数列基础知识点和方法归纳
1. 等差数列的定义与性质
定义:a n +1-a n =d (d 为常数),a n =a 1+(n -1)d 等差中项:x ,A ,y 成等差数列⇔2A =x +y 前n 项和S n =
(a 1+a n )n =na
2
1+
n (n -1)
d 2
性质:{a n }是等差数列
(1)若m +n =p +q ,则a m +a n =a p +a q ;
(2)数列{a 2n -1}{, a 2n }{, a 2n +1}仍为等差数列,S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ……仍为等差数列,公差为n 2d ;
(3)若三个成等差数列,可设为a -d ,a ,a +d (4)若a n ,b n 是等差数列,且前n 项和分别为S n ,T n ,则
a m S 2m -1
=
b m T 2m -1
(5){a n }为等差数列⇔S n =an 2+bn (a ,b 为常数,是关于n 的常数项为0的二次函数)
S n 的最值可求二次函数S n =an 2+bn 的最值;或者求出{a n }中的正、负分界
项,
⎧a n ≥0
即:当a 1>0,d
a ≤0⎩n +1⎧a ≤0
当a 10,由⎨n 可得S n 达到最小值时的n 值.
⎩a n +1≥0(6)项数为偶数2n 的等差数列{a n }
,有
S 2n =n (a 1+a 2n ) =n (a 2+a 2n -1) = =n (a n +a n +1)(a n , a n +1为中间两项)
S 偶-S 奇=nd ,
S 奇S 偶
=
a n
. a n +1
,有
(7)项数为奇数2n -1的等差数列{a n }
1
S 2n -1=(2n -1) a n (a n 为中间项) , S 奇-S S 奇偶=a n ,
S =
n n -1
. 偶
2. 等比数列的定义与性质
定义:
a n +1
=q (q 为常数,q ≠0),a n -1a n =a 1q n
. 等比中项:x 、G 、y 成等比数列⇒G 2=
xy ,或G =
⎧na 1(q =1) 前n 项和:S ⎪
n =⎨⎪
a 1(1-q n )(要注意!)
⎩1-q
(q ≠1) 性质:{a n }是等比数列
(1)若m +n =p +q ,则a m ·a n =a p ·a q
(2)S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ……仍为等比数列, 公比为q n . 注意:由S n 求a n 时应注意什么?
n =1时,a 1=S 1;
n ≥2时,a n =S n -S n -1.
3.求数列通项公式的常用方法 (1)求差(商)法
如:数列{a 12+11
n },a 122a 2+……+2
n a n =2n +5,求a n
解 n =1时,1
2a 1=2⨯1+5,∴a 1=14 n ≥2时,12a +11
122a 2+……+2
n -1a n -1=2n -1+5 ①—②得:1n +1
⎧14(n =1) 2n a n =2,∴a n =2,∴a n =⎨⎩
2n +1(n ≥2) [练习]数列{a 5
n }满足S n +S n +1=3
a n +1,a 1=4,求a n
注意到a S n +1
n +1=S n +1-S n ,代入得
S =4又S 1=4,∴{S n }是等比数列,n
;
2
①
②
S n =4n
n ≥2时,a n =S n -S n -1=……=3·4n -1
(2)叠乘法
a n 如:数列{a n }中,a 1=3n +1=,求a n
a n n +1
解
3a a 1a 2a 312n -1
,∴n =又a 1=3,∴a n =……n =……
n . a 1n a 1a 2a n -123n
(3)等差型递推公式
由a n -a n -1=f (n ) ,a 1=a 0,求a n ,用迭加法
⎫
a 3-a 2=f (3)⎪⎪
n ≥2时,⎬两边相加得a n -a 1=f (2)+f (3)+……+f (n )
…………⎪a n -a n -1=f (n ) ⎪⎭
a 2-a 1=f (2)
∴a n =a 0+f (2)+f (3)+……+f (n ) [练习]数列{a n }中,a 1=1,a n =3(4)等比型递推公式
n -1
+a n -1(n ≥2),求a n (
a n =
1n
3-1)(2)
a n =ca n -1+d (c 、d 为常数,c ≠0,c ≠1,d ≠0)
可转化为等比数列,设a n +x =c (a n -1+x )⇒a n =ca n -1+(c -1)x 令(c -1) x =d ,∴x =
d d d ⎫⎧
,c 为公比的等比数列 ,∴⎨a n +⎬是首项为a 1+
c -1c -1c -1⎩⎭
∴a n +
d d ⎫n -1d ⎫n -1d ⎛⎛
,∴ = a 1+·c a =a +c -n ⎪ 1⎪
c -1⎝c -1⎭c -1⎭c -1⎝
(5)倒数法 如:a 1=1,a n +1=
2a n
