第10章 静电场中的导体和电介质
习 题
一 选择题
10-1当一个带电导体达到静电平衡时，[ ] (A) 表面上电荷密度较大处电势较高 (B) 表面曲率较大处电势较高
(C) 导体内部的电势比导体表面的电势高
(D) 导体内任一点与其表面上任一点的电势差等于零 答案：D
解析：处于静电平衡的导体是一个等势体，表面是一个等势面，并且导体内部与表面的电势相等。
10-2将一个带正电的带电体A 从远处移到一个不带电的导体B 附近，导体B 的电势将[ ]
(A) 升高 (B)降低 (C)不会发生变化 (D)无法确定 答案：A
解析：不带电的导体B 相对无穷远处为零电势。由于带正电的带电体A 移到不带电的导体B 附近的近端感应负电荷；在远端感应正电荷，不带电导体的电势将高于无穷远处，因而正确答案为（A ）。
10-3将一带负电的物体M 靠近一不带电的导体N ，在N 的左端感应出正电荷，右端感应出负电荷。若将导体N 的左端接地（如图10-3所示），则[ ]
(A) N 上的负电荷入地 (B) N 上的正电荷入地 (C) N上的所有电荷入地 (D) N 上所有的感应电荷入地 答案：A
解析：带负电的带电体M 移到不带电的导体N 附近的近端感应正电荷；在远端
习题10-3图
感应负电荷，不带电导体的电势将低于无穷远处，因此导体N 的电势小于0，即小于大地的电势，因而大地的正电荷将流入导体N ，或导体N 的负电荷入地。故正确答案为（A ）。
10-4 如图10-4所示，将一个电荷量为q
电的导体球附近，点电荷距导体球球心为d 。设无穷远 处为零电势，则在导体球球心O 点有[ ] (A) E =0，V =
q 4πε0d
(B) E =
q
2
4πε0d 4πε0d 习题10-4图
q q
V =(C) E =0，V =0 (D) E =， 2
4πε0d 4πε0R
，V =
q
答案：A
解析：导体球处于静电平衡状态，导体球内部电场强度为零，因此E =0。导体球球心O 点的电势为点电荷q 及感应电荷所产生的电势叠加。感应电荷分布于导体球表面，至球心O 的距离皆为半径R ，并且感应电荷量代数和∑q 为0，因此
V 感应电荷=
q
4πε0R
=0。由此在导体球球心O 点的电势等于点电荷q 在O 点处的电
势V =
q 4πε0d
。
10-5 如图10-5所示，两个同心球壳。内球壳半径为R 1，均匀带有电量Q ；外球壳半径为R 2，壳的厚度忽略，原先不带电，但与地相连接．设地为电势零点，则在内球壳里面，距离球心为r 处的P 点的电场强度大小及电势分别为[ ]
4πε0R 1
Q 11
(-) (B) E =0，V =
4πε0R 1R 2
Q Q
V =(C) E =， 2
4πε0r 4πε0r Q Q
V =(D) E =， 2
4πε0r 4πε0R 1
(A) E =0，V =
Q
答案：B
习题10-5图
解析：根据静电场的高斯定理 ⎰
⎧0
⎪R 1
R 10
S
E d S =
∑q
i
i
ε0P
，同心球壳的电场强度大小分布为
E 1=0E 2=
R 2
Q 4πε0r 2
，则点的电场强度为E =0，电势
V =⎰E 1d r +⎰E 2d r =
R 1
Q 4πε0
(
11-) 。 R 1R 2
10-6 极板间为真空的平行板电容器，充电后与电源断开，将两极板用绝缘工具拉开一些距离，则下列说法正确的是[ ]
(A) 电容器极板上电荷面密度增加 (B) 电容器极板间的电场强度增加 (C) 电容器的电容不变 (D) 电容器极板间的电势差增大 答案：D
解析：电容器极板上电荷面密度σ=
Q
，平板电荷量及面积没有变化，因此电容S
器极板上电荷面密度不变，并且极板间的电场强度E =强度不变。平行极板电容C =ε0
σ
，电容器极板间的电场ε0
S
，两极板间距离增加，则电容减小。电容器极d
板间的电势差U =Ed ，电场强度E 不变，距离d 增大，则电势差增大。因而正确答案为（D ）。
10-7 在静电场中，作闭合曲面S ，若有 ，⎰D ⋅d S =0（式中D 为电位移矢量）
S
则S 面内必定[ ]
(A) 既无自由电荷，也无束缚电荷 (B) 没有自由电荷 (C) 自由电荷和束缚电荷的代数和为零 (D) 自由电荷的代数和为零 答案：D
解析：根据有电介质时的高斯定理 ⎰D ⋅d S =∑Q i ，可知S 面内自由电荷的代数
S
i
和为零。
10-8 对于各向同性的均匀电介质，下列概念正确的是[ ]
(A) 电介质充满整个电场并且自由电荷的分布不发生变化时，电介质中的电场强度一定等于没有电介质时该点电场强度的r 倍
(B) 电介质中的电场强度一定等于没有介质时该点电场强度的r 倍 (C) 在电介质充满整个电场时，电介质中的电场强度一定等于没有电介质时该点电场强度的r 倍
(D) 电介质中的电场强度一定等于没有介质时该点电场强度的εr 倍 答案：A
解析：各向同性介质中的电场强度为真空中电场强度的r 倍。
10-9把一空气平行板电容器，充电后与电源保持连接。然后在两极板之间充满相对电容率为εr 的各向同性均匀电介质，则[ ]
(A) 极板间电场强度增加 (B) 极板间电场强度减小 (C) 极板间电势差增加 (D) 电容器静电能增加 答案：D
解析：平行板电容器充电后与电源保持连接，则极板间电势差保持不变，真空中电场强度E =
U
不变化，因而各向同性介质中的电场强度为真空中电场强度的d
1
r 倍，也不变化。各向同性介质中的电容器静电能W =εr ε0E 2V ，相对于真空
