等差数列性质教学设计

2007年第3期　　　　　　　　　　　　　数学通

讯7

等差数列性质教学设计

倪树平

(桐乡市茅盾中学, 浙江)

中图分类号:O122. 7-42　　　　文献标识码:A 　　　　文章编号:0488-7395(2007) 03-0007-03

　　在人教版《全日制普通高级中学教科书(必修) 数学》中,3. 2等差数列概念、性质及应用必须用2课时完成, 本文从教材分析、教学目标分析、学情分析、学法分析、教学过程设计、教学设计说明等六个方面谈谈第2课时的教学设计. 1　教材分析

1. 1　教材的地位与作用

质.

2　教学目标分析2. 1　知识与技能

让学生去探究、, ; , 培、分析、猜想、归纳和自主探究的能力.

2. 2　过程与方法

. 本章内容, 然后学习等差数列和等比数列两种常用的数列. 数列在实际生活中有着广泛的应用, 如堆放物品总数的计算、储蓄、分期付款问题等都要用到数列知识. 同时, 数列起着承前启后的作用, 数列与前面学习的函数知识紧密联系, 又为进一步学习数列的极限等作好准备.

等差数列是一种最基本的数列, 研究它的性质, 需要通过观察、分析、归纳和猜想才能有所发现. 在探究等差数列性质的过程中使学生学会研究数列的基本方法, 提高数学再创造学习的能力. 掌握研究数列的基本方法对于学好《数列》整章内容起着举足轻重的作用.

1. 2　教学的重点与难点

通过经历和体验等差数列性质的探索过程, 让学生体会过程的重要性, 并在探索的过程中学会学习、学会探究; 同时通过对等差数列性质的研究去感受和掌握研究数列的基本思想方法.

2. 3　情感态度与价值观

注重教学过程中师生间、生生间情感交流, 鼓励学生大胆尝试、发现规律, 培养他们积极进取的探索精神, 激发学生学习数学的兴趣, 增强解决问题的信心, 并获得成功的积极情感体验. 3　学情分析

3. 1　学生学习本课内容的基础

学生已经学习了集合与函数的初步知识, 掌握了数列的基本知识, 理解数列是定义域为正整数集或其子集的函数. 通过第一课时, 学生已经学习了等差数列的概念、通项公式, 并理解等差数列中项与项之间的关系. 本

本节课的教学重点是在理解等差数列概念的基础上探究等差数列的性质. 难点是怎样用等差数列的概念及通项公式来证明其性

收稿日期:2006-09-27

) , 男, 浙江桐乡人, 浙江省桐乡市茅盾中学高级教师, 硕士. 作者简介:倪树平(1969—

节课主要是从等差数列的概念、通项公式出发研究其性质. 对于大多数已经理解等差数列概念的学生来说, 学习本课并不是太难. 3. 2　学生学习本课内容的能力

个数列是不是等差数列? 如果是, 其首项和公差分别是什么; 如果不是, 请说明理由.

问题3　如果在a 与b 中间插入一个数

A , 使a , A , b 成等差数列, 那么A 应满足什

学生通过对高中数学中集合与函数的学习, 初步具有对数学问题自主探究的意识与能力. 高一学生思维活跃, 积极性高, 但同时由于个体认知水平、学习能力等方面的差异, 表现出不同的学习状态. 3. 3　学生学习本课内容的心理

么条件? 反之, A 满足什么条件才能使a ,

A , b 成等差数列?

追问1　等差数列{a n }中, 项a n , a n +1,

a n +2之间有什么关系?

追问2　我们怎样判断一个数列是否为等差数列? 你能说出几种方法?

问题4　等差数列{a n }中, 公差为d , 则项a n 与a m 之间有什么关系问题5　, m , n , p , q , +, a m ,

, a ?

高一学生是一个特殊的学习群体. 根据

皮亚杰(J. Piaget ) 关于心理发展的阶段学说, 他提出儿童青少年认知发展经历四个阶段, 即感知运算、前运算、具体运算和形式运算阶段, 高一学生处于形式运算阶段. 形象向抽象过渡, 折期; 心、, , 感情丰富, , . 3. 4　学法分析

1　等差数列{a n }中, m , n , p ∈N , 若m +n =2p , a m , a n , a p 之间关系又

3

是怎样?

追问2　如果数列{a n }是项数为n 的等差数列, 从问题5的结论中还能得到什么启示吗?

问题6　在等差数列{a n }中, 公差为d , 我们能否从原数列中取出一些数构成等差数列, 若能, 怎样取, 公差是什么?

