数学读书报告
——《中国数学简史》
一、先秦萌芽时期
春秋战国时期数学就已出现。据《易·系辞》记载：在殷墟出土的甲骨文卜辞中有很多
记数的文字。从一到十，及百、千、万是专用的记数文字，共有13个独立符号，其中有十进
制制的记数法，出现最大的数字为三万。 算筹是中国古代的计算工具，而这种计算方法称为筹算。算筹的产生年代已不可考究，
但可以肯定的是筹算在春秋时代已很普遍。算筹为加、减、乘、除等运算建立起良好的条件。
直到十五世纪元朝末年才逐渐为珠算所取代，中国古代数学就是在筹算的基础上取得其辉煌
成就的。 在几何学方面，《史记·夏本记》中说夏禹治水时已使用了规、矩、准、绳等作图和测量
工具，并早已发现「勾三股四弦五」这个勾股定理的特例。战国时期，齐国人著的《考工记》
汇总了当时手工业技术的规范，包含了一些测量的内容，并涉及到一些几何知识，例如角的
概念。
战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展，一些学派还总结和概括出与数学有关的许多
抽象概念。著名的有《墨经》中关于某些几何名词的定义和命题，墨家还给出有穷和无穷的
定义。《庄子》记载了惠施等人的名家学说，强调抽象的数学思想。这些许多几何概念的定义、
极限思想和其它数学命题是相当可贵的数学思想，但这种重视抽象性和逻辑严密性的新思想
未能得到很好的继承和发展。 此外，讲述阴阳八卦，预言吉凶的《易经》已有了组合数学的萌芽，并反映出二进制的
思想。
二、汉唐初创时期
秦汉是中国古代数学体系的形成时期。为使不断丰富的数学知识系统化、理论化，数学
方面的专书陆续出现。
西汉末年(公元前一世纪) 编纂的天文学著作《周髀算经》在数学方面主要有两项成就：
(1)提出勾股定理的 特例及普遍形式；(2)测太阳高等。此外，还有较复杂的开方问题和分数运算等。 《九章算术》是一部经几代人整理、删补和修订而成的古代数学经典著作，约成书于东
汉初年。主要内容包括分数四则和比例算法、各种面积和体积的计算、关于勾股测量的计算
等。在代数方面，《方程》章中所引入的负数概念及正负数加减法法则，在世界数学史上都是
最早的记载；书中关于线性方程组的解法和现在中学讲授的方法基本相同。就《九章算术》
的特点来说，它注重应用，注重理论联系实际，形成了以筹算为中心的数学体系，对中国古
算影响深远。它的一些成就如十进制值制等还传到印度和阿拉伯，并通过这些国家传到欧洲，
促进了世界数学的发展。 魏晋时期中国数学在理论上有了较大的发展。其中赵爽和刘徽的
工作被认为是中国古代数学理论体系的开端。赵爽是中国古代对数学定理和公式进行证明的
最早的数学家之一，对《周髀算经》做了详尽的注释。刘徽注释《九章算术》，不仅对原书的
方法、公式和定理进行一般的解释和推导，且在论述过程中多有创新，更撰写《海岛算经》。
刘徽其中一项重要的工作是创立割圆术，为圆周率的研究工作奠定理论基础和提供了科学的
算法。 南北朝时期的社会长期处于战争和分裂状态，但数学的发展依然蓬勃。《孙子算经》、《夏
侯阳算经》、《张丘建算经》就是这个时期的作品。《孙子算经》给出「物不知数」问题，导致
求解一次同余组问题；《张丘建算经》的「百鸡问题」引出三个未知数的不定方程组问题。 祖冲之等的工作在这一时期最具代表性，他们在《九章算术》刘徽注的基础上，将传统
数学大大向前推进了一步，成为重视数学思维和数学推理的典范。他们同时在天文学上也有
突出的贡献。其著作《缀术》已失传，根据史料记载，他们在数学上主要有三项成就：
(1)计算圆周率精确到小数点后第六位，得到
3.1415926<π<3.1415927，并求得π的约率为22/7，密率为355/113；(2)得到祖
暅定理并得到球体积公式；(3)发展了二次与三次方程的解法。
三、宋元全盛时期
从公元十一世纪到十四世纪(宋、元两代) ，筹算数学达到极盛，是中国古代数学空前繁
荣，硕果累累的全盛时期。这一时期出现了一批著名的数学家和数学著作，列举如下：贾宪
的《黄帝九章算法细草》，刘益的《议古根源》，秦九韶的《数书九章》，李冶的《测圆海镜》
和《益古演段》，杨辉的《详解九章算法》、 《日用算法》和《杨辉算法》，朱世杰的《算学启蒙》和《四元玉鉴》等等。 宋元数学在很多领域都达到了中国古代数学，甚至是当时世界数学的巅峰。其中主要的
工作有：(1)高次方程数值解法；(2)天元术与四元术，即高次方程的立法与解法，是中国数
学史上首次引入符号，并用符号运算来解决建立高次方程的问题；(3)大衍求一术，即一次同
余式组的解法，现在称为中国剩余定理；(4)招差术和垛积术，即高次内插法和高阶等差级数
求和。 另外，其它成就包括勾股形解法新的发展、解球面直角三角形的研究、纵横图(幻方)
的研究、小数(十进分数) 具体的应用、珠算的出现等等。 这一时期民间数学教育也有一定的发展，以及中国和伊斯兰国家之间的数学知识的交流
也得到了发展。
四、西学输入时期
这一时期从十四世纪中叶明王朝建立到二十世纪清代结束共500多年。数学除珠算外出
现全面衰弱的局面。十六世纪末，西方初等数学开始传入中国，使中国数学研究出现了一个
中西融合贯通的局面。鸦片战争后，近代高等数学开始传入中国，中国数学转入一个以学习
西方数学为主的时期。直到十九世纪末，中国的近代数学研究才真正开始。篇二：数学读书
报告
数学读书报告
看完了一本书, 名叫《数学与艺术——无穷的碎片》. 这本书包含了十个章节, 参考文献以
及索引三大部分，是我从未见过的创新. 这本书深入浅出的介绍了许多数学与艺术相结合的内容, 通过二百幅插图以及二十多幅
彩图, 介绍了许多优秀作品和不少艺术家, 数学家的奇闻趣事. 读完这本书, 我得到了许多收获. 比如, 我知道了什么是四维图形. 因为书上说:一维图形
是由一个点移动得来(长度），二维图形是由一维图形移动得来，三维图形是由二维图形移动
得来（体积），那么四维图形肯定是由三维图形移动得来的. 而且，我还由此认识了超立方体，
他当然也是四维图形，或者说它是超三维图形. 比如, 我还通过试验得知:一维图形有2个顶点, 二维图形有4(2×2) 个端点, 三维图形有
8(2×2×2) 个端点, 四维图形有16(2×2×2×2) 个端点. 而这四个数, 刚好功成了一条比值为
2的等比数列. 这也证明了超立方体的16个端点与32条棱的性质, 也能说明:这些□维图形之
间, 有着奇妙的关系.