2
中电容器静电能有所增加。故正确答案为（D ）。
10-10 C 1和C 2两空气电容器并联起来接上电源充电。然后将电源断开，再把一电介质板插入C 1中，如图10-10所示，则[ ]
(A) C 1和C 2极板上电荷都不变
(B) C 1极板上电荷增大，C 2极板上电荷不变 (C) C 1极板上电荷增大，C 2极板上电荷减少 (D) C 1极板上电荷减少，C 2极板上电荷增大
答案：C
习题10-10图
解析：C 1和C 2为并联，则电容器两端电势差相等。C 1中插入一电介质，则C 1的电容增大（C =εr C 0），C 1极板上电荷增大（Q =CU ）。由于电源断开，C 1和C 2两
端总电荷量不变，因此C 1极板上电荷减少。故正确答案为（C ）。
二 填空题
10-11任意形状的导体，其电荷面密度分布为σ（x , y , z ），则在导体表面外附近任意点处的电场强度的大小E （x , y , z ）= ，其方向 。 答案：
σ(x , y , z )
；垂直导体表面 ε0
解析：处于静电平衡的导体表面附近的电场强度正比于电荷面密度，因而
E (x , y , z ) =
σ(x , y , z )
，方向垂直于导体表面。 ε0
10-12 如图10-12所示，同心导体球壳A 和B ，半径分别为R 1、R 2，分别带电量q 、Q ，则内球A 的电势V A =_____________；若把内球A 接地，则内球A 所带电量q A ＝____________。 答案：
q 4πε0R 1
+
Q 4πε0R 2
R 1
Q R 2
；-
解析：根据静电场的高斯定理 ⎰
S
E d S =
∑q
i
i
ε0
，
习题10-12图
⎧⎪
E 1=0⎪0
⎪q
同心球壳的电场强度大小分布为⎨R 1
4πε0r ⎪
⎪q +Q
E 3=⎪r >R 2,
4πε0r 2⎩V A =⎰E 1d r +⎰E 2d r +⎰E 3d r =
R 1
R 2
R 1
R 2
∞
Q 4πε0
(
q Q
+) 。若把内球A 接地，则内球A 的R 1R 2
电势V A =
Q 4πε0
(
q A Q R
+) =0，解得q A =-1Q 。 R 1R 2R 2
10-13 如图10-13所示，在真空中将半径为R 的金属球接地，在与球心O 相距为r ( r >R ) 处放置一点电荷 –q ，不计接地导线上电荷的影响，则金属球表面上的感应电荷总量为 ，金属球表面电势为 。
R
答案：q ；0
r
习题10-13图
解析：金属球接地，则金属球的电势为0。金属球 球心电势为V =V -q +V 感应=
-q 4πε0r
+Q 感应4πε0R
=0，
解得，感应电荷总量为Q 感应=相等，电势为0。
R
q 。金属球表面是一个等势面，电势与地的电势r
10-14 两带电导体球半径分别为R 和r (R >r ) ，它们相距很远，用一根导线连接起来，则两球表面的电荷面密度之比σR :σr 。 答案：
r R
解析：导体表面的电荷面密度反比与曲率半径，因此σR :σr =r :R 。
10-15 对下列问题选取“增大”、“减小”、“不变”作答。（1）平行板电容器保持板上电量不变（即充电后切断电源）。现在使两板的距离增大，则：两板间的电势差_______,电场强度__________,电容__________，电场能量__________。（2）如果保持两板间电压不变（即充电后与电源连接着）。则两板间距离增大时，两板间的电场强度__________，电容________，电场能量__________。 答案：（1）增大，不变，减小，增大；（2）减小，减小，减小
解析：（1）保持板上电量Q 不变，使两板的距离d 增大。电容器极板上电荷面密度σ=
Q
，平板电荷量及面积没有变化，因此电容器极板上电荷面密度不变，并S
且极板间的电场强度E =
σ
，电容器极板间的电场强度不变。电容器极板间的电ε0
势差U =Ed ，电场强度E 不变，距离d 增大，则电势差增大。平行极板电容
Q 2S
，电荷量Q 不变，C =ε0，两极板间距离增加，则电容减小。电场能量W e =2C d
C 减小，则电场能量W e 增大。
（2）保持两板间电压U 不变，使两板的距离d 增大。则极板间的电场强度E =
U
，
d
电容器极板间的电场强度减小。平行极板电容C =ε0
S
，两极板间距离增加，则d
1
电容减小。电场能量W e =CU 2，电压U 不变，C 减小，则电场能量W e 减小。
2
10-16一平行板电容器，两板间充满各向同性均匀电介质。已知相对电容率为εr ，若极板上的自由电荷面密度为σ，则介质中电位移的大小D E ，电场的能量密度
w e 。
σ2σ
答案：σ；；
2ε0εr ε0εr
D 解析：根据电介质中的高斯定理 ⎰d S =q ，得电位移矢量的大小D =σ。由于
S
D =ε0εr E ，因此电场强度的大小E =
σ
。电场的能量密度ε0εr
σ2σ2
w e =E =）=。
22ε0εr 2ε0εr
ε
2
ε0εr
10-17 在电容为C 0的空气平行板电容器中，平行地插入一厚度为两极板距离一半的金属板，则电容器的电容C = 。 答案：2C 0
解析：插入金属板后，电容C 0成为两电容C 1和C 2串联，且C 1=C 2=ε0
S
=4C 0。1d 4
因此等效电容为C =
111+C 1C 2
=2C 0。
