一步分析和研究?请在学习完本章的基础上,结合其他章节内容,回答上述问题。
证券收益率的高低与其对应的投资风险密切相关,而收益率和证券价格又紧密相联。因此,证券价格与证券风险必然存在内在的逻辑关系,这种逻辑关系就成为我们研究风险定价理论的基石。
组合投资理论显示,投资风险中的非系统风险可以通过充分分散的投资组合来消除,保留下来的都是系统性风险。因而投资时我们主要应该考虑系统风险,研究系统风险和证券收益率之间的关系。风险定价理论,就是基于上述想法而发展起来的一种定价理论。根据其应对的风险因素不同,风险定价理论分为资本资产定价模型和套利定价理论。
6.1 资本资产定价模型
资本资产定价模型以组合投资理论为基础,在一系列较为严格的假设条件下,将资产价格与其对应的系统风险相联系而发展起来的。资本资产定价模型克服了组合投资需要大量繁琐计算①的不便,为资产定价的合理性提供了一种便捷的价值判断标准,从而有助于投资者选择优质的投资资产。
6.1.1 资本资产定价模型的前提假设
和任何经济学理论一样,资本资产定价模型也需要建立在比较严格的假设条件下。这些假设条件包括:
·所有投资者都采用预期收益率和收益率的标准差来衡量资产的收益和风险;
·投资者都厌恶风险,即当面临其他条件相同的两种选择时,他们将选择具有较小标准差的投资组合;
·投资者永不满足,即当面临其他条件相同的两种选择时,他们将选择具有较高预期收益率的投资组合;
·每个投资者都是价格的接受者,其交易行为不会对证券价格产生实质性影响; ·每种资产都可以无限细分,即如果投资者愿意,其可以购买一个股份的一部分; ·投资者可以相同的无风险利率贷出(即投资)或借入资金; ·证券交易费用均忽略不计;
·所有投资者的投资期限都相同;
·市场信息是免费的,所有投资者都可以同时获得各种信息;
·投资者具有相同预期,即他们对预期收益率、标准差和协方差等具有相同的理解。 上述假设条件的核心在于,将不同的投资者同质化,分析时可以将注意力从单一的投资者如何投资转移到如果每个人采取同样的投资态度,证券价格将呈现什么状态,从而通过考察市场上所有投资者的集体行为,以获得每一种证券的风险和收益之间均衡关系的特征。
6.1.2 最优风险投资组合和分离定理
在上述假设条件下,结合前面的组合投资理论可知,一种无风险资产和多种风险资产构成组合时,可以得到切点组合M (见图5-7)。切点组合是投资者的最优风险投资组合,无论投资者的偏好如何,其在有效集射线CAL(M)上选定的适合其风险偏好的最优投资组合中,都包含着或多或少的最优风险投资组合。具体来看,这种选择过程如下:
·当投资者为低风险偏好者时,其选取的最优投资组合可能非常靠近F 点,如在CAL(M)射线上S 1处,表示投资者投资组合中无风险投资品占有相当大的比重,最优风险投资组合占有的比重非常低;
·当投资者为中等风险偏好者时,其选取的最优投资组合可能离F 点较远,更接近M 点,如在CAL(M)射线上S 2处,表示投资者投资组合中无风险投资品占有的比重较低,最优风险投资组合占有的比重较高;
·当投资者为高风险偏好者时,其选取的最优投资组合可能会超过M 点,如在CAL(M)射线上S 3处,表示投资者卖空无风险资产,也就是借钱,超过自有资金规模大量买进最优①
n 项资产构造组合时,需要计算n 个预期收益率,n 个收益率的标准差或方差,n(n-1)/2个协方差或相关系数,总共需要n(n+3)/2个独立信息。
风险投资组合。
这种投资者风险偏好与最优风险投资组合的确定相分离,投资者只需要调整分配于无风险资产与最优风险资产组合的资金比例,就可以形成符合自身偏好的具有一定收益和风险水平的最优投资组合,就被称为分离定理(separation theorem)。
分离定理虽然看起来很抽象、理论性也较强,但其对现实投资却有着较强的指导作用,至少我们可以在下面两点上有所体会:
·投资产品本身风险的大小不再是影响我们投资决策的重要因素,例如,我们不再需要将股票界定为适合中高风险偏好者的投资产品,将债券设定为适合低风险偏好者的投资产品,任何投资产品都是你可以尝试的投资对象。
·控制投资风险的重要手段就是适时调节账户中现金比例。当市场风险较大时,应该多持有现金,反之,就应该多持有股票等风险资产。这要求投资者避免出现一种错误操作倾向——满仓操作,即在任何时刻账户中只有股票等风险资产而没有现金。
6.1.3 市场组合及资本市场线
最优风险投资组合如此重要,那么,它又是如何构成的呢?在市场均衡的条件下,最优风险投资组合的构造非常简单,它既要包括所有的风险投资品,又要使各风险投资品的资金分配比例等于各风险投资品的市值与市场上全部风险投资品总市值之比。否则,市场均衡必然会被打破。这究竟是一种什么样的组合呢?包括所有风险投资品,且资金比例要与各投资品的相对市场价值相一致,这难度不就是现实投资市场的一个缩影吗?实际就是如此,最优风险投资组合就是市场组合( Market Portfolio),即与整个市场上风险证券的市值比例一致的风险证券组合。
市场组合一般用M 表示,是一个非常重要的概念,在资本资产定价模型中扮演着重要角色。尽管其是一个抽象概念,在实践中也很难进行操作,但是在现实的投资市场上确实存在着体现其变化的某些重要替代品,比如上海交易所的上证指数、深圳交易所的深圳综合指数、沪深300指数等。由于编制股票价格指数时,一般都考虑了入选股票的代表性与广泛性,因此覆盖面较广的股票价格指数所对应的投资组合比较合理地反映了市场组合的大部分信息,可以作为市场组合的近似替代。
在市场组合的基础上,我们可以推导出资本市场线这个重要概念。记市场组合的期望收益率为E (R M ) ,风险为σM ,在平面(σP , E (R M )) 内为M 点,无风险证券收益率R f (是常数)在平面(σP , E (R M )) 内为F 点,则连接M 和F 的直线通常被称为资本市场线(Capital Market Line ,简称为CML )(见图6-1),它反映投资者从资本市场上所能获得的所有有效证券组合的点集。
E (R P )
E (R
P
根据直线方程的公式,很容易推导CML 的方程为:
E (R P ) =R f +
E (R M ) -R f
⨯σP
σM
在资本市场线上,选择在线段FM 上进行投资的投资者,其投资组合的一部分是无风险资产或以无风险利率借出资金,另外一部分是市场组合;选择在M 点以上进行投资的投资者,是以无风险利率借入资金,以超过其所有财富的资金投资于市场组合M 。
资本市场线是对分离定理的拓展,其进一步明确了一种行之有效的投资策略——顺应市场,即在庞大的市场力量面前,最好的策略就是投资于广为市场接受的投资组合——市场组合。我们在第一章即投资大视野中就阐述了顺应市场这种观点,资本市场线理论又进一步强化了这种观点。对此,我们必须给予高度的重视。
6.1.3 反映系统风险的协方差和β
两种证券组合的协方差可以在一定程度上折射出系统风险的大小。当两种证券中有一种是市场组合时,两者构成组合的协方差反映因市场组合收益率变动而对另外一只证券收益率的影响,这就是我们所说的系统风险。
另外,根据有关公式可以推导出:
σM =X 1σ1M +X 2σ2M +... +X n σnM
2
上式表明,市场组合的方差等于所有投资品与市场组合的协方差的加权平均,也就是说,市场风险可以分解为任意一种风险投资品收益率与市场组合收益率相互影响大小的加权平均。对上式两边除以σM 可得:
1=X 1
2
σ1M σ
2M
+X 2
σ2M σ
2M
+... +X n
σnM σ
2M
上式的实际意义可以解释为,市场风险是每个投资品对市场风险的相对影响的加权平均。我们将投资品收益率变动对市场风险的相对影响,或者说市场风险对投资品收益率的影响占整个市场风险的相对大小,即
σiM σ
2
M
称为贝塔系数(beta coefficient ),通常用β表示。
实际上,β就成为测算某种证券系统风险大小的一种指标。
理解贝塔系数这个重要概念需注意:
·β不仅是系统风险(协方差)的测度,而且是风险的相对测度,即相对市场风险而言,因为市场组合的系统风险等于1。
·证券的β大于1,说明该证券的风险比市场风险高;证券的β小于1,说明该证券的风险比市场风险低。
·证券的β小于零,说明该证券收益率与市场收益率变化相反。这种情况通常在特殊时期如战争期间军工企业、SARS 爆发期间生产板蓝根或口罩的企业才会出现。
·投资组合的β,是投资组合内所有单个证券的β的加权平均,权数是投资于各个证券的资金比例。
那么,证券的β如何求得呢?通常是根据证券过去一段时间收益率的变化相对于市场收
益率变化来推算。
【例题6-1】下表给出过去某段时间三种投资产品收益率的波动区间。问:两只股票的β是多少?