此外, 我还知道了某个物体是否具有二片性. 一般的, 没有缺口的, 没有皱褶的凸几何体
(例如球或鸡蛋形) 具有两片性. 然而, 某些非凸的几何体也具有两片性, 例如削去了有柄那一
半的甜瓜, 或削去了有柄那一半的梨. 虽然这本书还有太多我不明白的东西, 但是我仍然喜欢它. 篇三：数学文化读书报告 数学文化读书报告
11041531 张鹏鹏 电子信息工程 这学期选了李承家和王国卯老师的数学文化课，让我对数学有了新的认识。以前我认为
数学是枯燥无味的，因为每天面对的是做不完的作业，而其中数学作业尤为繁重，数学是一
座压在我头上12年的山！然而通过这学期的学习我才发现数学并不枯燥，数学其实很有趣，
数学是一门美丽的学科。
我认为数学的美包括两个方面：（一）数学知识体系的发展美。如数系的发展。对数的发
明。笛卡尔坐标系的引入。微积分的发展等。（二）众多天才数学家留下的许多有趣的故事，
体现了人类的智慧，人们为其折服和心悦。 数学知识体系的发展是一个漫长的过程，不是一蹴而就的。经过了无数人的努力才有了
我们今天所看到的宏伟的数学体系。就数域而言，经过数次扩充，形成了有理数，无理数，
复数，四元数，超复数域。 没有什么比数学家的轶事更能激起我的兴趣了。听听他们的趣事真的可以说得上是一件
享受了。他们的趣事为数学的发展添上了有趣多彩的一笔，没有他们，数学的美就会大打折
扣。
在16周的学习过程中，最让我难以忘记的还是李承家老师所讲的有关分形几何学的那节
课。尽管没完全听懂，但是总算是大开眼界了！李承家老师所给我们展示的分形的图片，可
谓是多彩绚丽，我被这些美丽图片深深地迷住了。我知道了分形是以非整数维形式充填空间
的形态特征。分形可以说是来自于一种思维上的理论存在。1973年，曼德勃罗在法兰西学院
讲课时，首次提出了分维和分形几何的设想。分形一词，是曼德勃罗创造出来的，其原意具
有不规则、支离破碎等意义，分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。由
于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。分形几何
从整体上看，分形几何图形是处处不规则的。例如，海岸线和山川形状，从远距离观察，其
形状是极不规则的。不同尺度上，图形的规则性又是相同的。上述的海岸线和山川形状，从
近距离观察，其局部形状又和整体形态相似，它们从整体到局部，都是自相似的。当然，也
有一些分形几何图形，它们并不完全是自相似的。其中一些是用来描述一般随机现象的，还
有一些是用来描述混沌和非线性系统的。 我还对费马大定理有了更加深入的了解。费马在阅读丢番图《算术》拉丁文译本时，曾
在第11卷第8命题旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四
次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成 两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信已发现了一种美妙的证法 ，可惜这里
空白的地方太小，写不下。”毕竟费马没有写下证明，而他的其它猜想对数学贡献良多，由此
激发了许多数学家对这一猜想的兴趣。数学家们的有关工作丰富了数论的内容，推动了数论
的发展。费马大定理真可谓是一只会下金蛋的鸡！费马大定理经过了数百年才为英国数学家
维尔斯所证明。让我敬佩的是无数数学家为费马大定理的证明花费了毕生精力，他们在这条
路上没有放弃过，尽管没有成功，但是我觉得他们都是最棒的！ 欧拉，柯西，莱布尼兹，拉普拉斯，阿贝尔，伽罗瓦，希尔伯特„„对于我来说不再仅
仅是一个个名字，每当我在高数书上看到他们的名字时，我都会联想起他们的生活和他们在
数学上的建树。
数学文化让数学有了自己独特的印记。这不同于文学，我觉得这是说不清道不明的，是
不能用文字来描述的。正是由于这种独特的印记让数学富有了简洁美，和谐美，奇异、突变
美，对称美，创新美，哲学美，应用美。接下来谈谈数学的美。 莫德尔也说过：“在数学里美的各个属性中，首先要推崇的大概是简单性了。”爱因期坦
也说过：“美，本质上终究是简单性。”他还认为，只有借助数学，才能达到简单性的美学准
则。物理学家爱因期坦的这种美学理论，在数学界，也被多数人所认同。朴素，简单，是其
外在形式。只有既朴实清秀，又底蕴深厚，才称得上至美。这或许是数学简洁美的最好佐证
了。
数学中的对称美有：（一）数和式的对称美，象二项式定理，杨辉三角。
（二）图形的对称美。如毕达哥拉斯学派认为，一切空间图形中，最美的是球形；一切
平面图形中，最美的是圆形。圆是中心对称圆形――圆心是它的对称中心，圆也是轴对称图
形――任何一条直径都是它的对称轴。（三）数学思想和方法的对称美。如分析法与综合法，
直接法与反证法，逻辑思维与逆向思维等。 在高等数学中，对称的例子也是经常遇到。 而数学在不断的创新中得到发展的。数学中还有许多问题，如采用新的思路、新的方法。
可使人耳目一新，从中得到美的赏受。例如立体几何中向量法的使用使传统的立体几何更充
满生机。经典定理、题型的引伸、拓展。 哲学美：人造卫星、行星、彗星等由于运动的速度的不同，它们的轨道可能是椭圆、双
曲线或抛物线，这几种曲线的定义如下： 到定点距离与它到定直线的距离之比是常数ｅ的点的轨迹， 当ｅ＜１时，形成的是椭圆． 当ｅ＞１时，形成的是双曲线． 当ｅ＝１时，形成的是抛物线． 常数ｅ由0.999变为1、变为1.001，相差很小，形成的却是形状、性质完全不同的曲线。
而这几种曲线又完全可看作不同的平面截圆锥面所得到的截线。 这也体现了哲学中的量变到
质变。数学中也蕴含哲学这不是很美吗? 数学理论不管离现实多远，最后总能找到它的实际用途，体现其为人类服务的价值取向。
数学不但是其它自然科学的一门工具性学科，同时它还广泛应用于现实生活。这便是数学的
应用美了。
数学之美，还可以从更多的角度去审视，数学美的表现形式是多种多样的，从数学内容
看，有概念之美、公式之美、体系之美等；从数学的方法及思维看，有简约之美、类比之美、
抽象之美、无限之美等；从狭义美学意义上看，有对称之美、和谐之美、奇异之美等。上面
只是就某些侧面谈一些看法。而每一侧面的美都不是孤立的，她们是相辅相成、密不可分的。
如和谐美中包含统一美，统一美中也包含和谐美。 数学的美，她需要人们用心、用智慧深层次地去挖掘，更好地体会她的美学价值和她丰
富、深隧的内涵和思想，及其对人类思维的深刻影响。如果在学习过程中，我们能与数学家
们一起探索、发现，从中获得成功的喜悦和美的享受，那么我们就会不断深入其中，欣赏和
创造美。
16周的学习让我懂得了许多，我觉得自己的数学涵养有了很大的进步。尽管我所知道的
也只不过是仅是冰山一角。但是与原来相比，我觉得自己的眼界得到了很大的开阔。这也不
负选这门课的目的了。篇四：关于数学文化的读书报告 关于“数学文化”的读书报告 摘要
这学期，我选了王良龙老师的数学文化课。我周边的同学对此都感到不可思议，他们好
奇作为文科生且害怕学习数学的我怎么会选了这样一门科技课。其实我刚开始也是误打误撞
地选了这门课，可上完第一次课，我就折服在老师幽默的语言和数学文化的魅力之中。还记
得第一次课我们讨论了大学文科生该不该学数学。说实话，作为文科生的我数学不是很好，
我一直觉得数学很枯燥，学起来很难。但从理性分析，作为文科生的我们应该学习数学。克
