等比数列性质
1. 等比数列的定义：2. 通项公式：
a n =a 1q n -1=
a 1n
q =A ⋅B n (a 1⋅q ≠0, A ⋅B ≠0)， 首项：a 1；公比：q q
a n
或q =n a m
a n
=q (q ≠0)(n ≥2, 且n ∈N *)，q 称为公比 a n -1
推广：a n =a m q n -m ， 从而得q n -m =
3. 等比中项
（1）如果a , A , b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：A 2=
ab 或A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）
（2）数列{a n }是等比数列⇔a n 2=a n -1⋅a n +1 4. 等比数列的前n 项和S n 公式： (1) 当q =1时， S n =na 1 (2) 当q ≠1时，S n =
=
a 1(1-q n )1-q
=a 1-a n q
1-q
a 1a
-1q n =A -A ⋅B n =A ' B n -A ' 1-q 1-q
（A , B , A ', B ' 为常数）
5. 等比数列的判定方法
(1)用定义：对任意的n, 都有
a n +1=qa n 或
a n +1
=q (q 为常数，a n ≠0) ⇔{a n }为等比数列 a n
（2） 等比中项：a n 2=a n +1a n -1（a n +1a n -1≠0）⇔{a n }为等比数列
（3） 通项公式：a n =A ⋅B n (A ⋅B ≠0)⇔{a n }为等比数列 （4） 前n 项和公式：
S n =A -A ⋅B n 或S n =A ' B n -A ' (A , B , A ', B ' 为常数)⇔{a n }为等比数列
6. 等比数列的证明方法 依据定义：若
a n
=q (q ≠0)(n ≥2, 且n ∈N *)或a n +1=qa n ⇔{a n }为a n -1
等比数列 7. 注意
（1）等比数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：a 1、q 、n 、a n 及S n ，其中a 1、q 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
（2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项；a n =a 1q n -1
a a
如奇数个数成等差，2, , a , aq , aq 2…（公比为q ，
q q
中间项用a 表示）； 8. 等比数列的性质 (1) 当q ≠1时
①等比数列通项公式a n =a 1q n -1=
a 1n
q =A ⋅B n (A ⋅B ≠0)是关于n q
的带有系数的类指数函数，底数为公比q ②前n 项和
S n =
a 1(1-q n )1-q
a 1-a 1q n a 1a =-1q n =A -A ⋅B n =A ' B n -A ' ，系
1-q 1-q 1-q
数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比q
(2) 对任何m,n ∈N *, 在等比数列{a n }中, 有a n =a m q n -m , 特别的, 当m=1时, 便得到等比数列的通项公式. 因此, 此公式比等比数列的通
项公式更具有一般性。
(3) 若m+n=s+t (m, n, s, t∈N *), 则a n ⋅a m =a s ⋅a t . 特别的, 当n+m=2k时, 得a n ⋅a m =a k 2
注：a 1⋅a n =a 2⋅a n -1=a 3a n -2⋅⋅⋅ (4) 列{a n }, {b n }为等比数列, 则数列
a k
{}, {k ⋅a n }, {a n k }, {k ⋅a n ⋅b n }{n (k为非零常数) 均为等比数列.