,求a n a n +2
由已知得:
a +2111111=n =+,∴-= a n +12a n 2a n a n +1a n 2
⎧1⎫11111
·=(n +1), ∴⎨⎬为等差数列,=1,公差为,∴=1+(n -1)
2a 1a n 22⎩a n ⎭
3
∴a n =( 附:
2n +1
公式法、利用
a n =
{
S 1(n =1)
S n -S n -1(n ≥2) 、累加法、累乘法. 构造等差或等比
a n +1=pa n +q 或a n +1=pa n +f (n ) 、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法
)
4. 求数列前n 项和的常用方法
(1) 裂项法
把数列各项拆成两项或多项之和,使之出现成对互为相反数的项. 如:{a n }是公差为d 的等差数列,求∑
1
k =1a k a k +1
n
解:由
n
111⎛11⎫
== -⎪(d ≠0)
a k ·a k +1a k a k +d d ⎝a k a k +1⎭
n
⎛111⎛11⎫1⎡⎛11⎫⎛11⎫1⎫⎤
=∑ -=-+-+……+-∴∑⎢ ⎪⎪ ⎪⎥ ⎪
a k +1⎭d ⎣⎝a 1a 2⎭⎝a 2a 3⎭k =1a k a k +1k =1d ⎝a k ⎝a n a n +1⎭⎦
=
1⎛11⎫
- ⎪ d ⎝a 1a n +1⎭
[练习]求和:1+
111++……+ 1+21+2+31+2+3+……+n
1
a n =……=……,S n =2-
n +1
(2)错位相减法
若{a n }为等差数列,{b n }为等比数列,求数列{a n b n }(差比数列)前n 项和,可由
S n -qS n ,求S n ,其中q 为{b n }的公比.
如:S n =1+2x +3x 2+4x 3+……+nx n -1
①
x ·S n =x +2x 2+3x 3+4x 4+……+(n -1)x n -1+nx n ①—②(1-x )S n =1+x +x 2+……+x n -1-nx n
4
②
时,(3)倒序相加法
把数列的各项顺序倒写,再与原来顺序的数列相加.
相加
,
时,
[练习]已知,则
由
∴原式(附:
a. 用倒序相加法求数列的前n 项和
如果一个数列{an },与首末项等距的两项之和等于首末两项之和,可采用把正着写与倒着写的两个和式相加,就得到一个常数列的和,这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时,不但要知其果,更要索其因,知识的得出过程是知识的源头,也是研究同一类知识的工具,例如:等差数列前n 项和公式的推导,用的就是“倒序相加法”。 b. 用公式法求数列的前n 项和
对等差数列、等比数列,求前n 项和S n 可直接用等差、等比数列的前n 项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项:首先要注意公式的应用范围,确定公式适用于这个数列之后,再计算。 c. 用裂项相消法求数列的前n 项和
裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项,使得前后项相抵消,留下有限项,从而求出数列的前n 项和。 d. 用错位相减法求数列的前n 项和
错位相减法是一种常用的数列求和方法,应用于等比数列与等差数列相乘的形式。即若在数列{an ·b n }中,{an }成等差数列,{bn }成等比数列,在和式的两边同乘以公比,再与原式错位相减整理后即可以求出前n 项和。 e. 用迭加法求数列的前n 项和
迭加法主要应用于数列{an }满足a n+1=an +f(n),其中f(n)是等差数列或等比数列的条
5
6
数列基础知识点和方法归纳
1. 等差数列的定义与性质
定义:a n +1-a n =d (d 为常数),a n =a 1+(n -1)d 等差中项:x ,A ,y 成等差数列⇔2A =x +y 前n 项和S n =
(a 1+a n )n =na
2
1+
n (n -1)
d 2
性质:{a n }是等差数列
(1)若m +n =p +q ,则a m +a n =a p +a q ;
(2)数列{a 2n -1}{, a 2n }{, a 2n +1}仍为等差数列,S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ……仍为等差数列,公差为n 2d ;
(3)若三个成等差数列,可设为a -d ,a ,a +d (4)若a n ,b n 是等差数列,且前n 项和分别为S n ,T n ,则
a m S 2m -1
=
b m T 2m -1
(5){a n }为等差数列⇔S n =an 2+bn (a ,b 为常数,是关于n 的常数项为0的二次函数)
S n 的最值可求二次函数S n =an 2+bn 的最值;或者求出{a n }中的正、负分界
项,
⎧a n ≥0
即:当a 1>0,d
a ≤0⎩n +1⎧a ≤0
当a 10,由⎨n 可得S n 达到最小值时的n 值.
