09第九章真空中的静电场(答案)2011

第九章 真空中的静电场

一． 选择题

[ B ] 1（基础训练1） 图中所示为一沿x轴放置的“无限长”分段均匀带电直线，电荷线



密度分别为＋(x＜0)和－ (x＞0)，则Oxy坐标平面上点(0，a)处的场强E为

(A) 0． (B)



40a



20a



i． 

ij．

(C)



i． (D)



40a

【提示】：左侧与右侧半无限长带电直线在(0，a)处产生的场强大小E＋、E－大小为：

EE

矢量叠加后，合场强大小为：

E合



20a

，方向如图。

［ B ］ 2（基础训练2） 半径为R的“无限长”均匀带电圆柱体的静电场中各点的电场强度的大小E与距轴线的距离r的关系曲线为：

(C(B(D 【提示】：由场分布的轴对称性，作闭合圆柱面（半径为r，高度为L）为高斯面。 据Guass定理：



S

EdSi

2

qi

0



20

rR时，有：

E2rL=

rL0

2

，即：E=r

rR时，有：E2rL=

RL0R，即：E= 20r



2

［ C ］ 3（基础训练3） 如图所示，一个电荷为q的点电荷位于立方体的A角上，则通过侧面abcd的电场强度通量等于：

(A)

q60

q240

． (B)

q120

q

．

(C) ． (D)

480

．

【提示】：添加7个与如图相同的小立方体构成一个大立方体，使A处于大立方体的中心。则大立

方体外围的六个正方形构成一个闭合的高斯面。由Gauss定理知，通过该高斯面的电通量为

q

0

。再据对称性可知，通过侧面abcd的电场强度通量等于

q240

。

［ D ］ 4（基础训练6） 在点电荷+q的电场中，若取图中P点处为电势零点 ， 则M点的电势为

(A)

q40aq40a

． (B)

q80aq80a

．

(C) ． (D)

PM

．

q80a

【提示】：VM





Edl



a2a

q40r

2

［ B ］ 5（自测提高6）如图所示，两个同心的均匀带电球面，内球面半径为R1、带电荷Q1，外球面半径为R2、带有电荷Q2．设无穷远处为电势零点，则在内球面之内、距离球心为r处的P点的电势U为：

(A)

Q1Q240r

． (B)

Q140R1



Q240R2

． (C) 0． (D)

Q140R1

．

【提示】：根据带点球面在求内外激发电势的规律，以及电势叠加原理即可知结果。

［ C ］ 6（自测提高10）如图所示，在真空中半径分别为R和2R的两个同心球面，其上分别均匀地带有电荷+q和－3q．今将一电荷为+Ｑ的带电粒子从内球面处由静止释放，则该粒子到达外球面时的动能为：

(A)

Qq40R

Qq20R

Qq80R

3Qq80R

． (B) ． (C) ． (D) ．

【提示】：静电力做功QUABQ(VAVB)等于动能的增加。其中：

VA

q40R



3q42R0



q80R

；VB

q402R



3q402R



2q80R

代上即得结果。

1（基础训练12）如图所示，真空中两个正点电荷Q，相距2R．若以其中一点电荷所在处O点为中心，以R为半径作高斯球面S，则通过该



球面的电场强度通量＝Q/0；若以r0表示高斯面外法线方向的单位矢

2

量，则高斯面上a、b两点的电场强度分别为 0；5Qr/180R． 0

【提示】：直接由高斯定理和场强叠加原理得到。

2（基础训练13） 两个平行的“无限大”均匀带电平面， 其电荷面密

+ +

度分别为＋和＋2，如图所示，则A、B、C三个区域的电场强度分别为：

33

EA＝，EB＝，EC＝ (设方向向右为正)．

A B C 202020

【提示】：A、B、C三个区域的场强，为两“无限大”均匀带电平面在该区域独自产生场强的矢量叠加。

3（基础训练15）真空中电荷分别为q1和q2的两个点电荷，当它们相距为r时，该电荷系统的相互作用电势能W=

q1q240r

。(设当两个点电荷相距无穷远时电势能为零)。

【提示】：根据电势能的定义，即将q1和q2的两个点电荷从该位置移至无穷远处电场力所做功。

4（基础训练16） AC为一根长为2l的带电细棒，左半部均匀带有负电荷，右半部均匀带有正电荷。电荷线密度分别为－和＋，如图所示。O点在棒的延长线上，距A端的距离为l．P点在棒的垂直平分线上，到棒的垂直距离为l．以棒的中点B为电势