莱因曾说：“音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智
慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切。”随着我对数学文化理解的加深，我逐
渐明白了克莱因这句话的含义。 关键字：数学文化、数学思想与方法、数学语言、数学美、
一、 什么是数学文化 从狭义上来说，数学文化是数学的思想、精神、方法、观点、语言，以及它们的形成和
发展。但广义上的数学文化是除上述内涵以外，还包含数学家，数学史，数学美，数学教育，
数学发展中的人文成分、数学与社会的联系、数学与各种文化的关系，等等。那么数学文化
是怎样产生的呢？ 20世纪初年的数学曾经存在着脱离社会文化的孤立主义倾向，并一直影
响到今天的中国。数学的过度形式化，使人错误地 感到数学只是少数天才脑子里想象出来的“自由创造物”，数学的发展无须社会的推动，
其真理性无须实践的检验，当然，数学的进步也无须人类文化的哺育。于是，西方的数学界
有“经验主义的复兴”。怀特的数学文化论力图把数学回归到文化层面。克莱因的《古今数学
思想》、《西方文化中的数学》、《数学：确定性的丧失》相继问世，力图营造数学文化的人文
色彩。 国内最早注意数学文化的学者是北京大学的教授孙小礼，她和邓东皋等合编的《数学
与文化》，汇集了一些数学名家的有关论述，也记录了从自然辩证法研究的角度对数学文化的
思考。稍后出版的有齐民友的《数学与文化》，主要从非欧几何产生的历史阐述数学的文化价
值，特别指出了数学思维的文化意义。郑毓信等出版的专著《数学文化学》，特点是用社会建
构主义的哲学观，强调“数学共同体”产生的文化效应。这些著作及的论文，都力图把数学
从单纯的逻辑演绎推理的圈子中解放出来，重点是分析数学文明史，充分揭示数学的文化内
涵，肯定数学作为文化存在的价值。 美国数学学会主席德尔德说：“数学是一种会不断进化的文化。”我们学习数学文化，有
助于我们理性思维的培养，有助于扩展我们的数学视野，也有助于加强我们的科技素质。我
们安徽大学很早就成立了有关数学文化的科技课，从最早的《数学文化与数学教育》到我们
现在所上的《数学文化-高等数学d 》，安徽大学一直重视加强对学生的数学知识教育。前不
久，学校还举办了“数学文化周”的活动，活动内容主要分为学术讲座、数学文化展、数学
定向越野等三部分， 向全校同学传播数学历史与文化，体现数学的实用性和趣味性，展示安徽大学数学学科
的建设成就。 二、 数学思想与方法
（一）、数学思想
1. 化归思想
化归思想是指利用数学对象之间的相互联系促成数学问题的转化，通过转化，把不规范
的问题变为规范的问题，把不熟悉的问题变为熟悉的问题，概括来说，也就是“化难为易、
化繁为简、化未知为已知”的一种方法。著名的哥尼斯堡七桥问题就是运用这种思想解决的。
2. 数形结合思想
顾名思义，数形结合思想就是在解决各类数学问题的时候，同时运用计算和图形两种方
法，它体现了抽象思维与形象思维的相互补充，沟通了数学的各分支之间的内在联系。著名
数学家华罗庚说过这样一句的话来形容数形结合思想：“数缺形时少自觉，形缺数时难入微，
数形结合百般好，隔断分家万事难”。只要我们牢牢掌握这种方法，时刻记得“图不离手”的
原则，我们就像手握地图一样，能在迷茫的题海中找到出路。
3. 函数与方程思想
它指的是运用变化的观点分析研究具体问题的数量关系，通过方程或函数的形式正确表
达有关问题中的数量关系，从而解决 有关问题，它在数学问题中应用广泛。
4.换元法
换元法是我们从初中就开始接触的，它对我们并不陌生，需要记得的是，为了真正达到
换繁为简，化难为易的目的，在使用换元法解题时，往往要根据问题所呈现的结构特征，选
择合适的换元方式，当然很多时候，“元”往往被隐藏或并不明显，因此在做题时，我们要灵
活转变尽量拼凑出“元”来。
（二）、数学方法
1.具体与抽象
具体是社会实践，是客观存在的东西，因为数学是源于社会实践的。同时数学是一种利
用自身已有的概念、定理、公设，借助已知的相互关系，通过推理、计算而获得新发现的学
科。数学的概念是抽象的，数学的方法也是抽象的。爱因斯坦相对论的发现恰恰是借助于数
学的方法论路径去实现的，如果没有非欧几何人类可能还要在牛顿的时空观中走过许多年才
能寻找到相对论。数学方法的抽象是借助数学概念、公理、定理、公设等，把所有涉及研究
对象的概念以及研究对象的抽象性归并汇集在一起，找出他们更具体抽象、统一的结论。这
种抽象方法，人们一般冠以公理化方法。它大大拓宽了人们的视野，从只抽象个别对象扩展
到抽象整个数学理论的逻辑结构。现在，数学研究的对象已不是具体、特殊的对象，而是抽
象的数学结构。
2.演绎与归纳
演绎法是由一般到特殊的推理，它有三段论的表现形式，由一般 的判断，特殊判断，结论三部分组成。归纳与演绎不同，归纳是这样一种推理：其中所
得到的结论超越了经验材料所提供的东西的一种经验猜想。看起来归纳与演绎很有区别的，
事实归纳与演绎是相依而存、互为发展、对立统一的。恩格斯在《自然辩证法》中说：“我们
用世界上的一切归纳法都永远不能把归纳过程弄清楚，只有对这个过程的分析才能做到这一
点——归纳与演绎，正如分析与综合一样是必然相互联系着的，不应当牺牲一个而把另一个
捧上天，应当把每一个用到该用的地方，而要做到这一点，就只有注意它们的相互联系，它
们的相互补充。”
3.发现与证明
发现实际上就是定律的发现和理论地提出问题，最主要是通过假说，猜想。猜想是提出
新思想，一个猜想可以带出或生出一个新的学科方向。比如，对欧氏第五公设的证明产生了
非欧几何理论，四色猜想对开辟数学研究新途径有重要意义。在数学史上有很多有名猜想，
人们熟悉的费马猜想，曾是一个悬赏10万马克的定理，实际上，它是源于几千年前的勾股定
理。德国数学家曾宣称：当n 大于2时，不存在一个整数n 次幂是另外两个整数n 次幂之和。
数学家韦尔斯花了34年心血来解这道难题，并获得沃尔夫奖。许许多多数学猜想是由简单到
复杂无休无止地产生出来。一个猜想解决了，又猜想出来了，数学家们总有解决不完的猜想。
许多重要猜想，总能吸引众多数学家为此皓首穷经。在证明各个猜想的过程中，数学们会取
得一系列重要理论成果。篇五：[1**********]_数学读书报告 数学读书报告
教育一班 050190110 转眼间，数学分析又接近尾声，我不禁问 自己到底学到了什么，对数学有没有更高一层的认识，希望通过这次的总结能对以后学
习数学乃至将来运用数学提供帮助。 我对数学分析的内容总结如下
一、引子
大体上讲，数学分析就是研究实数范围内微分和积分的数学分支。它是在极限理论基础
上，以定义在实数范围内的函数为讨论对象的一门数学专业基础课。 追溯历史，早在17世
纪，newton 和lebniz 就各自独立地发明了微积分，当时是出于解决具体问题的需要。不过，
那时的理论很不完善，诸如“无穷小”之类的概念根本没有严格的定义，由此引发出许多问
题和矛盾。
后来，cauchy 和weierstrass 等人引入严格的分析语言，为分析学奠定了牢固的根基。
他们的工作已经成为经典，成为数学系本科生的入门知识。
二、对书中部分章节的宏观理解
1.实数集与函数
书中以无限小数来引出实数的概念，便于初学者理解。值得注意的是，我们将有限小数
也表示成无限小数的形式，由此，实数与无限小数之间构成一种对应。换句话说，任何一个
