第十三章 交变电流
三 交流电的图象
知识提要
1．正弦交流电的图象：线圈在匀强磁场中绕垂直于磁感线的对称轴匀速转动，线圈交替切割磁感线，穿过线圈的磁通量发生周期性变化，如图13-3-1（从中性面开始计时），于是产生按正弦规律变化的交变电。电路中的感应电动势、感应电流的变化规律相同，如图13-3-2所示。
2．图象是描述物理过程的一种直观、有效的方法。正确运用交流电的图象，除理解横坐标和纵坐标所代表的物理量及单位外，应正确把握图象中以下几方面的物理意义： （1）点：图线上的每一个点对应研究对象的一个状态，应特别注意“起点”、“终点 ”、“拐点”、“与坐标交点”等，他们往往对应一个特殊状态。
图13-3-2
（2）两种斜率：一是该点与
坐标原点的连接直线的斜率，常表示一个物理量的平均值。二是该点切线的斜率，常表示这个物理量的瞬时值。
（3）面积：图线与坐标轴围成的面积常与某一表示过程的物理量相对应。交流电平均值是指交流电图象中图线与横轴所围成的面积值跟时间的比值。i -t 图线与横轴包围的“面积”大小表示通过某一截面的电量大小，t 轴上方的“面积”表示正向通过的电量，t 轴下方的“面积”表示反向通过该截面的电量。
3．对非正弦交流电的图象问题应回归到电磁感应知识分析。
例题分析
例1．线圈在匀强磁场中匀速转动，产生交变电流的图象如图所示，从图13-3-3可知： A ．当t =0时，线圈处于中性面位置。 B ．当t =
3T 4
图13-3-1
时，穿过线圈的磁通量为最大，磁通
量的变化率为零。 C ．若周期为0.02s ，则在1s 内交变电流的方向改变100次。
D ．当t =
T 12
图13-3-3
时刻，线圈平面与中性面的夹角等于30°。
解析：当线圈处于中性面位置时，穿过线圈的磁通量为最大，磁通量的变化率（该时刻切线的斜率）为零，感应电动势为零；当线圈平面与磁感线方向平行时，反之。故A 错，B 正确。线圈每经过中性面位置时，交变电流的方向发生改变，知C 正确。由图
T π
知当t =0时，线圈平面与磁感线方向平行，经，线圈平面与磁力线夹角α＝ωt ＝
12
6
＝30°(或150°) ，得D 错。
答案：B 、C
点评：明确图象中表示线圈处于中性面和处于与磁感线方向平行的点（时刻），明确线圈经过中性面时，线圈中磁通量、磁通量的变化率、感应电流、感应电动势等的特点，是解决该类问题的关键。
例2．如图13-3-4所示，单匝矩形线圈的一半放在具有理想边界的匀强磁场中，线圈轴线OO ˊ与磁场边界重合．线圈按图示方向匀速转动（ab 向纸外，cd 向纸内）。若从图示位置开始计时，并规定电流方向沿a→b→c→d→a为正方向，则线圈内感应电流随时间变化的图象是图13-3-5中的哪一个( )。
d
c
图13-3-4
图13-3-5
T 4
解析一：从穿过线圈的磁通量变化规律看，发生周期性的变化，在0~，由右手
定则或楞次定律不难可得，感应电流方向为a→d →c→b →a，故线圈内感应电流随时间变化的图象应为A 图。
解析二：抓住几个特殊位置分析，当t ＝0时，感应电流为零，当t 接近应电流有最大值，且方向为a→d →c→b →a，流随时间变化的图象应为A 图。
答案：A 。
点评：解析一从整体穿过线圈的磁通量变化规律出发分析，把握感应电流变化的特点。解析二从抓住几个特殊位置出发分析，对解答类似问题十分有效，像交变电流图象一般只需抓住二个特殊位置，问题便能解决。
例3．频率为50Hz 的交变电流，其电压u ＝168sin ωt V ，把它加在激发电压，熄灭电压均为84V 的霓虹灯的两端，求在半个周期内霓虹灯点亮的时间？
