《用二分法求方程的近似解》一课的教学设计教案 求方程的解是常见的数学问题,这之前我们都是在等式状态下研究方程的变化关系,从而得到诸如求根公式等方程的解。但有些方程求精确解较难,本课试图从另一个角度来求方程的近似解。说求方程的近似解倒不如说是逼近解。本课重点是学习一种思维。
1、 教学目标
1.1 知识目标:
理解二分法的概念,掌握运用二分法求简单方程近似解的方法。
1.2能力目标:
体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法;
让学生能够初步了解近似逼近思想,培养学生能够探究问题的能力、严谨的科学态度和创新能力。
1.3情感、态度与价值观
正面解决问题困难时,可以通过迂回的方法去解决。
2、 教学重点
能够借用计算器,用二分法求相应方程的近似解。
3、教学难点
对二分法的理论支撑的理解。
4、教学方法
实例导入推出课题实践探究总结提炼学生感悟(总结、反思)
5、教具
多媒体课件
6、教学过程
…………………………………………………………………………………………………
一、 创设情景,引入新课
师:大家先来看一段录像(放映CCTV2幸运52片段)
支持人李咏说道:猜一猜这件商品的价格。观众甲:2000!李咏:高了!观众甲:1000!李咏:低了!观众甲:1700!李咏:高了!观众甲:1400!李咏:低了!观众甲:1500!李咏:低了!观众甲:1550!李咏:低了!观众甲:1580!李咏:高了!观众甲:1570!李咏:低了!观众甲:1578!李咏:低了!观众甲:1579!李咏:这件商品归你了。下一件……
师:(手拿一款手机)如果让你来猜这件商品的价格,你如何猜?
生1:先初步估算一个价格,如果高了再每隔十元降低报价。
生2:这样太慢了,先初步估算一个价格,如果高了每隔100元降低报价。如
果低了,每50元上涨;如果再高了,每隔20元降低报价;如果低了,
每隔10元上升报价……
生3:先初步估算一个价格,如果高了,再报一个价格;如果低了,就报两个
价格和的一半;如果高了,再把报的低价与一半价相加再求其半,报出
价格;如果低了,就把刚刚报出的价格与前面的价格结合起来取其和的
半价……
师:在现实生活中我们也常常利用这种方法。譬如,一天,我们华庄校区与锡南校区的线路出了故障,(相距大约3500米)电工是怎样检测的呢?是按照生1那样每隔10米或者按照生2那样每隔100米来检测还是按照生3那样来检测呢? 生:(齐答)按照生3那样来检测。
师:生3的回答,我们可以用一个动态过程来展示一下(展示多媒体课件,区间逼近法)。
二、讲解新课
师:那我们能否采用这种逐步逼近的方法来解一些数学问题呢?
(多媒体)能否求解方程式lgx3x;x22x10;x33x10?
生4:方程x2x10的解可用求根公式来解。
师:不解方程,当然也不许用求根公式,如何求方程x2x10的一个正的近似解?(精
确到0.1)
(探究离不开问题,问题教学有赖于教师对问题情景的创设,以及问题的呈现方式)
1、 学生先自行探求,并进行组织交流。
(倡导学生积极交流、勇于探索的学习方式,有助于发挥学生学习的主动性)
①师生共同探讨交流,引出借助函数f(x)= x2x1的图象,能够缩小根所在区间,并根据f(2)0,可得出根所在区间(2,3);
②引发学生思考,如何进一步有效缩小根所在的区间;
③共同探讨各种方法,引导学生探寻出通过不断对分区间,有助于问题的解决; ④用图例演示根所在区间不断被缩小的过程,加深学生对上述方法的理解;
⑤引发学生思考在有效缩小根所在区间时,到什么时候才能达到所要求的精确度。
2、 学生简述上述求方程近似解的过程。
(通过自己的语言表达,有助于学生对概念的理解)
(思考,解决。问题激励,语言激励)
(生推导,师欣赏,鼓励学生,生口答,得出)
生5:设f(x)x2x1,先画出函数图象的简图 ,
因为f(2)10,f(3)20,所以在区间(2,3)内,
方程x22x10有一解,记为x1;2222
f(2)0,f(2.5)0x1(2,2.5),
f(2.25)0,f(2.5)0x1(2.25,2.5),
f(2.375)0,f(2.5)0x1(2.375,2.5),
f(2.375)0,f(2.4375)0x1(2.375,2.4375),
因为2.375与2.4375精确到0.1的近似值都为2.4,所以
此方程的近似解为x12.4
3、 揭示二分法的定义。
指出运用二分法的前提是要先判断某根所在的区间。
例题剖析
(多媒体)例1. 根据表格中的数据,可以断定方程ex20的一个根所在的区间
x师:我们可以通过什么来判断某根所在的区间的?