实数都可用一个确定的无限小数来表示。
第二节中重点介绍了三角形不等式。需要强调的是，这一不等式贯穿整个数学分析课程，
是一个极其重要的工具。在高年级课程中，我们会学习《泛函分析》。正如三角形不等式在数
学分析中的重要作用，minkowski 不等式是泛函分析中一系列讨论的出发点。 此版本的《数学分析》中的极限理论是建立在确界原理之上的。 所谓确界原理是说：任一非空有界数集若有上界，则必有上确界。对于下确界有类似的
结论。
注：它是实数连续性的体现。
2.数列极限
定理2.8是判定数列发散的有力工具。 cauchy收敛准则给出了数列极限存在的充要条件，它的优点在于：无需借助数列以外的
数，只要根据数列自身的特性就可以鉴别其敛散性。 注：它也是实数连续性的体现。
3.关于第三章中的“等价无穷小” 在计算函数极限时，采用“等价无穷小”替换往往可以简化计算过程，但不可滥用。可
归纳为“乘除可用，加减慎用”。
4.关于函数的连续性与一致连续性 后者是比前者更强的性质，主要体现在一致连续性中的n 只与那个任给的小正数有关，
与自变量x 的位置无关。
两者之间的联系由所谓的一致连续性定理给出，不再赘述。
5.关于微分中值定理
我们可以从几何图形上对中值定理予以直观的认识。其实rolle 定理是lagrange 中值定
理的特殊情形，本质上是一样的。将后者的图像旋转一定的角度，就能成为前者。 tayor定理的本质是：对于具有n 阶连续导数，且具有n+1阶导数的函数而言， 可以用一个系数与函数f 的各阶导数有关的多项式函数去逼近它。而多项式函数的性质
是我们熟知的，便于研究。 顺便提一下，对于多元函数，也有类似的tayor 定理。笔者曾讨论过这一问题。一元函
数的tayor 定理中的多项式的系数依赖于“二项式定理”, 而多元函数的情形依赖于所谓的“多
项式系数”。
6.关于平面点集与二元函数 与一元函数类似，我们有如下的关于二元函数的最大值与最小值定理：若函数f(x,y)在
有界闭域上连续，则存在最大值与最小值。 事实上，这一结论对有界闭集也是成立的（后者往往更好用），不过其证明用到拓扑学的
知识。
顺便提一下，关于二元函数的极大、极小值定理可直接推广至多元函数的情形，只需将
相应的hesse 矩阵作形式上的改写，本质并无差别。
7.关于累次极限和累次积分
二重极限和累次极限的存在性无必然联系，我们应能正对具体问题熟练地举出反例。 在含参量正常积分与含参量反常积分中有类似的关于积分次序交换的问题。前者的条件
是连续，而后者还需要加上一致收敛的条件。
三、数学分析中各部分内容之间的联系 数学分析中的内容十分丰富，且各部分内容间有着深刻的联系，这些联系是有趣而重要
的，它们体现了分析学内在的统一性。
下面我就举几个例子谈谈自己的看法和体会。 1在第一章中，我们学习了确界原理，在数列极限一章中学习了单调有界定理和cauchy
准则。在第七章中，我们又接触了区间套定理、weierstrass 聚点定理、致密性定理、heine
—borel 有限覆盖定理。现在我们知道它们之间是等价的，是统一的，都是实数连续性的体
现。
2、在函数的连续性一章中，出现了介值性定理，其实数学分析中的“介值性”是普遍存
在的，它揭示了某些函数或对象的中间状态，微分中值定理，积分中值定理都是“介值性”
的体现，它们有着共同的本质。 3数项级数与反常积分、函数项级数与含参量反常积分之间有着紧密的联系，因而它们
的研究方法是类似的，也有着平行的定理，定理19.8就体现了这种联系。 利用此定理我们
可以把含参量反常积分的问题自然地转化为函数项级数的对应问题。dini 定理的证明就是一
个很好的例子。
4、微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的深刻联系，应用广泛。
5、 从某种意义上讲，第一型曲线积分是定积分直接而自然的推广。
6、 newton—leibneiz 公式不仅为连续函数（事实上条件可以再弱一些）的定积分提供
了一种有效的计算方法，更重要的是，它将不定积分和定积分这两部分内容联系了起来。
7、 green公式、gauss 公式、stokes 公式也有着类似的特点和作用。
8、 再1中提及的heine —borel 有限覆盖定理可以将函数在局部上的性质过渡到整体上
的性质，比如从局部有界到函数在整个闭区间上有界，从点点收敛到一致收敛等等。
四、结束语：
数学分析内容丰富，思想深刻，我们在学习的过程中应当积极思考、用心体会。 学习数学分析的方法：
1、利用数学方法论进行启发式教学。数学作为一门科学，数学有自己的发展规律、数学
思想方法，数学中的发现、发明和创新法则，如归纳法、类比法、抽象分析法、模型法、公
理化方法等, 我们经常将数学方法论应用于数学分析课程的教学实践。
2、采用启发式教学，由浅入深，调动学生的积极性，重点，难点内容要反复强调，讲深、
讲透，让同学们理解和接受。
3、采用参与式教学，适当、适时地提出问题，要求学生回答或在黑板上解答，鼓励学生
自己讲，培养自学能力；如某些定理的证明，让学生自己讲，锻炼学生语言表达能力和思考
问题的能力。
4、教学与实践相结合，如用newton 切线方法求解方程的根等内容，要求学生自己举例，
大家积极性高，效果很好。讲授数学分析的概念时，强调“反璞归真”，讲清客观世界－数学
抽象－数学语言，描述三者的关系。
5、利用现代教育技术的手段和方(转载于:关于数学的读书报告) 法于数学分析课程的教
学实践, 它在教学改革中的地位是传统教学手段无法替代的。本课程的教学采用传统方式（板
书为主）与多媒体课件相结合的方法，对于需要较多逻辑推理的论证内容，一般采用板书形
式，以利于教学过程中的启发与互动，也比较适合学生的思考方式和记录习惯，即使采用多
媒体形式，也将“写字板”作为辅助工具，使之具有渐进式的推导过程，同时又有整齐、美
观的版面。对于教材中现成的内容（如定义、定理的叙述）以及板书中不宜描述的内容（如
某些三维图形），一般采用多媒体课件及数学绘图软件，使之更直观、清晰、易于理解。这既
节省了板书时间，也提高了学生学习的兴趣。
6、使用教学方法与教学手段的目的, 是把教学内容的“学术形态转变为教育形态”，使学
生能更容易理解和掌握，激发学生学习的兴趣、学习的主动性和创造性。
7、鼓励学生以“批判”的态度学习，超越教师，超越教材，启发学生深入思考的积极性。
8、充分利用院、系教学机房和实验室的计算机、网络环境及校、院图书馆、资料室资源
扩展学生视野，培养和提高学生的综合能力和创新能力 也许很多人会认为数学是科研的基础，对于大多数人并不实用，我以前也是这样认为。
在学微积分的时候我觉得数学好像很空洞，似乎与现实没什么联系，经过学概率统计我才发
觉数学在以后工作的重要作用，而可惜的是，当我想努力学好它时却因微积分知识的缺乏而
倍感吃力。基于此，我想学好数学就必须先认清它的用途，没有用的东西是没有人喜欢是学
的，如果我们学数学仅仅是为了考试那也就太可悲了。 我最喜欢听的、看的都是与现实有很大联系的题目，在我看来，这些题目对我有用，所
以花时间，花精力去学就值得。我认为，理论必须与实践相结合才能转化成生产力。 当大学从精英教育转为大众教育的同时，必然要求数学从研究型教育转变为实用型教育。
但不可否认的是目前的数学教学尚未紧密联系现实，这也就要求教育部门、教师、学生必须
进一步的努力。
数学除了要与现实结合，还要与计算机紧密联系。随着计算机的普遍化、微型化，人们
