平面几何练习题

平面几何选讲练习题

１．如图所示，已知⊙O 1与⊙O 2相交于A ，B 两点，过点A 作⊙O 1的切线交⊙O 2于点C ，

过点B 作两圆的割线，分别交⊙O 1，⊙O 2于点D ，E ，DE 与AC 相交于点P. （1）求证:AD∥EC;

（2）若AD 是⊙O 2的切线, 且PA=6,PC=2,BD=9,求

2．如图：已知AD 为⊙O 的直径，直线BA 与⊙O 相切于点A ，直线OB 与弦AC 垂直并相

交于点G ，连接DC .

求证：BA ·DC =GC ·AD .

3．已知：如图，△ABC 中，AB=AC，∠BAC=90°，AE=

上，且CF=

AC ，BD=AB ，点F 在BC 33

BC 。求证： 3

（1）EF ⊥BC ；

（2）∠ADE=∠EBC 。

４．如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的中点，AE 的延长线交BC 于F .

（1）求的值；

（2）若△BEF 的面积为S 1，四边形CDEF 的面

积为S 2，求S 1:S 2的值．

５．已知C 点在圆O 直径BE 的延长线上，CA 切圆O 于A 点，DC 是∠ACB 的平分线交

AE 于点F ，交AB 于D 点. （1）求∠ADF 的度数；（2）若AB=AC，求AC:BC

６．自圆O 外一点P 引切线与圆切于点A ，M 为PA 中点，过M 引割线交圆于B,C 两点．

求证:∠MCP=∠MPB ．

7．如图，AD 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 于点M 、N ，直线BMN 交AD 的延长线于点C ，BM =MN =NC ，AB =2，求BC 的长和⊙O 的半径.

8．如图，AB 是⊙O 的直径，C ，F 为⊙O 上的点，CA 是∠BAF 的角平分线，过点C 作

CD ⊥AF 交AF 的延长线于D 点，CM ⊥AB ，垂足为点M . （1）求证：DC 是⊙O 的切线；（2）求证：AM ·MB =DF ·DA .

9．如图，已知AP 是⊙O 的切线，P 为切点，AC 是⊙O 的割线，与⊙O 交于B 、C 两点，

圆心O 在∠PAC 的内部，点M 是BC 的中点.

（Ⅰ）证明A ，P ，O ，M 四点共圆；（Ⅱ）求∠OAM ＋∠APM 的大小.

10．如图，过圆O 外一点M 作它的一条切线，切点A ，过A 点作直线AP 垂直直线OM ，

垂足为P.

（Ⅰ）证明：OM ·OP=OA2；

（Ⅱ）N 为线段AP 上一点，直线NB 垂直直线ON ，且交圆O 于B 点，过B 点的切线交

直线ON 于K. 证明：∠OKM=90°

11．如图，在四边形ABCD 中，△ABC ≌△BAD.

求证：AB ∥CD.

12．已知 ∆ABC 中，AB=AC, D 是 ∆ABC 外接圆劣弧 AC

上的点（不与点A,C 重合），延长BD 至E 。

（1）求证：AD 的延长线平分∠CDE ；

（2）若∠BAC=30

，∆ABC 中BC 边上的高为求∆ABC 外接圆的面积。

13．如图，已知∆ABC 的两条角平分线AD 和CE 相交于H ，∠B =60，F 在AC 上，且AE =AF 。

（I ）证明：B,D,H,E 四点共圆：（II ）证明：CE 平分∠DEF 。

14．已知:如右图, 在等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC,AB ＝DC, 过点D 作AC 的平行线DE, 交BA

E 的延长线于点E ．求证：

（1）△ABC ≌△DCB （2）DE·DC ＝AE·BD ．

15．在圆O 的直径CB 的延长线上取一点A ，A P 与圆O 切于点P ，且∠APB ＝30°，

AP ＝3，则CP ＝

( )