b n a n
(5) 数列{a n }为等比数列, 每隔k(k∈N *) 项取出一项(a m , a m +k , a m +2k , a m +3k , ⋅⋅⋅) 仍为等比数列
(6) 如果{a n }是各项均为正数的等比数列, 则数列{loga a n }是等差数列
(7) 若{a n }为等比数列, 则数列S n ，S 2n -S n ，S 3n -S 2n , ⋅⋅⋅，成等比数列
(8) 若{a n }为等比数列, 则数列a 1⋅a 2⋅⋅⋅⋅⋅a n , a n +1⋅a n +2⋅⋅⋅⋅⋅a 2n ,
a 2n +1⋅a 2n +2⋅⋅⋅⋅⋅⋅a 3n 成等比数列
(9) ①当q >1时， ②当0
{
a 1>0，则{a n }为递增数列
a 1
,
1>0，则{a n }为递减数列{a a 1
③当q=1时, 该数列为常数列（此时数列也为等差数列）; ④当q
(10)在等比数列{a n }中, 当项数为2n (n∈N *) 时,
S 奇1=,. S 偶q
(11)若{a n }是公比为q 的等比数列, 则S n +m =S n +q n ⋅S m
等比数列性质
1. 等比数列的定义：2. 通项公式：
a n =a 1q n -1=
a 1n
q =A ⋅B n (a 1⋅q ≠0, A ⋅B ≠0)， 首项：a 1；公比：q q
a n
或q =n a m
a n
=q (q ≠0)(n ≥2, 且n ∈N *)，q 称为公比 a n -1
推广：a n =a m q n -m ， 从而得q n -m =
3. 等比中项
（1）如果a , A , b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：A 2=
ab 或A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）
（2）数列{a n }是等比数列⇔a n 2=a n -1⋅a n +1 4. 等比数列的前n 项和S n 公式： (1) 当q =1时， S n =na 1 (2) 当q ≠1时，S n =
=
a 1(1-q n )1-q
=a 1-a n q
1-q
a 1a
-1q n =A -A ⋅B n =A ' B n -A ' 1-q 1-q
（A , B , A ', B ' 为常数）
5. 等比数列的判定方法
(1)用定义：对任意的n, 都有
a n +1=qa n 或
a n +1
=q (q 为常数，a n ≠0) ⇔{a n }为等比数列 a n
（2） 等比中项：a n 2=a n +1a n -1（a n +1a n -1≠0）⇔{a n }为等比数列
（3） 通项公式：a n =A ⋅B n (A ⋅B ≠0)⇔{a n }为等比数列 （4） 前n 项和公式：
S n =A -A ⋅B n 或S n =A ' B n -A ' (A , B , A ', B ' 为常数)⇔{a n }为等比数列
6. 等比数列的证明方法 依据定义：若
a n
=q (q ≠0)(n ≥2, 且n ∈N *)或a n +1=qa n ⇔{a n }为a n -1
等比数列 7. 注意
（1）等比数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：a 1、q 、n 、a n 及S n ，其中a 1、q 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
（2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项；a n =a 1q n -1
a a
如奇数个数成等差，2, , a , aq , aq 2…（公比为q ，
q q
中间项用a 表示）； 8. 等比数列的性质 (1) 当q ≠1时
①等比数列通项公式a n =a 1q n -1=
a 1n
q =A ⋅B n (A ⋅B ≠0)是关于n q
的带有系数的类指数函数，底数为公比q ②前n 项和
S n =
a 1(1-q n )1-q
a 1-a 1q n a 1a =-1q n =A -A ⋅B n =A ' B n -A ' ，系
1-q 1-q 1-q
数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比q
(2) 对任何m,n ∈N *, 在等比数列{a n }中, 有a n =a m q n -m , 特别的, 当m=1时, 便得到等比数列的通项公式. 因此, 此公式比等比数列的通
项公式更具有一般性。
(3) 若m+n=s+t (m, n, s, t∈N *), 则a n ⋅a m =a s ⋅a t . 特别的, 当n+m=2k时, 得a n ⋅a m =a k 2
注：a 1⋅a n =a 2⋅a n -1=a 3a n -2⋅⋅⋅ (4) 列{a n }, {b n }为等比数列, 则数列
a k
{}, {k ⋅a n }, {a n k }, {k ⋅a n ⋅b n }{n (k为非零常数) 均为等比数列.
b n a n
(5) 数列{a n }为等比数列, 每隔k(k∈N *) 项取出一项(a m , a m +k , a m +2k , a m +3k , ⋅⋅⋅) 仍为等比数列
(6) 如果{a n }是各项均为正数的等比数列, 则数列{loga a n }是等差数列
(7) 若{a n }为等比数列, 则数列S n ，S 2n -S n ，S 3n -S 2n , ⋅⋅⋅，成等比数列
(8) 若{a n }为等比数列, 则数列a 1⋅a 2⋅⋅⋅⋅⋅a n , a n +1⋅a n +2⋅⋅⋅⋅⋅a 2n ,
a 2n +1⋅a 2n +2⋅⋅⋅⋅⋅⋅a 3n 成等比数列
(9) ①当q >1时， ②当0
{
a 1>0，则{a n }为递增数列
a 1
,
1>0，则{a n }为递减数列{a a 1
③当q=1时, 该数列为常数列（此时数列也为等差数列）; ④当q
(10)在等比数列{a n }中, 当项数为2n (n∈N *) 时,
S 奇1=,. S 偶q
(11)若{a n }是公比为q 的等比数列, 则S n +m =S n +q n ⋅S m