将不再需要处理烦琐或大量的数据。可以预计，在未来的几年，计算机将变得像计算器一样
普及。我们完全可以将那些复杂的运算交给计算机去处 理。从而抽出更多的时间去理解数学知识及学会数学软件的使用。 学习数学不只是学习数学知识，还要锻炼自己的思维，早期的计算机人才多数也是数学
人才，计算机编程与数学知识本身的联系必不是很紧密，但数学的逻辑性对编程却是至关重
要的。逻辑性思维不止对计算机，对各行各业都有深远的影响。也许我们考完试后很快便将
枯燥的数学工式忘得一干二净，但逻辑性思维却将陪伴我们一生。因此学习数学不仅需要记
忆，更重要的是要学会思考。 数学是一门各知识点联系非常紧密的学科，不能因为某个知识点枯燥、烦琐就不去学好
它。恰恰相反，我们必须花更多的时间去学它并把它学好。其实数学知识就像鱼网，有很多
漏洞的鱼网是不可能网到大鱼的。 数学是一门基础学科，我们要想在科研、统计，还有财经、会计，再还有~~等等众多方
面有所建树就得把它学好，要想使自己变得聪明还是必须得将它学好。
数学读书报告
——《中国数学简史》
一、先秦萌芽时期
春秋战国时期数学就已出现。据《易·系辞》记载：在殷墟出土的甲骨文卜辞中有很多
记数的文字。从一到十，及百、千、万是专用的记数文字，共有13个独立符号，其中有十进
制制的记数法，出现最大的数字为三万。 算筹是中国古代的计算工具，而这种计算方法称为筹算。算筹的产生年代已不可考究，
但可以肯定的是筹算在春秋时代已很普遍。算筹为加、减、乘、除等运算建立起良好的条件。
直到十五世纪元朝末年才逐渐为珠算所取代，中国古代数学就是在筹算的基础上取得其辉煌
成就的。 在几何学方面，《史记·夏本记》中说夏禹治水时已使用了规、矩、准、绳等作图和测量
工具，并早已发现「勾三股四弦五」这个勾股定理的特例。战国时期，齐国人著的《考工记》
汇总了当时手工业技术的规范，包含了一些测量的内容，并涉及到一些几何知识，例如角的
概念。
战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展，一些学派还总结和概括出与数学有关的许多
抽象概念。著名的有《墨经》中关于某些几何名词的定义和命题，墨家还给出有穷和无穷的
定义。《庄子》记载了惠施等人的名家学说，强调抽象的数学思想。这些许多几何概念的定义、
极限思想和其它数学命题是相当可贵的数学思想，但这种重视抽象性和逻辑严密性的新思想
未能得到很好的继承和发展。 此外，讲述阴阳八卦，预言吉凶的《易经》已有了组合数学的萌芽，并反映出二进制的
思想。
二、汉唐初创时期
秦汉是中国古代数学体系的形成时期。为使不断丰富的数学知识系统化、理论化，数学
方面的专书陆续出现。
西汉末年(公元前一世纪) 编纂的天文学著作《周髀算经》在数学方面主要有两项成就：
(1)提出勾股定理的 特例及普遍形式；(2)测太阳高等。此外，还有较复杂的开方问题和分数运算等。 《九章算术》是一部经几代人整理、删补和修订而成的古代数学经典著作，约成书于东
汉初年。主要内容包括分数四则和比例算法、各种面积和体积的计算、关于勾股测量的计算
等。在代数方面，《方程》章中所引入的负数概念及正负数加减法法则，在世界数学史上都是
最早的记载；书中关于线性方程组的解法和现在中学讲授的方法基本相同。就《九章算术》
的特点来说，它注重应用，注重理论联系实际，形成了以筹算为中心的数学体系，对中国古
算影响深远。它的一些成就如十进制值制等还传到印度和阿拉伯，并通过这些国家传到欧洲，
促进了世界数学的发展。 魏晋时期中国数学在理论上有了较大的发展。其中赵爽和刘徽的
工作被认为是中国古代数学理论体系的开端。赵爽是中国古代对数学定理和公式进行证明的
最早的数学家之一，对《周髀算经》做了详尽的注释。刘徽注释《九章算术》，不仅对原书的
方法、公式和定理进行一般的解释和推导，且在论述过程中多有创新，更撰写《海岛算经》。
刘徽其中一项重要的工作是创立割圆术，为圆周率的研究工作奠定理论基础和提供了科学的
算法。 南北朝时期的社会长期处于战争和分裂状态，但数学的发展依然蓬勃。《孙子算经》、《夏
侯阳算经》、《张丘建算经》就是这个时期的作品。《孙子算经》给出「物不知数」问题，导致
求解一次同余组问题；《张丘建算经》的「百鸡问题」引出三个未知数的不定方程组问题。 祖冲之等的工作在这一时期最具代表性，他们在《九章算术》刘徽注的基础上，将传统
数学大大向前推进了一步，成为重视数学思维和数学推理的典范。他们同时在天文学上也有
突出的贡献。其著作《缀术》已失传，根据史料记载，他们在数学上主要有三项成就：
(1)计算圆周率精确到小数点后第六位，得到
3.1415926<π<3.1415927，并求得π的约率为22/7，密率为355/113；(2)得到祖
暅定理并得到球体积公式；(3)发展了二次与三次方程的解法。
三、宋元全盛时期
从公元十一世纪到十四世纪(宋、元两代) ，筹算数学达到极盛，是中国古代数学空前繁
荣，硕果累累的全盛时期。这一时期出现了一批著名的数学家和数学著作，列举如下：贾宪
的《黄帝九章算法细草》，刘益的《议古根源》，秦九韶的《数书九章》，李冶的《测圆海镜》
和《益古演段》，杨辉的《详解九章算法》、 《日用算法》和《杨辉算法》，朱世杰的《算学启蒙》和《四元玉鉴》等等。 宋元数学在很多领域都达到了中国古代数学，甚至是当时世界数学的巅峰。其中主要的
工作有：(1)高次方程数值解法；(2)天元术与四元术，即高次方程的立法与解法，是中国数
学史上首次引入符号，并用符号运算来解决建立高次方程的问题；(3)大衍求一术，即一次同
余式组的解法，现在称为中国剩余定理；(4)招差术和垛积术，即高次内插法和高阶等差级数
求和。 另外，其它成就包括勾股形解法新的发展、解球面直角三角形的研究、纵横图(幻方)
的研究、小数(十进分数) 具体的应用、珠算的出现等等。 这一时期民间数学教育也有一定的发展，以及中国和伊斯兰国家之间的数学知识的交流
也得到了发展。
四、西学输入时期
这一时期从十四世纪中叶明王朝建立到二十世纪清代结束共500多年。数学除珠算外出
现全面衰弱的局面。十六世纪末，西方初等数学开始传入中国，使中国数学研究出现了一个
中西融合贯通的局面。鸦片战争后，近代高等数学开始传入中国，中国数学转入一个以学习
西方数学为主的时期。直到十九世纪末，中国的近代数学研究才真正开始。篇二：数学读书
报告
数学读书报告
看完了一本书, 名叫《数学与艺术——无穷的碎片》. 这本书包含了十个章节, 参考文献以
及索引三大部分，是我从未见过的创新. 这本书深入浅出的介绍了许多数学与艺术相结合的内容, 通过二百幅插图以及二十多幅
彩图, 介绍了许多优秀作品和不少艺术家, 数学家的奇闻趣事. 读完这本书, 我得到了许多收获. 比如, 我知道了什么是四维图形. 因为书上说:一维图形
是由一个点移动得来(长度），二维图形是由一维图形移动得来，三维图形是由二维图形移动
得来（体积），那么四维图形肯定是由三维图形移动得来的. 而且，我还由此认识了超立方体，
他当然也是四维图形，或者说它是超三维图形. 比如, 我还通过试验得知:一维图形有2个顶点, 二维图形有4(2×2) 个端点, 三维图形有
8(2×2×2) 个端点, 四维图形有16(2×2×2×2) 个端点. 而这四个数, 刚好功成了一条比值为
2的等比数列. 这也证明了超立方体的16个端点与32条棱的性质, 也能说明:这些□维图形之
间, 有着奇妙的关系.