问题7　已知{a n }{b n }是项数相同的等差数列, 能不能构造出一些与{a n },{b n }中的项有关的新等差数列? 这些新的等差数列是什么? 公差怎样?

教师在这里精心设计了问题串, 创设了数学问题情境, 学生面对上述问题, 有一种渴望解决问题的强烈心情, 这样可以激发学生自主探究的热情. 4. 2　引导思考, 自主探究

高一学生已经具备了一定观察、猜想、分析和归纳的能力, 但是学生的抽象思维能力还不是很强, 此时学生已掌握了等差数列的概念及其简单应用. 教材没有对等差数列的性质进行分析与探究, 而在例题与习题中有所体现, 因而学生在解题中会碰到一些盲点. 因此, 本课的教学设计旨在搭设台阶, 降低坡度, 引导学生从等差数列的概念出发, 通过观察、分析、归纳、推理来探究其性质, 为我所用, 激发学生自主探究的学习热情, 让学生在探究中学会学习、学会合作、学会创造. 4　教学过程设计

4. 1　提出问题串, 创设学习情境

问题1　等差数列{a n }中, 通项公式为

a n =a 1+(n -1) d , 我们怎样将其写成另一

面对一系列的问题, 学生的求知欲望高涨, 教师给予分析和引导, 引导学生深入思考, 开展讨论. 下面是在讨论问题6时, 教师引导学生进行探究的过程.

S 1:我认为先用特殊值法取几个数列看

种形式?

问题2　已知数列的通项公式是a n =

pn +q , 其中p , q 是常数, 且p ≠0, 那么这

看, 再证明. 如取一个简单的数列, 通项为a n =n ,1,2,3,4,5,6,7, …;

T :能不能从原数列中取出一些数构成

列;

性质3　等差数列{a n }中, a n =a m +(n -m ) d , 公差为d ;

等差数列?

S 1:取出数列:1,3,5,7,9, …, 公差为2

3

性质4　等差数列{a n }中, m , n , p , q ∈N , 若m +n =p +q , 则a m +a n =a p +a q ;

的等差数列;

S 2:取出数列:1,5,9,13,17, …, 公差为

3

推论1　等差数列{a n }中, m , n , p ∈N , 若m +n =2p , 则a m +a n =2a p ;

4的等差数列;

T :取出来的项在原数列中的位置有什

推论2　数列{a n }是项数为n 的等差数列, 与首末两项“距离”相等的两项和等于首末两项的和, 即a 1+a n =a 2+a n -1=a 3+

a n -2=…;

么关系?

S 3:是原数列中下标成等差数列的项; T :我们能否对原数列中下标成等差数

列的项组成的数列作出猜想?

S 4:从原数列中取出下标成等差数列的

性质5　等差数列{a n , 公差为d , 下列a k , a k +m

2, 且公差为;

项组成的数列也是等差数列.

励, 想, T :性质6　已知{a n },{b n }是项数相同的等差数列, 则{pa n +qb n }(p , q 为常数) 也是等差数列.

4. 4　题组练习　略. 5　教学设计说明

确吗? 怎样证明S 5得出的结论?

S 5:设下标的公差为m , 原数列的公差

为d , ∴a k +m -a k =a 1+(k +m -1) d -a 1-(k -1) d =m d .

高中数学新课程理念之一是倡导积极主动、勇于探索的学习方式, 这些方式有助于发挥学生学习的主动性, 使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程. 高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动, 让学生体验数学发现和创造的历程, 发展他们的创新意识. 建构主义学习理论认为, 数学知识应以各种有待探索的问题形式与学生的经验世界发生联系和作用. 本课设计的基本理念正是在教师的指导下, 创设数学学习情境, 让学生自主探究等差数列的性质, 使他们能积极主动地参与到数学学习的活动之中.

参考文献:

[1]　中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标

在教师的启发引导下, 通过对上述问题讨论, 学生畅所欲言, 流露了自己的思想, 对这些问题也形成了自己的思想方法, 加深了对问题的理解, 提升了学生分析问题、解决问和自主探究的能力. 4. 3　反思结论, 归纳总结

在学生自主探究, 讨论反思的基础上, 通过归纳总结, 得到等差数列的有关性质:

性质1　等差数列{a n }通项公式的另一形式a n =pn +q , 首项p +q , 公差为p :

3

性质2　a n +1-a n =d (n ∈N ) Ζ

{a n }是等差数列;

2a n +1=a n +a n +2(n ∈N ) Ζ{a n }是等

3

差数列;

a n =pn +q (n ∈N ) Ζ{a n }是等差数

3

准(实验稿) [M ].北京:北京人民教育出版社

2003.

