第33卷 第1期2011年2月
电气电子教学学报
JO U RN A L O F EEE
Vol. 33 No. 1Feb. 2011
冲激函数和冲激偶函数的物理意义研究
申 艳, 陈后金
(北京交通大学电子信息工程学院, 北京100044)
摘 要:冲激函数和冲激偶函数是信号分析理论中的重要函数, 其性质简化了信号分析的过程。本文研究了冲激函数的广义函数定义, 分析并解释了冲激函数的取样和筛选性质的物理意义, 在此基础上提出了一种冲激偶函数的广义函数定义的物理意义。和传统的定义方式的解释相比, 本文提出的解释方式更加易于理解。本文还分析并解释了冲激偶函数的取样和筛选性质的物理意义。关键词:冲激和冲激偶函数; 广义函数; 取样中图分类号:G420
文献标识码:A 文章编号:1008 0686(2011) 01 0032 03
Study on the Physical Meaning of the Impulse and Doublet Function
SHEN Yan, CHEN Hou jin
(S chool of Elec tr onic an d Inf ormation Enginee ring , Beij ing J iaotong Univ er sity , Beij ing 100044, China)
Abstract:Impulse and doublet functio ns are important functions in theories of signal analysis. They sim plify
the process of the signal analysis. Firstly, the definition of im pulse function based on the distribution function and the physical meaning of the sampling property and sifting property of the impulse function are studied. Secondly, a doublet definition explainitio n based on the distribution function is presented for better understand ing the physical meaning of doublet com pared to the traditional definition, then the physical m eaning of sam pling property and sifting property of the doublet function is also studied and interpreted. Keywords:impulse and doublet functio n; distr ibuted function; sampling 冲激函数 (t) 是作用时间极短暂、作用值很大及积分有限的一类理想化数学模型。利用它可以对连续信号进行线性表达, 可以求解线性非时变系统的零状态响应[1]。冲激函数 (t) 的定义为
广义函数(又称分配函数) g(t) 定义为[2]:选择
一个测试函数 (t) , (t) 是一个连续的、具有任意阶导数、在有限区间以外为零的函数; 广义函数g(t) 作用于测试函数 (t) 结果为F( ) , 即
(t) d t =
+
1, (t) =0, t 0(1)
g(t) (t) d t =
+
F ( ) (2)
用普通微积分的方法直接计算涉及 (t) 的积分是困难的, 因此需要通过泛函理论对其进行分析。该方法通过其它函数实现对冲激函数的分析, 此时
的 (t) 就是一种广义函数。
依据广义函数理论, 冲激函数 (t) 定义为
(t) (t) d t =
+
(0) (3)
其中, (t) 是测试函数。式(3) 表明, 单位冲激函数
(t) 与测试函数 (t) 乘积的积分等于测试函数在零时刻的值 (0) 。即当冲激函数 (t) 作用于基本空间函数 (t) 得到的值为 (0) 。
这种定义方式比较抽象, 通常难以理解, 因此在
1 冲激函数的物理意义
1. 1 冲激函数的物理意义
收稿日期:2010 06 18; 修回日期:2010 09 15
基金项目:电工电子基础课程国家级教学团队项目(244033529) ; 电工电子国家级实验教学示范中心项目(351003535) 第一作者:申 艳(1979 ) , 女, 博士, 讲师, 主要从事信号处理研究, E mail:sheny@bjtu. edu. cn