10-18一平板电容器，两极板间是真空时，电容为C 0，充电到电压为u 0时，断开电源，然后将极板间充满相对电容率为εr 的均匀电介质则此时电容C ＝__________，电场能量 W e =___________。
C 0u 02
答案：εr C 0；
2εr
解析：电容器的电容仅与电容器的大小、形状及填充的电介质有关，将极板间充
满相对电容率为εr 的均匀电介质时，电容为C =εr C 0。断开电源后，两极板上的
Q 2(C 0u 0) 2C 0u 02
==电荷量不变化，因此电场能量W e =。 2C 2εr C 02εr
10-19 一平行板电容器两极板间距离为d ，电荷面密度为σ0，将一块相对电容率为εr =2, 厚度为
d
均匀电介质插入到两极板间(见图10-19) ，则电容器的两极2
板间电压是插入前的_________倍，电容器的电容是插入前的__________倍，电容器储存的电能是插入前的__________倍。
343
答案：；；
434
E
解析：电介质内部的电场强度E ==0，
εr 2
E 0
d
2
习题10-19图
插入电介质后两极板间电压U =E
d d 3
+E 0=E 0d ，插入前两极板间电压为224
3Q
倍。电容器的电容C =，4U
4
倍。3
U =E 0d ，因此电容器的两极板间电压是插入前的
电荷量Q 不变，电容与电压U 成反比，因此，电容器的电容是插入前的
1
电容器储存的电能W e =QU ，与电压U 成正比，因此，电容器储存的电能是插
23
入前的倍。
4
三 计算题
10-20 两块大金属板A 和B ，面积均为S ，两块板平行地放置，间距为d ，d 远小于板的尺度。如图10-20所示，现使A 板带电Q A ，B 板带电Q B 。在忽略边缘效应的情况下，试求：
（1）A 、B 两板各个表面上的电量； （2）A 、B 两板的电势差；
（3）若B 板外侧接地，A 、B 两板各个表面上的电量又是如何分布？两板的电势差是多少？
A
解：（1）两板处于静电平衡，则两板内部电场强度为0，则
{{
A :B :
(σ1-σ2-σ3-σ4)/2ε0=0(σ1+σ2+σ3-σ4)/2ε0=0
S (σ1+σ2)=Q A S (σ3+σ4)=Q B
A B
σ1=σ4=(Q A +Q B ) /2S
∴Q 1=Q 4=(Q A +Q B ) /2
σ2=-σ3=(Q A -Q B ) /2S
Q 2=(Q A -Q B ) /2
习题10-20图
Q 3=(Q B -Q A ) /2
（2）E =E 1+E 2-E 3-E 4= U AB =E ⋅d =
σ1σ2σ3σ4Q A -Q B
+--= 2ε02ε02ε02ε02ε0S
Q A -Q B
d 2ε0S
（3）B 板外侧接地，则σ4=0
(σ1-σ2-σ3)/2ε0=0(σ1+σ2+σ3)/2ε0=0
S (σ1+σ2) =Q A
∴Q 1=Q 4=0
Q 2=Q A
Q 3=-Q A
E =
σ2Q A
=2ε0ε0S
∴U AB =E ⋅d =
Q A
d ε0S
10-21 如图10-21所示，半径为R 1=0.01 m的金属球，带电量Q 1=1⨯10-10 C，球外套一内外半径分别R 2=3⨯10-2 m和R 3=4⨯10-2 m的同心金属球壳，壳上带电Q 2=11⨯10-10 C，求：(1)金属球和金属球壳的电势差；(2)若用导线把球和球壳连接在一起，这时球和球壳的电势各为多少？ 解：根据高斯定理，电场强度分布为：
R 1R 3,
E 1=
Q 14πε0r 2
Q +Q 2
E 2=1
4πε0r 2
习题10-21图
(1) U AB =⎰
∞
R 2
R 1
E 1d r =
Q 14πε0
⎰
R 2
R 1
Q 1⎛111⎫r =- ⎪=60V 2r 4πε0⎝R 1R 2⎭
(2) V B =⎰E 2d r =
R 3
Q 1+Q 2
4πε0
⎰
∞
R 3
Q 1+Q 21r ==270V 22r 4πε0R 3
V A =V B =270V
10-22 半径为R 0的导体球带有电荷Q ，球外有一层均匀介质同心球壳，其内、外半径分别为R 1和R 2，相对电容率为εr ，如图10-22所示，求：（1）空间的电位移和电场强度分布；（2
解：（1）导体球处于静电平衡状态，电荷分布在球的表面，球内部没有电荷
根据有电介质的高斯定理 ⎰⎰
S
DdS =∑Q i ，
i
r
E 1=
D
ε0εr
=0
R 0
Q
2
4πr =
Q 4πε0r 2
习题10-22图
E 2=
D 2
ε0εr
(εr =1)
R 1
Q
2
4πr =
Q 4πε0εr r 2
E 3=
r >R 2时，D 4⋅4πr 2=Q ， ∴D 4=
D 2
ε0εr
Q
2
4πr D 4
E 4=
ε0εr
=
Q 4πε0r 2
(εr =1)
因此，空间的电位移和电场强度分布为：
⎧0(r
⎪⎪D =⎨Q ， E =⎨Q
(R 1R 0) 2⎪2⎪4πεεr ⎩4πr 0r
⎪⎪Q
⎪4πεr 2(r >R 2)
0⎩
（2）介质内表面（r =R 1）上的极化电荷与导体球上的电荷电性相反，因此，其面密度为：
σ1'=(εr -1) ε0E 3(R 1) =
εr -1-Q εr -1Q =- 22
εr 4πR 1εr 4πR 1
介质外表面（r =R 2）上的极化电荷与导体球上的电荷电性相同，因此，其面密度为：
σ2'=(εr -1) ε0E 3(R 2) =
εr -1Q εr -1Q
= 22
