将军饮马和最短线路

将军饮马和最短线路问题

湖北省钟祥市罗集一中(431925)田道元 雷玉梅

同学们,对最短线路问题你一定很陌生吧.让我们先用一个历史故事向你介绍这个问题. 古希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名的学者,名叫海伦.有一天,有位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题:如图,将军从A 地出发到河边饮马,然后再到B 地军营视察,显然有许多走法.问走什么样的路线最短呢?精通数理的海伦稍加思索,便作了完善的回答.这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题. 下面我们来看看数学家是怎样解决的.海伦发现这是一个求折线

和最短的数学问题.根据公理1:连接两点的所有线中,直线段最短.只

知道两点间直线段最短,那么显然要把折线变成直线再解.如果直接l 连AB ,与l 不会相交,怎么办呢?当A 、B 位于l 的异侧时,就有交

点了.于是我们就希望在l 的另一侧找一点A ′,使得连A ′B 与l

相交于P 点后(这时A ′P +PB 最短)线段A ′P 与AP 一样长.由

对称的知识可知道,A 关于l 的对称点就有资格扮演A ′的角色.

解:如图1先作A 关于l 的对称点A ′,连接A ′B 与l 相交于P 点,则AP +PB 就最小.那么这样作出的AP +PB 是否真的最小呢?要证明它只需要在l 上任取一点P ′,证明AP ′+P ′A >AP +PB 就行了.这点好证明:事

实上因为A ′、A 关于l 对称,有AP =A ′P 、AP ′=A ′P ′,又由公

理2:三角形的两边之和大于第三边.

AP ′+P ′B=A′P ′+P ′B >A ′B =A ′P +PB =AP +PB .

原来海伦本解决本问题时,是利用作对称点把折线问题转化成直线问题求解的.后来这一方法已形成了思想,它在解决许多问题中都在起图1 作用.现在人们把凡是用对称点来实现解题的思想方法叫对称原理.

事实上,不仅是将军有这样的烦恼,运动着的车、船、飞机,包括人们每天走路都要遇到这样的问题.古今中外的任何旅行者总希望寻求最佳的旅行路线,尽量走近道,少走冤枉路.我们把这类求近道的问题统称最短线路问题.另外,从某种意义上说,一笔画问题也属这类问题.看来最短线路问题在生产、科研和日常生活中确实重要且应用广泛.

将军饮马和最短线路问题

湖北省钟祥市罗集一中(431925)田道元 雷玉梅

同学们,对最短线路问题你一定很陌生吧.让我们先用一个历史故事向你介绍这个问题. 古希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名的学者,名叫海伦.有一天,有位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题:如图,将军从A 地出发到河边饮马,然后再到B 地军营视察,显然有许多走法.问走什么样的路线最短呢?精通数理的海伦稍加思索,便作了完善的回答.这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题. 下面我们来看看数学家是怎样解决的.海伦发现这是一个求折线

和最短的数学问题.根据公理1:连接两点的所有线中,直线段最短.只

知道两点间直线段最短,那么显然要把折线变成直线再解.如果直接l 连AB ,与l 不会相交,怎么办呢?当A 、B 位于l 的异侧时,就有交

点了.于是我们就希望在l 的另一侧找一点A ′,使得连A ′B 与l

相交于P 点后(这时A ′P +PB 最短)线段A ′P 与AP 一样长.由

对称的知识可知道,A 关于l 的对称点就有资格扮演A ′的角色.

解:如图1先作A 关于l 的对称点A ′,连接A ′B 与l 相交于P 点,则AP +PB 就最小.那么这样作出的AP +PB 是否真的最小呢?要证明它只需要在l 上任取一点P ′,证明AP ′+P ′A >AP +PB 就行了.这点好证明:事

实上因为A ′、A 关于l 对称,有AP =A ′P 、AP ′=A ′P ′,又由公

理2:三角形的两边之和大于第三边.

AP ′+P ′B=A′P ′+P ′B >A ′B =A ′P +PB =AP +PB .

原来海伦本解决本问题时,是利用作对称点把折线问题转化成直线问题求解的.后来这一方法已形成了思想,它在解决许多问题中都在起图1 作用.现在人们把凡是用对称点来实现解题的思想方法叫对称原理.

事实上,不仅是将军有这样的烦恼,运动着的车、船、飞机,包括人们每天走路都要遇到这样的问题.古今中外的任何旅行者总希望寻求最佳的旅行路线,尽量走近道,少走冤枉路.我们把这类求近道的问题统称最短线路问题.另外,从某种意义上说,一笔画问题也属这类问题.看来最短线路问题在生产、科研和日常生活中确实重要且应用广泛.


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