考向一 函数零点的求解与判断
知识点：方程f (x ) =0有实数根⇔函数y =f (x ) 的图象与x 轴
有交点⇔函数y =f (x ) 有零点．
注意：函数的零点不是点，是方程f (x ) ＝0的根；
★函数零点的求法：
（代数法）求方程f (x ) =0的实数根；
（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数
y =f (x ) 的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
定理：如果函数y =f (x ) 在区间[a , b ]上的图象是连续不间断的一条曲线，并且有f (a ) ⋅f (b )
[例1] (2012年高考辽宁卷) 设函数f (x )(x ∈R ) 满足f (－x ) ＝f (x ) ，f (x ) ＝f (2－x ) ，且
⎡13⎤当x ∈[0,1]时，f (x ) ＝x . 又函数g (x ) ＝|x cos(πx )|，则函数h (x ) ＝g (x ) －f (x ) 在⎢－2，2⎥⎣⎦3
上的零点个数为( )
A ．5 B ．6 C ．7 D ．8
训练：
1⎛1⎫【体验高考1．】(2012年高考北京卷) 函数f (x ) ＝x 2－ 2⎪x 的零点的个数为( ) ⎝⎭
A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
【跟踪训练1】 (2013年唐山模拟) 设f (x ) ＝e x ＋x －4，则函数f (x ) 的零点位于区间( )
A ．(－1,0) B．(0,1) C．(1,2) D．(2,3)
【基础自测2】 (2012年高考天津卷) 函数f (x ) ＝2x ＋x 3－2在区间(0,1)内的零点个数是( )
A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
提高：
★(2012年高考湖北卷) 函数f (x ) ＝x cos （2x ）在区间[0,2π]上的零点个数为( )
A ．2 B ．3 C ．4 D ．4
【体验高考2】(2012年高考湖北卷) 函数f (x ) ＝x cos （x 2）在区间[0,4]上的零点个数为( )
A ．4 B ．5 C ．6 D ．7
考向二 二分法
疑难关注：
零点存在定理的零点个数
(1)在(a ，b ) 上存在零点(此处的零点不仅指变号零点) ，个数不定，若仅有变号零点，则有奇数个；
(2)若函数在(a ，b ) 上有零点，不一定有f (a ) f (b )
(3)相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
[例2] (2013年济南模拟) 若函数f (x ) ＝x 3＋x 2－2x －2的一个正数零点附近的函
【跟踪训练2】．(2013年锦州模拟) 用二分法求方程x 3－2x －5＝0在区间(2,3)上的近似解，取区间中点x 0＝2.5，那么下一个有解区间为________
考向三 函数零点的应用
[例3] 已知a 是实数，函数f (x ) ＝2ax 2＋2x －3－a ，如果函数y ＝f (x ) 在区间[－1,1]上有零点，求a 的取值范围．
2x 【互动探究】本例中条件若变为“f (x ) ＝2－x －a 的一个零点在区间(1,2)内”求
实数a 的取值范围．
【体验高考3】 (2011年高考辽宁卷) 已知函数f (x ) ＝e x －2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________．
1－x 【因材施教3．】 (2013年合肥质检) 函数f (x ) ＝m 有零点的充要条件是 x ＋3
⎛1x 【因材施教2．】 (2013年南昌模拟) 已知函数f (x ) ＝ 3－log 2x ，正实数a ，b ，c ⎝⎭
成公差为正数的等差数列且f (a )·f (b )·f (c )
A ．x 0
C ．x 0
★（2010浙江文9）已知x 0是函数f(x)=2x + B ．x 0>b D ．x 0>c 1的一个零点. 若x 1∈（1，x 0）， 1-x x 2∈（x 0，+∞），则
（A ）f(x 1) ＜0，f(x 2) ＜0 （B ）f(x 1) ＜0，f(x 2) ＞0
（C ）f(x 1) ＞0，f(x 2) ＜0 （D ）f(x 1) ＞0，f(x 2) ＞0