εr 4πR 2εr 4πR 2
10-23 地球和电离层可当作球形电容器，它们之间相距约为100 km，求地球—电离层系统的电容。（设地球和电离层之间为真空） 解：已知R 地球=6371 km ，d =100 km ，R 电离=R 地球+d
设地球-电离层分别带点±Q
则根据高斯定律，地球-电离层间的电场强度为：E =
R 电离
Q 4πε0r 2
U =⎰
R 地球
E d r =
Q 4πε0
⎰
R 电离
R 地球
1Q
r =r 24πε0
⎛11
- R
⎝地球R 电离⎫
=60V ⎪⎪⎭
R 地球⋅R 电离Q
C ==4πε0=4.58⨯10-2F
U R 电离-R 地球
10-24 如图10-24所示，两根平行无限长均匀带电直导线，相距为d ，导线半径都是R （R
-λ+λ解：（1）根据高斯定理，电荷线密度为+λ的导线在
x
点P 处电场强度计算如下：
2πxh ⋅E =
1
ε0
λh
∴E +=
λ
2πε0x
方向沿x 轴正方向，∴E +=
λ
i 2πε0x
同理，电荷线密度为-λ的导线在点P 处电场强度为：E -=
λ
2πε0(d -x )
i
因此，两导线间任一点P 的电场强度为：
λλE =E ++E -=(+) i
2πε0x 2πε0(d -x )
（2）根据电势差的定义，两导线间的电势差为：
d -R λλλd -R
U =⎰E d r =⎰(+)d x =ln
R 2πε0x 2πε0(d -x ) πε0R
（3）该导体组单位长度的电容为：
C =
πε0Q λ⋅1
==
d -R d -R U ln ln πε0R R
10-25 如图10-25所示， 一平板电容器充满两层厚度各为d 1和d 2的电介质，它们的相对电容率分别为εr 1和εr 2，极板的面积为S 。求：（1）电容器的电容；（2） 当极板上的自由电荷面密度为σ
0两层介质的电位移。
解：（1）设两板分别带±Q 的电荷
两板间没有电介质时的电场强度为：
E 0=
σQ /S Q == ε0ε0ε0S
习题10-25图
放入电介质后，相对电容率分别为的 电介质中电场强度为：E 1=
E 0
εr 1
=
Q
ε0εr 1S
E 0
=
Q
相对电容率分别为的电介质中电场强度为：E 2=
εr 2ε0εr 2S
则两板间的电势差为：
U =E 1⋅d 1+E 2⋅d 2=
Q d 1d 2
(+) ε0S εr 1εr 2
电容器的电容为：C =
εεεd Q Q d 1d 2
=Q /(+) =0r 1r 2
U ε0S εr 1εr 2εr 2d 1+εr 1d 2
（2）相对电容率分别为εr 1的电介质的界面上，极化电荷面密度为：
σ'=(εr 1-1) ε0E 1=(εr 1-1) ε0
σ0(ε-1)
=r 1σ0 ε0εr 1εr 1
相对电容率分别为εr 2的电介质的界面上，极化电荷面密度为：
σ'=(εr 2-1) ε0E 2=(εr 2-1) ε0
σ0(ε-1)
=r 2σ0 ε0εr 2εr 2
（3）相对电容率分别为εr 1的电介质的电位移为：
D 1=ε0εr 1E 1=ε0εr 1
σ0
=σ0 ε0εr 1
相对电容率分别为εr 1的电介质的电位移为：
10-26 如图10-26所示，在点A 和点B 之间有五个电容器，其连接如图10-26所示。（1）求A ，B 两点之间的等效电容；（2）若A ，B 之间的电势差为12 V ，
求U AC ，U CD 和U DB 。
解：（1）C AC =(4+8) μF =12 μF
C CD =(6+2) μF =8 μF D 2=ε0εr 2E 2=ε0εr 2
σ0
=σ0 ε0εr 2
24 μF
C AB =
111++C AC C CD C DB
1⎛111⎫
= ++⎪ μF = μF
4⎝12824⎭∴C AB =4 μF
8 μF
习题10-26图
2 μF
（2）AC 、CD 、DB 两端的电荷量相等，则Q =U AB ⋅
C AB
U AC =U CD =U DB =
Q 12⨯4= V =4 V C AC 12Q 12⨯4
= V =6 V C CD 8Q 12⨯4
= V =2 V C DB 24
10-27 平行板电容器两极板间充满某种电介质，极板间距离d =2 mm ，电压为600 V ，若断开电源抽出电介质，则电压升高到1800 V 。求（1）电介质的相对电容率；（2）介质中的电场强度。 解：已知U 1=600V ，U 2=1800V ，d =2mm （1）根据平行板电容器两极板间电势差的计算公式：
U 1=E ⋅d =600V ⎫E 1
=⎬⇒
U 2=E 0⋅d =1800V ⎭E 03
(1)
电介质中的电场强度为：E =
E 0
εr
(2)
联立公式（1）、（2），可得电介质的相对电容率为：εr =3 （2）介质中的电场强度为：E =
10-28 一平行板电容器，极板形状为圆形，其半径为8 cm ，极板间距为1.0 mm ，中间充满相对电容率为5.5的电介质，若电容器充电到100 V，求两极板的带电量为多少？储存的电能是多少？
S π⨯0.082-12
⨯100 C =9.78⨯10-8 C 解：Q =C ⋅U =εr ε0U =5.5⨯8.8542⨯10⨯
d 0.001
W e =
U 1600
=V/m=3⨯105V/m d 0.002
(9.78⨯10) J =4.9⨯10-6 J Q =
2C 2⨯1.78⨯10-10
2
-82
