等差数列
☻考情展望：
S n
[例1] 已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，b n ＝n (n ∈N *) ．
求证：数列{b n }是等差数列． 1、 运用基本量法求解等差数列的基本量问题；
2、 在解答题中对所求结论的运算进行等差数列的判断与证明；
3、 在具体情境中能识别具有等差关系的数列，并会用等差数列的性质和求和公式解决相应问题，
渗透方程思想、函数思想，培养学生的化归能力。
☻热点透析：
等差数列是个特殊的数列，对等差数列的概念、通项公式、性质、前n 项和公式的考察始终没 有放松。一方面考查知识的掌握，另一方面考察灵活运用数列的有关知识分析问题、解决问题的能 力，对这部分的考察坚持小题考性质，大题考能力的思想，大题的难度以中档题为主，估计这种考小组讨论总结： 查方式在今后不会有大的变化。同时这部分内容的考查对基本的计算技能要求比较高。 等差数列的判定方法：
（1） ☻知识梳理：等差数列的定义、通项公式、前n 项和公式。
1. 等差数列的定义 （2） 一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的差等于 ，那么这个（3） 数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 表示，定义表达式为 （4） (常数)(n ∈N*，n ≥2) 或 (常数)(n ∈N*)． a n
触类旁通：在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n . 设b n ＝. 证明：数列{b n }是等差数列．
2
2. 通项公式： a n =a 1+() d 或a n =a m +() d
3. 等差中项：若三个数a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，则A ＝ .
4. 前n 项和公式：S n = 或S n =
5. 性质：已知数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．
考点二 等差数列的基本运算
(1)若m ＋n ＝p ＋q ，则 .
[例2] (2011·福建高考) 已知等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3.
特别：若m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p .
(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和Sk ＝－35，求k 的值．
(2)a m ，a m +k ，a m +2k ，a m +3k ，„仍是等差数列，公差为 . (3)数列S m ，S 2m -S m ，S 3m -S 2m ，„也是等差数列．
6. 方程思想: 等差数列的五个元素: a 中知三就可求得二. 1、d 、a n 、S n 、n
函数思想：等差数列的通项与前都是关于n 的函数， 因此数列问题可借助于函数知识来．．．n ．项和．．解决.
考点一 等差数列的判定
- 1 -
多维思考：若本例条件不变，试判断－27是数列{a n }的第几项？
思考感悟：
触类旁通：2．(2012·温州模拟) 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a m >1，且a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m 等于( )
A ．10 B ．20 C．38 D ．9
2222
3. 设{a n }是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，满足a 2＋a 3＝a 4＋a 5，S 7＝7. 求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n .
考点三 等差数列性质的应用
课后小结：
1．深刻理解等差数列的定义，紧扣从“第二项起”和“差是同一常数”这两点. 证明数列{a n }
n a
是等差数列的两种基本方法是： （ 1
）利用定义，证明 *) ( 1 N n d a a n n
∈ =
[例3](1) 在等差数列{a n }中，若a 3+a 5+a 7+a 9+a 11=100，则3a 9-a 13的值为
-
( ) + A ．20 B ．30 C．40 D ．50 为常数；
(2)(2011·辽宁高考) Sn 为等差数列{a n }的前n 项和，S 2=S 6, a 4=1, 则a 5=________.
思考感悟： 前沿预测： 1．已知等差数列{a n }中，a 1＝15，S 5＝55，则过点P (3，a 2) ，Q (4，a 4) 的直线的斜率为
( )
触类旁通：4．已知等差数列{a n }中，若a 1+a 4+a 7=9，a 3+a 6+a 9=3，则数列{a n }的前9项
11
A．4 B.．－4 D44
和S 9＝ ( )
2．已知{a n }为等差数列，若a 1+a 5+a 9=8π, 则cos(a 2+a 8) 的值为 ( )
A ．9 B ．18 C．27 D ．36
5．已知等差数列{a n }的公差d ＜0，若a 4. a 6=24, a 1+a 9=10，则该数列的前n 项和S n 的最大值为 ( ) A ．50
1313
A．－ C.