考向一 函数零点的求解与判断
知识点：方程f (x ) =0有实数根⇔函数y =f (x ) 的图象与x 轴
有交点⇔函数y =f (x ) 有零点．
注意：函数的零点不是点，是方程f (x ) ＝0的根；
★函数零点的求法：
（代数法）求方程f (x ) =0的实数根；
（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数
y =f (x ) 的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
定理：如果函数y =f (x ) 在区间[a , b ]上的图象是连续不间断的一条曲线，并且有f (a ) ⋅f (b )
[例1] (2012年高考辽宁卷) 设函数f (x )(x ∈R ) 满足f (－x ) ＝f (x ) ，f (x ) ＝f (2－x ) ，且
⎡13⎤当x ∈[0,1]时，f (x ) ＝x . 又函数g (x ) ＝|x cos(πx )|，则函数h (x ) ＝g (x ) －f (x ) 在⎢－2，2⎥⎣⎦3
上的零点个数为( )
A ．5 B ．6 C ．7 D ．8
训练：
1⎛1⎫【体验高考1．】(2012年高考北京卷) 函数f (x ) ＝x 2－ 2⎪x 的零点的个数为( ) ⎝⎭
A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
【跟踪训练1】 (2013年唐山模拟) 设f (x ) ＝e x ＋x －4，则函数f (x ) 的零点位于区间( )
A ．(－1,0) B．(0,1) C．(1,2) D．(2,3)
【基础自测2】 (2012年高考天津卷) 函数f (x ) ＝2x ＋x 3－2在区间(0,1)内的零点个数是( )
A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
提高：
★(2012年高考湖北卷) 函数f (x ) ＝x cos （2x ）在区间[0,2π]上的零点个数为( )
A ．2 B ．3 C ．4 D ．4
【体验高考2】(2012年高考湖北卷) 函数f (x ) ＝x cos （x 2）在区间[0,4]上的零点个数为( )
A ．4 B ．5 C ．6 D ．7
考向二 二分法
疑难关注：
零点存在定理的零点个数
(1)在(a ，b ) 上存在零点(此处的零点不仅指变号零点) ，个数不定，若仅有变号零点，则有奇数个；
(2)若函数在(a ，b ) 上有零点，不一定有f (a ) f (b )
(3)相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
[例2] (2013年济南模拟) 若函数f (x ) ＝x 3＋x 2－2x －2的一个正数零点附近的函
【跟踪训练2】．(2013年锦州模拟) 用二分法求方程x 3－2x －5＝0在区间(2,3)上的近似解，取区间中点x 0＝2.5，那么下一个有解区间为________
考向三 函数零点的应用
[例3] 已知a 是实数，函数f (x ) ＝2ax 2＋2x －3－a ，如果函数y ＝f (x ) 在区间[－1,1]上有零点，求a 的取值范围．
2x 【互动探究】本例中条件若变为“f (x ) ＝2－x －a 的一个零点在区间(1,2)内”求
实数a 的取值范围．
【体验高考3】 (2011年高考辽宁卷) 已知函数f (x ) ＝e x －2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________．
1－x 【因材施教3．】 (2013年合肥质检) 函数f (x ) ＝m 有零点的充要条件是 x ＋3
⎛1x 【因材施教2．】 (2013年南昌模拟) 已知函数f (x ) ＝ 3－log 2x ，正实数a ，b ，c ⎝⎭
成公差为正数的等差数列且f (a )·f (b )·f (c )
A ．x 0
C ．x 0
★（2010浙江文9）已知x 0是函数f(x)=2x + B ．x 0>b D ．x 0>c 1的一个零点. 若x 1∈（1，x 0）， 1-x x 2∈（x 0，+∞），则
（A ）f(x 1) ＜0，f(x 2) ＜0 （B ）f(x 1) ＜0，f(x 2) ＞0
（C ）f(x 1) ＞0，f(x 2) ＜0 （D ）f(x 1) ＞0，f(x 2) ＞0