磁力和磁力矩的计算

第6章 磁力的计算

由理论力学可知，体系在某一方向的力和力矩等于在该方向的能量梯度，可表达为：

Fi

WW

(6-1) ,T

qii

式中，W—为体系的能量，qi—在i方向的坐标，Fi—i方向的力，T—作用在方向的力矩，—旋转角。

1．吸引力的计算

1) 气隙能量有解的表达式:

W

由上式得吸引力:

2BgAgLg

20

或W

2

BgAgLg

8

(6-2)

F

2

BgAg

20

2

（6-3）

2

式中，F—吸引力N，Bg—气隙磁密

，A—板面积m，—真空磁导率m

g

410

7

H



2BgAg

2) 如果气隙较大, Bg不均匀，能量表达式由(3)得引力应为:

F

8

(6-4)

2

式中，F—吸引力dyn，Bg—G，Ag—cm。 为了计算方便，将上式化为：



Bg

F4965Ag （6-5）



式中，F—kgf，Bg—G，Ag—cm。

2

Bg1

W （6-6）

20

2

2

dV为气隙体积元，积分在全部气隙中进行，如果r1时，0应改为0

r0，此式由计算

机求出W，再由

W

求出Fi。 qi



3） 也可不先求W，直接按下式求出磁吸引力F：



Fpds （6-7）



F——作用于磁体上的磁吸引力； s——包围该物体的任意表面； p——作用于该表面上的应力； p的表达式为：









1nBB1B2n （6-8） p020

n——沿积分表面s法线方向的单位矢量；





B ——磁感应强度矢量

4） 下面介绍RC05与铁氧体之间的磁吸引力。

试验证明，在永磁体直径D等于高度Lm时，吸引力最大。故假定LmD1，此时，气隙磁密Bg可用下列公式（注：此法由磁核积分法导出）。



LgBgBr1

2

Lg

 

在磁力试验中发现永磁体的BHC也起作用，故将上式改为：

LgBgBrBHC1

2

Lg



 (6-9) 

例，求两个铁氧圆环之间的吸引力。两环的磁特性和几何尺寸为：

Br3500G ， BHC2250Oe ， d外＝5.0cm ， d内＝3.2cm

高度Lm1.5cm 可把圆环看成是直径D和（10）式联立求解。

试验结果和计算结果表面，当相对气隙

1

d外－d内和高度Lm的圆柱绕z轴旋转而成的，故可用（6）2

Lg

0.5以前计算值和试验值相近。

2. 排斥力的计算

由库伦定律可知，排斥力在数值上与吸引力相等，

0Qm1Qm2F （6-10）

4r2

当Qm1与Qm2符号相同，为排斥力； 当Qm1与Qm2符号相反，为吸引力。

这个条件F引＝F斥对于线性退磁曲线的铁氧体和稀土 铬永磁体，基本满足，而对于



A1NiCo等的永磁体不满足。

这个条件即使对RCO5,吸引力也稍大于排斥力。

这是由于在排斥条件下，有一磁矩偏离原来的方向，从而使磁板厚度有所减小。如果两个永磁体的退磁曲线与纵坐标的交角接近45，则M在退磁场中变化越微小。 例，利用磁荷积分法，求出吸引力与排斥力，将排斥力的计算值与试验值比较，可知：

1）当

Lg

0.5时，计算值和试验值接近；

2）当Lg较小时，计算值大于试验值； 3）当Lg大时，计算值小于试验值。

故在利用排斥力的系统中，为了稳定，常使用中等气隙。因为气隙太小时，排斥力与气隙的曲线太陡。气隙稍有变化，排斥力变化太大，不利于稳定。而气隙Lg太大，则排斥力太小，需要使用更多的永磁材料。所以选择中等气隙较合适。

