将军饮马问题及轴对称

轴对称及“将军饮马”问题

【例 1】 下列”QQ表情”中属于轴对称图形的是( )

D．

A． B． C．

【解析】 C

【例 2】 (09湖南株洲)下列四个图形中，不是轴对称图形的是( )

A．

【解析】 Ｄ

B． C． D．

【例 3】 如图，它们都是对称图形，请观察并指出哪些是轴对称图形，哪些图形成轴对称．

【解析】 轴对称图形：1，3，4，6，8，10

成轴对称的图形有：2，5，7，9

【例 4】 (09黑龙江哈尔滨)下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )

【解析】 D

【例 5】 (2003四川)我国主要银行的商标设计基本上都融入了中国古代钱币的图案，下列我国四大银行的商

标图案中是轴对称图形而不是中心对称图形的是( )

【解析】 C

【例 6】 (2003北京市海淀区)羊年话”羊”字象征着美好和吉祥，•下列图案都与”羊”字有关，其中是轴对称图

形的个数是( )

A．1； B．2； B．3； D．4 【解析】 B 【

【例 7】 (上海)正六边形是轴对称图形，它有 条对称轴．

6．点拨：可以画出例图进行分析，明确正n边形有n条对称轴． 【解析】

【例 8】 作出下图所示的图形的对称轴：

【解析】 答案见右上图．

【例 9】 求作线段AB的垂直平分线

A

B

【解析】 略

【例10】 已知：如图，ABC及两点M、N．求作：点P，使得PMPN，且P点到ABC两边所在的直

线的距离相等．

C

【解析】 因为是两边所在的直线，所以有两个答案．

答案一：ABC内角平分线与线段MN的垂直平分线的交点

C

答案二：ABC外角平分线与线段MN的垂直平分线的交点

C

【例11】 (2003长沙)如图，请根据小文在镜中的像写出他的运动衣上的实际号码：_______．

【解析】 108

ACBD ③AOOC ④ABBC，其中正确的结论有_______．

D

【例12】 (2004河南)如图，直线l是四边形ABCD的对称轴，若ABCD，有下面的结论：①AB∥CD ②

l

OB

【解析】 ①②③

【例13】 (2003南宁市)尺规：把右图(实线部分)补成以虚线L为对称轴的轴对称图形，你会得到一只美丽蝴

蝶的图案(不用写作法、保留作图痕迹)．

【解析】 答案见右上图．

板块二、轴对称的应用

【例14】 如图，ABC和A'B'C'关于直线l对称，且B90，A'B'6cm，求B'的度数和AB的长．

LA'

A

B

B'

【解析】 ∵ABC和A'B'C'关于直线l成轴对称

∴BB'，ABA'B'；又 ∵B90，A'B'6cm

∴B'90，AB6cm．

【例15】 如图，有一块三角形田地，ABAC10cm，作AB的垂直平分线ED交AC于D，交AB于E，量

得BDC的周长为17m，请你替测量人员计算BC的长．

【解析】 ∵ED垂直平分AB ∴DADB，

∵BDDCBC17m， ∴ADDCBC17m

∵AC10m，

∴BC7m．

【例16】 如图，已知AOB40，CD为OA的垂直平分线，求ACB的度数．

A

D

O

C

B

【解析】 ∵CD垂直平分OA ∴COCA ∴OA ∵O40 ∴A40

∴ACBAO80．

【例17】 (2004陕西)已知：如图，在ABC中，ABBC2，ABC120，BC平行于x轴，点B•的坐

标是(3,1)．

⑴画出ABC关于y轴对称的A'B'C'；

⑵求以点A、B、B'、A'为顶点的四边形的面积．

【解析】 ⑴画图正确

⑵过A点作ADBC，交BC的延长线于点D，则 ABD180ABC60， 在RtABD中，

1

＝1 2 AD＝AB·sin∠ABD=2

BD＝AB·cos∠ABD＝2× 又知点B的坐标为(-3，1) 1 可得点A

的坐标为4，

 ∵AA'y轴，BB'y轴 ∴AA'∥BB'

∵AB与A'B'不平行

B，B'，A'为顶点的四边形是等腰梯形 ∴以点A，

由点A、B的坐标可求得

BB'236 AA'248， ∴梯形ABB'A'的面积＝

11

(AA′+BB′)·AD＝×(8+6)