3

的零点。则O点电势Uo＝ln；P点电势Up＝___0___． 404【提示】： 根据对称性及电势叠加原理，易知P点电势为0，O点电势为：

5（自测提高17） 一均匀静电场，电场强度E400i600j V·m-1，则点a(3,2)和点b(1,0)之间的电势差Uab＝－2×103． (点的坐标x,y以米计)。 【提示】：Uab



Edl



(400i600j)(dxidyj)









2l

dx40x

l





3l2l

dx

40x



ba



(1,0)(3,2)



(1,0)(3,2)

400dx600dy＝－2×10 V

3

6（自测提高18） 真空中有一半径为R的半圆细环，均匀带电Q，如图所示。设无穷远处为电势零点，则圆心O点处的电势U＝Q/40R，若将一带电量为q的点电荷从无穷远处移到圆心O点，则电场力做功A＝qQ/40R。

【提示】：由电势叠加原理求得O点电势，而电场力做的功等于电势能的减少。

1 （基础训练18） 将一“无限长”带电细线弯成图示形状，设电荷均匀分布，电荷线密度为，四分之一圆弧AB的半径为R，试求圆心O点的场强．

【解】：在O点建立坐标系如图所示。

半无限长直线A∞在O点产生的场强：



ij E1

40R

半无限长直线B∞在O点产生的场强：

E2ij

40R四分之一圆弧段在O点产生的场强：



ij E3

40R由场强叠加原理，O点合场强为：



ij EE1E2E3

40R

2（基础训练20） 真空中一立方体形的高斯面,边长a＝0.1 m，位于图中所示位置．已知空间的场强分布为： Ex=bx , Ey=0 , Ez=0． 常量b＝1000 N/(C·m)．试求通过该高斯面的电通量．

y

x

【解】：通过x＝a处平面1的电场强度通量

1 = -E1 S1= -b a3

通过x = 2a处平面2的电场强度通量

2 = E2 S2 = b a3

其它平面的电场强度通量都为零．因而通过该高斯面的总电场强度通量为

=1+2 = b a3-b a3 = b a3 =1 N·m2/C

3（基础训练21） 带电细线弯成半径为R的半圆形，电荷线密度为=0sin，式中0为一常数，为半径R与x轴所成的夹角，如图所示．试求环心O处的电场强度．

【解】：在处取电荷元，其电荷为

dq =dl = 0Rsind

它在O点产生的场强为

dE

dq40R

2



0sind40R

在x、y轴上的二个分量

dEx=－dEcos

dEy=－dEsin

对各分量分别求和：

ExEy

040R





0

sincosd＝0 sind

2

040

R

080R

0

j ∴ EExiEyj

80R



4 （基础训练23）如图所示，在电矩为p的电偶极子的电场中，将一电荷为q的点电荷从A点沿半径为R的圆弧(圆心与电偶极子中心重合，R>>电偶极子正负电荷之间距离)移到B点，求此过程中电场力所作的功．