3 B ．23 C ．3－1 D ．3＋1

16．已知AB 是圆O 的直径，弦AD 、BC 相交于点P ，那么CD ∶AB 等于∠BPD 的( )

A ．正弦 B ．余弦 C ．正切 D ．余切

17．如图所示，已知D 是△ABC 中AB 边上一点，DE ∥BC 且交AC

于E ，EF ∥AB 且交BC 于F ，且S △ADE ＝1，S △EFC ＝4，则四边形BFED 的面积等于 ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5

18．AD 、AE 和BC 分别切⊙O 于D 、E 、F ，如果AD ＝20，

则△ABC 的周长为 ( )

A ．20 B ．30 C ．40 D ．35

25．如图所示，AB 是半圆的直径，弦AD 、BC 相交于P ，已知∠DPB ＝60°，D 是弧BC 的中点，则tan ∠ADC ＝________.

19．如图所示，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，CD ＝4，

BD ＝8，则圆O 的半径长为________．

20．如图，AB 是半圆O 的直径，∠BAC ＝30°，

BC 为半圆的切线，且BC ＝43，则点O 到 AC 的距离OD ＝________.

平面几何选讲练习题答案

１．（1）证明：连接AB ，∵AC 是⊙O 1的切线，∴∠BAC=∠D ，

又∵∠BAC=∠E ，∴∠D=∠E 。∴AD ∥EC （4分）（2）设BP=x，PE=y，∵PA=6，PC=2，∴xy=12，①

∵AD ∥EC ，∴由①②可得，⎨

DP AP 9+x 6

=⇒=②， PE PC y 2

⎧x =3⎧x =-12

或⎨（舍去）∴DE=9+x+y=16，

⎩y =4⎩y =-1

∵AD 是⊙O 2的切线， ∴AD 2=DB∙DE=9×16， ∴AD=12。（6分）

2．证法一：∵ AC ^OB ，∴ ? AGB 又 AD 是⊙Ｏ的直径，∴ ? DCA 又 ∵ ? BAG

90 ， 90 ，

? ADC （弦切角等于同弧对圆周角）………4分

∴ Rt △AGB ∽Rt △DCA …………………………………5分

=AD BA

= ∴ AD

∴ AG

，又∵ OG ^AC ∴ GC =AG …………………………7分 DC GC

…………………………………………………9分 DC

即 BA •DC=GC •AD ………………………………………10分证法二：∵ BA 与⊙Ｏ相切于A ∴ ? BAO

又 AG ^BO 于G ， ∴ ? ABG

? GOA

∴ Rt △BGA ∽Rt △AGO …………………………3分 ∵

BA AO

=………………………………………①…5分 AG OG

∵ OG ^弦AC 于G ，∴ G 为AC 的中点又 ∵ O 为直径AD 的中点，

AD ，OG =DC ………………………7分 221AD

BA AD

∴ ∴ BA •DC=GC •A D ……………………………10分 ==

AG DC DC 2

∴ AO =

3．证明：设AB=AC=3a，则AE=BD=a，CF=2a . （1）

CE 2a 2CF 2a 2

==, ==. CB 32a 3CA 3a 3

又∠C 公共，故△BAC ∽△EFC ，由∠BAC=90°， ∴∠EFC=90°，∴EF ⊥BC …………4分（2）由（1）得EF =

2a , 故

AE a 2AD 2a 2

==, ==. EF 2BF 22a 22a

…………6分

∴

AE AD

=. EF BF

∴∠DAE=∠BFE=90°∴△ADE ∽△FBE ， …………8分 ∴∠ADE=∠EBC 。 …………10分４．证明：（1）过D 点作DG ∥BC ，并交AF 于G 点， -------------------------2分

∵E 是BD 的中点，∴BE=DE，又∵∠EBF=∠EDG ，∠BEF=∠DEG ， ∴△BEF ≌△DEG ，则BF=DG，∴BF ：FC=DG：FC ，又∵D 是AC 的中点，则DG ：FC=1：2，