⎩a n +1≥0(6)项数为偶数2n 的等差数列{a n }
,有
S 2n =n (a 1+a 2n ) =n (a 2+a 2n -1) = =n (a n +a n +1)(a n , a n +1为中间两项)
S 偶-S 奇=nd ,
S 奇S 偶
=
a n
. a n +1
,有
(7)项数为奇数2n -1的等差数列{a n }
1
S 2n -1=(2n -1) a n (a n 为中间项) , S 奇-S S 奇偶=a n ,
S =
n n -1
. 偶
2. 等比数列的定义与性质
定义:
a n +1
=q (q 为常数,q ≠0),a n -1a n =a 1q n
. 等比中项:x 、G 、y 成等比数列⇒G 2=
xy ,或G =
⎧na 1(q =1) 前n 项和:S ⎪
n =⎨⎪
a 1(1-q n )(要注意!)
⎩1-q
(q ≠1) 性质:{a n }是等比数列
(1)若m +n =p +q ,则a m ·a n =a p ·a q
(2)S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ……仍为等比数列, 公比为q n . 注意:由S n 求a n 时应注意什么?
n =1时,a 1=S 1;
n ≥2时,a n =S n -S n -1.
3.求数列通项公式的常用方法 (1)求差(商)法
如:数列{a 12+11
n },a 122a 2+……+2
n a n =2n +5,求a n
解 n =1时,1
2a 1=2⨯1+5,∴a 1=14 n ≥2时,12a +11
122a 2+……+2
n -1a n -1=2n -1+5 ①—②得:1n +1
⎧14(n =1) 2n a n =2,∴a n =2,∴a n =⎨⎩
2n +1(n ≥2) [练习]数列{a 5
n }满足S n +S n +1=3
a n +1,a 1=4,求a n
注意到a S n +1
n +1=S n +1-S n ,代入得
S =4又S 1=4,∴{S n }是等比数列,n
;
2
①
②
S n =4n
n ≥2时,a n =S n -S n -1=……=3·4n -1
(2)叠乘法
a n 如:数列{a n }中,a 1=3n +1=,求a n
a n n +1
解
3a a 1a 2a 312n -1
,∴n =又a 1=3,∴a n =……n =……
n . a 1n a 1a 2a n -123n
(3)等差型递推公式
由a n -a n -1=f (n ) ,a 1=a 0,求a n ,用迭加法
⎫
a 3-a 2=f (3)⎪⎪
n ≥2时,⎬两边相加得a n -a 1=f (2)+f (3)+……+f (n )
…………⎪a n -a n -1=f (n ) ⎪⎭
a 2-a 1=f (2)
∴a n =a 0+f (2)+f (3)+……+f (n ) [练习]数列{a n }中,a 1=1,a n =3(4)等比型递推公式
n -1
+a n -1(n ≥2),求a n (
a n =
1n
3-1)(2)
a n =ca n -1+d (c 、d 为常数,c ≠0,c ≠1,d ≠0)
可转化为等比数列,设a n +x =c (a n -1+x )⇒a n =ca n -1+(c -1)x 令(c -1) x =d ,∴x =
d d d ⎫⎧
,c 为公比的等比数列 ,∴⎨a n +⎬是首项为a 1+
c -1c -1c -1⎩⎭
∴a n +
d d ⎫n -1d ⎫n -1d ⎛⎛
,∴ = a 1+·c a =a +c -n ⎪ 1⎪
c -1⎝c -1⎭c -1⎭c -1⎝
(5)倒数法 如:a 1=1,a n +1=
2a n