市场组合收益率(%) 激进型股票收益率(%) 防守型股票收益率(%)
5 -2 6
25 38 12
解答:β是股票收益率变动对市场组合收益率变动的敏感程度,可以通过计算股票收益率差别除以市场组合收益率差别来推导,即:
βA =(-2-38) /(5-25) =2. 00 βB =(6-12) /(5-25) =0. 30
根据证券β的大小,可以采取相应的投资策略:
·当β大于1时,意味着该证券收益率的波动比整个市场收益率的波动要更大,这种属性的证券显然比较适合在“牛市”中投资,因为“牛市”中整个市场呈现不断上升的趋势,投资该证券将获得更高的收益率。
·当β小于1时,意味着该证券收益率的波动比整个市场收益率的波动要更小,这种属性的证券显然比较适合在“熊市”中投资,因为“熊市”中市场价格呈现不断下降的趋势,该证券价格下跌的幅度将小于市场整体水平,投资该证券的收益率相对市场收益率水平来说要更好一些。
这符合投资专家经常说的“牛市重势,熊市重质”的操作策略,即在牛市中应该买入价格上升势头良好的股票,而在熊市中要更加注重股票本身的质地。
但也有一些投资专家认为,利用证券的β进行投资可能并不如我们想象那么好,因为β的推演本身存在两个比较明显的缺陷:
·证券的β是不稳定的,不同时期可能有不同的β,且不同时期的β之间的相关程度很低,用历史β预测未来的β可能存在相当大的误差。
·证券的β与市场指数的选择密切相关,根据不同的市场指数所推导出的证券β差别较大,这使得β具有一定的主观性因素。
6.1.4 资本资产定价模型和证券市场线
如果投资者都持有充分分散化的投资组合,在市场均衡的条件下,从每个资产获得的每单位系统风险的风险溢价应该相等,即:
E (R 1) -R f
=
E (R 2) -R f
=... =
E (R n ) -R f
=
E (R M ) -R f
=E (R M ) -R f
β1β2βn βM
⇒E (R i ) =R f +βi [E (R M ) -R f ]
这就是著名的资本资产定价模型CAPM (capital asset pricing model)。资本资产定价模型认为,当市场处于均衡状态时,某种资产(或资产组合)的期望收益率是其贝塔值(β)的线性函数,即单个证券的期望收益率由无风险收益率和市场风险溢价两部分组成。
资本资产定价模型又可以写成:
预期收益率=无风险收益率+该证券的beta 值×市场风险溢价
若βi =0,则预期收益率即为R f ;若βi =1,则E (R i ) =E (R M ) .
如果将资本资产定价模型CAPM 用图表示在预期收益率(纵轴)和风险β(横轴)坐标下,其轨迹为一条直线,即为证券市场线SML (security market line ),如图6-2所示。在市场均衡条件下,任何资产或资产组合的预期收益率与风险β的关系都可用这条直线来表示,它反映了市场对系统风险的均衡定价。
R f
ß ß=1
图6-2 资本资产定价模型的图形表达
由于市场不总是处于均衡状态,投资者对某项资产的预期收益率往往与市场均衡时的合理收益率有差异,假设将这种差异定义为α,则可以利用α的符号对资产价格是被高估还是低估做出判断:
·当α大于零时,表明投资者的预期收益率比市场均衡时的合理收益率要高,即资产价格被低估了,因为只有价格被低估才能获得更高的收益率,投资者应该买进这项资产;
·当α小于零时,表明投资者的预期收益率比市场均衡时的合理收益率要低,即资产价格被高估了,因为只有价格被高估获得的收益率才低,投资者应该卖出这项资产;
·当α等于零时,表明投资者的预期收益率等于市场均衡时的合理收益率,即资产价格被合理定价,投资者可以市场合理价格进行买卖。
资产定价的合理性可以在证券市场线上更直观地感受到(见图6-3)。如合理定价的证券S A , S B 会落在证券市场线上,被低估的证券S D 会落在证券市场线上方,被高估的证券S G 会落在证券市场线下方。
实际报酬率 E (R G )
E (R D )+α1正常报酬率E (R D ) E (R B ) E (R A ) 2 R f
ßi ßA ßB ßD ßG
图6-3 证券定价合理性的直观表示
【例题6-2】假设过去两年市场的平均报酬率及无风险利率分别为12%和4%。投资基金
F 1的风险为1.6(=ß,实际报酬率为13.2%。投资基金F 2的风险为0.9(=ß,实际报酬1)2)
率为11.9%。问:两种基金的业绩哪个更好?
解答:根据资本资产定价模型,投资基金F 1的(正当)期望报酬率为:
E (R 1) =R f +β1[E (R M ) -R f ] =0.04+(0.12-0.04)(1.6)=13.8%
投资基金F 2的(正当)期望报酬率为:
E (R 2) =R f +β2[E (R M ) -R f ]=0.04+(0.12-0.04)(0.9)=11.2%
投资基金F 1的α1为:α1=13.2%-13.8%=-0.6%<0 投资基金F 2的α2为:α2=11.9%-11.2%=0.7%>0
故投资基金F 1的实际经营业绩并没有达到其应得的正当报酬率,低了0.6%,其经营成绩不好。投资基金F 2的实际经营业绩比应得的正当报酬率(11.2%)高出0.7%,故其业绩相对要好一些。
【例题6-3】有A 、B 、C 、D 四只股票,其基本情况如下表:
股票 当前价格(元) 预期一年后价格 预期红利(元) ß系数 A 21.00 24.00 0.65 0.80 B 19.00 20.04 1.24 0.70 C 54.00 60.00 0.21 1.10 D 22.00 22.286 0.00 -0.20
问:假设无风险利率为3%、市场平均收益率为11.6%时,哪些股票被高估?哪些被低估?