【解】：用电势叠加原理可导出电偶极子在空间任意点的电势

3

Upr/40r

式中r为从电偶极子中心到场点的矢径． 于是知： A、B 两点电势分别为

2

UAp/40R

UBp/40R

2







pp

q从A移到B电场力作功(与路径无关)为

AqU

A

UBqp/20R

2

5（基础训练24） 图示为一个均匀带电的球层，其电荷体密度为，球层内表面半径为R1，外表面半径为R2．设无穷远处为电势零点，求空腔内任一点的电势．

【解】: 由高斯定理可知空腔内E＝0，故带电球层的空腔是等势区， 各点电势均为U。

在球层内取半径为

r→r＋dr的薄球层．其电荷为

2

dq =  4rdr

该薄层电荷在球心处产生的电势为 dUdq/40rrdr/0 整个带电球层在球心处产生的电势为

R22

U0dU0 rdrRR21

0R20

21

因为空腔内为等势区所以空腔内任一点的电势U为 

UU0R22R12

20



若根据电势定义UEdl计算，也可。

6（基础训练25） 图中所示为一沿x轴放置的长度为l的不均匀带电细棒，其电荷线密度为＝0 (x-a)，0为一常量．取无穷远处为电势零点，求坐标原点O处的电势．

【解】：在任意位置x处取长度元dx，其上带有电荷dq=0 (x－a)dx，

它在O点产生的电势

xadx

dU0

40x

O点总电势

aldx00alal

UdUdxalaln aa40x40a

7（基础训练26） 一球体内均匀分布着电荷体密度为的正电荷,若保持电荷分布不变,在该球体挖去半径为r的一个小球体,球心为O,两球心间距离OOd,如图所示. 求:在球形空腔内,球心



O处的电场强度E0.在球体内P点处的电场强度E.设O、O、P三点在同一直径上，且OPd。

【解】：挖去电荷体密度为的小球，以形成球腔时的求电场问题，可在不挖时求出电场E1，而另



在挖去处放上电荷体密度为－的同样大小的球体，求出电场E2，并令任意点的场强为此二者

O

x

的叠加，即可得：



E0E1E2



E1dSE14d

2

在图(a)中，以O点为球心，d为半径作球面为高斯面S，可求出O与P处场强的大小。

S



1

0



43

3

d

有： E1O’＝E1P=E1方向分别如图所示。



30

d

2O’=0

图(b)

图(c)

在图(b)中，以O点为小球体的球心，可知在O点E2=0. 又以O 为心，2d为半径作球面为高斯面S 可求得P点场强E2P

S

23

E2dSE24(2d)4r()/30

E2P

r

23

120d



(1) 求O点的场强EO' . 由图(a)、(b)可得

EO’ = E1O’ =

方向如图(c)所示。



(2)求P点的场强EP.由图(a)、(b)可得

d

30

EPE1PE2P



 d2304d

r



3

方向如(d)图所示.

8（基础训练27） 两个带等量异号电荷的均匀带电同心球面，半径分别为R1＝0.03 m和R2＝0.10 m．已知两者的电势差为450 V，求内球面上所带的电荷． 【解】：设内球上所带电荷为Q，则两球间的电场强度的大小为

E

R2

Q40r

2

(R1＜r＜R2)

两球的电势差 U12



R1

Edr

Q40



R2

drr

2

R1



11

 40RR21Q

∴ Q

40R1R2U12

R2R1

＝2.14×10 C

-9

选做题：

1（基础训练29） 如图所示，半径为R的均匀带电球面，带有电荷q．沿某一半径方向上有一均匀带电细线，电荷线密度为，长度为l，细线左端离球心距离为r0．设球和线上的电荷分布不受相互作用影响，试求细线所受球面电荷的电场力和细线在该电场中的电势能(设无穷远处的电势为零)．

【解】：设x轴沿细线方向，原点在球心处，在x处取线元dx，其上电荷为dqdx，该线元在

带电球面的电场中所受电场力为：

2

dF = qdx / (40 x)

x

整个细线所受电场力为：

rldxqql

Fx24rrl 40r

000

00

方向沿x正方向．

电荷元在球面电荷电场中具有电势能：

dW = (qdx) / (40 x)

整个线电荷在电场中具有电势能：

W

q40



r0lr0

dx

r0l

lnx40r0

q

 

2（附录B附加题1） 有人企图在如图所示的两块成一定夹角的带电金属平板间形成一种静电场，其电场线在垂直于两平板相交的线的平面上，为一系列疏密均匀的同心圆弧，这些圆弧的圆心在两板的交线上，这种静电场是否可能存在？理由如何？ 【解】：这种静电场不可能存在。 可采用反证法证明。

假设这种静电场存在，则沿着题图中的电场线分布，作如图所示的环路L（有向的扇形闭合回路、放大图），此时有：



L



Edl



12



Edl11



2

3



2

E



2

dl



3



4

3

E3dl

4



1



E4

dl

0E2l20E4l4

由于题述静电场的电场线疏密均匀，故E2、E4相等，而l2l4，有



L



Edl0，显然与静电场的环路定理相矛盾，说明假设错误。因此，这种静电场不可能存在。

第九章 真空中的静电场

一． 选择题

[ B ] 1（基础训练1） 图中所示为一沿x轴放置的“无限长”分段均匀带电直线，电荷线



密度分别为＋(x＜0)和－ (x＞0)，则Oxy坐标平面上点(0，a)处的场强E为

(A) 0． (B)