第10章 静电场中的导体和电介质
习 题
一 选择题
10-1当一个带电导体达到静电平衡时，[ ] (A) 表面上电荷密度较大处电势较高 (B) 表面曲率较大处电势较高
(C) 导体内部的电势比导体表面的电势高
(D) 导体内任一点与其表面上任一点的电势差等于零 答案：D
解析：处于静电平衡的导体是一个等势体，表面是一个等势面，并且导体内部与表面的电势相等。
10-2将一个带正电的带电体A 从远处移到一个不带电的导体B 附近，导体B 的电势将[ ]
(A) 升高 (B)降低 (C)不会发生变化 (D)无法确定 答案：A
解析：不带电的导体B 相对无穷远处为零电势。由于带正电的带电体A 移到不带电的导体B 附近的近端感应负电荷；在远端感应正电荷，不带电导体的电势将高于无穷远处，因而正确答案为（A ）。
10-3将一带负电的物体M 靠近一不带电的导体N ，在N 的左端感应出正电荷，右端感应出负电荷。若将导体N 的左端接地（如图10-3所示），则[ ]
(A) N 上的负电荷入地 (B) N 上的正电荷入地 (C) N上的所有电荷入地 (D) N 上所有的感应电荷入地 答案：A
解析：带负电的带电体M 移到不带电的导体N 附近的近端感应正电荷；在远端
习题10-3图
感应负电荷，不带电导体的电势将低于无穷远处，因此导体N 的电势小于0，即小于大地的电势，因而大地的正电荷将流入导体N ，或导体N 的负电荷入地。故正确答案为（A ）。
10-4 如图10-4所示，将一个电荷量为q
电的导体球附近，点电荷距导体球球心为d 。设无穷远 处为零电势，则在导体球球心O 点有[ ] (A) E =0，V =
q 4πε0d
(B) E =
q
2
4πε0d 4πε0d 习题10-4图
q q
V =(C) E =0，V =0 (D) E =， 2
4πε0d 4πε0R
，V =
q
答案：A
解析：导体球处于静电平衡状态，导体球内部电场强度为零，因此E =0。导体球球心O 点的电势为点电荷q 及感应电荷所产生的电势叠加。感应电荷分布于导体球表面，至球心O 的距离皆为半径R ，并且感应电荷量代数和∑q 为0，因此
V 感应电荷=
q
4πε0R
=0。由此在导体球球心O 点的电势等于点电荷q 在O 点处的电
势V =
q 4πε0d
。
10-5 如图10-5所示，两个同心球壳。内球壳半径为R 1，均匀带有电量Q ；外球壳半径为R 2，壳的厚度忽略，原先不带电，但与地相连接．设地为电势零点，则在内球壳里面，距离球心为r 处的P 点的电场强度大小及电势分别为[ ]
4πε0R 1
Q 11
(-) (B) E =0，V =
4πε0R 1R 2
Q Q
V =(C) E =， 2
4πε0r 4πε0r Q Q
V =(D) E =， 2
4πε0r 4πε0R 1
(A) E =0，V =
Q
答案：B
习题10-5图
解析：根据静电场的高斯定理 ⎰
⎧0
⎪R 1
R 10
S
E d S =
∑q
i
i
ε0P
，同心球壳的电场强度大小分布为
E 1=0E 2=
R 2
Q 4πε0r 2
，则点的电场强度为E =0，电势
V =⎰E 1d r +⎰E 2d r =
R 1
Q 4πε0
(
11-) 。 R 1R 2
10-6 极板间为真空的平行板电容器，充电后与电源断开，将两极板用绝缘工具拉开一些距离，则下列说法正确的是[ ]
(A) 电容器极板上电荷面密度增加 (B) 电容器极板间的电场强度增加 (C) 电容器的电容不变 (D) 电容器极板间的电势差增大 答案：D
解析：电容器极板上电荷面密度σ=
Q
，平板电荷量及面积没有变化，因此电容S
器极板上电荷面密度不变，并且极板间的电场强度E =强度不变。平行极板电容C =ε0
σ
，电容器极板间的电场ε0
S
，两极板间距离增加，则电容减小。电容器极d
板间的电势差U =Ed ，电场强度E 不变，距离d 增大，则电势差增大。因而正确答案为（D ）。
10-7 在静电场中，作闭合曲面S ，若有 ，⎰D ⋅d S =0（式中D 为电位移矢量）
S
则S 面内必定[ ]
(A) 既无自由电荷，也无束缚电荷 (B) 没有自由电荷 (C) 自由电荷和束缚电荷的代数和为零 (D) 自由电荷的代数和为零 答案：D
解析：根据有电介质时的高斯定理 ⎰D ⋅d S =∑Q i ，可知S 面内自由电荷的代数
S
i
和为零。
10-8 对于各向同性的均匀电介质，下列概念正确的是[ ]
(A) 电介质充满整个电场并且自由电荷的分布不发生变化时，电介质中的电场强度一定等于没有电介质时该点电场强度的r 倍
(B) 电介质中的电场强度一定等于没有介质时该点电场强度的r 倍 (C) 在电介质充满整个电场时，电介质中的电场强度一定等于没有电介质时该点电场强度的r 倍
(D) 电介质中的电场强度一定等于没有介质时该点电场强度的εr 倍 答案：A
解析：各向同性介质中的电场强度为真空中电场强度的r 倍。
10-9把一空气平行板电容器，充电后与电源保持连接。然后在两极板之间充满相对电容率为εr 的各向同性均匀电介质，则[ ]
(A) 极板间电场强度增加 (B) 极板间电场强度减小 (C) 极板间电势差增加 (D) 电容器静电能增加 答案：D
解析：平行板电容器充电后与电源保持连接，则极板间电势差保持不变，真空中电场强度E =
U
不变化，因而各向同性介质中的电场强度为真空中电场强度的d
1
r 倍，也不变化。各向同性介质中的电容器静电能W =εr ε0E 2V ，相对于真空