此外, 我还知道了某个物体是否具有二片性. 一般的, 没有缺口的, 没有皱褶的凸几何体
(例如球或鸡蛋形) 具有两片性. 然而, 某些非凸的几何体也具有两片性, 例如削去了有柄那一
半的甜瓜, 或削去了有柄那一半的梨. 虽然这本书还有太多我不明白的东西, 但是我仍然喜欢它. 篇三：数学文化读书报告 数学文化读书报告
11041531 张鹏鹏 电子信息工程 这学期选了李承家和王国卯老师的数学文化课，让我对数学有了新的认识。以前我认为
数学是枯燥无味的，因为每天面对的是做不完的作业，而其中数学作业尤为繁重，数学是一
座压在我头上12年的山！然而通过这学期的学习我才发现数学并不枯燥，数学其实很有趣，
数学是一门美丽的学科。
我认为数学的美包括两个方面：（一）数学知识体系的发展美。如数系的发展。对数的发
明。笛卡尔坐标系的引入。微积分的发展等。（二）众多天才数学家留下的许多有趣的故事，
体现了人类的智慧，人们为其折服和心悦。 数学知识体系的发展是一个漫长的过程，不是一蹴而就的。经过了无数人的努力才有了
我们今天所看到的宏伟的数学体系。就数域而言，经过数次扩充，形成了有理数，无理数，
复数，四元数，超复数域。 没有什么比数学家的轶事更能激起我的兴趣了。听听他们的趣事真的可以说得上是一件
享受了。他们的趣事为数学的发展添上了有趣多彩的一笔，没有他们，数学的美就会大打折
扣。
在16周的学习过程中，最让我难以忘记的还是李承家老师所讲的有关分形几何学的那节
课。尽管没完全听懂，但是总算是大开眼界了！李承家老师所给我们展示的分形的图片，可
谓是多彩绚丽，我被这些美丽图片深深地迷住了。我知道了分形是以非整数维形式充填空间
的形态特征。分形可以说是来自于一种思维上的理论存在。1973年，曼德勃罗在法兰西学院
讲课时，首次提出了分维和分形几何的设想。分形一词，是曼德勃罗创造出来的，其原意具
有不规则、支离破碎等意义，分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。由
于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。分形几何
从整体上看，分形几何图形是处处不规则的。例如，海岸线和山川形状，从远距离观察，其
形状是极不规则的。不同尺度上，图形的规则性又是相同的。上述的海岸线和山川形状，从
近距离观察，其局部形状又和整体形态相似，它们从整体到局部，都是自相似的。当然，也
有一些分形几何图形，它们并不完全是自相似的。其中一些是用来描述一般随机现象的，还
有一些是用来描述混沌和非线性系统的。 我还对费马大定理有了更加深入的了解。费马在阅读丢番图《算术》拉丁文译本时，曾
在第11卷第8命题旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四
次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成 两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信已发现了一种美妙的证法 ，可惜这里
空白的地方太小，写不下。”毕竟费马没有写下证明，而他的其它猜想对数学贡献良多，由此
激发了许多数学家对这一猜想的兴趣。数学家们的有关工作丰富了数论的内容，推动了数论
的发展。费马大定理真可谓是一只会下金蛋的鸡！费马大定理经过了数百年才为英国数学家
维尔斯所证明。让我敬佩的是无数数学家为费马大定理的证明花费了毕生精力，他们在这条
路上没有放弃过，尽管没有成功，但是我觉得他们都是最棒的！ 欧拉，柯西，莱布尼兹，拉普拉斯，阿贝尔，伽罗瓦，希尔伯特„„对于我来说不再仅
仅是一个个名字，每当我在高数书上看到他们的名字时，我都会联想起他们的生活和他们在
数学上的建树。
数学文化让数学有了自己独特的印记。这不同于文学，我觉得这是说不清道不明的，是
不能用文字来描述的。正是由于这种独特的印记让数学富有了简洁美，和谐美，奇异、突变
美，对称美，创新美，哲学美，应用美。接下来谈谈数学的美。 莫德尔也说过：“在数学里美的各个属性中，首先要推崇的大概是简单性了。”爱因期坦
也说过：“美，本质上终究是简单性。”他还认为，只有借助数学，才能达到简单性的美学准
则。物理学家爱因期坦的这种美学理论，在数学界，也被多数人所认同。朴素，简单，是其
外在形式。只有既朴实清秀，又底蕴深厚，才称得上至美。这或许是数学简洁美的最好佐证
了。
数学中的对称美有：（一）数和式的对称美，象二项式定理，杨辉三角。
（二）图形的对称美。如毕达哥拉斯学派认为，一切空间图形中，最美的是球形；一切
平面图形中，最美的是圆形。圆是中心对称圆形――圆心是它的对称中心，圆也是轴对称图
形――任何一条直径都是它的对称轴。（三）数学思想和方法的对称美。如分析法与综合法，
直接法与反证法，逻辑思维与逆向思维等。 在高等数学中，对称的例子也是经常遇到。 而数学在不断的创新中得到发展的。数学中还有许多问题，如采用新的思路、新的方法。
可使人耳目一新，从中得到美的赏受。例如立体几何中向量法的使用使传统的立体几何更充
满生机。经典定理、题型的引伸、拓展。 哲学美：人造卫星、行星、彗星等由于运动的速度的不同，它们的轨道可能是椭圆、双
曲线或抛物线，这几种曲线的定义如下： 到定点距离与它到定直线的距离之比是常数ｅ的点的轨迹， 当ｅ＜１时，形成的是椭圆． 当ｅ＞１时，形成的是双曲线． 当ｅ＝１时，形成的是抛物线． 常数ｅ由0.999变为1、变为1.001，相差很小，形成的却是形状、性质完全不同的曲线。
而这几种曲线又完全可看作不同的平面截圆锥面所得到的截线。 这也体现了哲学中的量变到
质变。数学中也蕴含哲学这不是很美吗? 数学理论不管离现实多远，最后总能找到它的实际用途，体现其为人类服务的价值取向。
数学不但是其它自然科学的一门工具性学科，同时它还广泛应用于现实生活。这便是数学的
应用美了。
数学之美，还可以从更多的角度去审视，数学美的表现形式是多种多样的，从数学内容
看，有概念之美、公式之美、体系之美等；从数学的方法及思维看，有简约之美、类比之美、
抽象之美、无限之美等；从狭义美学意义上看，有对称之美、和谐之美、奇异之美等。上面
只是就某些侧面谈一些看法。而每一侧面的美都不是孤立的，她们是相辅相成、密不可分的。
如和谐美中包含统一美，统一美中也包含和谐美。 数学的美，她需要人们用心、用智慧深层次地去挖掘，更好地体会她的美学价值和她丰
富、深隧的内涵和思想，及其对人类思维的深刻影响。如果在学习过程中，我们能与数学家
们一起探索、发现，从中获得成功的喜悦和美的享受，那么我们就会不断深入其中，欣赏和
创造美。
16周的学习让我懂得了许多，我觉得自己的数学涵养有了很大的进步。尽管我所知道的
也只不过是仅是冰山一角。但是与原来相比，我觉得自己的眼界得到了很大的开阔。这也不
负选这门课的目的了。篇四：关于数学文化的读书报告 关于“数学文化”的读书报告 摘要
这学期，我选了王良龙老师的数学文化课。我周边的同学对此都感到不可思议，他们好
奇作为文科生且害怕学习数学的我怎么会选了这样一门科技课。其实我刚开始也是误打误撞
地选了这门课，可上完第一次课，我就折服在老师幽默的语言和数学文化的魅力之中。还记
得第一次课我们讨论了大学文科生该不该学数学。说实话，作为文科生的我数学不是很好，
我一直觉得数学很枯燥，学起来很难。但从理性分析，作为文科生的我们应该学习数学。克
莱因曾说：“音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智
慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切。”随着我对数学文化理解的加深，我逐