解答:根据E (R i ) =R f +βi [E (R M ) -R f ],可以计算出各个股票在CAPM 条件下的合理收益率分别为:
E (R A ) = 3%+(11.6%-3%)0.80=10% E (R B ) =3%+(11.6%-3%)0.70=9% E (R C ) =3%+(11.6%-3%)1.10=12.5% E (R D ) =3%+(11.6%-3%)(-0.20)0.70=1.3% 又根据持有期收益率的计算公式:
持有期收益率=一年后股票价格+期间红利-目前股票价格
目前股票价格
可以得到A 、B 、C 、D 四只股票的可能的持有期收益率分别为:
R A =(24.00+0.65-21.00)/21.00=17.4%
R B =(20.04+1.24-19.00)/19.00=12% R C =(60.00+0.21-54.00)/54.00=11.5% R D =(22.286+0.00-22.00)/22.00=1.3%
由于R A >E (R A ),R B >E (R B ),R C <E (R C ),R D = E (R D ),所以得到结论:股票A 和B 被低估,股票C 被高估,股票D 估值合理。
6.2 套利定价理论
一些投资专家认为,资本资产定价模型假定只有一个系统性风险因素影响股票收益,这种假设过于简单化了。实际上,我们知道,系统性风险因素包括的类型众多。基于上述考虑,一些投资专家从多因素的角度来考虑资产定价问题。
6.2.1 多因素模型
多因素模型认为,证券收益率受多个因素影响,可以用下面的公式表示: R =α+b 1F 1+b 2F 2+... +b m F m +ε 式中:R -证券的收益率;
F k -影响证券收益率的风险因素(k=1,2,„,m ), 通常是国内生产总值、通货膨
胀率、利率、国防开支增长率、石油价格变化率等;
ε-随机误差,且其与因素F 无关,E (ε) =0; α-待估系数;
b k -待估系数(k=1,2,„,m ), 是证券收益率R 对风险因素F k 的敏感度。 假设有n 种证券S 1、S 2、... S n 的一个投资组合为P =(X 1, X 2, „X n ), 每一种证券的收益率R i (i=1,2,„n )均服从多因素模型:
R i =αi +b i 1F 1+b i 2F 2+... +b im F m +εi
则证券组合P 也服从多因素模型:
n
n
R P =
n
∑
i =1
X i R i =
n
∑
i =1
X i (αi +b i 1F 1+b i 2F 2+... +b im F m +εi )
n
n
n
=
∑
i =1
X i αi +(∑X i b i 1) F 1+(∑X i b i 2) F 2+... +(∑X i b im ) F m +
i =1
i =1
i =1
∑
i =1
X i εi
=αP +b P 1F 1+b P 2F 2+... +b Pm F m +εP
6.2.2 套利与套利组合
套利(arbitrage )是套利定价理论的基础,是利用投资品定价的错误、价格联系的失常,买进价格被低估的证券,同时卖出价格被高估的证券来获取无风险利润的行为。
在一个高度竞争、流动性很强的投资市场中,套利机会一经发现,理性投资者就会采取套利行动,即低买高卖,推动相同证券在不同投资市场上,或同类证券在同一投资市场上的价格水平趋于一致。
在投资市场上,投资者的套利行为,是通过构建套利组合来实施的。套利组合(arbitrage portfolio )是指套利者可凭之获取无风险利润的一种证券组合。一个套利组合应该符合三个条件:套利者无需增加投资资金,无需承担任何额外风险,可以获取额外利润。具体如何进行套利,我们可以看看下面的实例。
【例题6-4】四种股票符合预期国内生产总值和预期通货膨胀率为因素的双因素模型,并具有如下表所示的预期收益率和敏感度: 证券品种 股票1 股票2 股票3 股票4
预期收益率
15% 21% 12% 8%
对预期国内生产总值的敏感度
0.9 3.0 1.8 2.0
对预期通货膨胀的敏感度
2.0 1.5 0.7 3.2
问:这些股票的定价是否处于均衡状态?
解答:假设可构建一个套利组合P =(X 1, X 2, X 3, X 4) , 并假定投资者原来持有由上述四种股票构成的一个投资组合N =(n 1, n 2, n 3, n 4) ,即这时新的投资组合为
(n 1+X 1, n 2+X 2, n 3+X 3, n 4+X 4) 。要实现套利,必须满足以下条件:
第一,投资者既不增加也不减少投入的总资金,即投资总额不变,由此可得:
⎧n 1+n 2+n 3+n 4=1
⇒X 1+X 2+X 3+X 4=0 ⎨
n +X +n +X +n +X +n +X =11223344⎩1
第二,新的投资组合承担的风险与原有投资组合承担的风险相等。投资组合承担的风险大小用对预期国内生产总值和预期通货膨胀率的敏感度来表示。原有组合对预期国内生产总值和预期通货膨胀率的敏感度分别为:
4
∑n b
i
i =14
i 1
=n 1b 11+n 2b 21+n 3b 31+n 4b 41
∑n b
i
i =1
i 2
=n 1b 12+n 2b 22+n 3b 32+n 4b 42
新组合对预期国内生产总值和预期通货膨胀率的敏感度分别为:
4
∑(n
i =1
i
+X i ) b i 1=(n 1+X 1) b 11+(n 2+X 2) b 21+(n 3+X 3) b 31+(n 4+X 4) b 41
4
∑(n
i =1
i
+X i ) b i 2=(n 1+X 1) b 12+(n 2+X 2) b 22+(n 3+X 3) b 32+(n 4+X 4) b 42
套利组合不增加投资风险,即原有组合和新组合对风险因素的敏感度不改变,由此可得:
4
4
i i 1
4
i
∑n b
i =14
=
∑(n
i =14
+X i ) b i 1⇒
∑b
i =14
i 1
X i =0
∑n b
i
i =1
i 2
=∑(n i +X i ) b i 2⇒
i =1
∑b
i =1
i 2
X i =0
可构成一个方程组:
⎧4
⎪∑b i 1X i =0
⎧b 11X 1+b 21X 2+b 31X 3+b 41X 4=0⎪i =1
⇒⎨⎨4
b X +b X +b X +b X =0222323424⎩211⎪b i 2X i =0∑⎪⎩i =1
第三,要满足
(n 1+X 1) E (R 1) +(n 2+X 2) E (R 2) +(n 3+X 3) E (R 3) +(n 4+X 4) E (R 4) > n 1E (R 1) +n 2E (R 2) +n 3E (R 3) +n 4E (R 4)
⇒X 1E (R 1) +X 2E (R 2) +X 3E (R 3) +X 4E (R 4) >0, 即套利后组合预期收益率要提高。由上面的第一和第二两个条件,将有关数据代入,可以得到下列方程组:
⎧X 1+X 2+X 3+X 4=0
⎪
⎨0. 9X 1+3X 2+1. 8X 3+2X 4=0
⎪2X +1. 5X +0. 7X +3. 2X =0
1234⎩
该方程组有四个未知数,三个方程,其有无穷多解。现假设股票S 1的资金比例增加0.1,即X 1=0.1,则可从上面的方程组中求得股票S 2、S 3、S 4的资金比例改变量即X 2=0.088、X 3=-0.108和X 4=-0.08。将上述资金比例改变量代入预期收益率的改变量得到: X 1E(R1)+X2E(R2)+X3E(R3)+ X4E(R4)
=0.1×15%+0.088×21%+(-0.108)×12%+(-0.08×8%)=1.41%>0
因此,原有证券的定价存在套利的可能,即这些证券之间处于非均衡状态。
6.2.3 套利定价理论
当存在套利机会时,套利者会采取套利组合持续进行套利。那么,这种套利行为什么时候才会结束呢?显然,当采取套利组合所获取的额外利润达到最大时,套利行为就会结束,这时市场也就达到了均衡。实际上,套利定价理论就是在额外利润达到最大化即投资市场均衡时的产品定价模型。套利定价理论APT (arbitrage pricing theory) 认为,在市场均衡条件下,投资产品的预期收益率等于无风险收益率加上m 种因素的风险报酬,即:
E (R ) =R f +[E (F 1) -R f ]b 1+[E (F 2) -R f ]b 2+... +[E (F m ) -R f ]b m
从上面公式可以看出,当假设影响证券收益率的因素只有市场风险时,该公式就成为资
本资产定价模型。可见,资本资产定价模型可以看成是套利定价理论的一个特例。
套利定价理论虽有可能更接近现实投资市场,但其存在一个重大缺陷,即,套利定价理
论没有明确影响证券产品定价的具体因素究竟是什么,这使得该理论的应用价值不如资本资
产定价模型。
【例题6-5】考虑如下一种特定股票收益的多因素证券收益模型:
因素 贝塔值 风险溢价(%)
通货膨胀 1.2 6
国内生产总值 0.5 8
石油价格 0.3 3
问:①在目前国库券提供6%的收益率,且市场认为该股票是公平定价的情况下,该股
票的预期收益率是多少?②假定三种宏观因素的市场预测值分别是5%、3%和2%,而实际值
是4%、6%和0。在这种情况下该股票修正后的预期收益率是多少?