2
中电容器静电能有所增加。故正确答案为（D ）。
10-10 C 1和C 2两空气电容器并联起来接上电源充电。然后将电源断开，再把一电介质板插入C 1中，如图10-10所示，则[ ]
(A) C 1和C 2极板上电荷都不变
(B) C 1极板上电荷增大，C 2极板上电荷不变 (C) C 1极板上电荷增大，C 2极板上电荷减少 (D) C 1极板上电荷减少，C 2极板上电荷增大
答案：C
习题10-10图
解析：C 1和C 2为并联，则电容器两端电势差相等。C 1中插入一电介质，则C 1的电容增大（C =εr C 0），C 1极板上电荷增大（Q =CU ）。由于电源断开，C 1和C 2两
端总电荷量不变，因此C 1极板上电荷减少。故正确答案为（C ）。
二 填空题
10-11任意形状的导体，其电荷面密度分布为σ（x , y , z ），则在导体表面外附近任意点处的电场强度的大小E （x , y , z ）= ，其方向 。 答案：
σ(x , y , z )
；垂直导体表面 ε0
解析：处于静电平衡的导体表面附近的电场强度正比于电荷面密度，因而
E (x , y , z ) =
σ(x , y , z )
，方向垂直于导体表面。 ε0
10-12 如图10-12所示，同心导体球壳A 和B ，半径分别为R 1、R 2，分别带电量q 、Q ，则内球A 的电势V A =_____________；若把内球A 接地，则内球A 所带电量q A ＝____________。 答案：
q 4πε0R 1
+
Q 4πε0R 2
R 1
Q R 2
；-
解析：根据静电场的高斯定理 ⎰
S
E d S =
∑q
i
i
ε0
，
习题10-12图
⎧⎪
E 1=0⎪0
⎪q
同心球壳的电场强度大小分布为⎨R 1
4πε0r ⎪
⎪q +Q
E 3=⎪r >R 2,
4πε0r 2⎩V A =⎰E 1d r +⎰E 2d r +⎰E 3d r =
R 1
R 2
R 1
R 2
∞
Q 4πε0
(
q Q
+) 。若把内球A 接地，则内球A 的R 1R 2
电势V A =
Q 4πε0
(
q A Q R
+) =0，解得q A =-1Q 。 R 1R 2R 2
10-13 如图10-13所示，在真空中将半径为R 的金属球接地，在与球心O 相距为r ( r >R ) 处放置一点电荷 –q ，不计接地导线上电荷的影响，则金属球表面上的感应电荷总量为 ，金属球表面电势为 。
R
答案：q ；0
r
习题10-13图
解析：金属球接地，则金属球的电势为0。金属球 球心电势为V =V -q +V 感应=
-q 4πε0r
+Q 感应4πε0R
=0，
解得，感应电荷总量为Q 感应=相等，电势为0。
R
q 。金属球表面是一个等势面，电势与地的电势r
10-14 两带电导体球半径分别为R 和r (R >r ) ，它们相距很远，用一根导线连接起来，则两球表面的电荷面密度之比σR :σr 。 答案：
r R
解析：导体表面的电荷面密度反比与曲率半径，因此σR :σr =r :R 。
10-15 对下列问题选取“增大”、“减小”、“不变”作答。（1）平行板电容器保持板上电量不变（即充电后切断电源）。现在使两板的距离增大，则：两板间的电势差_______,电场强度__________,电容__________，电场能量__________。（2）如果保持两板间电压不变（即充电后与电源连接着）。则两板间距离增大时，两板间的电场强度__________，电容________，电场能量__________。 答案：（1）增大，不变，减小，增大；（2）减小，减小，减小
解析：（1）保持板上电量Q 不变，使两板的距离d 增大。电容器极板上电荷面密度σ=
Q
，平板电荷量及面积没有变化，因此电容器极板上电荷面密度不变，并S
且极板间的电场强度E =
σ
，电容器极板间的电场强度不变。电容器极板间的电ε0
势差U =Ed ，电场强度E 不变，距离d 增大，则电势差增大。平行极板电容
Q 2S
，电荷量Q 不变，C =ε0，两极板间距离增加，则电容减小。电场能量W e =2C d
C 减小，则电场能量W e 增大。
（2）保持两板间电压U 不变，使两板的距离d 增大。则极板间的电场强度E =
U
，
d
电容器极板间的电场强度减小。平行极板电容C =ε0
S
，两极板间距离增加，则d
1
电容减小。电场能量W e =CU 2，电压U 不变，C 减小，则电场能量W e 减小。
2
10-16一平行板电容器，两板间充满各向同性均匀电介质。已知相对电容率为εr ，若极板上的自由电荷面密度为σ，则介质中电位移的大小D E ，电场的能量密度
w e 。
σ2σ
答案：σ；；
2ε0εr ε0εr
D 解析：根据电介质中的高斯定理 ⎰d S =q ，得电位移矢量的大小D =σ。由于
S
D =ε0εr E ，因此电场强度的大小E =
σ
。电场的能量密度ε0εr
σ2σ2
w e =E =）=。
22ε0εr 2ε0εr
ε
2
ε0εr
10-17 在电容为C 0的空气平行板电容器中，平行地插入一厚度为两极板距离一半的金属板，则电容器的电容C = 。 答案：2C 0
解析：插入金属板后，电容C 0成为两电容C 1和C 2串联，且C 1=C 2=ε0
S
=4C 0。1d 4
因此等效电容为C =
111+C 1C 2
=2C 0。