则BF ：FC=1：2；----------------------------------------------4分

（2）若△BEF 以BF 为底，△BDC 以BC 为底，则由（1）知BF ：BC=1：3，

又由BE ：BD=1：2可知h 1：h 2=1：2，其中h 1、h 2S 111

分别为△BEF 和△BDC 的高，则∆BEF =⨯=S ∆BDC 326

则S 1:S 2=1：5． -----------------------8分

５． AC 为圆O 的切线, ∴∠B =∠EAC

又知,DC 是∠ACB 的平分线,

∴∠ACD =∠DCB ∴∠B +∠DCB =∠EAC +∠ACD

即 ∠A D F =∠A F D 又因为BE 为圆O 的直径, ∴∠DAE =90︒ ∴∠ADF =

(180︒-∠DAE ) =45︒ 2

AC AE

= BC AB

（2） ∠B =∠EAC , ∠ACB =∠ACB , ∴∆ACE ∽∆ABC ∴

又 AB=AC, ∴∠B =∠ACB =30︒, ∴在RT ⊿ABE 中,

AC AE ……10分 ==tan ∠B =tan 30︒=

BC AB 3

６．证明：∵PA 与圆相切于A ，

∴MA 2=MB ⋅MC ， ………………2分

∵M 为PA 中点，∴PM =M A ， ………………3分

PM MB

∴PM 2=MB ⋅MC ，∴ ． ………5分 =

MC PM

∵∠BMP =∠PMC ， ………………6分 ∴△BMP ∽△PMC ，………………8分 ∴∠MCP =∠MPB ． ………………10分

7．证明： AD 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 的切线，直线BMN 是⊙O 的割线，

∴∠BAC =90 ，AB 2=BM ⋅BN .

BM =MN =NC , AB =2, ∴2BM 2=4, ∴BM =2, ∴BC =3BM =2…4分 ∴AB 2+AC 2=BC 2，4+AC 2=18，AC =.

CN ⋅CM =CD ⋅CA , ∴2⋅22==CD ⋅, ∴CD =

………………………………………8分 ∴⊙O 的半径为(CA -CD ) =

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8．解：（I ）连结OC ，∴∠OAC =∠OCA ，又∵CA 是∠BAF 的角平分线，

∴∠OAC =∠F AC ，∴∠F AC =∠ACO ，∴OC ∥AD . ………………3分 ∵CD ⊥AF ，∴CD ⊥OC ，即DC 是⊙O 的切线. …………5分（Ⅱ）连结BC ，在Rt △ACB 中， CM ⊥AB ，∴CM 2=AM ·MB . 又∵DC 是⊙O 的切线，∴DC 2=DF ·DA . 易知△AMC ≌△ADC ，∴DC =CM ，∴AM ·MB =DF

19．（Ⅰ）证明：连结OP ，OM .

因为AP 与⊙O 相切于点P ，所以OP ⊥AP . 因为M 是⊙O 的弦BC 的中点，所以OM ⊥BC .

于是∠OP A ＋∠OMA =180°，由圆心O 在∠PAC 可知四边形APOM 的对角互补，所以A ，P ，O ，M

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得A ，P ，O ，M 四点共圆，所以∠OAM =∠OPM. 由（Ⅰ）得OP ⊥AP .

由圆心O 在∠PAC 的内部，可知∠OPM ＋∠APM =90°. 所以∠OAM ＋∠APM =90°. ……10分 10．（Ⅰ）证明：因为MA 是圆O 的切线，所以OA ⊥AM

又因为AP ⊥OM ，在Rt △OAM 中，由射影定理知，

OA 2=OM ⋅OP .