40a



20a



i． 

ij．

(C)



i． (D)



40a

【提示】：左侧与右侧半无限长带电直线在(0，a)处产生的场强大小E＋、E－大小为：

EE

矢量叠加后，合场强大小为：

E合



20a

，方向如图。

［ B ］ 2（基础训练2） 半径为R的“无限长”均匀带电圆柱体的静电场中各点的电场强度的大小E与距轴线的距离r的关系曲线为：

(C(B(D 【提示】：由场分布的轴对称性，作闭合圆柱面（半径为r，高度为L）为高斯面。 据Guass定理：



S

EdSi

2

qi

0



20

rR时，有：

E2rL=

rL0

2

，即：E=r

rR时，有：E2rL=

RL0R，即：E= 20r



2

［ C ］ 3（基础训练3） 如图所示，一个电荷为q的点电荷位于立方体的A角上，则通过侧面abcd的电场强度通量等于：

(A)

q60

q240

． (B)

q120

q

．

(C) ． (D)

480

．

【提示】：添加7个与如图相同的小立方体构成一个大立方体，使A处于大立方体的中心。则大立

方体外围的六个正方形构成一个闭合的高斯面。由Gauss定理知，通过该高斯面的电通量为

q

0

。再据对称性可知，通过侧面abcd的电场强度通量等于

q240

。

［ D ］ 4（基础训练6） 在点电荷+q的电场中，若取图中P点处为电势零点 ， 则M点的电势为

(A)

q40aq40a

． (B)

q80aq80a

．

(C) ． (D)

PM

．

q80a

【提示】：VM





Edl



a2a

q40r

2

［ B ］ 5（自测提高6）如图所示，两个同心的均匀带电球面，内球面半径为R1、带电荷Q1，外球面半径为R2、带有电荷Q2．设无穷远处为电势零点，则在内球面之内、距离球心为r处的P点的电势U为：

(A)

Q1Q240r

． (B)

Q140R1



Q240R2

． (C) 0． (D)

Q140R1

．

【提示】：根据带点球面在求内外激发电势的规律，以及电势叠加原理即可知结果。

［ C ］ 6（自测提高10）如图所示，在真空中半径分别为R和2R的两个同心球面，其上分别均匀地带有电荷+q和－3q．今将一电荷为+Ｑ的带电粒子从内球面处由静止释放，则该粒子到达外球面时的动能为：

(A)

Qq40R

Qq20R

Qq80R

3Qq80R

． (B) ． (C) ． (D) ．

【提示】：静电力做功QUABQ(VAVB)等于动能的增加。其中：

VA

q40R



3q42R0



q80R

；VB

q402R



3q402R



2q80R

代上即得结果。

1（基础训练12）如图所示，真空中两个正点电荷Q，相距2R．若以其中一点电荷所在处O点为中心，以R为半径作高斯球面S，则通过该



球面的电场强度通量＝Q/0；若以r0表示高斯面外法线方向的单位矢

2

量，则高斯面上a、b两点的电场强度分别为 0；5Qr/180R． 0

【提示】：直接由高斯定理和场强叠加原理得到。

2（基础训练13） 两个平行的“无限大”均匀带电平面， 其电荷面密

+ +

度分别为＋和＋2，如图所示，则A、B、C三个区域的电场强度分别为：

33

EA＝，EB＝，EC＝ (设方向向右为正)．

A B C 202020

【提示】：A、B、C三个区域的场强，为两“无限大”均匀带电平面在该区域独自产生场强的矢量叠加。

3（基础训练15）真空中电荷分别为q1和q2的两个点电荷，当它们相距为r时，该电荷系统的相互作用电势能W=

q1q240r

。(设当两个点电荷相距无穷远时电势能为零)。

【提示】：根据电势能的定义，即将q1和q2的两个点电荷从该位置移至无穷远处电场力所做功。

4（基础训练16） AC为一根长为2l的带电细棒，左半部均匀带有负电荷，右半部均匀带有正电荷。电荷线密度分别为－和＋，如图所示。O点在棒的延长线上，距A端的距离为l．P点在棒的垂直平分线上，到棒的垂直距离为l．以棒的中点B为电势

