立体几何综合练习题及答案
一、选择题
1．设α是空间中的一个平面，l , m , n 是三条不同的直线，则下列命题中正确的是( )
A ．若m ⊂α, n ⊂α, l ⊥m , l ⊥n , 则l ⊥α;
B ．若m ⊂α, n ⊥α, l ⊥n , 则l //m ;
C ．若l //m , m ⊥α, n ⊥α, 则l //m ;
D ．若l ⊥m , l ⊥n , 则n //m ;
2．如上图是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A 、B 、C 为其上的三个点，则在正方体盒子中∠ABC =( )
A ．45° B ．60° C ．90° D ．120°
3．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是( )
A ．212 B ．1++ C ．1+2 D ．2+2 24．下列命题正确的是( )
A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C ．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D ．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
5．已知S ，A ，B ，C 是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ,
SA =AB =1, BC =2, 则球O 的表面积等于( )
A ．4π B ．3π C ．2π D ．π
二、填空题
6．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的
表面积为_________.
7．正四棱锥的侧棱长为23, 侧棱与底面所成的角为60°，
则该棱锥的体积为_________.
8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，
则该圆锥的体积为_________.
9．如图BD 是边长为3的ABCD 为正方形的对角线，
将∆BCD 绕直线AB 旋转一周后形成的几何体的体积等于_________.
10．已知三个球的半径R1，R2，R3满足R1＋2R2＝3R3，则它们的表面积S1，S2，S3满足的等量关系是
_________.
. 三、解答题
11．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝5，D ，E 分别为BC ，BB 1的中点，四边形B 1BCC 1是边长为6的正方形.(1)求证：A 1B ∥平面AC 1D ；(2)求证：CE ⊥平面AC 1D ；
12． 如图，在三棱锥P-ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，D 为侧棱PC 上一点，它的正（主）视
图和侧（左）视图如图所示． (1)证明：AD ⊥平面PBC ； (2)求三棱锥D-ABC 的体积；
(3)在∠ACB 的平分线上确定一点Q ，使得PQ ∥平面ABD ，并求此时PQ 的长.
参考答案
1-----5 CBDCA
6．48+8 ； 7．6 ； 8．3π ； 9．18π ； 10． S 1＋22＝3S 3 3
11．【解析】(1)连接A 1C ，与AC 1交于O 点，连接OD.
因为O ，D 分别为AC 1和BC 的中点，
所以OD ∥A 1B.
又OD ⊂平面AC 1D ，A 1B ⊄平面AC 1D ，
所以A 1B ∥平面AC 1D.
(2)在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，
BB 1⊥平面ABC ，又AD ⊂平面ABC ，
所以BB 1⊥AD.
因为AB ＝AC ，D 为BC 的中点，
所以AD ⊥BC. 又BC ∩BB 1＝B ，
所以AD ⊥平面B 1BCC 1.
又CE ⊂平面B 1BCC 1，所以AD ⊥CE.
因为四边形B 1BCC 1为正方形，D ，E 分别为BC ，BB 1的中点，
所以Rt △CBE ≌Rt △C 1CD ，∠CC 1D ＝∠BCE.
所以∠BCE ＋∠C 1DC ＝90°.
所以C 1D ⊥CE. 又AD ∩C 1D ＝D ，
所以CE ⊥平面AC 1D.
12．
解：(1)因为PA ⊥平面ABC ，所以PA ⊥BC ，
又AC ⊥BC ，所以BC ⊥平面PAC ，所以BC ⊥AD.
由三视图可得，在△PAC 中，PA=AC=4，D 为PC 中点，所以AD ⊥PC ，
所以AD ⊥平面PBC ，…………4分
(2)由三视图可得BC=4，
由(1)知∠ADC=90°，BC ⊥平面PAC ，
又三棱锥D-ABC 的体积即为三棱锥B-ADC 的体积， 所以，所求三棱锥的体积V =11116⨯⨯4⨯⨯4⨯4=⋅…………………………8分 3223
(3) 取AB 的中点O ，连接CO 并延长至Q ，使得CQ=2CO，点Q 即为所求． 因为O 为CQ 中点，所以PQ ∥OD ，
因为PQ ⊄平面ABD ，OD ⊂平面ABD ，所以PQ ∥平面ABD ，
连接AQ ，BQ ，四边形ACBQ 的对角线互相平分，
所以ACBQ 为平行四边形，所以AQ=4，又PA ⊥平面ABC ，
所以在直角△PAD 中，PQ =AP 2+AQ 2=42.