解析一：该交变电压的周期为0.02s ，角速度ω＝100π，作交变电压的
13-3-6所示，由于加在霓虹灯管两端电压大于84V 时灯管才发光，由图象可知：
π1
ω⋅t 1=，t 1=s
6
T 4
时，感
T 4
后感应电流方向不变，知线圈内感应电
图象如图
ω⋅t 2=
π
6
，t 2=
1150
600
5
600
s
∆t =t 2-t 1=
s
23
即霓虹灯在半个周期内，有
的时间被点亮。 图13-3-6
解析二：交变电压的瞬时表达式为：u ＝168sin 100πt V ，当u ＝84V 时，在半个周期内对应的时刻为：t 1=为∆t =t 2-t 1=
答案：
1150
1150
1600
s ，t 2=
5600
s ，进一步分析知，在半个周期内霓虹灯点亮的时间
s 。
s 。
点评：公式表示和图象表示是分析物理量间的函数关系的两种重要方法，交流电的描述可用公式表示，也可以用图象表示。解析一用图象法，它直观、形象、简洁的展现物理量之间的关系。解析二用公式表示，需要对的瞬时表达式为有抽象的理解。
例4．在图13-3-7所示区域（图中直角坐标系Oxy 的1、3象限）内有匀强磁场，磁感强度方向垂直于图面向里，大小为B 、半径为l 、圆心角为60°的扇形导线框OPQ 以角速度ω绕O 点在图面内沿逆时针方向匀速转动，导线框回路电阻为R 。
（1）求线框中感应电流的最大值I 0和交变感应电流的频率f 。
（2）在图13-3-8上画出线框转一周的时间内感应电流I （规定O →P →Q →O 为电流正方向）随时间t 变化的图像（规定与图13-3-7中线框的位置相应的时刻为t ＝0）。
解析：（1）在从图13-3-7中位置开始(t ＝0) 转过60°的过程中，只有OQ 切割磁感线，产生的感应电动势为：E =
12Bl ω
2
图13-3-7
线框中感应电流的最大值I 0为： I 0＝
12R
Bl ω，方向与规定正方向相同。
2
转过90°以后，线框中感应电流大小仍为：
12R
Bl ω，方向与规定正方向相反。
2
图
13-3-8
后半圈和前半圈I （t ）相同，故感应电流频率等于旋转频率的2倍：f =
答案：（1）I 0＝
12R
2
ωπ
ωπ
Bl ω，f = 。
（2）图线如图13-3-9所示。 点评：当整个线框都在磁场中作切割运动时，有感应电动势，无感应电流。只有线框的一部分在磁场中作切割运动时，才有感
图13-3-9
生电流产生，抓住了这一点，对应的I －t
图线就不难画出。用导线切割磁感线的公式
E =Bl υ，要注意该处的速度为导线切割磁场的平均速度。因线框匀速转动，计算感生电
∆Φ∆t
∆θl B 2∆t
2
动势时，也可由法拉第电磁感应定律，E =
习题精练
==
12
Bl ω。
2
1．如图13-3-10所示，处在匀强磁场中的矩形线圈abcd ，以恒定的角速度绕ab 边转动，磁场方向平行于纸面并与ab 垂直。在t =0时刻，线圈平面与纸面重合，线圈的cd 边离开纸面向外运动。若规定由a →b →c →d →a 方向的感应电流为正，则能反映线圈中感应电流I 随时间t 变化的图线是图13-3-11中的（ ）。
图13-3-10
图
13-3-11
2．如图13-3-12所示，A 是长直密绕通电螺线管，小线圈B 与电流表连接，并沿A 的轴线ox 从如图位置自左向右匀速穿过螺线管A 。能正确反映通过电流表中电流随x 变化规律的是图13-3-13中的（ ）。
图
13-3-12
图
13-3-13
3．有两个完全相同的电热器，分别通过如图13-3-14中甲和乙所示的峰值相等的方波交变电流和正弦交变电流。求这两个电热器的电功率之比。