解答:①根据套利定价模型公式可得:
E (R ) =R f +[E (F 1) -R f ]b 1+[E (F 2) -R f ]b 2+... +[E (F m ) -R f ]b m
=6%+1.2×6%+0.5×8%+0.3×3%=18.1%
故该股票的预期收益率是18.1%。
②宏观经济因素的意外变动将导致股票收益率的异常变动:
未预期到的收益率变动=1.2×(4-5)+0.5×(6-3)+0.3×(0-2)=-0.3%
故修正后该股票的预期收益率=18.1%-0.3%=17.8%
内容提要
⊙资本资产定价模型建立在一系列严格的假设条件下,其目的是将投资者同质化,以利于推
导出相应的结论。
⊙分离定理说明,投资者最优风险资产组合的确定与其偏好是分离的,投资者只需调整分配
于无风险资产与最优风险资产组合的资金比例,就可以形成符合自己偏好的具有一定收益和
风险水平的最优投资组合。
⊙资本市场线理论告诉我们,所有投资者都应该持有或多或少的市场组合,投资者的最优策
略是顺应市场。
⊙协方差可以作为证券产品系统风险大小的一个衡量指标。在协方差基础上引入的贝塔系
数,其不仅能够如协方差一样反映证券产品的系统风险,而且是一个对市场风险大小的相对
测量指标。
⊙资本资产定价模型显示,在市场达到均衡的情况下,风险产品的期望收益率由无风险收益
率和市场风险溢价两部分组成。资本资产定价模型的图表形式,就是证券市场线。证券市场
线能够更加直观地表达资本资产定价模型的思想和内涵。资本资产定价模型和证券市场线的
一个重要应用就是,评估证券产品的定价是被低估还是高估。
⊙多因素模型认为,影响证券产品收益率的因素有多个。这种假定更加符合现实经济情况。
⊙套利者通过套利组合进行套利。套利组合须满足不增加投入资金,不增加组合风险,能提
高组合预期收益率三个条件。套利有纠正产品定价错误的作用。套利机会转瞬即逝。
⊙在投资者持续套利,不断纠正市场定价错误的情形下,市场最终将达到所有的投资产品都
被正常定价,不存在套利机会的状态,也就是市场会达到均衡状态。这种均衡状态下的证券
产品的合理定价,就是套利定价理论。套利定价理论显示,在市场均衡条件下,投资产品的
预期收益率等于无风险收益率加上m 种因素的风险报酬。
关键概念
分离定理 市场组合 资本市场线 贝塔系数 资本资产定价模型 证券市场线
套利 套利组合 套利定价理论
问题和应用
1. 证券S 的贝塔值为1.5,无风险收益率为0.05,市场期望收益率为0.09,该证券的预期
收益率为0.11。根据资本资产定价模型,这个证券是被低估还是被高估或者是公平定价?
2. 投资者预期投资证券S 的收益率是0.10。假设该证券的贝塔值为1.1,无风险收益率为
0.05,市场预期收益率为0.08。问:该证券的阿尔法值是多少?
3. 你投资600元于证券S A ,其贝塔值为1.2;投资400元于证券S B ,其贝塔值为-0.2。问:
该资产组合的贝塔值是多少?
4. 某股票现在的售价是50元,年末将支付每股6元的红利。假设无风险收益率为0.05,市
场预期收益率为0.09该股票的贝塔值为1.2,问:预期在年末该股票的售价是多少?
5. 投资者购入某企业,其预期的永久现金流为1000元,但因有风险而不确定。在无风险收
益率为0.05,市场预期收益率为0.09的情况下,如果投资者认为该企业的贝塔值为0.5,
而贝塔值的实际值为1时,投资者愿意支付的金额比企业的实际价值高多少?
6. 市场组合的收益率为16%,无风险收益率为5%。如果某只股票被公平定价,且其收益率高
出无风险收益率的幅度为11%,问:该股票的贝塔值是多少?
7. 假定两个资产组合A 、B 都已经充分分散化,E (R A ) =12%, E (R B ) =9%, 如果影响经济
的因素只有一个,并且βA =1. 2,βB =0. 8。问:无风险利率是多少?
8. 股票A 的收益率受到两个风险因素影响,对因素F 1的贝塔值为1.4,对因素F 2的贝塔值
为0.8。如果股票A 的预期收益率为16.4%,因素F 1的风险溢价为3%,无风险收益率为6%,
且不存在套利机会,问:因素F 2的风险溢价是多少?
9. 理论界有人对资本资产定价模型提出批评,认为其假设前提与现实投资世界相去甚远。你
认为,这些假设前提中哪种假设在现实投资世界中最不可能满足?
第6章 风险定价理论
引导案例
指数基金为何能够独树一帜?