生6:f(m)f(n)0x(m,n),
师:有了这个依据,本题应选什么?为什么?
生7:设f(x)exx2,f(1)0,f(2)0即f(1)f(2)0
x(1,2),故选C
师:现在,判断某根所在区间有哪些方法?
生8:画图或利用函数值的正负来判断。
例2. 利用计算器,求方程lgx3x的近似解。(精确到 0.1)
(本例鼓励学生自行尝试,即能否利用二分法来求解本例,此处教师仅仅是引导学生如何把问题进行有效转化。要让学生体验解题遇阻时的困惑以及解决问题的快乐,感受数学学习的乐趣)(让学生思考片刻)
师:估计方程的根在什么范围内?
生:(无语)
师:(启发,师微笑着说)判断某根所在区间的方法是---(部分学生跟着说出方法)
那,现在我们可以画出哪些函数的图象?
生9:作:y=lgx,y=3-x的图象;
师:你们发现了什么?
生(齐答):图象有一个交点;
师:这意味着什么?
生:在两个函数图象的交点处,函数值相等。因此,这
个点的横坐标就是方程lgx=3-x的解。从图象上可
以发现,这个方程有惟一解,且在区间(2,3)内。
师:判断出了根所在区间后接下去怎么办?
生:利用函数;
师:哪个函数?怎么算出近似解来?
生10:
设f(x)lgxx3,用计算器,得f(2)0,f(3)0x(2,3),
f(2.5
)0,f(3)0x(2.5,3),f(2.5)0,f(2.75)0x(2.5,2.75)
f(2.5)0,f(2.625)0x(2.5,2.625), f(2.5625)0,f(2.625)0x(2.5625,2.625),
因为2.5625与2.625精确到0.1的近似值都为2.6,所以原方程的近似解为x2.6 师:在求解上述两类不同类型方程近似解的基础上,引导学生归纳二分法求解方程
f(x)=0[或g(x)= h(x)]近似解的基本步骤:
①画图或利用函数值的正负,确定初始区间(a,b),验证f(a)f(b)
②求区间(a,b)的中点x1(x1ab); 2
③计算f(x1):若f(x1)=0,则x1就是函数f(x)的零点,x1就是f(x)=0的根,计算
终止;
若f(a) f(x1)0,则选择区间(a, x1);
若f(a) f(x1)0,则选择区间(x1,b);
④循环操作②、③,直到当区间的两端点精确到同一个近似值时才终止计算。
(通过归纳总结,能够完善学生的认知结构)
精确到0.1)(多媒体)练习:1)求方程x3x10的一个正的近似解?(
0.1) 2)求方程2x4的近似解?(精确到
2x的根的个数为( ) 3)用二分法判断方程
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4)方程lg(x4)10x的根的情况是( )
A.仅有一根 B.有一正根一负根
C.有两负根 D.无实根
(全班共四组,第一、二组做练习1)、3);三、四组做练习2)、4)。) (目的:让学生进一步巩固掌握二分法求近似解的操作步骤及其应用)
思考:从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点,现在某接点发生故障,
需及时修理,为了尽快断定故障发生点,一般至少需要检查接点的个数
为几个?
(此例既体现了二分法的应用价值,也有利于发展学生的应用意识)
三、课堂小结
师:请同学们回顾一下本节课的教学过程,你觉得你已经掌握了哪些知识?