（Ⅱ）证明：因为BK 是圆O 的切线，BN ⊥OK ，同（Ⅰ），有OB 2=ON·OK ，又OB=OA，所以OP ·OM=ON·OK ，即

ON OM

=. OP OK

又∠NOP=∠MOK ，所以△ONP ∽△OMK ，故∠OKM=∠OPN=90°

11．证明：由△ABC ≌△BAD 得∠ACB=∠BDA ，故A 、B 、C 、D 四点共圆，从而∠CBA=

∠CDB 。再由△ABC ≌△BAD 得∠CAB=∠DBA 。因此∠DBA=∠CDB ，所以AB ∥CD 。 12．解：（Ⅰ）如图，设F 为AD 延长线上一点 ∵A ，B ，C ，D 四点共圆，∴∠CDF =∠ABC

又AB=AC ∴∠ABC=∠ACB, 且∠ADB=∠ACB, ∴∠ADB=∠CDF, 对顶角∠EDF=∠ADB,

故∠EDF=∠CDF, 即AD 的延长线平分∠CDE.

（Ⅱ）设O 为外接圆圆心，连接AO 交BC 于H, 则AH ⊥BC.

连接OC,A 由题意∠OAC=∠OCA=15, ∠ACB=75, ∴∠OCH=60. 设圆半径为r, 则r+

r=2+3,a 得r=2,外接圆的面积为4π。 2

13．解：（Ⅰ）在△ABC 中，因为∠B=60°，

所以∠BAC+∠BCA=120°.

因为AD ，CE 是角平分线，所以∠HAC+∠HCA=60°，故∠AHC=120°. 于是∠EHD=∠AHC=120°.

因为∠EBD+∠EHD=180°，所以B,D,H,E 四点共圆.

（Ⅱ）连结BH, 则BH 为∠ABC 的平分线，得∠HBD=30° 由（Ⅰ）知B,D,H,E 四点共圆，所以∠CED=∠HBD=30°

又∠AHE=∠EBD=60°，由已知可得E F ⊥AD ，可得∠CEF=30°. 所以CE 平分∠DEF.

14．证明：(1) ∵四边形ABCD 是等腰梯形，

∴AC ＝DB ∵AB ＝DC ，BC ＝CB ，∴△ABC ≌△BCD (2)∵△ABC ≌△BCD ，

∴∠ACB ＝∠DBC ，∠ABC ＝∠DCB

∵AD ∥BC ，

∴∠DAC ＝∠ACB ，∠EAD ＝∠ABC ∵ED ∥AC ，∴∠EDA ＝∠DAC ∴∠EDA ＝∠DBC ，∠EAD ＝∠DCB

∴△ADE ∽△CBD ∴DE:BD＝AE:CD， ∴DE ·DC ＝AE ·BD ． 15. 解析：如图，连结OP ，∴OP ⊥P A ，又∠APB ＝30°，

∴∠P OB ＝60°，

∴在Rt △OP A 中，OP ＝1，易知，PB ＝OP ＝1，在Rt △PCB 中，由PB ＝1，∠PBC ＝60°，可求PC ＝3. 答案：A

16. 解析：如图，易知，△CPD ∽△APB ，

∴∴

CD DP DP

＝. 连结BD ，则△PDB 为Rt △，∴cos ∠BPD ＝ AB BP BP CD

＝cos ∠BPD . 答案：B AB

17. 解析：因为AD ∥EF ，DE ∥FC ，所以△ADE ∽△EFC .

因为S △ADE ∶S △EFC ＝1∶4，所以AE ∶EC ＝1∶2，所以AE ∶AC ＝1∶3，所以S △ADE ∶S △ABC ＝1∶9，所以S 四边形BFED ＝4. 答案：C

18. 解析：∵AD 、AE 、BC 分别为圆O 的切线，∴AE ＝AD ＝20，BF ＝BD ，CF ＝CE ，

∴△ABC 的周长为AB ＋AC ＋BC ＝AB ＋AC ＋BF ＋CF ＝(AB ＋BD ) ＋(AC ＋CE ) ＝40. 答案：C

19．答案：

20．答案：5