,求a n a n +2
由已知得:
a +2111111=n =+,∴-= a n +12a n 2a n a n +1a n 2
⎧1⎫11111
·=(n +1), ∴⎨⎬为等差数列,=1,公差为,∴=1+(n -1)
2a 1a n 22⎩a n ⎭
3
∴a n =( 附:
2n +1
公式法、利用
a n =
{
S 1(n =1)
S n -S n -1(n ≥2) 、累加法、累乘法. 构造等差或等比
a n +1=pa n +q 或a n +1=pa n +f (n ) 、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法
)
4. 求数列前n 项和的常用方法
(1) 裂项法
把数列各项拆成两项或多项之和,使之出现成对互为相反数的项. 如:{a n }是公差为d 的等差数列,求∑
1
k =1a k a k +1
n
解:由
n
111⎛11⎫
== -⎪(d ≠0)
a k ·a k +1a k a k +d d ⎝a k a k +1⎭
n
⎛111⎛11⎫1⎡⎛11⎫⎛11⎫1⎫⎤
=∑ -=-+-+……+-∴∑⎢ ⎪⎪ ⎪⎥ ⎪
a k +1⎭d ⎣⎝a 1a 2⎭⎝a 2a 3⎭k =1a k a k +1k =1d ⎝a k ⎝a n a n +1⎭⎦
=
1⎛11⎫
- ⎪ d ⎝a 1a n +1⎭
[练习]求和:1+
111++……+ 1+21+2+31+2+3+……+n
1
a n =……=……,S n =2-
n +1
(2)错位相减法
若{a n }为等差数列,{b n }为等比数列,求数列{a n b n }(差比数列)前n 项和,可由
S n -qS n ,求S n ,其中q 为{b n }的公比.
如:S n =1+2x +3x 2+4x 3+……+nx n -1
①
x ·S n =x +2x 2+3x 3+4x 4+……+(n -1)x n -1+nx n ①—②(1-x )S n =1+x +x 2+……+x n -1-nx n
4
②
时,(3)倒序相加法
把数列的各项顺序倒写,再与原来顺序的数列相加.
相加
,
时,
[练习]已知,则
由
∴原式(附:
a. 用倒序相加法求数列的前n 项和
如果一个数列{an },与首末项等距的两项之和等于首末两项之和,可采用把正着写与倒着写的两个和式相加,就得到一个常数列的和,这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时,不但要知其果,更要索其因,知识的得出过程是知识的源头,也是研究同一类知识的工具,例如:等差数列前n 项和公式的推导,用的就是“倒序相加法”。 b. 用公式法求数列的前n 项和
对等差数列、等比数列,求前n 项和S n 可直接用等差、等比数列的前n 项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项:首先要注意公式的应用范围,确定公式适用于这个数列之后,再计算。 c. 用裂项相消法求数列的前n 项和
裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项,使得前后项相抵消,留下有限项,从而求出数列的前n 项和。 d. 用错位相减法求数列的前n 项和
错位相减法是一种常用的数列求和方法,应用于等比数列与等差数列相乘的形式。即若在数列{an ·b n }中,{an }成等差数列,{bn }成等比数列,在和式的两边同乘以公比,再与原式错位相减整理后即可以求出前n 项和。 e. 用迭加法求数列的前n 项和
迭加法主要应用于数列{an }满足a n+1=an +f(n),其中f(n)是等差数列或等比数列的条
5
6