第1期申 艳, 陈后金:冲激函数和冲激偶函数的物理意义研究
33
解释定义时重点放在与普通函数定义方法的比较。普通函数是由对应于自变量的变化值所取的函数值来定义的, 例如, 某函数x (t) =t 2-2t+1直接作用在变量t 上, 即将变量映射到函数x (t) 上[3]。而广义函数是由它对另一个函数(常称为检验函数或测试函数) 的作用效果来定义的。广义函数是作用在某类函数 (t) 上的, 即把 (t) 映射到F( ) 。即广义函数作用在 (t) 所属的函数空间上, 这个函数空间就叫基本函数空间。故广义函数g(t) 就是基本函数空间上的线性连续泛函。作为广义函数g(t) 不一定能写出类似于普通函数x (t) 的表达形式。但如果知道对基本空间中任一元素的作用值, 就可认为这个广义函数已知了。如果两个广义函数对于基本空间中任一元素 (t) 的作用值相等, 就可认为这两个广义函数是相等的。1. 2 冲激函数的性质
(1) 筛选性质
如果信号x (t) 是一个在t =t 0处连续的普通函数, 则有
x (t) (t-t 0) =x (t 0) (t -t 0)
(4)
上式表明, 信号x (t) 与冲激函数 (t-t 0) 相乘, 筛选出连续时间信号x (t) 在t =t 0时的函数值x (t 0) 。可以理解为冲激函数 (t-t 0) 在t =t 0时刻对函数x (t) 的一瞬间的作用, 其值是 (t -t 0) 和x (t 0) 相乘的结果, 瞬间趋于无穷大。
(2) 取样性质
如果信号x (t) 是一个在t =t 0处连续的普通函数, 则有
导, 体现了位移的变化, 得到速度信号x (t) ; 再对速
度信号求导, 体现了速度信号的变化, 得到加速度信号x (t) 。而对于冲激函数这种奇异信号, 表征的是作用时间极短, 而作用值很大的物理现象, 比如雷击或电路中电容电流的突变等现象。那么从物理意义上讲, 冲激函数 (t) 瞬间的变化可用冲激偶函数 (t) 来表示。
2. 1 冲激偶函数的物理意义
传统的冲激偶函数 (t) 的定义方式是直接对冲激函数求导而得到[6], 即 (t) =d (t) /d t 。由于冲激函数不能用普通的积分来求出, 因此可采用了分配函数定义的冲激函数
(t) (t) d t =
(0) , 这
是一种间接的定义方式。 (t) =d (t) /d t 也很难用普通的求导来得到, 因此采用分配函数实现[7], 即用一个n 阶可导的测试函数 (t) , 乘以被测试的函数。如果在整个时间轴上的积分等于 (0) , 则被测试的函数就是冲激偶函数 (t) , 即有
(t) d t =
(t)
+
(0) (6)
大多数文献仅给出了上述定义, 并没有对其物
理意义作进一步解释。笔者认为, 冲激偶函数表示冲激函数的瞬间变化, 该变化作用于测试函数, 通过测试函数的变化(导数) 体现。该变化和冲激偶函数的方向相反。因为 (t) 表示 (t) 的变化, 该变化难以直观测量, 当冲激偶函数 (t) 作用于测试函数 (t) 时, 可以通过测试函数的变化 (0) 来体现 (t) 的变化, 该变化和 (t) 的变化相反。也就是说, 冲激函数的变化用冲激偶函数表示, 而冲激偶函数作用于分配函数 (t) , (t) 在0时刻产生的形变是 (0) , 则 (0) 体现了冲激函数的变化。以此类推, 冲激函数的高阶导数通过测试函数的高阶导数及其方向来体现。这样就可避免对冲激函数及其高阶导数的直接定义和分析。2. 2 冲激偶函数的性质
(1) 取样性质
(t -t ) d t =
x (t)
x (t) (t -t 0) d t =x (t 0) (5)
冲激信号的取样特性表明, 一个连续时间信号x (t) 与冲激函数 (t-t 0) 相乘, 并在( , + ) 时间域上积分, 其结果为信号x (t) 在t =t 0时的函数值x (t 0) 。该式可以理解为冲激函数 (t-t 0) 作用于
函数x (t) , 趋于稳态时最终作用的结果, 即得到信号x (t) 在t 0时刻的值x (t 0) 。
2 冲激偶函数的物理意义
文献[3 5]均对冲激偶函数的性质进行了证明。但是冲激偶函数的物理意义是什么? 对于普通信号而言, 可以表征为声音、图像或位移等物理现象。比如位移信号是一种普通信号x (t) , 对位移信号求
x (t 0) (7)
式中, x (t 0) 为x (t) 在t 0点的导数值。该式可以理解为冲激偶函数 (t-t 0) 作用于函数x (t) , 趋于稳态时最终作用的结果, 即冲激函数的变化 (t-t 0) , 通