2222
3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ＝1,2,3„)，当首项a 1和公差d 变化时，若a 5+a 8+a 11
- 2 -
B ．45 C．40 D ．35
是一个定值，则下列各数中为定值的是 ( ) A ．S 17
B ．S 18 C．S 15
D ．S 16
- 3 -
等差数列
☻考情展望：
S n
[例1] 已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，b n ＝n (n ∈N *) ．
求证：数列{b n }是等差数列． 1、 运用基本量法求解等差数列的基本量问题；
2、 在解答题中对所求结论的运算进行等差数列的判断与证明；
3、 在具体情境中能识别具有等差关系的数列，并会用等差数列的性质和求和公式解决相应问题，
渗透方程思想、函数思想，培养学生的化归能力。
☻热点透析：
等差数列是个特殊的数列，对等差数列的概念、通项公式、性质、前n 项和公式的考察始终没 有放松。一方面考查知识的掌握，另一方面考察灵活运用数列的有关知识分析问题、解决问题的能 力，对这部分的考察坚持小题考性质，大题考能力的思想，大题的难度以中档题为主，估计这种考小组讨论总结： 查方式在今后不会有大的变化。同时这部分内容的考查对基本的计算技能要求比较高。 等差数列的判定方法：
（1） ☻知识梳理：等差数列的定义、通项公式、前n 项和公式。
1. 等差数列的定义 （2） 一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的差等于 ，那么这个（3） 数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 表示，定义表达式为 （4） (常数)(n ∈N*，n ≥2) 或 (常数)(n ∈N*)． a n
触类旁通：在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n . 设b n ＝. 证明：数列{b n }是等差数列．
2
2. 通项公式： a n =a 1+() d 或a n =a m +() d
3. 等差中项：若三个数a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，则A ＝ .
4. 前n 项和公式：S n = 或S n =
5. 性质：已知数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．
考点二 等差数列的基本运算
(1)若m ＋n ＝p ＋q ，则 .
[例2] (2011·福建高考) 已知等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3.
特别：若m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p .
(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和Sk ＝－35，求k 的值．
(2)a m ，a m +k ，a m +2k ，a m +3k ，„仍是等差数列，公差为 . (3)数列S m ，S 2m -S m ，S 3m -S 2m ，„也是等差数列．
6. 方程思想: 等差数列的五个元素: a 中知三就可求得二. 1、d 、a n 、S n 、n
函数思想：等差数列的通项与前都是关于n 的函数， 因此数列问题可借助于函数知识来．．．n ．项和．．解决.
考点一 等差数列的判定
- 1 -
多维思考：若本例条件不变，试判断－27是数列{a n }的第几项？
思考感悟：
触类旁通：2．(2012·温州模拟) 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a m >1，且a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m 等于( )
A ．10 B ．20 C．38 D ．9
2222
3. 设{a n }是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，满足a 2＋a 3＝a 4＋a 5，S 7＝7. 求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n .
考点三 等差数列性质的应用
课后小结：
1．深刻理解等差数列的定义，紧扣从“第二项起”和“差是同一常数”这两点. 证明数列{a n }
n a
是等差数列的两种基本方法是： （ 1
）利用定义，证明 *) ( 1 N n d a a n n
∈ =
[例3](1) 在等差数列{a n }中，若a 3+a 5+a 7+a 9+a 11=100，则3a 9-a 13的值为
-
( ) + A ．20 B ．30 C．40 D ．50 为常数；
(2)(2011·辽宁高考) Sn 为等差数列{a n }的前n 项和，S 2=S 6, a 4=1, 则a 5=________.
思考感悟： 前沿预测： 1．已知等差数列{a n }中，a 1＝15，S 5＝55，则过点P (3，a 2) ，Q (4，a 4) 的直线的斜率为
( )
触类旁通：4．已知等差数列{a n }中，若a 1+a 4+a 7=9，a 3+a 6+a 9=3，则数列{a n }的前9项
11
A．4 B.．－4 D44
和S 9＝ ( )
2．已知{a n }为等差数列，若a 1+a 5+a 9=8π, 则cos(a 2+a 8) 的值为 ( )
A ．9 B ．18 C．27 D ．36
5．已知等差数列{a n }的公差d ＜0，若a 4. a 6=24, a 1+a 9=10，则该数列的前n 项和S n 的最大值为 ( ) A ．50
1313
A．－ C.
2222
3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ＝1,2,3„)，当首项a 1和公差d 变化时，若a 5+a 8+a 11
- 2 -
B ．45 C．40 D ．35
是一个定值，则下列各数中为定值的是 ( ) A ．S 17
B ．S 18 C．S 15
D ．S 16
- 3 -