2007年第3期　　　　　　　　　　　　　数学通

讯7

等差数列性质教学设计

倪树平

(桐乡市茅盾中学, 浙江)

中图分类号:O122. 7-42　　　　文献标识码:A 　　　　文章编号:0488-7395(2007) 03-0007-03

　　在人教版《全日制普通高级中学教科书(必修) 数学》中,3. 2等差数列概念、性质及应用必须用2课时完成, 本文从教材分析、教学目标分析、学情分析、学法分析、教学过程设计、教学设计说明等六个方面谈谈第2课时的教学设计. 1　教材分析

1. 1　教材的地位与作用

质.

2　教学目标分析2. 1　知识与技能

让学生去探究、, ; , 培、分析、猜想、归纳和自主探究的能力.

2. 2　过程与方法

. 本章内容, 然后学习等差数列和等比数列两种常用的数列. 数列在实际生活中有着广泛的应用, 如堆放物品总数的计算、储蓄、分期付款问题等都要用到数列知识. 同时, 数列起着承前启后的作用, 数列与前面学习的函数知识紧密联系, 又为进一步学习数列的极限等作好准备.

等差数列是一种最基本的数列, 研究它的性质, 需要通过观察、分析、归纳和猜想才能有所发现. 在探究等差数列性质的过程中使学生学会研究数列的基本方法, 提高数学再创造学习的能力. 掌握研究数列的基本方法对于学好《数列》整章内容起着举足轻重的作用.

1. 2　教学的重点与难点

通过经历和体验等差数列性质的探索过程, 让学生体会过程的重要性, 并在探索的过程中学会学习、学会探究; 同时通过对等差数列性质的研究去感受和掌握研究数列的基本思想方法.

2. 3　情感态度与价值观

注重教学过程中师生间、生生间情感交流, 鼓励学生大胆尝试、发现规律, 培养他们积极进取的探索精神, 激发学生学习数学的兴趣, 增强解决问题的信心, 并获得成功的积极情感体验. 3　学情分析

3. 1　学生学习本课内容的基础

学生已经学习了集合与函数的初步知识, 掌握了数列的基本知识, 理解数列是定义域为正整数集或其子集的函数. 通过第一课时, 学生已经学习了等差数列的概念、通项公式, 并理解等差数列中项与项之间的关系. 本

本节课的教学重点是在理解等差数列概念的基础上探究等差数列的性质. 难点是怎样用等差数列的概念及通项公式来证明其性

收稿日期:2006-09-27

) , 男, 浙江桐乡人, 浙江省桐乡市茅盾中学高级教师, 硕士. 作者简介:倪树平(1969—

节课主要是从等差数列的概念、通项公式出发研究其性质. 对于大多数已经理解等差数列概念的学生来说, 学习本课并不是太难. 3. 2　学生学习本课内容的能力

个数列是不是等差数列? 如果是, 其首项和公差分别是什么; 如果不是, 请说明理由.

问题3　如果在a 与b 中间插入一个数

A , 使a , A , b 成等差数列, 那么A 应满足什

学生通过对高中数学中集合与函数的学习, 初步具有对数学问题自主探究的意识与能力. 高一学生思维活跃, 积极性高, 但同时由于个体认知水平、学习能力等方面的差异, 表现出不同的学习状态. 3. 3　学生学习本课内容的心理

么条件? 反之, A 满足什么条件才能使a ,

A , b 成等差数列?

追问1　等差数列{a n }中, 项a n , a n +1,

a n +2之间有什么关系?

追问2　我们怎样判断一个数列是否为等差数列? 你能说出几种方法?

问题4　等差数列{a n }中, 公差为d , 则项a n 与a m 之间有什么关系问题5　, m , n , p , q , +, a m ,

, a ?

高一学生是一个特殊的学习群体. 根据

皮亚杰(J. Piaget ) 关于心理发展的阶段学说, 他提出儿童青少年认知发展经历四个阶段, 即感知运算、前运算、具体运算和形式运算阶段, 高一学生处于形式运算阶段. 形象向抽象过渡, 折期; 心、, , 感情丰富, , . 3. 4　学法分析

1　等差数列{a n }中, m , n , p ∈N , 若m +n =2p , a m , a n , a p 之间关系又

3

是怎样?

追问2　如果数列{a n }是项数为n 的等差数列, 从问题5的结论中还能得到什么启示吗?

问题6　在等差数列{a n }中, 公差为d , 我们能否从原数列中取出一些数构成等差数列, 若能, 怎样取, 公差是什么?

