同学们好
磁场对载流导线的作用
一、安培力洛伦兹力
d F =−neS v d ×B
f m =−e v d ×B
I =ne v d S
由于自由电子与晶格之间的相互作用，使导线在宏观上看起来受到了磁场的作用力. 安培定律
磁场对电流元的作用力
安培定律
d F =I d lB sin φ
意义 磁场对电流元作用的力，在数值上等 于电流元I d l 的大小、电流元所在处的磁感强度B
φ大小以及电流元和磁感应强度之间的夹角的正弦
d F 之乘积垂直于和所组成的平面, 且d F B I d l ,
与I d l ×B 同向. 有限长载流导线所受的安培力
例：测定磁感应强度常用的实验装置－磁秤如图所示, 它的一臂下面挂有一矩形线圈，宽为b ，长为l ，共有N 匝，线圈的下端放在待测的均匀磁场中，其平面与磁感应强度垂直，当线圈中通有电流I 时，线圈受到一向上的作用力，使天平失去平衡，调节砝码m 使两臂达到平衡。用上述数据求待测磁场的磁感应强度
。
解：由图可见，线圈的底边上受到安培力F ，方向向上，大小为
F =NBIb
作用在两侧直边上的力则大小相等，方向相反，它们相互抵消。当天平恢复平衡时，这个向上的安培力恰与调整砝码的重量相等，由此可得
NBIb =mg
故待测磁场的磁感应强度
mg B =
NIb
如N=9匝，b=10.0cm，I=0.10A，加砝码m=4.40g才能恢复平衡，代入上式得
4.40×10－3
B =×9.809×0.10×0.10
T =0.48T
例：在磁感强度为B 的均匀磁场中，通过一半径为R 的半圆导线中的电流为I 。若导线所在平面与B 垂直，求该导线所受的安培力。
解：
F =i dF x +j dF y ∫∫
由电流分布的对称性分析导线受力的对称性
F =∫dF y
由安培定律由几何关系上两式代入
dF y =dF ⋅sin θ=BIdl ⋅sin θdl =Rd θ
F =∫dF y
F =BIR ∫sin θ⋅d θ
0π
=2BIR
合力F 的方向：y 轴正方向。
又例：如图一通有电流的闭合回路放在磁感应强I
度为B 的均匀磁场中，回路平面与磁感强度B 垂直. 回路由直导线AB 和半径为r 的圆弧导线BCA 组成，电流为顺时针方向, 求磁场作用于闭合导线的力. 解：
F 1=−I AB B j
根据对称性分析
F 2=F 2y j
F 2=∫d F 2y =∫d F 2sin θ
F 2x =0
F 2=∫d F 2y =∫d F 2sin θ
=∫BI d l sin θ
因d l =r d θ
F 2=BIr ∫
π−θ0
θ0
sin θd θ
F 2=BI (2r cos θ0) j =BI j
故F =F +F =0由于F 1=−BI j 12
再例：求如图不规则的平面载流导线在 均匀磁场中所受的力，已知B 和I .
解取一段电流元I d l
dF =Idl ×B
dF x =dF sin θ=BIdl sin θ
d F y =d F cos θ=BI d l cos θ
F x =∫dF x =BI ∫0
dy =0
F y =∫dF l
0y =BI ∫0
dx =BIl
F =F y =BIlj
结论任意平面载流导线在均匀磁场中所受的力, 与其始点和终点相同的载流直导线所受的磁场力相同.