22

板块三、轴对称在几何最值问题中的应用

【例18】 已知点A在直线l外，点P为直线l上的一个动点，探究是否存在一个定点B，当点P在直线l上运

动时，点P与A、B两点的距离总相等，如果存在，请作出定点B；若不存在，请说明理由．

【解析】 点B与点A重合，或者点B是点A关于直线l的对称点．

最短，这个中转站M应建在公路旁的哪个位置比较合理？

【例19】 如图，在公路a的同旁有两个仓库A、B，现需要建一货物中转站，要求到A、B两仓库的距离和

a

【解析】 答案见右上图．

【例20】 (”五羊杯”邀请赛试题)如图，AOB45，角内有点P，在角的两边有两点Q、R(均不同于O

点)，求作Q、R，使得PQR的周长的最小．

B

B

【解析】 见右上图．

【例21】 (2000年全国数学联赛)如图，设正ABC的边长为2，M是AB边上的中点，P是BC边上的任意

一点，PAPM的最大值和最小值分别记为s和t．求s2t2的值．

A

A

M

M

B

P

C

M'

【解析】 作点M关于BC的对称点M'，连接AM'、PM'． 由点M、M'关于BC对称可知，PMPM'． 故PAPMPAPM'≥AM'

当且仅当A、P、M'共线时，等号成立，故t2(AM')27． 另外两个临界位置在点B和点C处．

当点P位于点C处时，PAPMACCM2 当点P位于点B处时，PAPMABBM3．

B

P

C

故s2(227，s2t2

本题也可作点A关于BC的对称点A'，连接A'M、PA'．

【例22】 已知如图，点M在锐角AOB的内部，在OB边上求作一点P，使点P到点M的距离与点P到OA的

边的距离和最小．

O

O

【解析】 见右上图．

【例23】 已知：A、B两点在直线l的同侧， 在l上求作一点M，使得|AMBM|最小．

【解析】 见右上图．

【例24】 (07年三帆中学期中试题)如图，正方形ABCD中，AB8，M是DC上的一点，且DM2，N是

AC上的一动点，求DNMN的最小值与最大值．

ADM

N

ADM

BC

BC

【解析】 找点D关于AC的对称点，

由正方形的性质可知，B就是点D关于AC的对称点， 连接BN、BM，由DNMNBNMNBM可知，

当且仅当B、N、M三点共线时，DN

MN10． 当点N在AC上移动时，有三个特殊的位置我们要考察：

BM与AC的交点，即DNMN取最小值时；

当点N位于点A

时，DNMNADAM8

当点N位于点C时，DNMNCDCM8614．故DN

MN的最大值为8

【例25】 (2004郸县改编)某供电部门准备在输电主干线l上连接一个分支线路同时向新落成的A、B两个居

民小区送电，分支点为M，已知居民小区A、B到主干线l的距离分别为AA12千米，BB12千

米，且A1B14千米．

⑴ 居民小区A、B在主干线l的两旁如图⑴所示，那么分支点M在什么地方时总线路最短？最短线路的长度是多少千米？ ⑵ 如果居民小区A、B在主干线l的同旁，如图⑵所示，那么分支点M在什么地方时总线路最短？此时分支点M与A1距离多少千米？

lBB

A

A

B

lB1

A1(1)

(2)

A1

lB1

B

A

1

M

A

A1

MB

l1

B2

l【解析】 ⑴ 连结AB，AB与的交点就是所求的分支点M，分支点开在此处总线路最短，

如图，因为BB1MAA1M90，BMB1AMA1．

所以B1BM≌A1AM． 所以A1M2．

由勾股定理，得AMBM

ABAMBMM在线段A1B1上距A

点

⑵ 如图，作B点关于直线l的对称点B2，连结AB2交直线l于点M，此处即为分支点，由图可知，A1M

的长度为2千米．

点拨：在解本题时，应注意线段最短，在第⑵问中也可以先画A点的对称点A2．

【例26】 (09山东临沂)如图，A，B是公路l(l为东西走向)两旁的两个村庄，A村到公路l的距离AC1km，

B村到公路l的距离BD2km，B村在A村的南偏东45方向上． ⑴ 求出A，B两村之间的距离； ⑵ 为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P的位置(保留清晰的作图痕迹，简明书写作法)．

东

C

P

B

l

【解析】 ⑴ 方法一：设AB与CD的交点为O，根据题意可得AB45．

∴ACO和BDO都是等腰直角三角形．

∴AO

BO

∴A，

B两村的距离为ABAOBOkm

方法二：过点B作直线l的平行线交AC的延长线于E．易证四边形CDBE是矩形， ∴CEBD2．

在RtAEB中，由A45，可得BEEA3．

ABkm

∴A，

B两村的距离为． ⑵ 作图正确，痕迹清晰．

1

作法：①分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，

2

两弧交于两点M，N，作直线MN； ②直线MN交l于点P，点P即为所求．

轴对称及“将军饮马”问题

【例 1】 下列”QQ表情”中属于轴对称图形的是( )