过信号x (t) 的变化x (t 0) 来体现。即是, (t-t 0) 的形变 (t-t 0) 体现为x (t) 的变化x (t 0) , 这两种变
34
电气电子教学学报 第33卷
化的方向是相反的, 因此出现了负号。
(2) 筛选性质x(t) (t-t 0) =x(t 0) (t-t 0) -x (t 0) (t-t 0)
(8)
(t-t 0) 在t =t 0作用于信号x (t) 。这时, 相当于 (t-t 0) 在t =t 0作用于信号x (t 0) , 它们相乘的结果趋于正无穷大和负无穷大, 即上式等号右边的第一项表示。同时, (t -t 0) 体现了 (t -t 0) 的变化, 即 (t -t 0) 使它所作用的信号x (t) 产生了形变, 该形变的大小是 x (t 0) (t-t 0) , 和原作用方向相反。
比较单纯的记忆和公式计算, 这种结合物理意义理
解冲激函数和冲激偶函数更为有效。参考文献:
[1] 陈后金, 薛健, 胡健. 信号与系统[M ]. 北京:高等教育出版社,
2007
[2] 沈永朝关于广义函数的讨论[J ]. 南京:电气电子教学学报,
2002:24(1)
[3] 钱琳琳, 任俊杰, 冲激(偶) 函数类性质的教学策略探讨[J]. 北
京:北京联合大学学报(自然科学版) , 2004:18(3)
[4] 王东平, 程从菊. 关于冲激函数导数的两个性质[J ]. 南京:电
气电子教学学报2001:23(2)
[5] 郑君里, 应启珩, 杨为理. 信号与系统(第二版) [M ]. 北京:高等
教育出版社, 2000
[6] OPPENH EIM A V, WILLS KY A S NAWAB S H 著; 刘树棠
译. 信号与系统[M ]. 西安:西安交通大学出版社, 1998[7] 管致中, 夏恭恪, 孟桥. 信号与线性系统(第四版) [M ]. 北京:
高等教育出版社. 2004
3 结语
本文研究了冲激函数和冲激偶函数的物理意义, 提出了一种冲激偶信号的广义函数定义的解释, 体现了冲激偶函数的物理意义。同时, 分析了它们的取样性质和筛选性质的物理意义。可以看出, 相
(上接第28页张玉超等文)
已知互相关结果中三个点a 、b 和c, 坐标分别为(x 0, y 0) 、(x 1, y 1) 和(x 2, y 2) , 其中b 为最大值点, a 、c 与b 相邻。由于互相关结果是离散序列, b 点只是最大值点的近似值, 在插值后可能会出现比b 更大的值, 而这个值肯定会落在a 、c 之间。通过a 、b 和c 三个点可以确定一条抛物线f (x ) =ax 2+b x +c , 三个参数a, b 和c 可以通过Lag rang e 插值公式求得
f (x ) =
12y 0+
(x 0-x 1) (x 0-x 2)
不同的时间差, 比较插值前后的相对误差, 其结果如表1所示。
表1 对互相关运算进行插值的比较时间差( s) 插值前相对误差(%) 插值后相对误差(%)
0. 9791. 2411. 6152. 0212. 4752. 12 3. 45 1. 46 1. 061. 32 0. 70 0. 68 0. 52 0. 41 0. 32
3 结语
本文研究互相关技术在实际应用中需要注意的一些问题, 并利用M atlab 仿真进行了验证。其结论是: 进行互相关运算的两个序列有效长度不相等是可以的; 两个序列的有效长度之差越小越好, 最大不能超过一个周期; 对互相关序列进行插值能够大大提高时间分辨率。参考文献:
[1] 徐科军. 信号处理技术[M ]. 武汉:武汉理工大学出版社, 2001[2] 徐科军主编. 信号分析与处理[M ]. 北京:清华大学出版社,
2006
[3] P. Bras sier, B. H osten, F. Vulovic. H igh frequen cy transdu ers
an d cor relation method to en han ce u ltrasonic gas flow m eterin g [J]. Flow M easurement and In strumentation, 2001(12) , 201
0102y 1+y 2(3
)
(x 2-x 0) (x 2-x 1) (x 1-x 0) (x 1-x 2)
图3 对互相关结果时行插值
在仿真程序中, 采用的是直接调用M atlab 中的插值函数polyfit(X, Y, N ) 进行抛物线插值。设定
第33卷 第1期2011年2月
电气电子教学学报
JO U RN A L O F EEE