例：半径为R 载有电流I 2的导体圆环与电流为I 1
的长直导线放在同一平面内（如图），直导线与圆心相距为d ，且R
µ0I 1解B =
2πd +R cos θ
µ0I 1I 2d l
d F =BI 2d l =
2πd +R cos θ
d l =R d θµ0I 1I 2R d θd F =
2πd +R cos θ
µI I d F x =
d F cos θ=
2πµ0I 1I 2
d F y =d F sin θ=
2π
R cos θd θd +R cos θR sin θd θd +R cos θ
µ0I 1I 2R 2πcos θd θF x =∫0d +R cos θ2π
d
=µ0I 1I 2(1−)
22d −R
µ0I 1I 2R 2πsin θd θ
=F y =0∫0d +R cos θ2π
µ0I 1I 2R F x =
∫
2π
d cos θd θ
=µ0I 1I 2(1−)
2π
d +R cos θF µ0I 1I 2R
∫
2πsin θd θ
y
=
2π
d +R cos θ
=0
F =F x i
=µ0I 1I 2(1−
d d −) i
2
R
2
d 2−R
2
二、电流的单位两无限长平行载流直导线间的相互作用
µ0I 1
B 1=
2πd
µ0I 2
B 2=
2πd
d F 2=B 1I 2d l 2sin φ
φ=90, sin φ=1
µ0I 1I 2d l 2
d F 2=B 1I 2d l 2=
2πd µ0I 2I 1d l 1
d F 1=B 2I 1d l 1=
2πd
d F 2d F 1µ0I 1I 2
==d l 2d l 12πd
国际单位制中电流单位安培的定义
在真空中两平行长直导线相
距1 m，通有大小相等、方向相同的电流，当两导线每单位长度
−7−1
上的吸引力为2×10N ⋅m 时，规定这时的电流为1 A（安培）. d F 1d F 2µ0I 1I 2
=
=d l 1d l 22πd
可得
µ0=4π×10N ⋅A
=4π×10H ⋅m
−7
−7−2
−1
问若两直导线电流方向相反
二者之间的作用力如何？
三、磁场作用于载流线圈的磁力矩
如图均匀磁场中有一矩形载流线圈MNOP
MN =l 2NO =F 1=BIl 2F l 1
1=−F 2
F 3= BIl 1sin( π−φ) F 3=−F 44F =∑F i =0
i =1
MN =l 2NO =l 1M =BIS sin θ
线圈有N 匝时
M =B ×B M =NIS e n ×B
M =
F 1l 1sin θ=BIl 2l 1sin θ
1）e n 方向与B 相同
稳定平衡
2）方向相反不稳定平衡
3）方向垂直力矩最大
Ø 结论: 均匀磁场中，任意形状刚性闭合平面 通电线圈所受的力和力矩为
F = 0,
M = m× B
θ =π
θ =0 m // B, M = 0
稳定平衡 非稳定平衡
m ⊥ B , M = M max = mB, θ = π / 2
Ø 磁矩
m = NIS e n
e n与 I 成右螺旋
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例：边长为0.2m的正方形线圈，共有50 匝 ，通 以电流2A ，把线圈放在磁感应强度为 0.05T的均匀磁 场中. 问在什么方位时，线圈所受的磁力矩最大？磁 力矩等于多少？ 解
M = NBIS sinθ
π 得 θ = , M = Mmax 2
2
M = NBIS = 50 × 0.05 × 2 × (0.2) N ⋅ m
M = 0.2 N ⋅ m
问 如果是任意形状载流线圈，结果如何？
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例*：如图半径为0.20m，电流为20A，可绕轴旋 转的圆形载流线圈放在均匀磁场中 ，磁感应强度的大 小为0.08T，方向沿 x 轴正向.问线圈受力情况怎样？ 线圈所受的磁力矩又为多少？ 解 把线圈分为JQP和PKJ两部分
y
B
以Oy为轴， Idl 所受磁力矩大小
FJQP = BI ( 2 R ) k = 0.64 k N I FPKJ = − BI (2R)k = −0.64k N Q
z
J o θ
x
R K x
dθ P
dM = xdF = IdlBx sin θ
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x = R sin θ , dl = Rdθ
dM = xdF = IdlBx sin θ x = R sin θ , dl = Rdθ
d M = IBR sin θdθ
2 2
y
J I Q o θ
B
x
R K x
M =
2 2π IBR 0
∫
sin θdθ
2
2
dθ P
z
2 B = Bi m = ISk = I π R k 2 2 M = m × B = I π R Bk × i = I π R Bj
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M = IBπ R
四、磁电式电流计原理 实验测定 游丝的反抗力矩与线圈转过的角度 θ 成正比. N S
磁铁
M ′ = aθ
BNIS = a θ a I= θ = Kθ NBS
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四、磁场力的功 载流导线在磁场中运动时磁力所作的功
D
A
A′ F B′
I
C
I
B