D．

A． B． C．

【解析】 C

【例 2】 (09湖南株洲)下列四个图形中，不是轴对称图形的是( )

A．

【解析】 Ｄ

B． C． D．

【例 3】 如图，它们都是对称图形，请观察并指出哪些是轴对称图形，哪些图形成轴对称．

【解析】 轴对称图形：1，3，4，6，8，10

成轴对称的图形有：2，5，7，9

【例 4】 (09黑龙江哈尔滨)下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )

【解析】 D

【例 5】 (2003四川)我国主要银行的商标设计基本上都融入了中国古代钱币的图案，下列我国四大银行的商

标图案中是轴对称图形而不是中心对称图形的是( )

【解析】 C

【例 6】 (2003北京市海淀区)羊年话”羊”字象征着美好和吉祥，•下列图案都与”羊”字有关，其中是轴对称图

形的个数是( )

A．1； B．2； B．3； D．4 【解析】 B 【

【例 7】 (上海)正六边形是轴对称图形，它有 条对称轴．

6．点拨：可以画出例图进行分析，明确正n边形有n条对称轴． 【解析】

【例 8】 作出下图所示的图形的对称轴：

【解析】 答案见右上图．

【例 9】 求作线段AB的垂直平分线

A

B

【解析】 略

【例10】 已知：如图，ABC及两点M、N．求作：点P，使得PMPN，且P点到ABC两边所在的直

线的距离相等．

C

【解析】 因为是两边所在的直线，所以有两个答案．

答案一：ABC内角平分线与线段MN的垂直平分线的交点

C

答案二：ABC外角平分线与线段MN的垂直平分线的交点

C

【例11】 (2003长沙)如图，请根据小文在镜中的像写出他的运动衣上的实际号码：_______．

【解析】 108

ACBD ③AOOC ④ABBC，其中正确的结论有_______．

D

【例12】 (2004河南)如图，直线l是四边形ABCD的对称轴，若ABCD，有下面的结论：①AB∥CD ②

l

OB

【解析】 ①②③

【例13】 (2003南宁市)尺规：把右图(实线部分)补成以虚线L为对称轴的轴对称图形，你会得到一只美丽蝴

蝶的图案(不用写作法、保留作图痕迹)．

【解析】 答案见右上图．

板块二、轴对称的应用

【例14】 如图，ABC和A'B'C'关于直线l对称，且B90，A'B'6cm，求B'的度数和AB的长．

LA'

A

B

B'

【解析】 ∵ABC和A'B'C'关于直线l成轴对称

∴BB'，ABA'B'；又 ∵B90，A'B'6cm

∴B'90，AB6cm．

【例15】 如图，有一块三角形田地，ABAC10cm，作AB的垂直平分线ED交AC于D，交AB于E，量

得BDC的周长为17m，请你替测量人员计算BC的长．

【解析】 ∵ED垂直平分AB ∴DADB，

∵BDDCBC17m， ∴ADDCBC17m

∵AC10m，

∴BC7m．

【例16】 如图，已知AOB40，CD为OA的垂直平分线，求ACB的度数．

A

D

O

C

B

【解析】 ∵CD垂直平分OA ∴COCA ∴OA ∵O40 ∴A40

∴ACBAO80．

【例17】 (2004陕西)已知：如图，在ABC中，ABBC2，ABC120，BC平行于x轴，点B•的坐

标是(3,1)．

⑴画出ABC关于y轴对称的A'B'C'；

⑵求以点A、B、B'、A'为顶点的四边形的面积．

【解析】 ⑴画图正确

⑵过A点作ADBC，交BC的延长线于点D，则 ABD180ABC60， 在RtABD中，

1

＝1 2 AD＝AB·sin∠ABD=2

BD＝AB·cos∠ABD＝2× 又知点B的坐标为(-3，1) 1 可得点A

的坐标为4，

 ∵AA'y轴，BB'y轴 ∴AA'∥BB'

∵AB与A'B'不平行

B，B'，A'为顶点的四边形是等腰梯形 ∴以点A，

由点A、B的坐标可求得

BB'236 AA'248， ∴梯形ABB'A'的面积＝

11

(AA′+BB′)·AD＝×(8+6)