(生总结,并可以互相交流讨论,师投影显示本课重点知识)
1、 二分法是一种求一元方程近似解的通法。
2、 利用二分法来解一元方程近似解的操作步骤。
3、 可以利用函数的图象来判断方程根的个数。
四、布置作业
必修1第81页习题3、4、5
8、教学后记
本节课始终以学生动口、动脑、动手去探索,激发学生的学习动机,激励学生去取得成功,顺应合理的逻辑结构和认知结构,符合学生的认知规律和心理特点,重视思维训练,发挥学生的主体作用,注意数学思想方法的溶入渗透,满足学生渴望的奖励结构。 x2x3
《用二分法求方程的近似解》一课的教学设计教案 求方程的解是常见的数学问题,这之前我们都是在等式状态下研究方程的变化关系,从而得到诸如求根公式等方程的解。但有些方程求精确解较难,本课试图从另一个角度来求方程的近似解。说求方程的近似解倒不如说是逼近解。本课重点是学习一种思维。
1、 教学目标
1.1 知识目标:
理解二分法的概念,掌握运用二分法求简单方程近似解的方法。
1.2能力目标:
体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法;
让学生能够初步了解近似逼近思想,培养学生能够探究问题的能力、严谨的科学态度和创新能力。
1.3情感、态度与价值观
正面解决问题困难时,可以通过迂回的方法去解决。
2、 教学重点
能够借用计算器,用二分法求相应方程的近似解。
3、教学难点
对二分法的理论支撑的理解。
4、教学方法
实例导入推出课题实践探究总结提炼学生感悟(总结、反思)
5、教具
多媒体课件
6、教学过程
…………………………………………………………………………………………………
一、 创设情景,引入新课
师:大家先来看一段录像(放映CCTV2幸运52片段)
支持人李咏说道:猜一猜这件商品的价格。观众甲:2000!李咏:高了!观众甲:1000!李咏:低了!观众甲:1700!李咏:高了!观众甲:1400!李咏:低了!观众甲:1500!李咏:低了!观众甲:1550!李咏:低了!观众甲:1580!李咏:高了!观众甲:1570!李咏:低了!观众甲:1578!李咏:低了!观众甲:1579!李咏:这件商品归你了。下一件……
师:(手拿一款手机)如果让你来猜这件商品的价格,你如何猜?
生1:先初步估算一个价格,如果高了再每隔十元降低报价。
生2:这样太慢了,先初步估算一个价格,如果高了每隔100元降低报价。如
果低了,每50元上涨;如果再高了,每隔20元降低报价;如果低了,
每隔10元上升报价……
生3:先初步估算一个价格,如果高了,再报一个价格;如果低了,就报两个
价格和的一半;如果高了,再把报的低价与一半价相加再求其半,报出
价格;如果低了,就把刚刚报出的价格与前面的价格结合起来取其和的
半价……
师:在现实生活中我们也常常利用这种方法。譬如,一天,我们华庄校区与锡南校区的线路出了故障,(相距大约3500米)电工是怎样检测的呢?是按照生1那样每隔10米或者按照生2那样每隔100米来检测还是按照生3那样来检测呢? 生:(齐答)按照生3那样来检测。
师:生3的回答,我们可以用一个动态过程来展示一下(展示多媒体课件,区间逼近法)。
二、讲解新课
师:那我们能否采用这种逐步逼近的方法来解一些数学问题呢?
(多媒体)能否求解方程式lgx3x;x22x10;x33x10?
生4:方程x2x10的解可用求根公式来解。
师:不解方程,当然也不许用求根公式,如何求方程x2x10的一个正的近似解?(精
确到0.1)
(探究离不开问题,问题教学有赖于教师对问题情景的创设,以及问题的呈现方式)
1、 学生先自行探求,并进行组织交流。
(倡导学生积极交流、勇于探索的学习方式,有助于发挥学生学习的主动性)
①师生共同探讨交流,引出借助函数f(x)= x2x1的图象,能够缩小根所在区间,并根据f(2)0,可得出根所在区间(2,3);
②引发学生思考,如何进一步有效缩小根所在的区间;
③共同探讨各种方法,引导学生探寻出通过不断对分区间,有助于问题的解决; ④用图例演示根所在区间不断被缩小的过程,加深学生对上述方法的理解;
⑤引发学生思考在有效缩小根所在区间时,到什么时候才能达到所要求的精确度。
2、 学生简述上述求方程近似解的过程。
(通过自己的语言表达,有助于学生对概念的理解)
(思考,解决。问题激励,语言激励)
(生推导,师欣赏,鼓励学生,生口答,得出)
生5:设f(x)x2x1,先画出函数图象的简图 ,
因为f(2)10,f(3)20,所以在区间(2,3)内,
方程x22x10有一解,记为x1;2222
f(2)0,f(2.5)0x1(2,2.5),
f(2.25)0,f(2.5)0x1(2.25,2.5),
f(2.375)0,f(2.5)0x1(2.375,2.5),
f(2.375)0,f(2.4375)0x1(2.375,2.4375),
因为2.375与2.4375精确到0.1的近似值都为2.4,所以
此方程的近似解为x12.4
3、 揭示二分法的定义。
指出运用二分法的前提是要先判断某根所在的区间。
例题剖析
(多媒体)例1. 根据表格中的数据,可以断定方程ex20的一个根所在的区间
x师:我们可以通过什么来判断某根所在的区间的?
