第4章 变形率和旋率
有限变形：与t 有关，t 作为参变量。——变形几何学 现在把时间考虑进去，研究变形的速度问题。
对时间求导数：两种描述法对时间求导数有区别，速度是求物质导数，固定X K ，对时间求偏导数——变形运动学。
§4.1 物质变形梯度的物质导数
Lagrange 描述法：
x k =x k (X K , t )
（物质）变形梯度张量：
F =∂x k
∂X i k ⊗I K
K
F =
∂x
∂X
=Grad x 物质导数：
F =∂∂t
(F ) X |K
（“|X K ”表示保持X K 不变） =
∂∂t (∂x (X , t )
∂X
X
=∂2x ∂X ∂t =∂∂x ∂X ∂t =∂v ∂X
=Grad v §4.2 速度梯度张量
变形梯度张量的物质导数
F
=∂v ∂X =∂v ∂x ∂x ∂X
=G ⋅F 定义：G =
∂v
∂x
称为速度梯度张量 =grad v
G kl =v k , l
由（1），可得：G =F
⋅F -1
G =v k , l e k ⊗e l 速度梯度张量
1） （
用处更大。 G 比F
§4.3 线元d x 的物质导数
初始构形中的线元d X ， 现时构形中的线元 d x
X Ⅲ
d X
X Ⅱ
X t =0
1
d x =F d X
求：d x 对时间的物质导数：
d X =G ⋅F ⋅d X (dx ) =(F d X ) =F
则(dx ) =G ⋅d x 反映了线元的变化速度。
空间线元的物质导数等于速度梯度与空间线元的点积。
§4.4 G 的加法分解
F 用极分解， F -1存在
而G 用加法分解， G 不一定存在
G =D +Ω 分解对称部分和反对称部分
-1
11
(G +G T ) Ω=(G -G T ) 2211
D kl =(v k , l +v l , k ) Ωkl =(v k , l -v l , k )
22D =
变形率张量：D
整旋率张量：Ω （物质旋率）
=D d x +Ω⋅d x (dx )
1．变形率张量D 。二阶对称张量，有三个相互垂直的主方向 n α(α=1,2,3) ，主值D α
D =D (α)⋅n a ⊗n α
D ⋅d x =D (α)n α⊗n α⋅d x βn β=D (α)d x α⋅n α
由上式看出，D 为变形率张量，D α为n α方向变形速率，n α为变形率标架。
2．旋率张量Ω，反对称张量，只有三个独立的分量
Ω⋅d x =d x =ω⨯d x
只要：ω1=Ω32，ω2=Ω13，ω3=Ω21，则上式成立。
*
写为
ω称为轴矢量，转动角速度。
§4.5 变形速度张量
Euler 描述法：
(d l ) 2-(d L ) 2=δkl d x k d x l -(d L ) 2
求物质导数：
d d d
(d l 2-d L 2) =(d l ) 2=(δkl d x k d x l )
d t d t d t
k d x l +δkl d x k d x l =δkl d x
d x k =x k , K d X K
k =x k , K d X K =v k , K d X K =v k , l x l , K d X K d x
=v k , l d x l
d
(dl 2-d L 2) =(v k , l +v l , k )d x k d x l d t
则 =2D kl d x k d x l ( D =
1
(G +G T )) 2
或写成 =2d xD d x
1
(v k , l +v l , k ) 称为Euler 变形速度张量。D （前面称为变形率张量），有了Euler 变形速度2
d 22
张量便可知(d l -d L ) 。
d t
线元d l 的伸长率：
d d
(d l ) 2=2d l ⋅(d l ) =2D kl d x k d x l d t d t d (d l )
d x d x 2
除以2(d l ) ，则：d t =D kl k ⋅l =D kl n k n l
d l d l d l
（其中n k ，n l 分别为d l 在k 和l 方向的方向余弦）
知道D 后，任何d x 的单位长度的变化率可用D 表示出来。 Lagrange 描述法：
d
(dl ) 2=2d xD d x
（*） d t
=2d XF T DF d X ( d x =F d X )
∴Larange 变形速度张量为：
=F T ⋅D ⋅F E
另推：Green 变形张量：C
d l 2-d L 2=C KL d X K d X L -δKL d X K d X L
d ⋅d X d X (dl2-d L 2) =C KL K L
d t