10-18一平板电容器，两极板间是真空时，电容为C 0，充电到电压为u 0时，断开电源，然后将极板间充满相对电容率为εr 的均匀电介质则此时电容C ＝__________，电场能量 W e =___________。
C 0u 02
答案：εr C 0；
2εr
解析：电容器的电容仅与电容器的大小、形状及填充的电介质有关，将极板间充
满相对电容率为εr 的均匀电介质时，电容为C =εr C 0。断开电源后，两极板上的
Q 2(C 0u 0) 2C 0u 02
==电荷量不变化，因此电场能量W e =。 2C 2εr C 02εr
10-19 一平行板电容器两极板间距离为d ，电荷面密度为σ0，将一块相对电容率为εr =2, 厚度为
d
均匀电介质插入到两极板间(见图10-19) ，则电容器的两极2
板间电压是插入前的_________倍，电容器的电容是插入前的__________倍，电容器储存的电能是插入前的__________倍。
343
答案：；；
434
E
解析：电介质内部的电场强度E ==0，
εr 2
E 0
d
2
习题10-19图
插入电介质后两极板间电压U =E
d d 3
+E 0=E 0d ，插入前两极板间电压为224
3Q
倍。电容器的电容C =，4U
4
倍。3
U =E 0d ，因此电容器的两极板间电压是插入前的
电荷量Q 不变，电容与电压U 成反比，因此，电容器的电容是插入前的
1
电容器储存的电能W e =QU ，与电压U 成正比，因此，电容器储存的电能是插
23
入前的倍。
4
三 计算题
10-20 两块大金属板A 和B ，面积均为S ，两块板平行地放置，间距为d ，d 远小于板的尺度。如图10-20所示，现使A 板带电Q A ，B 板带电Q B 。在忽略边缘效应的情况下，试求：
（1）A 、B 两板各个表面上的电量； （2）A 、B 两板的电势差；
（3）若B 板外侧接地，A 、B 两板各个表面上的电量又是如何分布？两板的电势差是多少？
A
解：（1）两板处于静电平衡，则两板内部电场强度为0，则
{{
A :B :
(σ1-σ2-σ3-σ4)/2ε0=0(σ1+σ2+σ3-σ4)/2ε0=0
S (σ1+σ2)=Q A S (σ3+σ4)=Q B
A B
σ1=σ4=(Q A +Q B ) /2S
∴Q 1=Q 4=(Q A +Q B ) /2
σ2=-σ3=(Q A -Q B ) /2S
Q 2=(Q A -Q B ) /2
习题10-20图
Q 3=(Q B -Q A ) /2
（2）E =E 1+E 2-E 3-E 4= U AB =E ⋅d =
σ1σ2σ3σ4Q A -Q B
+--= 2ε02ε02ε02ε02ε0S
Q A -Q B
d 2ε0S
（3）B 板外侧接地，则σ4=0
(σ1-σ2-σ3)/2ε0=0(σ1+σ2+σ3)/2ε0=0
S (σ1+σ2) =Q A
∴Q 1=Q 4=0
Q 2=Q A
Q 3=-Q A
E =
σ2Q A
=2ε0ε0S
∴U AB =E ⋅d =
Q A
d ε0S
10-21 如图10-21所示，半径为R 1=0.01 m的金属球，带电量Q 1=1⨯10-10 C，球外套一内外半径分别R 2=3⨯10-2 m和R 3=4⨯10-2 m的同心金属球壳，壳上带电Q 2=11⨯10-10 C，求：(1)金属球和金属球壳的电势差；(2)若用导线把球和球壳连接在一起，这时球和球壳的电势各为多少？ 解：根据高斯定理，电场强度分布为：
R 1R 3,
E 1=
Q 14πε0r 2
Q +Q 2
E 2=1
4πε0r 2
习题10-21图
(1) U AB =⎰
∞
R 2
R 1
E 1d r =
Q 14πε0
⎰
R 2
R 1
Q 1⎛111⎫r =- ⎪=60V 2r 4πε0⎝R 1R 2⎭
(2) V B =⎰E 2d r =
R 3
Q 1+Q 2
4πε0
⎰
∞
R 3
Q 1+Q 21r ==270V 22r 4πε0R 3
V A =V B =270V
10-22 半径为R 0的导体球带有电荷Q ，球外有一层均匀介质同心球壳，其内、外半径分别为R 1和R 2，相对电容率为εr ，如图10-22所示，求：（1）空间的电位移和电场强度分布；（2
解：（1）导体球处于静电平衡状态，电荷分布在球的表面，球内部没有电荷
根据有电介质的高斯定理 ⎰⎰
S
DdS =∑Q i ，
i
r
E 1=
D
ε0εr
=0
R 0
Q
2
4πr =
Q 4πε0r 2
习题10-22图
E 2=
D 2
ε0εr
(εr =1)
R 1
Q
2
4πr =
Q 4πε0εr r 2
E 3=
r >R 2时，D 4⋅4πr 2=Q ， ∴D 4=
D 2
ε0εr
Q
2
4πr D 4
E 4=
ε0εr
=
Q 4πε0r 2
(εr =1)
因此，空间的电位移和电场强度分布为：
⎧0(r
⎪⎪D =⎨Q ， E =⎨Q
(R 1R 0) 2⎪2⎪4πεεr ⎩4πr 0r
⎪⎪Q
⎪4πεr 2(r >R 2)
0⎩
（2）介质内表面（r =R 1）上的极化电荷与导体球上的电荷电性相反，因此，其面密度为：
σ1'=(εr -1) ε0E 3(R 1) =
εr -1-Q εr -1Q =- 22
εr 4πR 1εr 4πR 1
介质外表面（r =R 2）上的极化电荷与导体球上的电荷电性相同，因此，其面密度为：
σ2'=(εr -1) ε0E 3(R 2) =
εr -1Q εr -1Q
= 22