Vol. 33 No. 1Feb. 2011
冲激函数和冲激偶函数的物理意义研究
申 艳, 陈后金
(北京交通大学电子信息工程学院, 北京100044)
摘 要:冲激函数和冲激偶函数是信号分析理论中的重要函数, 其性质简化了信号分析的过程。本文研究了冲激函数的广义函数定义, 分析并解释了冲激函数的取样和筛选性质的物理意义, 在此基础上提出了一种冲激偶函数的广义函数定义的物理意义。和传统的定义方式的解释相比, 本文提出的解释方式更加易于理解。本文还分析并解释了冲激偶函数的取样和筛选性质的物理意义。关键词:冲激和冲激偶函数; 广义函数; 取样中图分类号:G420
文献标识码:A 文章编号:1008 0686(2011) 01 0032 03
Study on the Physical Meaning of the Impulse and Doublet Function
SHEN Yan, CHEN Hou jin
(S chool of Elec tr onic an d Inf ormation Enginee ring , Beij ing J iaotong Univ er sity , Beij ing 100044, China)
Abstract:Impulse and doublet functio ns are important functions in theories of signal analysis. They sim plify
the process of the signal analysis. Firstly, the definition of im pulse function based on the distribution function and the physical meaning of the sampling property and sifting property of the impulse function are studied. Secondly, a doublet definition explainitio n based on the distribution function is presented for better understand ing the physical meaning of doublet com pared to the traditional definition, then the physical m eaning of sam pling property and sifting property of the doublet function is also studied and interpreted. Keywords:impulse and doublet functio n; distr ibuted function; sampling 冲激函数 (t) 是作用时间极短暂、作用值很大及积分有限的一类理想化数学模型。利用它可以对连续信号进行线性表达, 可以求解线性非时变系统的零状态响应[1]。冲激函数 (t) 的定义为
广义函数(又称分配函数) g(t) 定义为[2]:选择
一个测试函数 (t) , (t) 是一个连续的、具有任意阶导数、在有限区间以外为零的函数; 广义函数g(t) 作用于测试函数 (t) 结果为F( ) , 即
(t) d t =
+
1, (t) =0, t 0(1)
g(t) (t) d t =
+
F ( ) (2)
用普通微积分的方法直接计算涉及 (t) 的积分是困难的, 因此需要通过泛函理论对其进行分析。该方法通过其它函数实现对冲激函数的分析, 此时
的 (t) 就是一种广义函数。
依据广义函数理论, 冲激函数 (t) 定义为
(t) (t) d t =
+
(0) (3)
其中, (t) 是测试函数。式(3) 表明, 单位冲激函数
(t) 与测试函数 (t) 乘积的积分等于测试函数在零时刻的值 (0) 。即当冲激函数 (t) 作用于基本空间函数 (t) 得到的值为 (0) 。
这种定义方式比较抽象, 通常难以理解, 因此在
1 冲激函数的物理意义
1. 1 冲激函数的物理意义
收稿日期:2010 06 18; 修回日期:2010 09 15
基金项目:电工电子基础课程国家级教学团队项目(244033529) ; 电工电子国家级实验教学示范中心项目(351003535) 第一作者:申 艳(1979 ) , 女, 博士, 讲师, 主要从事信号处理研究, E mail:sheny@bjtu. edu. cn
