1.3 用二分法求方程的近似解
大荔县朝邑中学 杨 艳
（一）教学目标
1．知识与技能
掌握应用二分法求方程近似解的原理与步骤，会用二分法求方程的近似解.
2．过程与方法
体会通过取区间中点，应用零点存在性定理，逐步缩小零点所属区间的范围，而获得零点的近似值即方程的近似解的过程中理解二分法的基本思想，渗透算法思想.
3．情感、态度及价值观
在灵活调整算法，在由特殊到一般的认识过程中，养成良好的学习品质和思维品质，享受数学的无穷魅力.
（二）教学重点与难点
重点：用二分法求方程的近似解；
难点：二分法原理的理解
（三）教材分析
本节课注重从学生已有的基础(一元二次方程及其根的求法，一元二次函数及其图象与性质) 出发，从具体(一元二次方程的根与对应的一元二次函数的图象与轴的交点的横坐标之间的关系) 到一般，揭示方程的根与对应函数零点之间的关系. 在此基础上，再介绍求函数零点的近似值的“二分法”，并在总结“用二分法求函数零点的步骤”中渗透算法的思想，为学生后续学习算法内容埋下伏笔. 教科书不仅希望学生在数学知识与运用信息技术的能力上有所收获，而且希望学生感受到数学文化方面的熏陶，所以在“阅读与思考”中，介绍古今中外数学家在方程求解中所取得的成就，特别是我国古代数学家对数学发展与人类文明的贡献.
（四）教学方法
讲授法与合作交流相结合，通过老师恰当合理的讲授，师生之间默切的合作交流，认识二分法、理解二分法的实质，从而能应用二分法研究问题，达到知能有机结合的最优结果.
（五）教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
《1》 复习引入课题
问题： 方程的根与函数的零点
1 方程的根与函数的零点
2、零点存在判定法则
3、零点个数的求法
4 求根：如何求得方程的根呢？
《2》例题讲解
例1：例1 求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数
①函数f (x) = lnx + 2x – 6在区间(2，3) 内有零点.
②如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值.
③通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围.
④取区间(2，3) 的中点2.5，用计算器算得f (2.5)≈–0.084. 因为f (2.5)•f
(3)＜0，所以零点在区间(2.5，3) 内. 再取内间(2.5，3) 的中点2.75，用计算器算得f (2.75)≈0.512. 因为f (2.5)•f (2.75)＜0，所以零点在区间(2.5，
2.75) 内.
⑤由于(2，3) (2.5，3)
(2.5，2.75) ，所以零点所在的范围确实越来越小了.
⑥例如，当精确度为0.01时，由于|2.539 062 5 – 2.531 25| = 0.007 812 5＜0.01，所以，我们可以将x = 2.531 25作为函数
f (x) = lnx + 2x – 6零点的近似值，也即方程lnx + 2x – 6 = 0根的近似值.
师：怎样求方程lnx + 2x – 6 = 0的根.
引导：观察图形
共同探究已知方程的根.
师生合作，借助计算机探求方程根的近似值.
区间 中点的值 中点函数近似值
(2,3) 2.5 –0.084
(2.5,3) 2.75 0.512
(2.5,2.75) 2.625 0.215
(2.5,2.625) 2.5625 0.066
(2.5,2.5625) 2.53125 –0.009
(2.53125,2.5625) 2.546875 0.029
(2.53125,2.546875) 2.5390625 0.010
(2.53125,2.5390625) 2.53515625 0.001
由旧到新设疑、析疑导入课题，实例分析了解二分法、进一步师生合作尝试二分法.
形成概念
对于区间[a，b]上连续不断且f (a)•f (b)＜0的函数y = f (x)，通过不断地把函数f (x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
例2 借助计算器或计算机用二分法求方程2x + 3x = 7的近似解(精确度0.1). 师生合作应用二分法，遵循二分法的步骤求解，并借助函数图象检验.
解：原方程即2x + 3x –7 = 0，令f (x) = 2x + 3x –7，用计算器或计算机作出函数f (x) = 2x + 3x –7的对应值表与图象
x 0 1 2 3 4
f(x)=2x+3x–7 –6 –2 3 10 21
x 5 6 7 8
f(x)=2x+3x–7 40 75 142 273
观察图或表可知f(1)•f(2)＜0，说明这个函数在区间(1，2) 内有零点x0.