3. 力矩的计算

1) 永磁力矩电机的力矩。

TCeNI （6-11）

T——力矩（Nm，除以9.8九化为kgfm）；

Ce——常数，决定于电机的具体结构； NI——每板的总电流（A）； ——每板的磁通量（Wb）. 2) 磁力传动器的力矩计算。

平面轴向磁力传动器。

静止时，永磁体的工作点在A，这是低状态，转动时，主动体与被动体有一个角度差（或较相位差），永磁体的工作点在C，这是高状态，它的能量用下式计算：

1OAC面积

WVmBrH2H1 （6-12）

82

Vm为全部永磁体的体积，Vm2AmLm

在A点有：

11B1AmkfBgAg

（6-13） 11

HLkHLkgg1m

在C点有：

22

BAk2mfBgAg2 （6-14） 222

HLkrHgLgr2m

上两式各符号的意义与磁导法中相同。角标1对应A点，角标2对应C点。 假定，AgAm （忽略漏磁），

1122 BgHg,BgHg

上面条件在空气和真空中成立，在A1，Cu，无磁不锈钢中也基本成立，得：

kf1H1LmB11LgkrB2

kf2kr2H2LmL2gr2

（6-15）

利用BrHB的关系，求出

H11kf1Br

kr1LmLgB （6-16）

H2

r

1k2fk2r

LL22

m

gr



于是得到能量表达式：

1V

mB21

28r





222

1

kfkr

Lg

r2

11

k11

Lm

fkrLmLg

进一步计算力矩：

2

TW2

2

g

1Vm28B2kf

Lrrrrk2Lm2

rk2fL

m1k2

r

L22gr

令，

LgR2r2

cos

g

rL22

sin

g

r代入（23）式，得：

1V2

2Tm28B2kfrLmsincos

rk22

2 rLg21kfLmcos

k2rLg

当k2

2f

kr＝1时，欲得到最大力矩Tmax，由式（24）确定条件是：50.40,LmLg3 代入式（24）中，得，

Tmax1.32102B2rAmrdyncm

式中，Br——G;

A2

m——cm，永磁体的面积； r——cm，永磁体的半径。 注意：

6-17） （6-18） （6-19） W （

H11kf1Br

kr1LmLgB （6-16）

H2

r

1k2fk2r

LL22

m

gr



于是得到能量表达式：

1V

mB21

28r





222

1

kfkr

Lg

r2

11

k11

Lm

fkrLmLg

进一步计算力矩：

2

TW2

2

g

1Vm28B2kf

Lrrrrk2Lm2

rk2fL

m1k2

r

L22gr

令，

LgR2r2

cos

g

rL22

sin

g

r代入（23）式，得：

1V2

2Tm28B2kfrLmsincos

rk22

2 rLg21kfLmcos

k2rLg

当k2

2f

kr＝1时，欲得到最大力矩Tmax，由式（24）确定条件是：50.40,LmLg3 代入式（24）中，得，

Tmax1.32102B2rAmrdyncm

式中，Br——G;

A2

m——cm，永磁体的面积； r——cm，永磁体的半径。 注意：

6-17） （6-18） （6-19） 84

W （

（a） 当kf2kr2和LmLg的值变化时，的最佳值也要变化；

（b） 在Lg较大的场合，kf2kr2＝1和LmLg3这两个条件不能试验，这时得到的力矩明显小于Tmax。

Tmax时理想设计的最大值，在Lg较小时，能接近Tmax。

（c） 实际计算时应考虑气隙磁密分布的状态（它和极数有关）。系数，当气隙磁密时理想的矩形波时，为1.0；当气隙磁密分布时理想的正方形波时，为0.5。当气隙磁密在两者之间，在0.5与1.0之间取值。为设计留有余量，一般取＝0.5。

（d） 由气隙磁能求力和力矩

气隙磁电Wg可通过气隙磁通g，气隙磁压降g，和气隙磁导Pg来表示：

1121

Wggggpg2gpg (6-20)

222

按理论力学求力和力矩的法则，在x方向的力，

221gg1gpg1gpg

（6-21） Fx

x2x2x2x

Wg



方向的力矩，

22

1gg1gpg1gpg

（6-22） T

222

Wg



例， 求两平行磁极之间的吸引力。 气隙截面Ag，间隙Lg，

pg

0Ag

Lg

， gHgLg ， gBgAg

85

Wg

121120Ag2gpg1HgLg0HgLgAg 22Lg2

或

Lg12112gpgBgAg2BgLgAg 220Ag20



或

11

ggBgHgLgAg 22

轴向吸引力Fx，

Fx

Wgx



WgLg



11212

0HgAgBgAgBgHgAg 2202

这三个式子是等价的，因为，

Bg0Hg

式中，BgWbm,Hgm,Agm,FN,0410Hm

2

2

7



例2， 同轴圆柱表面由径向磁通引起的轴向力。同轴圆柱表面的径向气隙Lg，可动小圆柱的半径r1，深入大圆筒内的深度为l，欲求小圆柱所受的轴向力Fz。

解：径向气隙中的磁导pg，

pg

20r1Lg2

Lg

Fz

12pg0r1Lg22

gg 2lLg

或

40r1Lg2l2

Lg

2

g

例3， 求同轴圆柱面之间的力矩。

86

转子半径为r1，定子的单边气隙为Lg，转子离开平衡位置的转角为（单位为弧度）。

气隙磁导pg，

p0r1Lg2L

g

2L

g

pgLg2L





0r12L

g

力矩T1g2pL22g0r1g2L2g4Lg ，或g0r1Lg

2L2

87

第6章 磁力的计算

由理论力学可知，体系在某一方向的力和力矩等于在该方向的能量梯度，可表达为：

Fi

WW

(6-1) ,T

qii

式中，W—为体系的能量，qi—在i方向的坐标，Fi—i方向的力，T—作用在方向的力矩，—旋转角。

1．吸引力的计算

1) 气隙能量有解的表达式:

W

由上式得吸引力:

2BgAgLg

20

或W

2

BgAgLg

8

(6-2)

F

2

BgAg

20

2

（6-3）

2

式中，F—吸引力N，Bg—气隙磁密

，A—板面积m，—真空磁导率m

g

410

7

H



2BgAg

2) 如果气隙较大, Bg不均匀，能量表达式由(3)得引力应为:

F

8

(6-4)

2

式中，F—吸引力dyn，Bg—G，Ag—cm。 为了计算方便，将上式化为：



Bg

F4965Ag （6-5）



式中，F—kgf，Bg—G，Ag—cm。

2

Bg1

W （6-6）

20

2

2

dV为气隙体积元，积分在全部气隙中进行，如果r1时，0应改为0

r0，此式由计算

机求出W，再由

W

求出Fi。 qi



3） 也可不先求W，直接按下式求出磁吸引力F：



Fpds （6-7）



F——作用于磁体上的磁吸引力； s——包围该物体的任意表面； p——作用于该表面上的应力； p的表达式为：









1nBB1B2n （6-8） p020

n——沿积分表面s法线方向的单位矢量；





B ——磁感应强度矢量

4） 下面介绍RC05与铁氧体之间的磁吸引力。

试验证明，在永磁体直径D等于高度Lm时，吸引力最大。故假定LmD1，此时，气隙磁密Bg可用下列公式（注：此法由磁核积分法导出）。



LgBgBr1

2

Lg

 

在磁力试验中发现永磁体的BHC也起作用，故将上式改为：

LgBgBrBHC1

2

Lg



 (6-9) 

例，求两个铁氧圆环之间的吸引力。两环的磁特性和几何尺寸为：

Br3500G ， BHC2250Oe ， d外＝5.0cm ， d内＝3.2cm

高度Lm1.5cm 可把圆环看成是直径D和（10）式联立求解。

试验结果和计算结果表面，当相对气隙

1

d外－d内和高度Lm的圆柱绕z轴旋转而成的，故可用（6）2

Lg

0.5以前计算值和试验值相近。

2. 排斥力的计算

由库伦定律可知，排斥力在数值上与吸引力相等，

0Qm1Qm2F （6-10）

4r2

当Qm1与Qm2符号相同，为排斥力； 当Qm1与Qm2符号相反，为吸引力。

这个条件F引＝F斥对于线性退磁曲线的铁氧体和稀土 铬永磁体，基本满足，而对于



A1NiCo等的永磁体不满足。

这个条件即使对RCO5,吸引力也稍大于排斥力。

这是由于在排斥条件下，有一磁矩偏离原来的方向，从而使磁板厚度有所减小。如果两个永磁体的退磁曲线与纵坐标的交角接近45，则M在退磁场中变化越微小。 例，利用磁荷积分法，求出吸引力与排斥力，将排斥力的计算值与试验值比较，可知：

1）当

Lg

0.5时，计算值和试验值接近；

2）当Lg较小时，计算值大于试验值； 3）当Lg大时，计算值小于试验值。

故在利用排斥力的系统中，为了稳定，常使用中等气隙。因为气隙太小时，排斥力与气隙的曲线太陡。气隙稍有变化，排斥力变化太大，不利于稳定。而气隙Lg太大，则排斥力太小，需要使用更多的永磁材料。所以选择中等气隙较合适。