渐明白了克莱因这句话的含义。 关键字：数学文化、数学思想与方法、数学语言、数学美、
一、 什么是数学文化 从狭义上来说，数学文化是数学的思想、精神、方法、观点、语言，以及它们的形成和
发展。但广义上的数学文化是除上述内涵以外，还包含数学家，数学史，数学美，数学教育，
数学发展中的人文成分、数学与社会的联系、数学与各种文化的关系，等等。那么数学文化
是怎样产生的呢？ 20世纪初年的数学曾经存在着脱离社会文化的孤立主义倾向，并一直影
响到今天的中国。数学的过度形式化，使人错误地 感到数学只是少数天才脑子里想象出来的“自由创造物”，数学的发展无须社会的推动，
其真理性无须实践的检验，当然，数学的进步也无须人类文化的哺育。于是，西方的数学界
有“经验主义的复兴”。怀特的数学文化论力图把数学回归到文化层面。克莱因的《古今数学
思想》、《西方文化中的数学》、《数学：确定性的丧失》相继问世，力图营造数学文化的人文
色彩。 国内最早注意数学文化的学者是北京大学的教授孙小礼，她和邓东皋等合编的《数学
与文化》，汇集了一些数学名家的有关论述，也记录了从自然辩证法研究的角度对数学文化的
思考。稍后出版的有齐民友的《数学与文化》，主要从非欧几何产生的历史阐述数学的文化价
值，特别指出了数学思维的文化意义。郑毓信等出版的专著《数学文化学》，特点是用社会建
构主义的哲学观，强调“数学共同体”产生的文化效应。这些著作及的论文，都力图把数学
从单纯的逻辑演绎推理的圈子中解放出来，重点是分析数学文明史，充分揭示数学的文化内
涵，肯定数学作为文化存在的价值。 美国数学学会主席德尔德说：“数学是一种会不断进化的文化。”我们学习数学文化，有
助于我们理性思维的培养，有助于扩展我们的数学视野，也有助于加强我们的科技素质。我
们安徽大学很早就成立了有关数学文化的科技课，从最早的《数学文化与数学教育》到我们
现在所上的《数学文化-高等数学d 》，安徽大学一直重视加强对学生的数学知识教育。前不
久，学校还举办了“数学文化周”的活动，活动内容主要分为学术讲座、数学文化展、数学
定向越野等三部分， 向全校同学传播数学历史与文化，体现数学的实用性和趣味性，展示安徽大学数学学科
的建设成就。 二、 数学思想与方法
（一）、数学思想
1. 化归思想
化归思想是指利用数学对象之间的相互联系促成数学问题的转化，通过转化，把不规范
的问题变为规范的问题，把不熟悉的问题变为熟悉的问题，概括来说，也就是“化难为易、
化繁为简、化未知为已知”的一种方法。著名的哥尼斯堡七桥问题就是运用这种思想解决的。
2. 数形结合思想
顾名思义，数形结合思想就是在解决各类数学问题的时候，同时运用计算和图形两种方
法，它体现了抽象思维与形象思维的相互补充，沟通了数学的各分支之间的内在联系。著名
数学家华罗庚说过这样一句的话来形容数形结合思想：“数缺形时少自觉，形缺数时难入微，
数形结合百般好，隔断分家万事难”。只要我们牢牢掌握这种方法，时刻记得“图不离手”的
原则，我们就像手握地图一样，能在迷茫的题海中找到出路。
3. 函数与方程思想
它指的是运用变化的观点分析研究具体问题的数量关系，通过方程或函数的形式正确表
达有关问题中的数量关系，从而解决 有关问题，它在数学问题中应用广泛。
4.换元法
换元法是我们从初中就开始接触的，它对我们并不陌生，需要记得的是，为了真正达到
换繁为简，化难为易的目的，在使用换元法解题时，往往要根据问题所呈现的结构特征，选
择合适的换元方式，当然很多时候，“元”往往被隐藏或并不明显，因此在做题时，我们要灵
活转变尽量拼凑出“元”来。
（二）、数学方法
1.具体与抽象
具体是社会实践，是客观存在的东西，因为数学是源于社会实践的。同时数学是一种利
用自身已有的概念、定理、公设，借助已知的相互关系，通过推理、计算而获得新发现的学
科。数学的概念是抽象的，数学的方法也是抽象的。爱因斯坦相对论的发现恰恰是借助于数
学的方法论路径去实现的，如果没有非欧几何人类可能还要在牛顿的时空观中走过许多年才
能寻找到相对论。数学方法的抽象是借助数学概念、公理、定理、公设等，把所有涉及研究
对象的概念以及研究对象的抽象性归并汇集在一起，找出他们更具体抽象、统一的结论。这
种抽象方法，人们一般冠以公理化方法。它大大拓宽了人们的视野，从只抽象个别对象扩展
到抽象整个数学理论的逻辑结构。现在，数学研究的对象已不是具体、特殊的对象，而是抽
象的数学结构。
2.演绎与归纳
演绎法是由一般到特殊的推理，它有三段论的表现形式，由一般 的判断，特殊判断，结论三部分组成。归纳与演绎不同，归纳是这样一种推理：其中所
得到的结论超越了经验材料所提供的东西的一种经验猜想。看起来归纳与演绎很有区别的，
事实归纳与演绎是相依而存、互为发展、对立统一的。恩格斯在《自然辩证法》中说：“我们
用世界上的一切归纳法都永远不能把归纳过程弄清楚，只有对这个过程的分析才能做到这一
点——归纳与演绎，正如分析与综合一样是必然相互联系着的，不应当牺牲一个而把另一个
捧上天，应当把每一个用到该用的地方，而要做到这一点，就只有注意它们的相互联系，它
们的相互补充。”
3.发现与证明
发现实际上就是定律的发现和理论地提出问题，最主要是通过假说，猜想。猜想是提出
新思想，一个猜想可以带出或生出一个新的学科方向。比如，对欧氏第五公设的证明产生了
非欧几何理论，四色猜想对开辟数学研究新途径有重要意义。在数学史上有很多有名猜想，
人们熟悉的费马猜想，曾是一个悬赏10万马克的定理，实际上，它是源于几千年前的勾股定
理。德国数学家曾宣称：当n 大于2时，不存在一个整数n 次幂是另外两个整数n 次幂之和。
数学家韦尔斯花了34年心血来解这道难题，并获得沃尔夫奖。许许多多数学猜想是由简单到
复杂无休无止地产生出来。一个猜想解决了，又猜想出来了，数学家们总有解决不完的猜想。
许多重要猜想，总能吸引众多数学家为此皓首穷经。在证明各个猜想的过程中，数学们会取
得一系列重要理论成果。篇五：[1**********]_数学读书报告 数学读书报告
教育一班 050190110 转眼间，数学分析又接近尾声，我不禁问 自己到底学到了什么，对数学有没有更高一层的认识，希望通过这次的总结能对以后学
习数学乃至将来运用数学提供帮助。 我对数学分析的内容总结如下
一、引子
大体上讲，数学分析就是研究实数范围内微分和积分的数学分支。它是在极限理论基础
上，以定义在实数范围内的函数为讨论对象的一门数学专业基础课。 追溯历史，早在17世
纪，newton 和lebniz 就各自独立地发明了微积分，当时是出于解决具体问题的需要。不过，
那时的理论很不完善，诸如“无穷小”之类的概念根本没有严格的定义，由此引发出许多问
题和矛盾。
后来，cauchy 和weierstrass 等人引入严格的分析语言，为分析学奠定了牢固的根基。
他们的工作已经成为经典，成为数学系本科生的入门知识。
二、对书中部分章节的宏观理解
1.实数集与函数
书中以无限小数来引出实数的概念，便于初学者理解。值得注意的是，我们将有限小数
也表示成无限小数的形式，由此，实数与无限小数之间构成一种对应。换句话说，任何一个
实数都可用一个确定的无限小数来表示。
第二节中重点介绍了三角形不等式。需要强调的是，这一不等式贯穿整个数学分析课程，
是一个极其重要的工具。在高年级课程中，我们会学习《泛函分析》。正如三角形不等式在数
学分析中的重要作用，minkowski 不等式是泛函分析中一系列讨论的出发点。 此版本的《数学分析》中的极限理论是建立在确界原理之上的。 所谓确界原理是说：任一非空有界数集若有上界，则必有上确界。对于下确界有类似的
结论。
注：它是实数连续性的体现。
2.数列极限
定理2.8是判定数列发散的有力工具。 cauchy收敛准则给出了数列极限存在的充要条件，它的优点在于：无需借助数列以外的
