第六章 二阶线性偏微分方程的分类与小结
一 两个自变量的二阶线性方程
1 方程变换与特征方程
两个自变量的二阶线性偏微分方程总表示成
a 11u xx +2a 12u xy +a 22u yy +b 1u x +b 2u y +cu =f ①
它关于未知函数u 及其一、二阶偏导数都是线性的，其中a 11，a 12，a 22，b 1，b 2，c ，u ，f 都是自变量x , y 的已知函
数，假设它们的一阶偏 导数在某平面区域D 内都连续，而且a 11，a 12，a 22不全为0 。
设M 0(x 0, y 0) 是D 内给定的一点，考虑在M 0的领域内对
方程进行简化。取自变量变换
ξ=ξ(x , y ) , η=η(x , y )
其中它们具有二连续偏导数，而且在M 0处的雅可比行列
式。
∂(ξ, η) x ξy =ξx ηy -ξy ηx =∂(x , y ) x ηy
根据隐函数存在定理，在M 0领域内存在逆变换,
x =x (ξ, η) , y =y (ξ, η)
因为
u x =u ξξx +u ξηx ，u y =u ξξy +u ξηy
u xx =u ξξξ2x +2u ξηξx ηx +u ηηη2x +u ξξxx +u ηηxx
u yy =u ξξξ2y +2u ξηξy ηy +u ηηη2y +u ξξyy +u ηηyy
u xy =u ξξξx ξx +u ξη(ξx ηy +ξy ηx ) +u ηηηx ηy +u ξξxy +u ηηxy 将代入①使其变为
A 11u ξξ+2A 12u ξη+A 22u ηη+B 1u ξ+B 2u η+Cu =F
经过变换后，方程的阶数不会升高，由变换的可逆性，方程的阶数也不会降低，所以A 11, A 12, A 22不全为0。并可验证
22A 12-A 11A 22=(a 12-a 11a 22)(ξx ηy -ξy ηx ) 2
2-a 11a 22保持相同的正这表明，在可逆变换下A 12-A 11A 22与a 1222
负号。
定理 在M 0的领域内，不为常数的函数ϕ(x , y ) 是偏微分
方程a 11ϕx 2+2a 12ϕx ϕy +a 22ϕy 2=0之解的充分必要条件是：
ϕ(x , y ) ≡C 是常微分方程的
a 11(dy ) 2+2a 12dxdy +a 22(dx ) 2=0
通解。
2 方程的类型及其标准形式
根据以上结论简化方程的问题归结为寻求其特征曲线。为此将特征方程分解成两个方程：
dy a +a -a a dy a -a -a a ， ==dx a dz a [***********]
1111
(1) 若在M 0的邻域内a 12-a 11a 22>0时，方程可以化为2
u αα-u ββ=B 1u α+B 2u β+C u +F ，该式称为双曲线方
程的标准形式，其中B 1, B 2, C , F 是自变量α、β的已知
函数。
(2) 若M 0的邻域内a 12-a 11a 22=0时，可将方程简化成2________
A 22u ηη+B 1u ξ+B 2u η+Cu =F ，该式称为抛物型方程的
标准形式，其中A 22, B 1, B 2, C , F 是自变量ξ、η的已知
函数。
(3) 若M 0的邻域内a 12-a 11a 22
A 11(u ξξ+u ηη) +B 1u ξ+B 2u η+Cu =F ，该式称为椭圆型
方程的标准形式，其中A 11, B 1, B 2, C , F 是自变量ξ、η
的已知函数。
总之，根据a 12-a 11a 22的正负号能将a 11u xx +2a 12u xy +a 22u yy 2+b 1u x +b 2u y +cu =f 简化成三种标准形式。
定义 若在区域D 中M 0(x 0, y 0) 点处满足
a -a a >0(或是=0，或是
121122
a 11u xx +2a 12u xy +a 22u yy +b 1u x +b 2u y +cu =f 在该点M 0处是双曲线的(或是抛物型的，或是椭圆型的) 。
二 n 个自变量的二阶线性方程
1 方程的分类
n 个自变量的二阶线性偏微分方程一般可以表示成
i , j =1∑a u u +∑b u +cu =f ① ij x i x j i =1i x i n n
其中a ij ，b i ，c ，f 都是自变量x 1,..., x n 的已知函数，假设它
们在n 维空间中某一区域Ω内连续，而且不全为0。
在区域Ω内某点M 0(x 10,..., x n 0) 处，由二阶导数项的系数
可构成相应的二次型
q (λ1,..., λn ) =∑a ij λx λx =λT (a ij ) λ ② i , j =1i j n
其中λ=(λ1,..., λn ) T ，而(a ij ) 是n 阶对称矩阵。
定义2 如果在点M 0的二次型②为非退化且是不定的，即
它恰有n 个非零特征值，而且特征值的符号不全相同，则称方程①在点M 0是双曲线型。如果其中n -1个非零特征值同
号，只有一个非零特征值与它们异号，则称方程在点M 0是