⋅d X =d X ⋅C
=2E =2F T ⋅D ⋅F C
（**）
比较（*）与（**）式，Green 变形张量的物质导数
§4.6 应变速度张量
Lagrange 描述法： Green 应变张量：E =
1
(C -I ) 2
=求物质导数：E
1
C =F T ⋅D ⋅F 2
Lagrange 应变速度张量：=Lagrange变形速度张量。
=另推：E
1 1T 1 T
) C =(F ⋅F ) =(F F +F T ⋅F
222
1
=(F T ⋅G T ⋅F +F T ⋅G ⋅F )
21
=F T (G T +G ) F
2
=F T ⋅D ⋅F
Euler 描述法： Euler 型应变张量：e =
-1
1
(I -B -1) （Almansi 应变张量） 2
（前面：B 称为Cauchy 变形张量）
B -1=(F -1) T (F -1)
=-求物质导数：e
1-1⋅1
(B ) =-[(F -T ) ⋅F -1+F -T (F -1) ⋅] 22
-1+F ⋅F -1=0 FF -1=I ，则 FF
-1=-F -1⋅G 则 F
=-G ⋅F 同样：F
T
T
-T
=则：e
又 B
-1
1T -1
[G B +B -1⋅G ] 2
=-2e +I
1T
(G +G ) -(G T e +eG ) 2
=则：e
=D -(G T e +eG )
与Euler 变形速度张量不同。 Euler 应变速度张量e 也不一定为零。 即使D =0，e
若D =0（即线元长度不变化）则G =-G =Ω（只有旋率张量）
T
=Ω⋅e -e ⋅Ω不为零。 e ≠0（应变仍存在）∴e
§4.7 各种旋率张量
1. 主旋率张量
1
Ω=(G -G T ) ——物质旋率
2
1
Ωkl =-Ωkl =(v k , l -v l , k )
2
M 2x 3e 3e M 1
M 32.Lagrange 旋率张量
设e 1, e 2, e 3固定在空间的标架——绝对标架e
22
1
F 的极分解：F =QU
F =VQ
U 的主方向M 1,M 2,M 3也构成标架——Lagrange 标架，U 是变化的，则对应的
Lagrange 标架也变化，该变化引起的旋转变化率称为Lagrange 旋率。
M =Q L ⋅e (Q L 是一个正交张量，只是标架转动)
d L ⋅e =Q L ⋅(Q L ) T ⋅M （ e =(Q L ) T ⋅M ） M =Q d t
L ⋅(Q L ) T 称为Lagrange 旋率张量。 ΩL =Q
可证Ω是反对称张量
L
Q L 是正交张量，即 Q L ⋅(Q L ) T =I L (Q L ) T +Q L (Q L ) T =0 Q
ΩL +(ΩL ) T =0
∴ΩL 是反对称张量。 3. Euler旋率张量
V 的三个主方向，m 1m 2m 3构成Euler 标架，m
m =Q E i （Q E 正交张量）
d E e =Q E (Q E ) T m m =Q d t
E (Q E ) T 称为Euler 旋率张量。 ΩE =Q
4. 伸长率标架旋率（变形率）
变形率：D
也有三个方向n 1n 2n 3构成一个标架n
n =Q D e
d D e n =Q d t
d D e =Q D (Q D ) T n n =Q d t
D (Q D ) T 称为伸长率标架旋率。 ΩD =Q
5. 相对旋率张量：ΩR
Euler 标架相对于Lagrange 标架的转动速度。
M 表示Lagrange 标架，m 表示Euler 标架。
Q ：表示从Lagrange 标架到Euler 标架的转动（与极分解Q 相同）
m =QM
求相对运动，视M 为不动的标架（实际上在动） ∴相对旋率：
⋅Q T ΩR =Q
Q 为正交张量，ΩR 为反对称张量。
§4.8 主旋率和相对旋率的关系
1
Ω=(G -G T ) ——物质旋率
2
T (相对旋率);F =QU =VQ ΩR =QQ
F 的极分解：
F =QU
+QU =QU F
=GF 又 F
则 G =FF
-1
+QU )F -1 =(QU
又 UF -1=U T F -1=Q -1=Q T
T +QUU -1Q T =ΩR +QUU -1Q T 则 G =QQ
T 同理：G T =(ΩR ) T +QU -1UQ
∴ Ω=
11 -1-U -1U )Q T (G-G T ) =ΩR +Q(UU
22
t ：时间
在动力学中确定与时间有关。
在静力学中，该时间概念有的所不同，认为荷载增量，应变增量，变形增量，——增量理论，就提出了有变形率、应变率问题，借用时间t 来考虑增量问题，其实不与时间紧密相关。