匀强磁场 B 方向垂直于纸面向外，磁场中有一载流的 闭合电路ABCD，电路中的导线 AB长度为 l ，可以
沿着 DA和CB 滑动。假定当 AB 滑动时，电路中电流 保持不变， 中所受 按安培定律，载流导线 I 在磁场 的安培力 F 在纸面上，指向如图所示， F 的大小
ε
B
F = BIl
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AB将从初始位置沿着 F力的方 在 F 力作用下， ′ 向移动，当移动到位置 A′B时磁力 F 所作的功
A = FAA′ = BIlAA′
导线在初始位置 AB时和在终了位置 A′B′ 时， 通过回路的磁通量分别为：
Φ 0 = BlDA
∴
Φ t = BlDA′
∆Φ = Φ t − Φ 0 = BlD A ′ − BlDA = BlA A ′
∴ 磁力所作的功为：
A = I∆Φ
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A = I ∆Φ
表明：当载流导线在磁场中运动时，如果 电流保持不变，磁力所作的功等于电流乘以通 过回路所环绕的面积内磁通量的增量，也即磁 力所作的功等于电流乘以载流导线在移动中所 切割的磁感应线数。
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载流线圈在磁场内转动时磁力所作的功
d ϕ 设线圈转过极小的角度 ， 使 en 与 B 之间的夹角从 ϕ 增为 ϕ + d ϕ ， 磁力矩 M = BIS sin ϕ
所以磁力矩所作的功为:
dϕ
d A = − Md ϕ = − BIS sin ϕ d ϕ
= BIS d(cosϕ ) = I d( BS cos ϕ ) 负号“-”表示磁力矩作正功时将使 ϕ减小。
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d A = I d( BS cos ϕ )
表示线圈转 d( BS cos ϕ ) 过 d ϕ 后磁通量的增量 d Φ。
dϕ
∴ d A = I dΦ
当上述载流线圈从ϕ1转到ϕ 2时，按上式积分后的 磁力矩所作的总功为：
A = ∫Φ1 I d Φ = I (Φ 2 − Φ1 ) = I∆Φ
Φ1与 Φ2 分别表示线圈在 ϕ1 和ϕ 2 时通过线圈的磁通量。
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Φ2
注意：
恒定磁场不是保守力场，磁力的功不等于磁场能的减少，而且，洛伦兹力是不做功的，磁力所作的功是消耗电源的能量来完成的。PDF created with FinePrint pdfFactory trial version
同学们好
磁场对载流导线的作用
一、安培力洛伦兹力
d F =−neS v d ×B
f m =−e v d ×B
I =ne v d S
由于自由电子与晶格之间的相互作用，使导线在宏观上看起来受到了磁场的作用力. 安培定律
磁场对电流元的作用力
安培定律
d F =I d lB sin φ
意义 磁场对电流元作用的力，在数值上等 于电流元I d l 的大小、电流元所在处的磁感强度B
φ大小以及电流元和磁感应强度之间的夹角的正弦
d F 之乘积垂直于和所组成的平面, 且d F B I d l ,
与I d l ×B 同向. 有限长载流导线所受的安培力
例：测定磁感应强度常用的实验装置－磁秤如图所示, 它的一臂下面挂有一矩形线圈，宽为b ，长为l ，共有N 匝，线圈的下端放在待测的均匀磁场中，其平面与磁感应强度垂直，当线圈中通有电流I 时，线圈受到一向上的作用力，使天平失去平衡，调节砝码m 使两臂达到平衡。用上述数据求待测磁场的磁感应强度
。
解：由图可见，线圈的底边上受到安培力F ，方向向上，大小为
F =NBIb
作用在两侧直边上的力则大小相等，方向相反，它们相互抵消。当天平恢复平衡时，这个向上的安培力恰与调整砝码的重量相等，由此可得
NBIb =mg
故待测磁场的磁感应强度
mg B =
NIb
如N=9匝，b=10.0cm，I=0.10A，加砝码m=4.40g才能恢复平衡，代入上式得
4.40×10－3
B =×9.809×0.10×0.10
T =0.48T
例：在磁感强度为B 的均匀磁场中，通过一半径为R 的半圆导线中的电流为I 。若导线所在平面与B 垂直，求该导线所受的安培力。
解：
F =i dF x +j dF y ∫∫
由电流分布的对称性分析导线受力的对称性
F =∫dF y
由安培定律由几何关系上两式代入
dF y =dF ⋅sin θ=BIdl ⋅sin θdl =Rd θ
F =∫dF y
F =BIR ∫sin θ⋅d θ
0π
=2BIR
合力F 的方向：y 轴正方向。
又例：如图一通有电流的闭合回路放在磁感应强I
度为B 的均匀磁场中，回路平面与磁感强度B 垂直. 回路由直导线AB 和半径为r 的圆弧导线BCA 组成，电流为顺时针方向, 求磁场作用于闭合导线的力. 解：
F 1=−I AB B j
根据对称性分析
F 2=F 2y j
F 2=∫d F 2y =∫d F 2sin θ
F 2x =0
F 2=∫d F 2y =∫d F 2sin θ
=∫BI d l sin θ
因d l =r d θ
F 2=BIr ∫
π−θ0
θ0
sin θd θ
F 2=BI (2r cos θ0) j =BI j
故F =F +F =0由于F 1=−BI j 12
再例：求如图不规则的平面载流导线在 均匀磁场中所受的力，已知B 和I .