问题7　已知{a n }{b n }是项数相同的等差数列, 能不能构造出一些与{a n },{b n }中的项有关的新等差数列? 这些新的等差数列是什么? 公差怎样?

教师在这里精心设计了问题串, 创设了数学问题情境, 学生面对上述问题, 有一种渴望解决问题的强烈心情, 这样可以激发学生自主探究的热情. 4. 2　引导思考, 自主探究

高一学生已经具备了一定观察、猜想、分析和归纳的能力, 但是学生的抽象思维能力还不是很强, 此时学生已掌握了等差数列的概念及其简单应用. 教材没有对等差数列的性质进行分析与探究, 而在例题与习题中有所体现, 因而学生在解题中会碰到一些盲点. 因此, 本课的教学设计旨在搭设台阶, 降低坡度, 引导学生从等差数列的概念出发, 通过观察、分析、归纳、推理来探究其性质, 为我所用, 激发学生自主探究的学习热情, 让学生在探究中学会学习、学会合作、学会创造. 4　教学过程设计

4. 1　提出问题串, 创设学习情境

问题1　等差数列{a n }中, 通项公式为

a n =a 1+(n -1) d , 我们怎样将其写成另一

面对一系列的问题, 学生的求知欲望高涨, 教师给予分析和引导, 引导学生深入思考, 开展讨论. 下面是在讨论问题6时, 教师引导学生进行探究的过程.

S 1:我认为先用特殊值法取几个数列看

种形式?

问题2　已知数列的通项公式是a n =

pn +q , 其中p , q 是常数, 且p ≠0, 那么这

看, 再证明. 如取一个简单的数列, 通项为a n =n ,1,2,3,4,5,6,7, …;

T :能不能从原数列中取出一些数构成

列;

性质3　等差数列{a n }中, a n =a m +(n -m ) d , 公差为d ;

等差数列?

S 1:取出数列:1,3,5,7,9, …, 公差为2

3

性质4　等差数列{a n }中, m , n , p , q ∈N , 若m +n =p +q , 则a m +a n =a p +a q ;

的等差数列;

S 2:取出数列:1,5,9,13,17, …, 公差为

3

推论1　等差数列{a n }中, m , n , p ∈N , 若m +n =2p , 则a m +a n =2a p ;

4的等差数列;

T :取出来的项在原数列中的位置有什

推论2　数列{a n }是项数为n 的等差数列, 与首末两项“距离”相等的两项和等于首末两项的和, 即a 1+a n =a 2+a n -1=a 3+

a n -2=…;

么关系?

S 3:是原数列中下标成等差数列的项; T :我们能否对原数列中下标成等差数

列的项组成的数列作出猜想?

S 4:从原数列中取出下标成等差数列的

性质5　等差数列{a n , 公差为d , 下列a k , a k +m

2, 且公差为;

项组成的数列也是等差数列.

励, 想, T :性质6　已知{a n },{b n }是项数相同的等差数列, 则{pa n +qb n }(p , q 为常数) 也是等差数列.

4. 4　题组练习　略. 5　教学设计说明

确吗? 怎样证明S 5得出的结论?

S 5:设下标的公差为m , 原数列的公差

为d , ∴a k +m -a k =a 1+(k +m -1) d -a 1-(k -1) d =m d .

高中数学新课程理念之一是倡导积极主动、勇于探索的学习方式, 这些方式有助于发挥学生学习的主动性, 使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程. 高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动, 让学生体验数学发现和创造的历程, 发展他们的创新意识. 建构主义学习理论认为, 数学知识应以各种有待探索的问题形式与学生的经验世界发生联系和作用. 本课设计的基本理念正是在教师的指导下, 创设数学学习情境, 让学生自主探究等差数列的性质, 使他们能积极主动地参与到数学学习的活动之中.

参考文献:

[1]　中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标

在教师的启发引导下, 通过对上述问题讨论, 学生畅所欲言, 流露了自己的思想, 对这些问题也形成了自己的思想方法, 加深了对问题的理解, 提升了学生分析问题、解决问和自主探究的能力. 4. 3　反思结论, 归纳总结

在学生自主探究, 讨论反思的基础上, 通过归纳总结, 得到等差数列的有关性质:

性质1　等差数列{a n }通项公式的另一形式a n =pn +q , 首项p +q , 公差为p :

3

性质2　a n +1-a n =d (n ∈N ) Ζ

{a n }是等差数列;

2a n +1=a n +a n +2(n ∈N ) Ζ{a n }是等

3

差数列;

a n =pn +q (n ∈N ) Ζ{a n }是等差数

3

准(实验稿) [M ].北京:北京人民教育出版社

2003.