22

板块三、轴对称在几何最值问题中的应用

【例18】 已知点A在直线l外，点P为直线l上的一个动点，探究是否存在一个定点B，当点P在直线l上运

动时，点P与A、B两点的距离总相等，如果存在，请作出定点B；若不存在，请说明理由．

【解析】 点B与点A重合，或者点B是点A关于直线l的对称点．

最短，这个中转站M应建在公路旁的哪个位置比较合理？

【例19】 如图，在公路a的同旁有两个仓库A、B，现需要建一货物中转站，要求到A、B两仓库的距离和

a

【解析】 答案见右上图．

【例20】 (”五羊杯”邀请赛试题)如图，AOB45，角内有点P，在角的两边有两点Q、R(均不同于O

点)，求作Q、R，使得PQR的周长的最小．

B

B

【解析】 见右上图．

【例21】 (2000年全国数学联赛)如图，设正ABC的边长为2，M是AB边上的中点，P是BC边上的任意

一点，PAPM的最大值和最小值分别记为s和t．求s2t2的值．

A

A

M

M

B

P

C

M'

【解析】 作点M关于BC的对称点M'，连接AM'、PM'． 由点M、M'关于BC对称可知，PMPM'． 故PAPMPAPM'≥AM'

当且仅当A、P、M'共线时，等号成立，故t2(AM')27． 另外两个临界位置在点B和点C处．

当点P位于点C处时，PAPMACCM2 当点P位于点B处时，PAPMABBM3．

B

P

C

故s2(227，s2t2

本题也可作点A关于BC的对称点A'，连接A'M、PA'．

【例22】 已知如图，点M在锐角AOB的内部，在OB边上求作一点P，使点P到点M的距离与点P到OA的

边的距离和最小．

O

O

【解析】 见右上图．

【例23】 已知：A、B两点在直线l的同侧， 在l上求作一点M，使得|AMBM|最小．

【解析】 见右上图．

【例24】 (07年三帆中学期中试题)如图，正方形ABCD中，AB8，M是DC上的一点，且DM2，N是

AC上的一动点，求DNMN的最小值与最大值．

ADM

N

ADM

BC

BC

【解析】 找点D关于AC的对称点，

由正方形的性质可知，B就是点D关于AC的对称点， 连接BN、BM，由DNMNBNMNBM可知，

当且仅当B、N、M三点共线时，DN

MN10． 当点N在AC上移动时，有三个特殊的位置我们要考察：

BM与AC的交点，即DNMN取最小值时；

当点N位于点A

时，DNMNADAM8

当点N位于点C时，DNMNCDCM8614．故DN

MN的最大值为8

【例25】 (2004郸县改编)某供电部门准备在输电主干线l上连接一个分支线路同时向新落成的A、B两个居

民小区送电，分支点为M，已知居民小区A、B到主干线l的距离分别为AA12千米，BB12千

米，且A1B14千米．

⑴ 居民小区A、B在主干线l的两旁如图⑴所示，那么分支点M在什么地方时总线路最短？最短线路的长度是多少千米？ ⑵ 如果居民小区A、B在主干线l的同旁，如图⑵所示，那么分支点M在什么地方时总线路最短？此时分支点M与A1距离多少千米？

lBB

A

A

B

lB1

A1(1)

(2)

A1

lB1

B

A

1

M

A

A1

MB

l1

B2

l【解析】 ⑴ 连结AB，AB与的交点就是所求的分支点M，分支点开在此处总线路最短，

如图，因为BB1MAA1M90，BMB1AMA1．

所以B1BM≌A1AM． 所以A1M2．

由勾股定理，得AMBM

ABAMBMM在线段A1B1上距A

点

⑵ 如图，作B点关于直线l的对称点B2，连结AB2交直线l于点M，此处即为分支点，由图可知，A1M

的长度为2千米．

点拨：在解本题时，应注意线段最短，在第⑵问中也可以先画A点的对称点A2．

【例26】 (09山东临沂)如图，A，B是公路l(l为东西走向)两旁的两个村庄，A村到公路l的距离AC1km，

B村到公路l的距离BD2km，B村在A村的南偏东45方向上． ⑴ 求出A，B两村之间的距离； ⑵ 为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P的位置(保留清晰的作图痕迹，简明书写作法)．

东

C

P

B

l

【解析】 ⑴ 方法一：设AB与CD的交点为O，根据题意可得AB45．

∴ACO和BDO都是等腰直角三角形．

∴AO

BO

∴A，

B两村的距离为ABAOBOkm

方法二：过点B作直线l的平行线交AC的延长线于E．易证四边形CDBE是矩形， ∴CEBD2．

在RtAEB中，由A45，可得BEEA3．

ABkm

∴A，

B两村的距离为． ⑵ 作图正确，痕迹清晰．

1

作法：①分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，

2

两弧交于两点M，N，作直线MN； ②直线MN交l于点P，点P即为所求．