第4章 变形率和旋率
有限变形：与t 有关，t 作为参变量。——变形几何学 现在把时间考虑进去，研究变形的速度问题。
对时间求导数：两种描述法对时间求导数有区别，速度是求物质导数，固定X K ，对时间求偏导数——变形运动学。
§4.1 物质变形梯度的物质导数
Lagrange 描述法：
x k =x k (X K , t )
（物质）变形梯度张量：
F =∂x k
∂X i k ⊗I K
K
F =
∂x
∂X
=Grad x 物质导数：
F =∂∂t
(F ) X |K
（“|X K ”表示保持X K 不变） =
∂∂t (∂x (X , t )
∂X
X
=∂2x ∂X ∂t =∂∂x ∂X ∂t =∂v ∂X
=Grad v §4.2 速度梯度张量
变形梯度张量的物质导数
F
=∂v ∂X =∂v ∂x ∂x ∂X
=G ⋅F 定义：G =
∂v
∂x
称为速度梯度张量 =grad v
G kl =v k , l
由（1），可得：G =F
⋅F -1
G =v k , l e k ⊗e l 速度梯度张量
1） （
用处更大。 G 比F
§4.3 线元d x 的物质导数
初始构形中的线元d X ， 现时构形中的线元 d x
X Ⅲ
d X
X Ⅱ
X t =0
1
d x =F d X
求：d x 对时间的物质导数：
d X =G ⋅F ⋅d X (dx ) =(F d X ) =F
则(dx ) =G ⋅d x 反映了线元的变化速度。
空间线元的物质导数等于速度梯度与空间线元的点积。
§4.4 G 的加法分解
F 用极分解， F -1存在
而G 用加法分解， G 不一定存在
G =D +Ω 分解对称部分和反对称部分
-1
11
(G +G T ) Ω=(G -G T ) 2211
D kl =(v k , l +v l , k ) Ωkl =(v k , l -v l , k )
22D =
变形率张量：D
整旋率张量：Ω （物质旋率）
=D d x +Ω⋅d x (dx )
1．变形率张量D 。二阶对称张量，有三个相互垂直的主方向 n α(α=1,2,3) ，主值D α
D =D (α)⋅n a ⊗n α
D ⋅d x =D (α)n α⊗n α⋅d x βn β=D (α)d x α⋅n α
由上式看出，D 为变形率张量，D α为n α方向变形速率，n α为变形率标架。
2．旋率张量Ω，反对称张量，只有三个独立的分量
Ω⋅d x =d x =ω⨯d x
只要：ω1=Ω32，ω2=Ω13，ω3=Ω21，则上式成立。
*
写为
ω称为轴矢量，转动角速度。
§4.5 变形速度张量
Euler 描述法：
(d l ) 2-(d L ) 2=δkl d x k d x l -(d L ) 2
求物质导数：
d d d
(d l 2-d L 2) =(d l ) 2=(δkl d x k d x l )
d t d t d t
k d x l +δkl d x k d x l =δkl d x
d x k =x k , K d X K
k =x k , K d X K =v k , K d X K =v k , l x l , K d X K d x
=v k , l d x l
d
(dl 2-d L 2) =(v k , l +v l , k )d x k d x l d t
则 =2D kl d x k d x l ( D =
1
(G +G T )) 2
或写成 =2d xD d x
1
(v k , l +v l , k ) 称为Euler 变形速度张量。D （前面称为变形率张量），有了Euler 变形速度2
d 22
张量便可知(d l -d L ) 。
d t
线元d l 的伸长率：
d d
(d l ) 2=2d l ⋅(d l ) =2D kl d x k d x l d t d t d (d l )
d x d x 2
除以2(d l ) ，则：d t =D kl k ⋅l =D kl n k n l
d l d l d l
（其中n k ，n l 分别为d l 在k 和l 方向的方向余弦）
知道D 后，任何d x 的单位长度的变化率可用D 表示出来。 Lagrange 描述法：
d
(dl ) 2=2d xD d x
（*） d t
=2d XF T DF d X ( d x =F d X )
∴Larange 变形速度张量为：
=F T ⋅D ⋅F E
另推：Green 变形张量：C
d l 2-d L 2=C KL d X K d X L -δKL d X K d X L
d ⋅d X d X (dl2-d L 2) =C KL K L
d t