狭义双曲线型的。如果其中不只一个非零特征值是异号的，则称方程在点M 0是超双曲线型的。
定义3 如果在点M 0的二次型②为非退化的，即它至少有
一个零特征值，则称方程①在点M 0是抛物型。如果只有一
个零特征值，而另外n -1个非零特征值同号，则称方程在点M 0是狭义抛物型的。如果是其它有零特征值的情形，则称
方程在点M 0是广义抛物型的。
定义4 如果在点M 0的二次型②为正定或负定的，即它恰
有n 个同号的非零特征值，则称方程在M 0点是椭圆型的。
2 方程的简化
当方程①中二阶偏导数项的系数a ij 全是常数时，相应的
二次型②是常系数实二次型。根据线性代数的理论，运用配方法或者正交变换法，总可找到一个可逆线性变换λ=(p ) μ，即 ij
λ=∑p μ i =1,..., n
i =1ik k n
其中(p ij ) 是可逆矩阵，将二次型q (λ1,..., λn ) 化成标准形
Q (μ1,..., μn ) ，即
q (λ1,..., λn ) =λT (a ij ) λ=μT (p ij ) T (a ij )(p ij ) μ=
=ε1μ12+... +εn u n 2=Q (μ1,..., μn )
⎡ε1 ⎤⎢⎥T 其中(p ij ) (a ij )(p ij ) = . ，而且εi =1或-1或0。 ⎢⎥⎢⎣ εn ⎥⎦
可取转置矩阵(p ij ) T 构造自变量可逆线性变换ξ=(p ij ) T x ，即
ξ=∑p x ，i =1,..., n i k =1ki k n
就能将在区域Ω内方程①简化为
∑εμξε+∑B μξ+Cu =F 。 i =1i i i n n i =1i i
三 小结
前面各章的各种定解问题具有的一个共同的特点――
偏微分方程与定解条件关于未知函数及其导数都是线性的，称这些业解问题都是线性问题。线性问题普遍成立有叠加原理。叠加原理是前面各章介绍的各种方法的基础。
另一方面，二阶偏微分方程可以分成双曲线型、抛物型和椭圆型，由于它们描述了物理与工程技术中不同的自然现象，所以，它们不仅在二阶偏导数项系数的代数方面有差异，而且在定解条件与性态方程有本质区别。常系数齐次波动方程、热传导方程和拉普拉斯方程分别是三类方程的典型代表。
为了使定解问题能反映实际现象的客观规律，而且符合数学上适定性的要求，对于不同类型的偏 微分方程，需要给予足够、恰当的定解条件。 另外，定解条件是否保证定解问题是适定的，还与解的含义有关。
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第六章 二阶线性偏微分方程的分类与小结
一 两个自变量的二阶线性方程
1 方程变换与特征方程
两个自变量的二阶线性偏微分方程总表示成
a 11u xx +2a 12u xy +a 22u yy +b 1u x +b 2u y +cu =f ①
它关于未知函数u 及其一、二阶偏导数都是线性的，其中a 11，a 12，a 22，b 1，b 2，c ，u ，f 都是自变量x , y 的已知函
数，假设它们的一阶偏 导数在某平面区域D 内都连续，而且a 11，a 12，a 22不全为0 。
设M 0(x 0, y 0) 是D 内给定的一点，考虑在M 0的领域内对
方程进行简化。取自变量变换
ξ=ξ(x , y ) , η=η(x , y )
其中它们具有二连续偏导数，而且在M 0处的雅可比行列
式。
∂(ξ, η) x ξy =ξx ηy -ξy ηx =∂(x , y ) x ηy
根据隐函数存在定理，在M 0领域内存在逆变换,
x =x (ξ, η) , y =y (ξ, η)
因为
u x =u ξξx +u ξηx ，u y =u ξξy +u ξηy
u xx =u ξξξ2x +2u ξηξx ηx +u ηηη2x +u ξξxx +u ηηxx
u yy =u ξξξ2y +2u ξηξy ηy +u ηηη2y +u ξξyy +u ηηyy
u xy =u ξξξx ξx +u ξη(ξx ηy +ξy ηx ) +u ηηηx ηy +u ξξxy +u ηηxy 将代入①使其变为
A 11u ξξ+2A 12u ξη+A 22u ηη+B 1u ξ+B 2u η+Cu =F
经过变换后，方程的阶数不会升高，由变换的可逆性，方程的阶数也不会降低，所以A 11, A 12, A 22不全为0。并可验证
22A 12-A 11A 22=(a 12-a 11a 22)(ξx ηy -ξy ηx ) 2
2-a 11a 22保持相同的正这表明，在可逆变换下A 12-A 11A 22与a 1222
负号。
定理 在M 0的领域内，不为常数的函数ϕ(x , y ) 是偏微分
方程a 11ϕx 2+2a 12ϕx ϕy +a 22ϕy 2=0之解的充分必要条件是：
ϕ(x , y ) ≡C 是常微分方程的
a 11(dy ) 2+2a 12dxdy +a 22(dx ) 2=0
通解。
2 方程的类型及其标准形式
根据以上结论简化方程的问题归结为寻求其特征曲线。为此将特征方程分解成两个方程：