指数基金以获取所追踪的指数收益率为目标。牛市中,因为指数大幅度上涨,指数基金往往成为市场的最大赢家。如在2009年度,中国基金业绩排名显示,指数基金的平均业绩远远高于非指数基金,其中排名第一的基金是指数基金——深证100ETF 。而在熊市中,市场的普遍下跌,指数基金又成为“受伤”最重的基金。据WIND 资讯统计,截至2010年7月20日,最近半年指数基金业绩表现非常糟糕:48只有数据统计的指数基金中,跌幅最小的华夏中小板ETF 跌14.29%,跌幅最大的博时超大盘ETF 跌29.01%。
然而,只要超越市场的短期涨跌,放眼长远却不难发现,由于长期中能够打败指数基金的非指数基金的数量非常少,致使指数基金的生命力非常旺盛,指数基金在整个基金发展中扮演着越来越重要的角色。统计显示,全球指数基金的规模以平均每年20%的速度递增。中国投资市场指数基金的发展速度更是惊人,从2003年3月第一只指数基金——万家上证180(原“天同上证180指数基金”)获准发行,到截止2010年7月已经有近50只指数基金的规模。而且,这种发展呈现加速度的趋势,如仅在2009年,就有27只指数基金获准发行,超过历年指数基金发行数目的总和。
案例思考
指数基金为何能在“牛”“熊”不断交替的市场运行中独树一帜?理论上看,非指数基金因为既要面对一定的非系统风险又要面对系统风险,比仅需承担系统风险的指数基金承担的风险更大,理应获得更高的收益率。但现实情况却与此相去甚远。这似乎与我们认同的投资理念——高风险与高收益必须相匹配相悖?或者高风险高收益相匹配并不能做简单化的理解,其中必须对风险做进一步分析和研究?请在学习完本章的基础上,结合其他章节内容,回答上述问题。
证券收益率的高低与其对应的投资风险密切相关,而收益率和证券价格又紧密相联。因此,证券价格与证券风险必然存在内在的逻辑关系,这种逻辑关系就成为我们研究风险定价理论的基石。
组合投资理论显示,投资风险中的非系统风险可以通过充分分散的投资组合来消除,保留下来的都是系统性风险。因而投资时我们主要应该考虑系统风险,研究系统风险和证券收益率之间的关系。风险定价理论,就是基于上述想法而发展起来的一种定价理论。根据其应对的风险因素不同,风险定价理论分为资本资产定价模型和套利定价理论。
6.1 资本资产定价模型
资本资产定价模型以组合投资理论为基础,在一系列较为严格的假设条件下,将资产价格与其对应的系统风险相联系而发展起来的。资本资产定价模型克服了组合投资需要大量繁琐计算①的不便,为资产定价的合理性提供了一种便捷的价值判断标准,从而有助于投资者选择优质的投资资产。
6.1.1 资本资产定价模型的前提假设
和任何经济学理论一样,资本资产定价模型也需要建立在比较严格的假设条件下。这些假设条件包括:
·所有投资者都采用预期收益率和收益率的标准差来衡量资产的收益和风险;
·投资者都厌恶风险,即当面临其他条件相同的两种选择时,他们将选择具有较小标准差的投资组合;
·投资者永不满足,即当面临其他条件相同的两种选择时,他们将选择具有较高预期收益率的投资组合;
·每个投资者都是价格的接受者,其交易行为不会对证券价格产生实质性影响; ·每种资产都可以无限细分,即如果投资者愿意,其可以购买一个股份的一部分; ·投资者可以相同的无风险利率贷出(即投资)或借入资金; ·证券交易费用均忽略不计;
·所有投资者的投资期限都相同;
·市场信息是免费的,所有投资者都可以同时获得各种信息;
·投资者具有相同预期,即他们对预期收益率、标准差和协方差等具有相同的理解。 上述假设条件的核心在于,将不同的投资者同质化,分析时可以将注意力从单一的投资者如何投资转移到如果每个人采取同样的投资态度,证券价格将呈现什么状态,从而通过考察市场上所有投资者的集体行为,以获得每一种证券的风险和收益之间均衡关系的特征。
6.1.2 最优风险投资组合和分离定理
在上述假设条件下,结合前面的组合投资理论可知,一种无风险资产和多种风险资产构成组合时,可以得到切点组合M (见图5-7)。切点组合是投资者的最优风险投资组合,无论投资者的偏好如何,其在有效集射线CAL(M)上选定的适合其风险偏好的最优投资组合中,都包含着或多或少的最优风险投资组合。具体来看,这种选择过程如下:
·当投资者为低风险偏好者时,其选取的最优投资组合可能非常靠近F 点,如在CAL(M)射线上S 1处,表示投资者投资组合中无风险投资品占有相当大的比重,最优风险投资组合占有的比重非常低;
·当投资者为中等风险偏好者时,其选取的最优投资组合可能离F 点较远,更接近M 点,如在CAL(M)射线上S 2处,表示投资者投资组合中无风险投资品占有的比重较低,最优风险投资组合占有的比重较高;
·当投资者为高风险偏好者时,其选取的最优投资组合可能会超过M 点,如在CAL(M)射线上S 3处,表示投资者卖空无风险资产,也就是借钱,超过自有资金规模大量买进最优①
n 项资产构造组合时,需要计算n 个预期收益率,n 个收益率的标准差或方差,n(n-1)/2个协方差或相关系数,总共需要n(n+3)/2个独立信息。
风险投资组合。
这种投资者风险偏好与最优风险投资组合的确定相分离,投资者只需要调整分配于无风险资产与最优风险资产组合的资金比例,就可以形成符合自身偏好的具有一定收益和风险水平的最优投资组合,就被称为分离定理(separation theorem)。
分离定理虽然看起来很抽象、理论性也较强,但其对现实投资却有着较强的指导作用,至少我们可以在下面两点上有所体会:
·投资产品本身风险的大小不再是影响我们投资决策的重要因素,例如,我们不再需要将股票界定为适合中高风险偏好者的投资产品,将债券设定为适合低风险偏好者的投资产品,任何投资产品都是你可以尝试的投资对象。
·控制投资风险的重要手段就是适时调节账户中现金比例。当市场风险较大时,应该多持有现金,反之,就应该多持有股票等风险资产。这要求投资者避免出现一种错误操作倾向——满仓操作,即在任何时刻账户中只有股票等风险资产而没有现金。
6.1.3 市场组合及资本市场线
最优风险投资组合如此重要,那么,它又是如何构成的呢?在市场均衡的条件下,最优风险投资组合的构造非常简单,它既要包括所有的风险投资品,又要使各风险投资品的资金分配比例等于各风险投资品的市值与市场上全部风险投资品总市值之比。否则,市场均衡必然会被打破。这究竟是一种什么样的组合呢?包括所有风险投资品,且资金比例要与各投资品的相对市场价值相一致,这难度不就是现实投资市场的一个缩影吗?实际就是如此,最优风险投资组合就是市场组合( Market Portfolio),即与整个市场上风险证券的市值比例一致的风险证券组合。
市场组合一般用M 表示,是一个非常重要的概念,在资本资产定价模型中扮演着重要角色。尽管其是一个抽象概念,在实践中也很难进行操作,但是在现实的投资市场上确实存在着体现其变化的某些重要替代品,比如上海交易所的上证指数、深圳交易所的深圳综合指数、沪深300指数等。由于编制股票价格指数时,一般都考虑了入选股票的代表性与广泛性,因此覆盖面较广的股票价格指数所对应的投资组合比较合理地反映了市场组合的大部分信息,可以作为市场组合的近似替代。
在市场组合的基础上,我们可以推导出资本市场线这个重要概念。记市场组合的期望收益率为E (R M ) ,风险为σM ,在平面(σP , E (R M )) 内为M 点,无风险证券收益率R f (是常数)在平面(σP , E (R M )) 内为F 点,则连接M 和F 的直线通常被称为资本市场线(Capital Market Line ,简称为CML )(见图6-1),它反映投资者从资本市场上所能获得的所有有效证券组合的点集。