3. 力矩的计算

1) 永磁力矩电机的力矩。

TCeNI （6-11）

T——力矩（Nm，除以9.8九化为kgfm）；

Ce——常数，决定于电机的具体结构； NI——每板的总电流（A）； ——每板的磁通量（Wb）. 2) 磁力传动器的力矩计算。

平面轴向磁力传动器。

静止时，永磁体的工作点在A，这是低状态，转动时，主动体与被动体有一个角度差（或较相位差），永磁体的工作点在C，这是高状态，它的能量用下式计算：

1OAC面积

WVmBrH2H1 （6-12）

82

Vm为全部永磁体的体积，Vm2AmLm

在A点有：

11B1AmkfBgAg

（6-13） 11

HLkHLkgg1m

在C点有：

22

BAk2mfBgAg2 （6-14） 222

HLkrHgLgr2m

上两式各符号的意义与磁导法中相同。角标1对应A点，角标2对应C点。 假定，AgAm （忽略漏磁），

1122 BgHg,BgHg

上面条件在空气和真空中成立，在A1，Cu，无磁不锈钢中也基本成立，得：

kf1H1LmB11LgkrB2

kf2kr2H2LmL2gr2

（6-15）

利用BrHB的关系，求出

H11kf1Br

kr1LmLgB （6-16）

H2

r

1k2fk2r

LL22

m

gr



于是得到能量表达式：

1V

mB21

28r





222

1

kfkr

Lg

r2

11

k11

Lm

fkrLmLg

进一步计算力矩：

2

TW2

2

g

1Vm28B2kf

Lrrrrk2Lm2

rk2fL

m1k2

r

L22gr

令，

LgR2r2

cos

g

rL22

sin

g

r代入（23）式，得：

1V2

2Tm28B2kfrLmsincos

rk22

2 rLg21kfLmcos

k2rLg

当k2

2f

kr＝1时，欲得到最大力矩Tmax，由式（24）确定条件是：50.40,LmLg3 代入式（24）中，得，

Tmax1.32102B2rAmrdyncm

式中，Br——G;

A2

m——cm，永磁体的面积； r——cm，永磁体的半径。 注意：

6-17） （6-18） （6-19） W （

H11kf1Br

kr1LmLgB （6-16）

H2

r

1k2fk2r

LL22

m

gr



于是得到能量表达式：

1V

mB21

28r





222

1

kfkr

Lg

r2

11

k11

Lm

fkrLmLg

进一步计算力矩：

2

TW2

2

g

1Vm28B2kf

Lrrrrk2Lm2

rk2fL

m1k2

r

L22gr

令，

LgR2r2

cos

g

rL22

sin

g

r代入（23）式，得：

1V2

2Tm28B2kfrLmsincos

rk22

2 rLg21kfLmcos

k2rLg

当k2

2f

kr＝1时，欲得到最大力矩Tmax，由式（24）确定条件是：50.40,LmLg3 代入式（24）中，得，

Tmax1.32102B2rAmrdyncm

式中，Br——G;

A2

m——cm，永磁体的面积； r——cm，永磁体的半径。 注意：

6-17） （6-18） （6-19） 84

W （

（a） 当kf2kr2和LmLg的值变化时，的最佳值也要变化；

（b） 在Lg较大的场合，kf2kr2＝1和LmLg3这两个条件不能试验，这时得到的力矩明显小于Tmax。

Tmax时理想设计的最大值，在Lg较小时，能接近Tmax。

（c） 实际计算时应考虑气隙磁密分布的状态（它和极数有关）。系数，当气隙磁密时理想的矩形波时，为1.0；当气隙磁密分布时理想的正方形波时，为0.5。当气隙磁密在两者之间，在0.5与1.0之间取值。为设计留有余量，一般取＝0.5。

（d） 由气隙磁能求力和力矩

气隙磁电Wg可通过气隙磁通g，气隙磁压降g，和气隙磁导Pg来表示：

1121

Wggggpg2gpg (6-20)

222

按理论力学求力和力矩的法则，在x方向的力，

221gg1gpg1gpg

（6-21） Fx

x2x2x2x

Wg



方向的力矩，

22

1gg1gpg1gpg

（6-22） T

222

Wg



例， 求两平行磁极之间的吸引力。 气隙截面Ag，间隙Lg，

pg

0Ag

Lg

， gHgLg ， gBgAg

85

Wg

121120Ag2gpg1HgLg0HgLgAg 22Lg2

或

Lg12112gpgBgAg2BgLgAg 220Ag20



或

11

ggBgHgLgAg 22

轴向吸引力Fx，

Fx

Wgx



WgLg



11212

0HgAgBgAgBgHgAg 2202

这三个式子是等价的，因为，

Bg0Hg

式中，BgWbm,Hgm,Agm,FN,0410Hm

2

2

7



例2， 同轴圆柱表面由径向磁通引起的轴向力。同轴圆柱表面的径向气隙Lg，可动小圆柱的半径r1，深入大圆筒内的深度为l，欲求小圆柱所受的轴向力Fz。

解：径向气隙中的磁导pg，

pg

20r1Lg2

Lg

Fz

12pg0r1Lg22

gg 2lLg

或

40r1Lg2l2

Lg

2

g

例3， 求同轴圆柱面之间的力矩。

86

转子半径为r1，定子的单边气隙为Lg，转子离开平衡位置的转角为（单位为弧度）。

气隙磁导pg，

p0r1Lg2L

g

2L

g

pgLg2L





0r12L

g

力矩T1g2pL22g0r1g2L2g4Lg ，或g0r1Lg

2L2

87