数，只要根据数列自身的特性就可以鉴别其敛散性。 注：它也是实数连续性的体现。
3.关于第三章中的“等价无穷小” 在计算函数极限时，采用“等价无穷小”替换往往可以简化计算过程，但不可滥用。可
归纳为“乘除可用，加减慎用”。
4.关于函数的连续性与一致连续性 后者是比前者更强的性质，主要体现在一致连续性中的n 只与那个任给的小正数有关，
与自变量x 的位置无关。
两者之间的联系由所谓的一致连续性定理给出，不再赘述。
5.关于微分中值定理
我们可以从几何图形上对中值定理予以直观的认识。其实rolle 定理是lagrange 中值定
理的特殊情形，本质上是一样的。将后者的图像旋转一定的角度，就能成为前者。 tayor定理的本质是：对于具有n 阶连续导数，且具有n+1阶导数的函数而言， 可以用一个系数与函数f 的各阶导数有关的多项式函数去逼近它。而多项式函数的性质
是我们熟知的，便于研究。 顺便提一下，对于多元函数，也有类似的tayor 定理。笔者曾讨论过这一问题。一元函
数的tayor 定理中的多项式的系数依赖于“二项式定理”, 而多元函数的情形依赖于所谓的“多
项式系数”。
6.关于平面点集与二元函数 与一元函数类似，我们有如下的关于二元函数的最大值与最小值定理：若函数f(x,y)在
有界闭域上连续，则存在最大值与最小值。 事实上，这一结论对有界闭集也是成立的（后者往往更好用），不过其证明用到拓扑学的
知识。
顺便提一下，关于二元函数的极大、极小值定理可直接推广至多元函数的情形，只需将
相应的hesse 矩阵作形式上的改写，本质并无差别。
7.关于累次极限和累次积分
二重极限和累次极限的存在性无必然联系，我们应能正对具体问题熟练地举出反例。 在含参量正常积分与含参量反常积分中有类似的关于积分次序交换的问题。前者的条件
是连续，而后者还需要加上一致收敛的条件。
三、数学分析中各部分内容之间的联系 数学分析中的内容十分丰富，且各部分内容间有着深刻的联系，这些联系是有趣而重要
的，它们体现了分析学内在的统一性。
下面我就举几个例子谈谈自己的看法和体会。 1在第一章中，我们学习了确界原理，在数列极限一章中学习了单调有界定理和cauchy
准则。在第七章中，我们又接触了区间套定理、weierstrass 聚点定理、致密性定理、heine
—borel 有限覆盖定理。现在我们知道它们之间是等价的，是统一的，都是实数连续性的体
现。
2、在函数的连续性一章中，出现了介值性定理，其实数学分析中的“介值性”是普遍存
在的，它揭示了某些函数或对象的中间状态，微分中值定理，积分中值定理都是“介值性”
的体现，它们有着共同的本质。 3数项级数与反常积分、函数项级数与含参量反常积分之间有着紧密的联系，因而它们
的研究方法是类似的，也有着平行的定理，定理19.8就体现了这种联系。 利用此定理我们
可以把含参量反常积分的问题自然地转化为函数项级数的对应问题。dini 定理的证明就是一
个很好的例子。
4、微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的深刻联系，应用广泛。
5、 从某种意义上讲，第一型曲线积分是定积分直接而自然的推广。
6、 newton—leibneiz 公式不仅为连续函数（事实上条件可以再弱一些）的定积分提供
了一种有效的计算方法，更重要的是，它将不定积分和定积分这两部分内容联系了起来。
7、 green公式、gauss 公式、stokes 公式也有着类似的特点和作用。
8、 再1中提及的heine —borel 有限覆盖定理可以将函数在局部上的性质过渡到整体上
的性质，比如从局部有界到函数在整个闭区间上有界，从点点收敛到一致收敛等等。
四、结束语：
数学分析内容丰富，思想深刻，我们在学习的过程中应当积极思考、用心体会。 学习数学分析的方法：
1、利用数学方法论进行启发式教学。数学作为一门科学，数学有自己的发展规律、数学
思想方法，数学中的发现、发明和创新法则，如归纳法、类比法、抽象分析法、模型法、公
理化方法等, 我们经常将数学方法论应用于数学分析课程的教学实践。
2、采用启发式教学，由浅入深，调动学生的积极性，重点，难点内容要反复强调，讲深、
讲透，让同学们理解和接受。
3、采用参与式教学，适当、适时地提出问题，要求学生回答或在黑板上解答，鼓励学生
自己讲，培养自学能力；如某些定理的证明，让学生自己讲，锻炼学生语言表达能力和思考
问题的能力。
4、教学与实践相结合，如用newton 切线方法求解方程的根等内容，要求学生自己举例，
大家积极性高，效果很好。讲授数学分析的概念时，强调“反璞归真”，讲清客观世界－数学
抽象－数学语言，描述三者的关系。
5、利用现代教育技术的手段和方(转载于:关于数学的读书报告) 法于数学分析课程的教
学实践, 它在教学改革中的地位是传统教学手段无法替代的。本课程的教学采用传统方式（板
书为主）与多媒体课件相结合的方法，对于需要较多逻辑推理的论证内容，一般采用板书形
式，以利于教学过程中的启发与互动，也比较适合学生的思考方式和记录习惯，即使采用多
媒体形式，也将“写字板”作为辅助工具，使之具有渐进式的推导过程，同时又有整齐、美
观的版面。对于教材中现成的内容（如定义、定理的叙述）以及板书中不宜描述的内容（如
某些三维图形），一般采用多媒体课件及数学绘图软件，使之更直观、清晰、易于理解。这既
节省了板书时间，也提高了学生学习的兴趣。
6、使用教学方法与教学手段的目的, 是把教学内容的“学术形态转变为教育形态”，使学
生能更容易理解和掌握，激发学生学习的兴趣、学习的主动性和创造性。
7、鼓励学生以“批判”的态度学习，超越教师，超越教材，启发学生深入思考的积极性。
8、充分利用院、系教学机房和实验室的计算机、网络环境及校、院图书馆、资料室资源
扩展学生视野，培养和提高学生的综合能力和创新能力 也许很多人会认为数学是科研的基础，对于大多数人并不实用，我以前也是这样认为。
在学微积分的时候我觉得数学好像很空洞，似乎与现实没什么联系，经过学概率统计我才发
觉数学在以后工作的重要作用，而可惜的是，当我想努力学好它时却因微积分知识的缺乏而
倍感吃力。基于此，我想学好数学就必须先认清它的用途，没有用的东西是没有人喜欢是学
的，如果我们学数学仅仅是为了考试那也就太可悲了。 我最喜欢听的、看的都是与现实有很大联系的题目，在我看来，这些题目对我有用，所
以花时间，花精力去学就值得。我认为，理论必须与实践相结合才能转化成生产力。 当大学从精英教育转为大众教育的同时，必然要求数学从研究型教育转变为实用型教育。
但不可否认的是目前的数学教学尚未紧密联系现实，这也就要求教育部门、教师、学生必须
进一步的努力。
数学除了要与现实结合，还要与计算机紧密联系。随着计算机的普遍化、微型化，人们
将不再需要处理烦琐或大量的数据。可以预计，在未来的几年，计算机将变得像计算器一样
普及。我们完全可以将那些复杂的运算交给计算机去处 理。从而抽出更多的时间去理解数学知识及学会数学软件的使用。 学习数学不只是学习数学知识，还要锻炼自己的思维，早期的计算机人才多数也是数学
人才，计算机编程与数学知识本身的联系必不是很紧密，但数学的逻辑性对编程却是至关重
要的。逻辑性思维不止对计算机，对各行各业都有深远的影响。也许我们考完试后很快便将
枯燥的数学工式忘得一干二净，但逻辑性思维却将陪伴我们一生。因此学习数学不仅需要记
忆，更重要的是要学会思考。 数学是一门各知识点联系非常紧密的学科，不能因为某个知识点枯燥、烦琐就不去学好
它。恰恰相反，我们必须花更多的时间去学它并把它学好。其实数学知识就像鱼网，有很多
漏洞的鱼网是不可能网到大鱼的。 数学是一门基础学科，我们要想在科研、统计，还有财经、会计，再还有~~等等众多方
面有所建树就得把它学好，要想使自己变得聪明还是必须得将它学好。