3

的零点。则O点电势Uo＝ln；P点电势Up＝___0___． 404【提示】： 根据对称性及电势叠加原理，易知P点电势为0，O点电势为：

5（自测提高17） 一均匀静电场，电场强度E400i600j V·m-1，则点a(3,2)和点b(1,0)之间的电势差Uab＝－2×103． (点的坐标x,y以米计)。 【提示】：Uab



Edl



(400i600j)(dxidyj)









2l

dx40x

l





3l2l

dx

40x



ba



(1,0)(3,2)



(1,0)(3,2)

400dx600dy＝－2×10 V

3

6（自测提高18） 真空中有一半径为R的半圆细环，均匀带电Q，如图所示。设无穷远处为电势零点，则圆心O点处的电势U＝Q/40R，若将一带电量为q的点电荷从无穷远处移到圆心O点，则电场力做功A＝qQ/40R。

【提示】：由电势叠加原理求得O点电势，而电场力做的功等于电势能的减少。

1 （基础训练18） 将一“无限长”带电细线弯成图示形状，设电荷均匀分布，电荷线密度为，四分之一圆弧AB的半径为R，试求圆心O点的场强．

【解】：在O点建立坐标系如图所示。

半无限长直线A∞在O点产生的场强：



ij E1

40R

半无限长直线B∞在O点产生的场强：

E2ij

40R四分之一圆弧段在O点产生的场强：



ij E3

40R由场强叠加原理，O点合场强为：



ij EE1E2E3

40R

2（基础训练20） 真空中一立方体形的高斯面,边长a＝0.1 m，位于图中所示位置．已知空间的场强分布为： Ex=bx , Ey=0 , Ez=0． 常量b＝1000 N/(C·m)．试求通过该高斯面的电通量．

y

x

【解】：通过x＝a处平面1的电场强度通量

1 = -E1 S1= -b a3

通过x = 2a处平面2的电场强度通量

2 = E2 S2 = b a3

其它平面的电场强度通量都为零．因而通过该高斯面的总电场强度通量为

=1+2 = b a3-b a3 = b a3 =1 N·m2/C

3（基础训练21） 带电细线弯成半径为R的半圆形，电荷线密度为=0sin，式中0为一常数，为半径R与x轴所成的夹角，如图所示．试求环心O处的电场强度．

【解】：在处取电荷元，其电荷为

dq =dl = 0Rsind

它在O点产生的场强为

dE

dq40R

2



0sind40R

在x、y轴上的二个分量

dEx=－dEcos

dEy=－dEsin

对各分量分别求和：

ExEy

040R





0

sincosd＝0 sind

2

040

R

080R

0

j ∴ EExiEyj

80R



4 （基础训练23）如图所示，在电矩为p的电偶极子的电场中，将一电荷为q的点电荷从A点沿半径为R的圆弧(圆心与电偶极子中心重合，R>>电偶极子正负电荷之间距离)移到B点，求此过程中电场力所作的功．