解取一段电流元I d l
dF =Idl ×B
dF x =dF sin θ=BIdl sin θ
d F y =d F cos θ=BI d l cos θ
F x =∫dF x =BI ∫0
dy =0
F y =∫dF l
0y =BI ∫0
dx =BIl
F =F y =BIlj
结论任意平面载流导线在均匀磁场中所受的力, 与其始点和终点相同的载流直导线所受的磁场力相同.
例：半径为R 载有电流I 2的导体圆环与电流为I 1
的长直导线放在同一平面内（如图），直导线与圆心相距为d ，且R
µ0I 1解B =
2πd +R cos θ
µ0I 1I 2d l
d F =BI 2d l =
2πd +R cos θ
d l =R d θµ0I 1I 2R d θd F =
2πd +R cos θ
µI I d F x =
d F cos θ=
2πµ0I 1I 2
d F y =d F sin θ=
2π
R cos θd θd +R cos θR sin θd θd +R cos θ
µ0I 1I 2R 2πcos θd θF x =∫0d +R cos θ2π
d
=µ0I 1I 2(1−)
22d −R
µ0I 1I 2R 2πsin θd θ
=F y =0∫0d +R cos θ2π
µ0I 1I 2R F x =
∫
2π
d cos θd θ
=µ0I 1I 2(1−)
2π
d +R cos θF µ0I 1I 2R
∫
2πsin θd θ
y
=
2π
d +R cos θ
=0
F =F x i
=µ0I 1I 2(1−
d d −) i
2
R
2
d 2−R
2
二、电流的单位两无限长平行载流直导线间的相互作用
µ0I 1
B 1=
2πd
µ0I 2
B 2=
2πd
d F 2=B 1I 2d l 2sin φ
φ=90, sin φ=1
µ0I 1I 2d l 2
d F 2=B 1I 2d l 2=
2πd µ0I 2I 1d l 1
d F 1=B 2I 1d l 1=
2πd
d F 2d F 1µ0I 1I 2
==d l 2d l 12πd
国际单位制中电流单位安培的定义
在真空中两平行长直导线相
距1 m，通有大小相等、方向相同的电流，当两导线每单位长度
−7−1
上的吸引力为2×10N ⋅m 时，规定这时的电流为1 A（安培）. d F 1d F 2µ0I 1I 2
=
=d l 1d l 22πd
可得
µ0=4π×10N ⋅A
=4π×10H ⋅m
−7
−7−2
−1
问若两直导线电流方向相反
二者之间的作用力如何？
三、磁场作用于载流线圈的磁力矩
如图均匀磁场中有一矩形载流线圈MNOP
MN =l 2NO =F 1=BIl 2F l 1
1=−F 2
F 3= BIl 1sin( π−φ) F 3=−F 44F =∑F i =0
i =1
MN =l 2NO =l 1M =BIS sin θ
线圈有N 匝时
M =B ×B M =NIS e n ×B
M =
F 1l 1sin θ=BIl 2l 1sin θ
1）e n 方向与B 相同
稳定平衡
2）方向相反不稳定平衡
3）方向垂直力矩最大
Ø 结论: 均匀磁场中，任意形状刚性闭合平面 通电线圈所受的力和力矩为
F = 0,
M = m× B
θ =π
θ =0 m // B, M = 0
稳定平衡 非稳定平衡
m ⊥ B , M = M max = mB, θ = π / 2
Ø 磁矩
m = NIS e n
e n与 I 成右螺旋
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例：边长为0.2m的正方形线圈，共有50 匝 ，通 以电流2A ，把线圈放在磁感应强度为 0.05T的均匀磁 场中. 问在什么方位时，线圈所受的磁力矩最大？磁 力矩等于多少？ 解
M = NBIS sinθ
π 得 θ = , M = Mmax 2
2
M = NBIS = 50 × 0.05 × 2 × (0.2) N ⋅ m
M = 0.2 N ⋅ m
问 如果是任意形状载流线圈，结果如何？
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例*：如图半径为0.20m，电流为20A，可绕轴旋 转的圆形载流线圈放在均匀磁场中 ，磁感应强度的大 小为0.08T，方向沿 x 轴正向.问线圈受力情况怎样？ 线圈所受的磁力矩又为多少？ 解 把线圈分为JQP和PKJ两部分