E (R P )
E (R
P
根据直线方程的公式,很容易推导CML 的方程为:
E (R P ) =R f +
E (R M ) -R f
⨯σP
σM
在资本市场线上,选择在线段FM 上进行投资的投资者,其投资组合的一部分是无风险资产或以无风险利率借出资金,另外一部分是市场组合;选择在M 点以上进行投资的投资者,是以无风险利率借入资金,以超过其所有财富的资金投资于市场组合M 。
资本市场线是对分离定理的拓展,其进一步明确了一种行之有效的投资策略——顺应市场,即在庞大的市场力量面前,最好的策略就是投资于广为市场接受的投资组合——市场组合。我们在第一章即投资大视野中就阐述了顺应市场这种观点,资本市场线理论又进一步强化了这种观点。对此,我们必须给予高度的重视。
6.1.3 反映系统风险的协方差和β
两种证券组合的协方差可以在一定程度上折射出系统风险的大小。当两种证券中有一种是市场组合时,两者构成组合的协方差反映因市场组合收益率变动而对另外一只证券收益率的影响,这就是我们所说的系统风险。
另外,根据有关公式可以推导出:
σM =X 1σ1M +X 2σ2M +... +X n σnM
2
上式表明,市场组合的方差等于所有投资品与市场组合的协方差的加权平均,也就是说,市场风险可以分解为任意一种风险投资品收益率与市场组合收益率相互影响大小的加权平均。对上式两边除以σM 可得:
1=X 1
2
σ1M σ
2M
+X 2
σ2M σ
2M
+... +X n
σnM σ
2M
上式的实际意义可以解释为,市场风险是每个投资品对市场风险的相对影响的加权平均。我们将投资品收益率变动对市场风险的相对影响,或者说市场风险对投资品收益率的影响占整个市场风险的相对大小,即
σiM σ
2
M
称为贝塔系数(beta coefficient ),通常用β表示。
实际上,β就成为测算某种证券系统风险大小的一种指标。
理解贝塔系数这个重要概念需注意:
·β不仅是系统风险(协方差)的测度,而且是风险的相对测度,即相对市场风险而言,因为市场组合的系统风险等于1。
·证券的β大于1,说明该证券的风险比市场风险高;证券的β小于1,说明该证券的风险比市场风险低。
·证券的β小于零,说明该证券收益率与市场收益率变化相反。这种情况通常在特殊时期如战争期间军工企业、SARS 爆发期间生产板蓝根或口罩的企业才会出现。
·投资组合的β,是投资组合内所有单个证券的β的加权平均,权数是投资于各个证券的资金比例。
那么,证券的β如何求得呢?通常是根据证券过去一段时间收益率的变化相对于市场收
益率变化来推算。
【例题6-1】下表给出过去某段时间三种投资产品收益率的波动区间。问:两只股票的β是多少?
市场组合收益率(%) 激进型股票收益率(%) 防守型股票收益率(%)
5 -2 6
25 38 12
解答:β是股票收益率变动对市场组合收益率变动的敏感程度,可以通过计算股票收益率差别除以市场组合收益率差别来推导,即:
βA =(-2-38) /(5-25) =2. 00 βB =(6-12) /(5-25) =0. 30
根据证券β的大小,可以采取相应的投资策略:
·当β大于1时,意味着该证券收益率的波动比整个市场收益率的波动要更大,这种属性的证券显然比较适合在“牛市”中投资,因为“牛市”中整个市场呈现不断上升的趋势,投资该证券将获得更高的收益率。
·当β小于1时,意味着该证券收益率的波动比整个市场收益率的波动要更小,这种属性的证券显然比较适合在“熊市”中投资,因为“熊市”中市场价格呈现不断下降的趋势,该证券价格下跌的幅度将小于市场整体水平,投资该证券的收益率相对市场收益率水平来说要更好一些。
这符合投资专家经常说的“牛市重势,熊市重质”的操作策略,即在牛市中应该买入价格上升势头良好的股票,而在熊市中要更加注重股票本身的质地。
但也有一些投资专家认为,利用证券的β进行投资可能并不如我们想象那么好,因为β的推演本身存在两个比较明显的缺陷:
·证券的β是不稳定的,不同时期可能有不同的β,且不同时期的β之间的相关程度很低,用历史β预测未来的β可能存在相当大的误差。
·证券的β与市场指数的选择密切相关,根据不同的市场指数所推导出的证券β差别较大,这使得β具有一定的主观性因素。
6.1.4 资本资产定价模型和证券市场线
如果投资者都持有充分分散化的投资组合,在市场均衡的条件下,从每个资产获得的每单位系统风险的风险溢价应该相等,即:
E (R 1) -R f
=
E (R 2) -R f
=... =
E (R n ) -R f
=
E (R M ) -R f
=E (R M ) -R f
β1β2βn βM
⇒E (R i ) =R f +βi [E (R M ) -R f ]
这就是著名的资本资产定价模型CAPM (capital asset pricing model)。资本资产定价模型认为,当市场处于均衡状态时,某种资产(或资产组合)的期望收益率是其贝塔值(β)的线性函数,即单个证券的期望收益率由无风险收益率和市场风险溢价两部分组成。
资本资产定价模型又可以写成:
预期收益率=无风险收益率+该证券的beta 值×市场风险溢价
若βi =0,则预期收益率即为R f ;若βi =1,则E (R i ) =E (R M ) .
如果将资本资产定价模型CAPM 用图表示在预期收益率(纵轴)和风险β(横轴)坐标下,其轨迹为一条直线,即为证券市场线SML (security market line ),如图6-2所示。在市场均衡条件下,任何资产或资产组合的预期收益率与风险β的关系都可用这条直线来表示,它反映了市场对系统风险的均衡定价。
R f
ß ß=1
图6-2 资本资产定价模型的图形表达
由于市场不总是处于均衡状态,投资者对某项资产的预期收益率往往与市场均衡时的合理收益率有差异,假设将这种差异定义为α,则可以利用α的符号对资产价格是被高估还是低估做出判断:
·当α大于零时,表明投资者的预期收益率比市场均衡时的合理收益率要高,即资产价格被低估了,因为只有价格被低估才能获得更高的收益率,投资者应该买进这项资产;
·当α小于零时,表明投资者的预期收益率比市场均衡时的合理收益率要低,即资产价格被高估了,因为只有价格被高估获得的收益率才低,投资者应该卖出这项资产;
·当α等于零时,表明投资者的预期收益率等于市场均衡时的合理收益率,即资产价格被合理定价,投资者可以市场合理价格进行买卖。
资产定价的合理性可以在证券市场线上更直观地感受到(见图6-3)。如合理定价的证券S A , S B 会落在证券市场线上,被低估的证券S D 会落在证券市场线上方,被高估的证券S G 会落在证券市场线下方。
实际报酬率 E (R G )
E (R D )+α1正常报酬率E (R D ) E (R B ) E (R A ) 2 R f
ßi ßA ßB ßD ßG
图6-3 证券定价合理性的直观表示
【例题6-2】假设过去两年市场的平均报酬率及无风险利率分别为12%和4%。投资基金
F 1的风险为1.6(=ß,实际报酬率为13.2%。投资基金F 2的风险为0.9(=ß,实际报酬1)2)
率为11.9%。问:两种基金的业绩哪个更好?