第1期申 艳, 陈后金:冲激函数和冲激偶函数的物理意义研究
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解释定义时重点放在与普通函数定义方法的比较。普通函数是由对应于自变量的变化值所取的函数值来定义的, 例如, 某函数x (t) =t 2-2t+1直接作用在变量t 上, 即将变量映射到函数x (t) 上[3]。而广义函数是由它对另一个函数(常称为检验函数或测试函数) 的作用效果来定义的。广义函数是作用在某类函数 (t) 上的, 即把 (t) 映射到F( ) 。即广义函数作用在 (t) 所属的函数空间上, 这个函数空间就叫基本函数空间。故广义函数g(t) 就是基本函数空间上的线性连续泛函。作为广义函数g(t) 不一定能写出类似于普通函数x (t) 的表达形式。但如果知道对基本空间中任一元素的作用值, 就可认为这个广义函数已知了。如果两个广义函数对于基本空间中任一元素 (t) 的作用值相等, 就可认为这两个广义函数是相等的。1. 2 冲激函数的性质
(1) 筛选性质
如果信号x (t) 是一个在t =t 0处连续的普通函数, 则有
x (t) (t-t 0) =x (t 0) (t -t 0)
(4)
上式表明, 信号x (t) 与冲激函数 (t-t 0) 相乘, 筛选出连续时间信号x (t) 在t =t 0时的函数值x (t 0) 。可以理解为冲激函数 (t-t 0) 在t =t 0时刻对函数x (t) 的一瞬间的作用, 其值是 (t -t 0) 和x (t 0) 相乘的结果, 瞬间趋于无穷大。
(2) 取样性质
如果信号x (t) 是一个在t =t 0处连续的普通函数, 则有
导, 体现了位移的变化, 得到速度信号x (t) ; 再对速
度信号求导, 体现了速度信号的变化, 得到加速度信号x (t) 。而对于冲激函数这种奇异信号, 表征的是作用时间极短, 而作用值很大的物理现象, 比如雷击或电路中电容电流的突变等现象。那么从物理意义上讲, 冲激函数 (t) 瞬间的变化可用冲激偶函数 (t) 来表示。
2. 1 冲激偶函数的物理意义
传统的冲激偶函数 (t) 的定义方式是直接对冲激函数求导而得到[6], 即 (t) =d (t) /d t 。由于冲激函数不能用普通的积分来求出, 因此可采用了分配函数定义的冲激函数
(t) (t) d t =
(0) , 这
是一种间接的定义方式。 (t) =d (t) /d t 也很难用普通的求导来得到, 因此采用分配函数实现[7], 即用一个n 阶可导的测试函数 (t) , 乘以被测试的函数。如果在整个时间轴上的积分等于 (0) , 则被测试的函数就是冲激偶函数 (t) , 即有
(t) d t =
(t)
+
(0) (6)
大多数文献仅给出了上述定义, 并没有对其物
理意义作进一步解释。笔者认为, 冲激偶函数表示冲激函数的瞬间变化, 该变化作用于测试函数, 通过测试函数的变化(导数) 体现。该变化和冲激偶函数的方向相反。因为 (t) 表示 (t) 的变化, 该变化难以直观测量, 当冲激偶函数 (t) 作用于测试函数 (t) 时, 可以通过测试函数的变化 (0) 来体现 (t) 的变化, 该变化和 (t) 的变化相反。也就是说, 冲激函数的变化用冲激偶函数表示, 而冲激偶函数作用于分配函数 (t) , (t) 在0时刻产生的形变是 (0) , 则 (0) 体现了冲激函数的变化。以此类推, 冲激函数的高阶导数通过测试函数的高阶导数及其方向来体现。这样就可避免对冲激函数及其高阶导数的直接定义和分析。2. 2 冲激偶函数的性质
(1) 取样性质
(t -t ) d t =
x (t)
x (t) (t -t 0) d t =x (t 0) (5)
冲激信号的取样特性表明, 一个连续时间信号x (t) 与冲激函数 (t-t 0) 相乘, 并在( , + ) 时间域上积分, 其结果为信号x (t) 在t =t 0时的函数值x (t 0) 。该式可以理解为冲激函数 (t-t 0) 作用于
函数x (t) , 趋于稳态时最终作用的结果, 即得到信号x (t) 在t 0时刻的值x (t 0) 。
2 冲激偶函数的物理意义
文献[3 5]均对冲激偶函数的性质进行了证明。但是冲激偶函数的物理意义是什么? 对于普通信号而言, 可以表征为声音、图像或位移等物理现象。比如位移信号是一种普通信号x (t) , 对位移信号求
x (t 0) (7)
式中, x (t 0) 为x (t) 在t 0点的导数值。该式可以理解为冲激偶函数 (t-t 0) 作用于函数x (t) , 趋于稳态时最终作用的结果, 即冲激函数的变化 (t-t 0) , 通