立体几何综合练习题及答案
一、选择题
1．设α是空间中的一个平面，l , m , n 是三条不同的直线，则下列命题中正确的是( )
A ．若m ⊂α, n ⊂α, l ⊥m , l ⊥n , 则l ⊥α;
B ．若m ⊂α, n ⊥α, l ⊥n , 则l //m ;
C ．若l //m , m ⊥α, n ⊥α, 则l //m ;
D ．若l ⊥m , l ⊥n , 则n //m ;
2．如上图是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A 、B 、C 为其上的三个点，则在正方体盒子中∠ABC =( )
A ．45° B ．60° C ．90° D ．120°
3．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是( )
A ．212 B ．1++ C ．1+2 D ．2+2 24．下列命题正确的是( )
A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C ．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D ．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
5．已知S ，A ，B ，C 是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ,
SA =AB =1, BC =2, 则球O 的表面积等于( )
A ．4π B ．3π C ．2π D ．π
二、填空题
6．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的
表面积为_________.
7．正四棱锥的侧棱长为23, 侧棱与底面所成的角为60°，
则该棱锥的体积为_________.
8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，
则该圆锥的体积为_________.
9．如图BD 是边长为3的ABCD 为正方形的对角线，
将∆BCD 绕直线AB 旋转一周后形成的几何体的体积等于_________.
10．已知三个球的半径R1，R2，R3满足R1＋2R2＝3R3，则它们的表面积S1，S2，S3满足的等量关系是
_________.
. 三、解答题
11．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝5，D ，E 分别为BC ，BB 1的中点，四边形B 1BCC 1是边长为6的正方形.(1)求证：A 1B ∥平面AC 1D ；(2)求证：CE ⊥平面AC 1D ；
12． 如图，在三棱锥P-ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，D 为侧棱PC 上一点，它的正（主）视
图和侧（左）视图如图所示． (1)证明：AD ⊥平面PBC ； (2)求三棱锥D-ABC 的体积；
(3)在∠ACB 的平分线上确定一点Q ，使得PQ ∥平面ABD ，并求此时PQ 的长.
参考答案
1-----5 CBDCA
6．48+8 ； 7．6 ； 8．3π ； 9．18π ； 10． S 1＋22＝3S 3 3
11．【解析】(1)连接A 1C ，与AC 1交于O 点，连接OD.
因为O ，D 分别为AC 1和BC 的中点，
所以OD ∥A 1B.
又OD ⊂平面AC 1D ，A 1B ⊄平面AC 1D ，
所以A 1B ∥平面AC 1D.
(2)在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，
BB 1⊥平面ABC ，又AD ⊂平面ABC ，
所以BB 1⊥AD.
因为AB ＝AC ，D 为BC 的中点，
所以AD ⊥BC. 又BC ∩BB 1＝B ，
所以AD ⊥平面B 1BCC 1.
又CE ⊂平面B 1BCC 1，所以AD ⊥CE.
因为四边形B 1BCC 1为正方形，D ，E 分别为BC ，BB 1的中点，
所以Rt △CBE ≌Rt △C 1CD ，∠CC 1D ＝∠BCE.
所以∠BCE ＋∠C 1DC ＝90°.
所以C 1D ⊥CE. 又AD ∩C 1D ＝D ，
所以CE ⊥平面AC 1D.
12．
解：(1)因为PA ⊥平面ABC ，所以PA ⊥BC ，
又AC ⊥BC ，所以BC ⊥平面PAC ，所以BC ⊥AD.
由三视图可得，在△PAC 中，PA=AC=4，D 为PC 中点，所以AD ⊥PC ，
所以AD ⊥平面PBC ，…………4分
(2)由三视图可得BC=4，
由(1)知∠ADC=90°，BC ⊥平面PAC ，
又三棱锥D-ABC 的体积即为三棱锥B-ADC 的体积， 所以，所求三棱锥的体积V =11116⨯⨯4⨯⨯4⨯4=⋅…………………………8分 3223
(3) 取AB 的中点O ，连接CO 并延长至Q ，使得CQ=2CO，点Q 即为所求． 因为O 为CQ 中点，所以PQ ∥OD ，
因为PQ ⊄平面ABD ，OD ⊂平面ABD ，所以PQ ∥平面ABD ，
连接AQ ，BQ ，四边形ACBQ 的对角线互相平分，
所以ACBQ 为平行四边形，所以AQ=4，又PA ⊥平面ABC ，
所以在直角△PAD 中，PQ =AP 2+AQ 2=42.