解答:根据资本资产定价模型,投资基金F 1的(正当)期望报酬率为:
E (R 1) =R f +β1[E (R M ) -R f ] =0.04+(0.12-0.04)(1.6)=13.8%
投资基金F 2的(正当)期望报酬率为:
E (R 2) =R f +β2[E (R M ) -R f ]=0.04+(0.12-0.04)(0.9)=11.2%
投资基金F 1的α1为:α1=13.2%-13.8%=-0.6%<0 投资基金F 2的α2为:α2=11.9%-11.2%=0.7%>0
故投资基金F 1的实际经营业绩并没有达到其应得的正当报酬率,低了0.6%,其经营成绩不好。投资基金F 2的实际经营业绩比应得的正当报酬率(11.2%)高出0.7%,故其业绩相对要好一些。
【例题6-3】有A 、B 、C 、D 四只股票,其基本情况如下表:
股票 当前价格(元) 预期一年后价格 预期红利(元) ß系数 A 21.00 24.00 0.65 0.80 B 19.00 20.04 1.24 0.70 C 54.00 60.00 0.21 1.10 D 22.00 22.286 0.00 -0.20
问:假设无风险利率为3%、市场平均收益率为11.6%时,哪些股票被高估?哪些被低估?
解答:根据E (R i ) =R f +βi [E (R M ) -R f ],可以计算出各个股票在CAPM 条件下的合理收益率分别为:
E (R A ) = 3%+(11.6%-3%)0.80=10% E (R B ) =3%+(11.6%-3%)0.70=9% E (R C ) =3%+(11.6%-3%)1.10=12.5% E (R D ) =3%+(11.6%-3%)(-0.20)0.70=1.3% 又根据持有期收益率的计算公式:
持有期收益率=一年后股票价格+期间红利-目前股票价格
目前股票价格
可以得到A 、B 、C 、D 四只股票的可能的持有期收益率分别为:
R A =(24.00+0.65-21.00)/21.00=17.4%
R B =(20.04+1.24-19.00)/19.00=12% R C =(60.00+0.21-54.00)/54.00=11.5% R D =(22.286+0.00-22.00)/22.00=1.3%
由于R A >E (R A ),R B >E (R B ),R C <E (R C ),R D = E (R D ),所以得到结论:股票A 和B 被低估,股票C 被高估,股票D 估值合理。
6.2 套利定价理论
一些投资专家认为,资本资产定价模型假定只有一个系统性风险因素影响股票收益,这种假设过于简单化了。实际上,我们知道,系统性风险因素包括的类型众多。基于上述考虑,一些投资专家从多因素的角度来考虑资产定价问题。
6.2.1 多因素模型
多因素模型认为,证券收益率受多个因素影响,可以用下面的公式表示: R =α+b 1F 1+b 2F 2+... +b m F m +ε 式中:R -证券的收益率;
F k -影响证券收益率的风险因素(k=1,2,„,m ), 通常是国内生产总值、通货膨
胀率、利率、国防开支增长率、石油价格变化率等;
ε-随机误差,且其与因素F 无关,E (ε) =0; α-待估系数;
b k -待估系数(k=1,2,„,m ), 是证券收益率R 对风险因素F k 的敏感度。 假设有n 种证券S 1、S 2、... S n 的一个投资组合为P =(X 1, X 2, „X n ), 每一种证券的收益率R i (i=1,2,„n )均服从多因素模型:
R i =αi +b i 1F 1+b i 2F 2+... +b im F m +εi
则证券组合P 也服从多因素模型:
n
n
R P =
n
∑
i =1
X i R i =
n
∑
i =1
X i (αi +b i 1F 1+b i 2F 2+... +b im F m +εi )
n
n
n
=
∑
i =1
X i αi +(∑X i b i 1) F 1+(∑X i b i 2) F 2+... +(∑X i b im ) F m +
i =1
i =1
i =1
∑
i =1
X i εi
=αP +b P 1F 1+b P 2F 2+... +b Pm F m +εP
6.2.2 套利与套利组合
套利(arbitrage )是套利定价理论的基础,是利用投资品定价的错误、价格联系的失常,买进价格被低估的证券,同时卖出价格被高估的证券来获取无风险利润的行为。
在一个高度竞争、流动性很强的投资市场中,套利机会一经发现,理性投资者就会采取套利行动,即低买高卖,推动相同证券在不同投资市场上,或同类证券在同一投资市场上的价格水平趋于一致。
在投资市场上,投资者的套利行为,是通过构建套利组合来实施的。套利组合(arbitrage portfolio )是指套利者可凭之获取无风险利润的一种证券组合。一个套利组合应该符合三个条件:套利者无需增加投资资金,无需承担任何额外风险,可以获取额外利润。具体如何进行套利,我们可以看看下面的实例。
【例题6-4】四种股票符合预期国内生产总值和预期通货膨胀率为因素的双因素模型,并具有如下表所示的预期收益率和敏感度: 证券品种 股票1 股票2 股票3 股票4
预期收益率
15% 21% 12% 8%
对预期国内生产总值的敏感度
0.9 3.0 1.8 2.0
对预期通货膨胀的敏感度
2.0 1.5 0.7 3.2
问:这些股票的定价是否处于均衡状态?
解答:假设可构建一个套利组合P =(X 1, X 2, X 3, X 4) , 并假定投资者原来持有由上述四种股票构成的一个投资组合N =(n 1, n 2, n 3, n 4) ,即这时新的投资组合为
(n 1+X 1, n 2+X 2, n 3+X 3, n 4+X 4) 。要实现套利,必须满足以下条件:
第一,投资者既不增加也不减少投入的总资金,即投资总额不变,由此可得:
⎧n 1+n 2+n 3+n 4=1
⇒X 1+X 2+X 3+X 4=0 ⎨
n +X +n +X +n +X +n +X =11223344⎩1
第二,新的投资组合承担的风险与原有投资组合承担的风险相等。投资组合承担的风险大小用对预期国内生产总值和预期通货膨胀率的敏感度来表示。原有组合对预期国内生产总值和预期通货膨胀率的敏感度分别为:
4
∑n b
i
i =14
i 1
=n 1b 11+n 2b 21+n 3b 31+n 4b 41
∑n b
i
i =1
i 2
=n 1b 12+n 2b 22+n 3b 32+n 4b 42
新组合对预期国内生产总值和预期通货膨胀率的敏感度分别为:
4
∑(n
i =1
i
+X i ) b i 1=(n 1+X 1) b 11+(n 2+X 2) b 21+(n 3+X 3) b 31+(n 4+X 4) b 41
4
∑(n
i =1
i
+X i ) b i 2=(n 1+X 1) b 12+(n 2+X 2) b 22+(n 3+X 3) b 32+(n 4+X 4) b 42
套利组合不增加投资风险,即原有组合和新组合对风险因素的敏感度不改变,由此可得:
4
4
i i 1
4
i
∑n b
i =14
=
∑(n
i =14
+X i ) b i 1⇒
∑b
i =14
i 1
X i =0
∑n b
i
i =1
i 2
=∑(n i +X i ) b i 2⇒
i =1
∑b
i =1
i 2
X i =0
可构成一个方程组:
⎧4