取区间(1，2) 的中点x1=1.5，用计算器算得f(1.5)≈0.33. 因为f(1)•f(1.5)＜0, 所以x0∈(1，1.5).
再取(1，1.5) 的中点x¬2=1.25，用计算器算得f(1.25)≈–0.87. 因为f(1.25)•f(1.5)＜0, 所以x0∈(1.25，1.5).
同理可得x0∈(1.375，1.5) ，x0∈(1.375，1.4375) 再取(1，1.5) 的中点x¬2=1.25，用计算器算得f(1.25)≈–0.87. 因为f(1.25)•f(1.5)＜0, 所以x0∈(1.25，1.5). 同理可得x0∈(1.375，1.5) ，x0∈(1.375，1.4375)
由于|1.375–1.4375| = 0.0625＜0.1，所以，原方程的近似解可取为1.4375. 尝试体验二分法，培养应用二分法从而固化基本理论技能
2．给定精确度 ，用二分法求函数f (x)零点近似值的步聚如下：
（1）确定区间[a，b]，验证f (a)•f (b)＜0，给定精确度 ；
（2）求区间(a，b) 的中点c ；
（3）计算f (c)；
①若f (c) = 0，则c 就是函数的零点；
②若f (a)•f (c)＜0，则令b = c(此时零点x0∈(a，c)) ；
③若f (c)•f (b)＜0，则令a = c(此时零点x0∈(c，b)).
（4）判断是否达到精确度 ：即若|a – b|＜ ，则得到零点近似值a(或b) ；否则重
复2—4. 师生合作回顾实例：
求方程lnx + 2x – 6 = 0的近似解(精确度0.01) 的操作过程. 掌握二分法，总结应用二分法的步骤
师：讲授二分法的定义.
生：总结应用二分法的步骤.
学生交流总结，学生代表口述步骤，老师完善并板书. 由特殊到一般形成概念，归纳总结应用二分法的步骤.
《3》巩固练习
借助计算器或计算机用二分法求方程 3x-7x=8
《4》小结
这节课你学到了什么吗？
有什么收获吗？
——二分法求方程的根
《5》作业
课本108页 第4、5题
的近似解(精确到0.1).
用二分法求方程的近似解
大荔县朝邑中学
杨 艳
1.3 用二分法求方程的近似解
大荔县朝邑中学 杨 艳
（一）教学目标
1．知识与技能
掌握应用二分法求方程近似解的原理与步骤，会用二分法求方程的近似解.
2．过程与方法
体会通过取区间中点，应用零点存在性定理，逐步缩小零点所属区间的范围，而获得零点的近似值即方程的近似解的过程中理解二分法的基本思想，渗透算法思想.
3．情感、态度及价值观
在灵活调整算法，在由特殊到一般的认识过程中，养成良好的学习品质和思维品质，享受数学的无穷魅力.
（二）教学重点与难点
重点：用二分法求方程的近似解；
难点：二分法原理的理解
（三）教材分析
本节课注重从学生已有的基础(一元二次方程及其根的求法，一元二次函数及其图象与性质) 出发，从具体(一元二次方程的根与对应的一元二次函数的图象与轴的交点的横坐标之间的关系) 到一般，揭示方程的根与对应函数零点之间的关系. 在此基础上，再介绍求函数零点的近似值的“二分法”，并在总结“用二分法求函数零点的步骤”中渗透算法的思想，为学生后续学习算法内容埋下伏笔. 教科书不仅希望学生在数学知识与运用信息技术的能力上有所收获，而且希望学生感受到数学文化方面的熏陶，所以在“阅读与思考”中，介绍古今中外数学家在方程求解中所取得的成就，特别是我国古代数学家对数学发展与人类文明的贡献.
（四）教学方法
讲授法与合作交流相结合，通过老师恰当合理的讲授，师生之间默切的合作交流，认识二分法、理解二分法的实质，从而能应用二分法研究问题，达到知能有机结合的最优结果.
（五）教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
《1》 复习引入课题
问题： 方程的根与函数的零点
1 方程的根与函数的零点
2、零点存在判定法则
3、零点个数的求法
4 求根：如何求得方程的根呢？
《2》例题讲解
例1：例1 求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数
①函数f (x) = lnx + 2x – 6在区间(2，3) 内有零点.
②如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值.
③通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围.