生6:f(m)f(n)0x(m,n),
师:有了这个依据,本题应选什么?为什么?
生7:设f(x)exx2,f(1)0,f(2)0即f(1)f(2)0
x(1,2),故选C
师:现在,判断某根所在区间有哪些方法?
生8:画图或利用函数值的正负来判断。
例2. 利用计算器,求方程lgx3x的近似解。(精确到 0.1)
(本例鼓励学生自行尝试,即能否利用二分法来求解本例,此处教师仅仅是引导学生如何把问题进行有效转化。要让学生体验解题遇阻时的困惑以及解决问题的快乐,感受数学学习的乐趣)(让学生思考片刻)
师:估计方程的根在什么范围内?
生:(无语)
师:(启发,师微笑着说)判断某根所在区间的方法是---(部分学生跟着说出方法)
那,现在我们可以画出哪些函数的图象?
生9:作:y=lgx,y=3-x的图象;
师:你们发现了什么?
生(齐答):图象有一个交点;
师:这意味着什么?
生:在两个函数图象的交点处,函数值相等。因此,这
个点的横坐标就是方程lgx=3-x的解。从图象上可
以发现,这个方程有惟一解,且在区间(2,3)内。
师:判断出了根所在区间后接下去怎么办?
生:利用函数;
师:哪个函数?怎么算出近似解来?
生10:
设f(x)lgxx3,用计算器,得f(2)0,f(3)0x(2,3),
f(2.5
)0,f(3)0x(2.5,3),f(2.5)0,f(2.75)0x(2.5,2.75)
f(2.5)0,f(2.625)0x(2.5,2.625), f(2.5625)0,f(2.625)0x(2.5625,2.625),
因为2.5625与2.625精确到0.1的近似值都为2.6,所以原方程的近似解为x2.6 师:在求解上述两类不同类型方程近似解的基础上,引导学生归纳二分法求解方程
f(x)=0[或g(x)= h(x)]近似解的基本步骤:
①画图或利用函数值的正负,确定初始区间(a,b),验证f(a)f(b)
②求区间(a,b)的中点x1(x1ab); 2
③计算f(x1):若f(x1)=0,则x1就是函数f(x)的零点,x1就是f(x)=0的根,计算
终止;
若f(a) f(x1)0,则选择区间(a, x1);
若f(a) f(x1)0,则选择区间(x1,b);
④循环操作②、③,直到当区间的两端点精确到同一个近似值时才终止计算。
(通过归纳总结,能够完善学生的认知结构)
精确到0.1)(多媒体)练习:1)求方程x3x10的一个正的近似解?(
0.1) 2)求方程2x4的近似解?(精确到
2x的根的个数为( ) 3)用二分法判断方程
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4)方程lg(x4)10x的根的情况是( )
A.仅有一根 B.有一正根一负根
C.有两负根 D.无实根
(全班共四组,第一、二组做练习1)、3);三、四组做练习2)、4)。) (目的:让学生进一步巩固掌握二分法求近似解的操作步骤及其应用)
思考:从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点,现在某接点发生故障,
需及时修理,为了尽快断定故障发生点,一般至少需要检查接点的个数
为几个?
(此例既体现了二分法的应用价值,也有利于发展学生的应用意识)
三、课堂小结
师:请同学们回顾一下本节课的教学过程,你觉得你已经掌握了哪些知识?
(生总结,并可以互相交流讨论,师投影显示本课重点知识)
1、 二分法是一种求一元方程近似解的通法。
2、 利用二分法来解一元方程近似解的操作步骤。
3、 可以利用函数的图象来判断方程根的个数。
四、布置作业
必修1第81页习题3、4、5
8、教学后记
本节课始终以学生动口、动脑、动手去探索,激发学生的学习动机,激励学生去取得成功,顺应合理的逻辑结构和认知结构,符合学生的认知规律和心理特点,重视思维训练,发挥学生的主体作用,注意数学思想方法的溶入渗透,满足学生渴望的奖励结构。 x2x3