过信号x (t) 的变化x (t 0) 来体现。即是, (t-t 0) 的形变 (t-t 0) 体现为x (t) 的变化x (t 0) , 这两种变
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化的方向是相反的, 因此出现了负号。
(2) 筛选性质x(t) (t-t 0) =x(t 0) (t-t 0) -x (t 0) (t-t 0)
(8)
(t-t 0) 在t =t 0作用于信号x (t) 。这时, 相当于 (t-t 0) 在t =t 0作用于信号x (t 0) , 它们相乘的结果趋于正无穷大和负无穷大, 即上式等号右边的第一项表示。同时, (t -t 0) 体现了 (t -t 0) 的变化, 即 (t -t 0) 使它所作用的信号x (t) 产生了形变, 该形变的大小是 x (t 0) (t-t 0) , 和原作用方向相反。
比较单纯的记忆和公式计算, 这种结合物理意义理
解冲激函数和冲激偶函数更为有效。参考文献:
[1] 陈后金, 薛健, 胡健. 信号与系统[M ]. 北京:高等教育出版社,
2007
[2] 沈永朝关于广义函数的讨论[J ]. 南京:电气电子教学学报,
2002:24(1)
[3] 钱琳琳, 任俊杰, 冲激(偶) 函数类性质的教学策略探讨[J]. 北
京:北京联合大学学报(自然科学版) , 2004:18(3)
[4] 王东平, 程从菊. 关于冲激函数导数的两个性质[J ]. 南京:电
气电子教学学报2001:23(2)
[5] 郑君里, 应启珩, 杨为理. 信号与系统(第二版) [M ]. 北京:高等
教育出版社, 2000
[6] OPPENH EIM A V, WILLS KY A S NAWAB S H 著; 刘树棠
译. 信号与系统[M ]. 西安:西安交通大学出版社, 1998[7] 管致中, 夏恭恪, 孟桥. 信号与线性系统(第四版) [M ]. 北京:
高等教育出版社. 2004
3 结语
本文研究了冲激函数和冲激偶函数的物理意义, 提出了一种冲激偶信号的广义函数定义的解释, 体现了冲激偶函数的物理意义。同时, 分析了它们的取样性质和筛选性质的物理意义。可以看出, 相
(上接第28页张玉超等文)
已知互相关结果中三个点a 、b 和c, 坐标分别为(x 0, y 0) 、(x 1, y 1) 和(x 2, y 2) , 其中b 为最大值点, a 、c 与b 相邻。由于互相关结果是离散序列, b 点只是最大值点的近似值, 在插值后可能会出现比b 更大的值, 而这个值肯定会落在a 、c 之间。通过a 、b 和c 三个点可以确定一条抛物线f (x ) =ax 2+b x +c , 三个参数a, b 和c 可以通过Lag rang e 插值公式求得
f (x ) =
12y 0+
(x 0-x 1) (x 0-x 2)
不同的时间差, 比较插值前后的相对误差, 其结果如表1所示。
表1 对互相关运算进行插值的比较时间差( s) 插值前相对误差(%) 插值后相对误差(%)
0. 9791. 2411. 6152. 0212. 4752. 12 3. 45 1. 46 1. 061. 32 0. 70 0. 68 0. 52 0. 41 0. 32
3 结语
本文研究互相关技术在实际应用中需要注意的一些问题, 并利用M atlab 仿真进行了验证。其结论是: 进行互相关运算的两个序列有效长度不相等是可以的; 两个序列的有效长度之差越小越好, 最大不能超过一个周期; 对互相关序列进行插值能够大大提高时间分辨率。参考文献:
[1] 徐科军. 信号处理技术[M ]. 武汉:武汉理工大学出版社, 2001[2] 徐科军主编. 信号分析与处理[M ]. 北京:清华大学出版社,
2006
[3] P. Bras sier, B. H osten, F. Vulovic. H igh frequen cy transdu ers
an d cor relation method to en han ce u ltrasonic gas flow m eterin g [J]. Flow M easurement and In strumentation, 2001(12) , 201
0102y 1+y 2(3
)
(x 2-x 0) (x 2-x 1) (x 1-x 0) (x 1-x 2)
图3 对互相关结果时行插值
在仿真程序中, 采用的是直接调用M atlab 中的插值函数polyfit(X, Y, N ) 进行抛物线插值。设定