【解】：用电势叠加原理可导出电偶极子在空间任意点的电势

3

Upr/40r

式中r为从电偶极子中心到场点的矢径． 于是知： A、B 两点电势分别为

2

UAp/40R

UBp/40R

2







pp

q从A移到B电场力作功(与路径无关)为

AqU

A

UBqp/20R

2

5（基础训练24） 图示为一个均匀带电的球层，其电荷体密度为，球层内表面半径为R1，外表面半径为R2．设无穷远处为电势零点，求空腔内任一点的电势．

【解】: 由高斯定理可知空腔内E＝0，故带电球层的空腔是等势区， 各点电势均为U。

在球层内取半径为

r→r＋dr的薄球层．其电荷为

2

dq =  4rdr

该薄层电荷在球心处产生的电势为 dUdq/40rrdr/0 整个带电球层在球心处产生的电势为

R22

U0dU0 rdrRR21

0R20

21

因为空腔内为等势区所以空腔内任一点的电势U为 

UU0R22R12

20



若根据电势定义UEdl计算，也可。

6（基础训练25） 图中所示为一沿x轴放置的长度为l的不均匀带电细棒，其电荷线密度为＝0 (x-a)，0为一常量．取无穷远处为电势零点，求坐标原点O处的电势．

【解】：在任意位置x处取长度元dx，其上带有电荷dq=0 (x－a)dx，

它在O点产生的电势

xadx

dU0

40x

O点总电势

aldx00alal

UdUdxalaln aa40x40a

7（基础训练26） 一球体内均匀分布着电荷体密度为的正电荷,若保持电荷分布不变,在该球体挖去半径为r的一个小球体,球心为O,两球心间距离OOd,如图所示. 求:在球形空腔内,球心



O处的电场强度E0.在球体内P点处的电场强度E.设O、O、P三点在同一直径上，且OPd。

【解】：挖去电荷体密度为的小球，以形成球腔时的求电场问题，可在不挖时求出电场E1，而另



在挖去处放上电荷体密度为－的同样大小的球体，求出电场E2，并令任意点的场强为此二者

O

x

的叠加，即可得：



E0E1E2



E1dSE14d

2

在图(a)中，以O点为球心，d为半径作球面为高斯面S，可求出O与P处场强的大小。

S



1

0



43

3

d

有： E1O’＝E1P=E1方向分别如图所示。



30

d

2O’=0

图(b)

图(c)

在图(b)中，以O点为小球体的球心，可知在O点E2=0. 又以O 为心，2d为半径作球面为高斯面S 可求得P点场强E2P

S

23

E2dSE24(2d)4r()/30

E2P

r

23

120d



(1) 求O点的场强EO' . 由图(a)、(b)可得

EO’ = E1O’ =

方向如图(c)所示。



(2)求P点的场强EP.由图(a)、(b)可得

d

30

EPE1PE2P



 d2304d

r



3

方向如(d)图所示.

8（基础训练27） 两个带等量异号电荷的均匀带电同心球面，半径分别为R1＝0.03 m和R2＝0.10 m．已知两者的电势差为450 V，求内球面上所带的电荷． 【解】：设内球上所带电荷为Q，则两球间的电场强度的大小为

E

R2

Q40r

2

(R1＜r＜R2)

两球的电势差 U12



R1

Edr

Q40



R2

drr

2

R1



11

 40RR21Q

∴ Q

40R1R2U12

R2R1

＝2.14×10 C

-9

选做题：

1（基础训练29） 如图所示，半径为R的均匀带电球面，带有电荷q．沿某一半径方向上有一均匀带电细线，电荷线密度为，长度为l，细线左端离球心距离为r0．设球和线上的电荷分布不受相互作用影响，试求细线所受球面电荷的电场力和细线在该电场中的电势能(设无穷远处的电势为零)．

【解】：设x轴沿细线方向，原点在球心处，在x处取线元dx，其上电荷为dqdx，该线元在

带电球面的电场中所受电场力为：

2

dF = qdx / (40 x)

x

整个细线所受电场力为：

rldxqql

Fx24rrl 40r

000

00

方向沿x正方向．

电荷元在球面电荷电场中具有电势能：

dW = (qdx) / (40 x)

整个线电荷在电场中具有电势能：

W

q40



r0lr0

dx

r0l

lnx40r0

q

 

2（附录B附加题1） 有人企图在如图所示的两块成一定夹角的带电金属平板间形成一种静电场，其电场线在垂直于两平板相交的线的平面上，为一系列疏密均匀的同心圆弧，这些圆弧的圆心在两板的交线上，这种静电场是否可能存在？理由如何？ 【解】：这种静电场不可能存在。 可采用反证法证明。

假设这种静电场存在，则沿着题图中的电场线分布，作如图所示的环路L（有向的扇形闭合回路、放大图），此时有：



L



Edl



12



Edl11



2

3



2

E



2

dl



3



4

3

E3dl

4



1



E4

dl

0E2l20E4l4

由于题述静电场的电场线疏密均匀，故E2、E4相等，而l2l4，有



L



Edl0，显然与静电场的环路定理相矛盾，说明假设错误。因此，这种静电场不可能存在。