⎪∑b i 1X i =0
⎧b 11X 1+b 21X 2+b 31X 3+b 41X 4=0⎪i =1
⇒⎨⎨4
b X +b X +b X +b X =0222323424⎩211⎪b i 2X i =0∑⎪⎩i =1
第三,要满足
(n 1+X 1) E (R 1) +(n 2+X 2) E (R 2) +(n 3+X 3) E (R 3) +(n 4+X 4) E (R 4) > n 1E (R 1) +n 2E (R 2) +n 3E (R 3) +n 4E (R 4)
⇒X 1E (R 1) +X 2E (R 2) +X 3E (R 3) +X 4E (R 4) >0, 即套利后组合预期收益率要提高。由上面的第一和第二两个条件,将有关数据代入,可以得到下列方程组:
⎧X 1+X 2+X 3+X 4=0
⎪
⎨0. 9X 1+3X 2+1. 8X 3+2X 4=0
⎪2X +1. 5X +0. 7X +3. 2X =0
1234⎩
该方程组有四个未知数,三个方程,其有无穷多解。现假设股票S 1的资金比例增加0.1,即X 1=0.1,则可从上面的方程组中求得股票S 2、S 3、S 4的资金比例改变量即X 2=0.088、X 3=-0.108和X 4=-0.08。将上述资金比例改变量代入预期收益率的改变量得到: X 1E(R1)+X2E(R2)+X3E(R3)+ X4E(R4)
=0.1×15%+0.088×21%+(-0.108)×12%+(-0.08×8%)=1.41%>0
因此,原有证券的定价存在套利的可能,即这些证券之间处于非均衡状态。
6.2.3 套利定价理论
当存在套利机会时,套利者会采取套利组合持续进行套利。那么,这种套利行为什么时候才会结束呢?显然,当采取套利组合所获取的额外利润达到最大时,套利行为就会结束,这时市场也就达到了均衡。实际上,套利定价理论就是在额外利润达到最大化即投资市场均衡时的产品定价模型。套利定价理论APT (arbitrage pricing theory) 认为,在市场均衡条件下,投资产品的预期收益率等于无风险收益率加上m 种因素的风险报酬,即:
E (R ) =R f +[E (F 1) -R f ]b 1+[E (F 2) -R f ]b 2+... +[E (F m ) -R f ]b m
从上面公式可以看出,当假设影响证券收益率的因素只有市场风险时,该公式就成为资
本资产定价模型。可见,资本资产定价模型可以看成是套利定价理论的一个特例。
套利定价理论虽有可能更接近现实投资市场,但其存在一个重大缺陷,即,套利定价理
论没有明确影响证券产品定价的具体因素究竟是什么,这使得该理论的应用价值不如资本资
产定价模型。
【例题6-5】考虑如下一种特定股票收益的多因素证券收益模型:
因素 贝塔值 风险溢价(%)
通货膨胀 1.2 6
国内生产总值 0.5 8
石油价格 0.3 3
问:①在目前国库券提供6%的收益率,且市场认为该股票是公平定价的情况下,该股
票的预期收益率是多少?②假定三种宏观因素的市场预测值分别是5%、3%和2%,而实际值
是4%、6%和0。在这种情况下该股票修正后的预期收益率是多少?
解答:①根据套利定价模型公式可得:
E (R ) =R f +[E (F 1) -R f ]b 1+[E (F 2) -R f ]b 2+... +[E (F m ) -R f ]b m
=6%+1.2×6%+0.5×8%+0.3×3%=18.1%
故该股票的预期收益率是18.1%。
②宏观经济因素的意外变动将导致股票收益率的异常变动:
未预期到的收益率变动=1.2×(4-5)+0.5×(6-3)+0.3×(0-2)=-0.3%
故修正后该股票的预期收益率=18.1%-0.3%=17.8%
内容提要
⊙资本资产定价模型建立在一系列严格的假设条件下,其目的是将投资者同质化,以利于推
导出相应的结论。
⊙分离定理说明,投资者最优风险资产组合的确定与其偏好是分离的,投资者只需调整分配
于无风险资产与最优风险资产组合的资金比例,就可以形成符合自己偏好的具有一定收益和
风险水平的最优投资组合。
⊙资本市场线理论告诉我们,所有投资者都应该持有或多或少的市场组合,投资者的最优策
略是顺应市场。
⊙协方差可以作为证券产品系统风险大小的一个衡量指标。在协方差基础上引入的贝塔系
数,其不仅能够如协方差一样反映证券产品的系统风险,而且是一个对市场风险大小的相对
测量指标。
⊙资本资产定价模型显示,在市场达到均衡的情况下,风险产品的期望收益率由无风险收益
率和市场风险溢价两部分组成。资本资产定价模型的图表形式,就是证券市场线。证券市场
线能够更加直观地表达资本资产定价模型的思想和内涵。资本资产定价模型和证券市场线的
一个重要应用就是,评估证券产品的定价是被低估还是高估。
⊙多因素模型认为,影响证券产品收益率的因素有多个。这种假定更加符合现实经济情况。
⊙套利者通过套利组合进行套利。套利组合须满足不增加投入资金,不增加组合风险,能提
高组合预期收益率三个条件。套利有纠正产品定价错误的作用。套利机会转瞬即逝。
⊙在投资者持续套利,不断纠正市场定价错误的情形下,市场最终将达到所有的投资产品都
被正常定价,不存在套利机会的状态,也就是市场会达到均衡状态。这种均衡状态下的证券
产品的合理定价,就是套利定价理论。套利定价理论显示,在市场均衡条件下,投资产品的
预期收益率等于无风险收益率加上m 种因素的风险报酬。
关键概念
分离定理 市场组合 资本市场线 贝塔系数 资本资产定价模型 证券市场线
套利 套利组合 套利定价理论
问题和应用
1. 证券S 的贝塔值为1.5,无风险收益率为0.05,市场期望收益率为0.09,该证券的预期
收益率为0.11。根据资本资产定价模型,这个证券是被低估还是被高估或者是公平定价?
2. 投资者预期投资证券S 的收益率是0.10。假设该证券的贝塔值为1.1,无风险收益率为
0.05,市场预期收益率为0.08。问:该证券的阿尔法值是多少?
3. 你投资600元于证券S A ,其贝塔值为1.2;投资400元于证券S B ,其贝塔值为-0.2。问:
该资产组合的贝塔值是多少?
4. 某股票现在的售价是50元,年末将支付每股6元的红利。假设无风险收益率为0.05,市
场预期收益率为0.09该股票的贝塔值为1.2,问:预期在年末该股票的售价是多少?
5. 投资者购入某企业,其预期的永久现金流为1000元,但因有风险而不确定。在无风险收
益率为0.05,市场预期收益率为0.09的情况下,如果投资者认为该企业的贝塔值为0.5,
而贝塔值的实际值为1时,投资者愿意支付的金额比企业的实际价值高多少?
6. 市场组合的收益率为16%,无风险收益率为5%。如果某只股票被公平定价,且其收益率高
出无风险收益率的幅度为11%,问:该股票的贝塔值是多少?
7. 假定两个资产组合A 、B 都已经充分分散化,E (R A ) =12%, E (R B ) =9%, 如果影响经济
的因素只有一个,并且βA =1. 2,βB =0. 8。问:无风险利率是多少?
8. 股票A 的收益率受到两个风险因素影响,对因素F 1的贝塔值为1.4,对因素F 2的贝塔值
为0.8。如果股票A 的预期收益率为16.4%,因素F 1的风险溢价为3%,无风险收益率为6%,
且不存在套利机会,问:因素F 2的风险溢价是多少?
9. 理论界有人对资本资产定价模型提出批评,认为其假设前提与现实投资世界相去甚远。你
认为,这些假设前提中哪种假设在现实投资世界中最不可能满足?