⋅d X =d X ⋅C
=2E =2F T ⋅D ⋅F C
（**）
比较（*）与（**）式，Green 变形张量的物质导数
§4.6 应变速度张量
Lagrange 描述法： Green 应变张量：E =
1
(C -I ) 2
=求物质导数：E
1
C =F T ⋅D ⋅F 2
Lagrange 应变速度张量：=Lagrange变形速度张量。
=另推：E
1 1T 1 T
) C =(F ⋅F ) =(F F +F T ⋅F
222
1
=(F T ⋅G T ⋅F +F T ⋅G ⋅F )
21
=F T (G T +G ) F
2
=F T ⋅D ⋅F
Euler 描述法： Euler 型应变张量：e =
-1
1
(I -B -1) （Almansi 应变张量） 2
（前面：B 称为Cauchy 变形张量）
B -1=(F -1) T (F -1)
=-求物质导数：e
1-1⋅1
(B ) =-[(F -T ) ⋅F -1+F -T (F -1) ⋅] 22
-1+F ⋅F -1=0 FF -1=I ，则 FF
-1=-F -1⋅G 则 F
=-G ⋅F 同样：F
T
T
-T
=则：e
又 B
-1
1T -1
[G B +B -1⋅G ] 2
=-2e +I
1T
(G +G ) -(G T e +eG ) 2
=则：e
=D -(G T e +eG )
与Euler 变形速度张量不同。 Euler 应变速度张量e 也不一定为零。 即使D =0，e
若D =0（即线元长度不变化）则G =-G =Ω（只有旋率张量）
T
=Ω⋅e -e ⋅Ω不为零。 e ≠0（应变仍存在）∴e
§4.7 各种旋率张量
1. 主旋率张量
1
Ω=(G -G T ) ——物质旋率
2
1
Ωkl =-Ωkl =(v k , l -v l , k )
2
M 2x 3e 3e M 1
M 32.Lagrange 旋率张量
设e 1, e 2, e 3固定在空间的标架——绝对标架e
22
1
F 的极分解：F =QU
F =VQ
U 的主方向M 1,M 2,M 3也构成标架——Lagrange 标架，U 是变化的，则对应的
Lagrange 标架也变化，该变化引起的旋转变化率称为Lagrange 旋率。
M =Q L ⋅e (Q L 是一个正交张量，只是标架转动)
d L ⋅e =Q L ⋅(Q L ) T ⋅M （ e =(Q L ) T ⋅M ） M =Q d t
L ⋅(Q L ) T 称为Lagrange 旋率张量。 ΩL =Q
可证Ω是反对称张量
L
Q L 是正交张量，即 Q L ⋅(Q L ) T =I L (Q L ) T +Q L (Q L ) T =0 Q
ΩL +(ΩL ) T =0
∴ΩL 是反对称张量。 3. Euler旋率张量
V 的三个主方向，m 1m 2m 3构成Euler 标架，m
m =Q E i （Q E 正交张量）
d E e =Q E (Q E ) T m m =Q d t
E (Q E ) T 称为Euler 旋率张量。 ΩE =Q
4. 伸长率标架旋率（变形率）
变形率：D
也有三个方向n 1n 2n 3构成一个标架n
n =Q D e
d D e n =Q d t
d D e =Q D (Q D ) T n n =Q d t
D (Q D ) T 称为伸长率标架旋率。 ΩD =Q
5. 相对旋率张量：ΩR
Euler 标架相对于Lagrange 标架的转动速度。
M 表示Lagrange 标架，m 表示Euler 标架。
Q ：表示从Lagrange 标架到Euler 标架的转动（与极分解Q 相同）
m =QM
求相对运动，视M 为不动的标架（实际上在动） ∴相对旋率：
⋅Q T ΩR =Q
Q 为正交张量，ΩR 为反对称张量。
§4.8 主旋率和相对旋率的关系
1
Ω=(G -G T ) ——物质旋率
2
T (相对旋率);F =QU =VQ ΩR =QQ
F 的极分解：
F =QU
+QU =QU F
=GF 又 F
则 G =FF
-1
+QU )F -1 =(QU
又 UF -1=U T F -1=Q -1=Q T
T +QUU -1Q T =ΩR +QUU -1Q T 则 G =QQ
T 同理：G T =(ΩR ) T +QU -1UQ
∴ Ω=
11 -1-U -1U )Q T (G-G T ) =ΩR +Q(UU
22
t ：时间
在动力学中确定与时间有关。
在静力学中，该时间概念有的所不同，认为荷载增量，应变增量，变形增量，——增量理论，就提出了有变形率、应变率问题，借用时间t 来考虑增量问题，其实不与时间紧密相关。