dy a +a -a a dy a -a -a a ， ==dx a dz a [***********]
1111
(1) 若在M 0的邻域内a 12-a 11a 22>0时，方程可以化为2
u αα-u ββ=B 1u α+B 2u β+C u +F ，该式称为双曲线方
程的标准形式，其中B 1, B 2, C , F 是自变量α、β的已知
函数。
(2) 若M 0的邻域内a 12-a 11a 22=0时，可将方程简化成2________
A 22u ηη+B 1u ξ+B 2u η+Cu =F ，该式称为抛物型方程的
标准形式，其中A 22, B 1, B 2, C , F 是自变量ξ、η的已知
函数。
(3) 若M 0的邻域内a 12-a 11a 22
A 11(u ξξ+u ηη) +B 1u ξ+B 2u η+Cu =F ，该式称为椭圆型
方程的标准形式，其中A 11, B 1, B 2, C , F 是自变量ξ、η
的已知函数。
总之，根据a 12-a 11a 22的正负号能将a 11u xx +2a 12u xy +a 22u yy 2+b 1u x +b 2u y +cu =f 简化成三种标准形式。
定义 若在区域D 中M 0(x 0, y 0) 点处满足
a -a a >0(或是=0，或是
121122
a 11u xx +2a 12u xy +a 22u yy +b 1u x +b 2u y +cu =f 在该点M 0处是双曲线的(或是抛物型的，或是椭圆型的) 。
二 n 个自变量的二阶线性方程
1 方程的分类
n 个自变量的二阶线性偏微分方程一般可以表示成
i , j =1∑a u u +∑b u +cu =f ① ij x i x j i =1i x i n n
其中a ij ，b i ，c ，f 都是自变量x 1,..., x n 的已知函数，假设它
们在n 维空间中某一区域Ω内连续，而且不全为0。
在区域Ω内某点M 0(x 10,..., x n 0) 处，由二阶导数项的系数
可构成相应的二次型
q (λ1,..., λn ) =∑a ij λx λx =λT (a ij ) λ ② i , j =1i j n
其中λ=(λ1,..., λn ) T ，而(a ij ) 是n 阶对称矩阵。
定义2 如果在点M 0的二次型②为非退化且是不定的，即
它恰有n 个非零特征值，而且特征值的符号不全相同，则称方程①在点M 0是双曲线型。如果其中n -1个非零特征值同
号，只有一个非零特征值与它们异号，则称方程在点M 0是
狭义双曲线型的。如果其中不只一个非零特征值是异号的，则称方程在点M 0是超双曲线型的。
定义3 如果在点M 0的二次型②为非退化的，即它至少有
一个零特征值，则称方程①在点M 0是抛物型。如果只有一
个零特征值，而另外n -1个非零特征值同号，则称方程在点M 0是狭义抛物型的。如果是其它有零特征值的情形，则称
方程在点M 0是广义抛物型的。
定义4 如果在点M 0的二次型②为正定或负定的，即它恰
有n 个同号的非零特征值，则称方程在M 0点是椭圆型的。
2 方程的简化
当方程①中二阶偏导数项的系数a ij 全是常数时，相应的
二次型②是常系数实二次型。根据线性代数的理论，运用配方法或者正交变换法，总可找到一个可逆线性变换λ=(p ) μ，即 ij
λ=∑p μ i =1,..., n
i =1ik k n
其中(p ij ) 是可逆矩阵，将二次型q (λ1,..., λn ) 化成标准形
Q (μ1,..., μn ) ，即
q (λ1,..., λn ) =λT (a ij ) λ=μT (p ij ) T (a ij )(p ij ) μ=
=ε1μ12+... +εn u n 2=Q (μ1,..., μn )
⎡ε1 ⎤⎢⎥T 其中(p ij ) (a ij )(p ij ) = . ，而且εi =1或-1或0。 ⎢⎥⎢⎣ εn ⎥⎦
可取转置矩阵(p ij ) T 构造自变量可逆线性变换ξ=(p ij ) T x ，即
ξ=∑p x ，i =1,..., n i k =1ki k n
就能将在区域Ω内方程①简化为
∑εμξε+∑B μξ+Cu =F 。 i =1i i i n n i =1i i
三 小结
前面各章的各种定解问题具有的一个共同的特点――
偏微分方程与定解条件关于未知函数及其导数都是线性的，称这些业解问题都是线性问题。线性问题普遍成立有叠加原理。叠加原理是前面各章介绍的各种方法的基础。
另一方面，二阶偏微分方程可以分成双曲线型、抛物型和椭圆型，由于它们描述了物理与工程技术中不同的自然现象，所以，它们不仅在二阶偏导数项系数的代数方面有差异，而且在定解条件与性态方程有本质区别。常系数齐次波动方程、热传导方程和拉普拉斯方程分别是三类方程的典型代表。
为了使定解问题能反映实际现象的客观规律，而且符合数学上适定性的要求，对于不同类型的偏 微分方程，需要给予足够、恰当的定解条件。 另外，定解条件是否保证定解问题是适定的，还与解的含义有关。
折800 http://www.dacu5.com mfdMEP15U7e6