εr 4πR 2εr 4πR 2
10-23 地球和电离层可当作球形电容器，它们之间相距约为100 km，求地球—电离层系统的电容。（设地球和电离层之间为真空） 解：已知R 地球=6371 km ，d =100 km ，R 电离=R 地球+d
设地球-电离层分别带点±Q
则根据高斯定律，地球-电离层间的电场强度为：E =
R 电离
Q 4πε0r 2
U =⎰
R 地球
E d r =
Q 4πε0
⎰
R 电离
R 地球
1Q
r =r 24πε0
⎛11
- R
⎝地球R 电离⎫
=60V ⎪⎪⎭
R 地球⋅R 电离Q
C ==4πε0=4.58⨯10-2F
U R 电离-R 地球
10-24 如图10-24所示，两根平行无限长均匀带电直导线，相距为d ，导线半径都是R （R
-λ+λ解：（1）根据高斯定理，电荷线密度为+λ的导线在
x
点P 处电场强度计算如下：
2πxh ⋅E =
1
ε0
λh
∴E +=
λ
2πε0x
方向沿x 轴正方向，∴E +=
λ
i 2πε0x
同理，电荷线密度为-λ的导线在点P 处电场强度为：E -=
λ
2πε0(d -x )
i
因此，两导线间任一点P 的电场强度为：
λλE =E ++E -=(+) i
2πε0x 2πε0(d -x )
（2）根据电势差的定义，两导线间的电势差为：
d -R λλλd -R
U =⎰E d r =⎰(+)d x =ln
R 2πε0x 2πε0(d -x ) πε0R
（3）该导体组单位长度的电容为：
C =
πε0Q λ⋅1
==
d -R d -R U ln ln πε0R R
10-25 如图10-25所示， 一平板电容器充满两层厚度各为d 1和d 2的电介质，它们的相对电容率分别为εr 1和εr 2，极板的面积为S 。求：（1）电容器的电容；（2） 当极板上的自由电荷面密度为σ
0两层介质的电位移。
解：（1）设两板分别带±Q 的电荷
两板间没有电介质时的电场强度为：
E 0=
σQ /S Q == ε0ε0ε0S
习题10-25图
放入电介质后，相对电容率分别为的 电介质中电场强度为：E 1=
E 0
εr 1
=
Q
ε0εr 1S
E 0
=
Q
相对电容率分别为的电介质中电场强度为：E 2=
εr 2ε0εr 2S
则两板间的电势差为：
U =E 1⋅d 1+E 2⋅d 2=
Q d 1d 2
(+) ε0S εr 1εr 2
电容器的电容为：C =
εεεd Q Q d 1d 2
=Q /(+) =0r 1r 2
U ε0S εr 1εr 2εr 2d 1+εr 1d 2
（2）相对电容率分别为εr 1的电介质的界面上，极化电荷面密度为：
σ'=(εr 1-1) ε0E 1=(εr 1-1) ε0
σ0(ε-1)
=r 1σ0 ε0εr 1εr 1
相对电容率分别为εr 2的电介质的界面上，极化电荷面密度为：
σ'=(εr 2-1) ε0E 2=(εr 2-1) ε0
σ0(ε-1)
=r 2σ0 ε0εr 2εr 2
（3）相对电容率分别为εr 1的电介质的电位移为：
D 1=ε0εr 1E 1=ε0εr 1
σ0
=σ0 ε0εr 1
相对电容率分别为εr 1的电介质的电位移为：
10-26 如图10-26所示，在点A 和点B 之间有五个电容器，其连接如图10-26所示。（1）求A ，B 两点之间的等效电容；（2）若A ，B 之间的电势差为12 V ，
求U AC ，U CD 和U DB 。
解：（1）C AC =(4+8) μF =12 μF
C CD =(6+2) μF =8 μF D 2=ε0εr 2E 2=ε0εr 2
σ0
=σ0 ε0εr 2
24 μF
C AB =
111++C AC C CD C DB
1⎛111⎫
= ++⎪ μF = μF
4⎝12824⎭∴C AB =4 μF
8 μF
习题10-26图
2 μF
（2）AC 、CD 、DB 两端的电荷量相等，则Q =U AB ⋅
C AB
U AC =U CD =U DB =
Q 12⨯4= V =4 V C AC 12Q 12⨯4
= V =6 V C CD 8Q 12⨯4
= V =2 V C DB 24
10-27 平行板电容器两极板间充满某种电介质，极板间距离d =2 mm ，电压为600 V ，若断开电源抽出电介质，则电压升高到1800 V 。求（1）电介质的相对电容率；（2）介质中的电场强度。 解：已知U 1=600V ，U 2=1800V ，d =2mm （1）根据平行板电容器两极板间电势差的计算公式：
U 1=E ⋅d =600V ⎫E 1
=⎬⇒
U 2=E 0⋅d =1800V ⎭E 03
(1)
电介质中的电场强度为：E =
E 0
εr
(2)
联立公式（1）、（2），可得电介质的相对电容率为：εr =3 （2）介质中的电场强度为：E =
10-28 一平行板电容器，极板形状为圆形，其半径为8 cm ，极板间距为1.0 mm ，中间充满相对电容率为5.5的电介质，若电容器充电到100 V，求两极板的带电量为多少？储存的电能是多少？
S π⨯0.082-12
⨯100 C =9.78⨯10-8 C 解：Q =C ⋅U =εr ε0U =5.5⨯8.8542⨯10⨯
d 0.001
W e =
U 1600
=V/m=3⨯105V/m d 0.002
(9.78⨯10) J =4.9⨯10-6 J Q =
2C 2⨯1.78⨯10-10
2
-82