④取区间(2，3) 的中点2.5，用计算器算得f (2.5)≈–0.084. 因为f (2.5)•f
(3)＜0，所以零点在区间(2.5，3) 内. 再取内间(2.5，3) 的中点2.75，用计算器算得f (2.75)≈0.512. 因为f (2.5)•f (2.75)＜0，所以零点在区间(2.5，
2.75) 内.
⑤由于(2，3) (2.5，3)
(2.5，2.75) ，所以零点所在的范围确实越来越小了.
⑥例如，当精确度为0.01时，由于|2.539 062 5 – 2.531 25| = 0.007 812 5＜0.01，所以，我们可以将x = 2.531 25作为函数
f (x) = lnx + 2x – 6零点的近似值，也即方程lnx + 2x – 6 = 0根的近似值.
师：怎样求方程lnx + 2x – 6 = 0的根.
引导：观察图形
共同探究已知方程的根.
师生合作，借助计算机探求方程根的近似值.
区间 中点的值 中点函数近似值
(2,3) 2.5 –0.084
(2.5,3) 2.75 0.512
(2.5,2.75) 2.625 0.215
(2.5,2.625) 2.5625 0.066
(2.5,2.5625) 2.53125 –0.009
(2.53125,2.5625) 2.546875 0.029
(2.53125,2.546875) 2.5390625 0.010
(2.53125,2.5390625) 2.53515625 0.001
由旧到新设疑、析疑导入课题，实例分析了解二分法、进一步师生合作尝试二分法.
形成概念
对于区间[a，b]上连续不断且f (a)•f (b)＜0的函数y = f (x)，通过不断地把函数f (x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
例2 借助计算器或计算机用二分法求方程2x + 3x = 7的近似解(精确度0.1). 师生合作应用二分法，遵循二分法的步骤求解，并借助函数图象检验.
解：原方程即2x + 3x –7 = 0，令f (x) = 2x + 3x –7，用计算器或计算机作出函数f (x) = 2x + 3x –7的对应值表与图象
x 0 1 2 3 4
f(x)=2x+3x–7 –6 –2 3 10 21
x 5 6 7 8
f(x)=2x+3x–7 40 75 142 273
观察图或表可知f(1)•f(2)＜0，说明这个函数在区间(1，2) 内有零点x0.
取区间(1，2) 的中点x1=1.5，用计算器算得f(1.5)≈0.33. 因为f(1)•f(1.5)＜0, 所以x0∈(1，1.5).
再取(1，1.5) 的中点x¬2=1.25，用计算器算得f(1.25)≈–0.87. 因为f(1.25)•f(1.5)＜0, 所以x0∈(1.25，1.5).
同理可得x0∈(1.375，1.5) ，x0∈(1.375，1.4375) 再取(1，1.5) 的中点x¬2=1.25，用计算器算得f(1.25)≈–0.87. 因为f(1.25)•f(1.5)＜0, 所以x0∈(1.25，1.5). 同理可得x0∈(1.375，1.5) ，x0∈(1.375，1.4375)
由于|1.375–1.4375| = 0.0625＜0.1，所以，原方程的近似解可取为1.4375. 尝试体验二分法，培养应用二分法从而固化基本理论技能
2．给定精确度 ，用二分法求函数f (x)零点近似值的步聚如下：
（1）确定区间[a，b]，验证f (a)•f (b)＜0，给定精确度 ；
（2）求区间(a，b) 的中点c ；
（3）计算f (c)；
①若f (c) = 0，则c 就是函数的零点；
②若f (a)•f (c)＜0，则令b = c(此时零点x0∈(a，c)) ；
③若f (c)•f (b)＜0，则令a = c(此时零点x0∈(c，b)).
（4）判断是否达到精确度 ：即若|a – b|＜ ，则得到零点近似值a(或b) ；否则重
复2—4. 师生合作回顾实例：
求方程lnx + 2x – 6 = 0的近似解(精确度0.01) 的操作过程. 掌握二分法，总结应用二分法的步骤
师：讲授二分法的定义.
生：总结应用二分法的步骤.
学生交流总结，学生代表口述步骤，老师完善并板书. 由特殊到一般形成概念，归纳总结应用二分法的步骤.
《3》巩固练习
借助计算器或计算机用二分法求方程 3x-7x=8
《4》小结
这节课你学到了什么吗？
有什么收获吗？
——二分法求方程的根
《5》作业
课本108页 第4、5题
的近似解(精确到0.1).
用二分法求方程的近似解
大荔县朝邑中学
杨 艳