y
B
以Oy为轴， Idl 所受磁力矩大小
FJQP = BI ( 2 R ) k = 0.64 k N I FPKJ = − BI (2R)k = −0.64k N Q
z
J o θ
x
R K x
dθ P
dM = xdF = IdlBx sin θ
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x = R sin θ , dl = Rdθ
dM = xdF = IdlBx sin θ x = R sin θ , dl = Rdθ
d M = IBR sin θdθ
2 2
y
J I Q o θ
B
x
R K x
M =
2 2π IBR 0
∫
sin θdθ
2
2
dθ P
z
2 B = Bi m = ISk = I π R k 2 2 M = m × B = I π R Bk × i = I π R Bj
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M = IBπ R
四、磁电式电流计原理 实验测定 游丝的反抗力矩与线圈转过的角度 θ 成正比. N S
磁铁
M ′ = aθ
BNIS = a θ a I= θ = Kθ NBS
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四、磁场力的功 载流导线在磁场中运动时磁力所作的功
D
A
A′ F B′
I
C
I
B
匀强磁场 B 方向垂直于纸面向外，磁场中有一载流的 闭合电路ABCD，电路中的导线 AB长度为 l ，可以
沿着 DA和CB 滑动。假定当 AB 滑动时，电路中电流 保持不变， 中所受 按安培定律，载流导线 I 在磁场 的安培力 F 在纸面上，指向如图所示， F 的大小
ε
B
F = BIl
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AB将从初始位置沿着 F力的方 在 F 力作用下， ′ 向移动，当移动到位置 A′B时磁力 F 所作的功
A = FAA′ = BIlAA′
导线在初始位置 AB时和在终了位置 A′B′ 时， 通过回路的磁通量分别为：
Φ 0 = BlDA
∴
Φ t = BlDA′
∆Φ = Φ t − Φ 0 = BlD A ′ − BlDA = BlA A ′
∴ 磁力所作的功为：
A = I∆Φ
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A = I ∆Φ
表明：当载流导线在磁场中运动时，如果 电流保持不变，磁力所作的功等于电流乘以通 过回路所环绕的面积内磁通量的增量，也即磁 力所作的功等于电流乘以载流导线在移动中所 切割的磁感应线数。
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载流线圈在磁场内转动时磁力所作的功
d ϕ 设线圈转过极小的角度 ， 使 en 与 B 之间的夹角从 ϕ 增为 ϕ + d ϕ ， 磁力矩 M = BIS sin ϕ
所以磁力矩所作的功为:
dϕ
d A = − Md ϕ = − BIS sin ϕ d ϕ
= BIS d(cosϕ ) = I d( BS cos ϕ ) 负号“-”表示磁力矩作正功时将使 ϕ减小。
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d A = I d( BS cos ϕ )
表示线圈转 d( BS cos ϕ ) 过 d ϕ 后磁通量的增量 d Φ。
dϕ
∴ d A = I dΦ
当上述载流线圈从ϕ1转到ϕ 2时，按上式积分后的 磁力矩所作的总功为：
A = ∫Φ1 I d Φ = I (Φ 2 − Φ1 ) = I∆Φ
Φ1与 Φ2 分别表示线圈在 ϕ1 和ϕ 2 时通过线圈的磁通量。
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Φ2
注意：
恒定磁场不是保守力场，磁力的功不等于磁场能的减少，而且，洛伦兹力是不做功的，磁力所作的功是消耗电源的能量来完成的。PDF created with FinePrint pdfFactory trial version