图13-3-14
4．一小型发电机内的矩形线圈在匀强磁场中以恒定的角速度ω绕垂直于磁场方向的固定轴转动。线圈匝数n =100。穿过每匝线圈的磁通量随时间按如图13-3-15所示正弦规律变化。发电机内阻r =5.0Ω，外电路电阻R =95Ω。已知感应电动势的最大值E m =nωΦm ，其中Φm 为穿过每匝线圈磁通量的最大值。求串联在外电
路中的交流电流表（内阻不计）的读数。
-2s
图13-3-15
5．如图13-3-16所示，在长直导线旁放一矩形线框abcd ，线框和导线在同一平面内。
今在长直导线中通以如图13-3-17的交流电，那么在t ＝0至t ＝T 的时间内，线框中的感应电流的大小和方向各如何变化?( )
A ．大小：增大 减小 增大 减小 B ．大小：减小 增大 减小 增大 C ．方向：顺时针 逆时针 逆时针 顺时针
D ．方向：逆时针 顺时针 顺时针 逆时针 图13-3-16 图13-3-17
6．如图13-3-18所示，abcd 为一个闭合矩形金属线框，图中虚线为磁场右边界(磁场左边界很远) ，它与线圈的ab 边平行，等分bc 边，即线框有一半位于匀强磁场之中，而另一半位于磁场之外，磁感线方向垂直线框平面向里．线框以ab 边为轴匀速转动，t =O时的位置如图所示，在右面的坐标系上定性画出转动过程中线框内感应电流随时间变化的图像(只要求画出一个周期) ．
7．如图13-3-19所示，金属圆环内部关于圆心O 对称的四个区域内存在与环面垂直的匀强磁场，其中垂直环面向里的磁场磁感应强度为B ，垂直环面向外的磁场磁感应强度为2B ，环的半径为L ，一根长也为L 、电阻为r 的金属棒一端连在O 点，另一端连在环上，绕O 点以角速度ω在环面内作逆时针旋转，若将O 点和环上一点A 接入如图13-3-20的电路中，图中电阻阻值为R ，电压表为理想表，环中电阻不计。求：
⑴在图13-3-21中画出金属棒中的电流随时间变化的图像（以金属棒中从O 流向A 为正方向）
图
13-3-18
图13-3-19
⑵图13-3-20中电压表的读数是多少？
/2ω)
图13-3-20
习题精练答案：
三 交流电的图象
1．C 2．C 3．2:1 4．1. 4A
解析：电流表的读数I =
I m 2
-2
，又I m =
E m R +r
-2
， E m =nωΦm ， ω=
2πT
，由题中的Φ－t 图
线可读出：Φm =1.0×10Wb T =3.14×10s ，解以上各式，并代入数据得I =1.4A
5．B 、C
6．解析：分析可知，线圈平面从图中位置转过π/3角度，即T/6内，穿过线圈的磁通量不变化，线圈中无电流。同理，在一个周期的最后T/6内，穿过线圈的磁通量也不变化，线圈中也无电流。感应电流随时间变化的图像如图13-3-1’所示。
7．解析：⑴在向里的磁场中运动时，
E 1=
12
Bl ω， I 1=
2
图13-3-1’
E 1R +r
=
Bl ω2(R +r )
2
，
金属棒中电流从A 流向O ；
在向外的磁场中运动时，E 2=Bl ω I 2=
E 2R +r
=Bl ω(R +r )
2
2
，金属棒中电流从
图13-3-2’
O 流向A 。金属棒中的电流随时间变化的
图像如图13-3-2’所示。
⑵由有效值定义： I 1(R +r ) ⨯1+I (R +r ) ⨯1=
R R +r
Bl ωR 4(R +r )
2
2
2
2
U
2
R +r
U =⨯2 得：
4
2
Bl ω。
故电压表读数：U '=
U =
。
第十三章 交变电流
三 交流电的图象
知识提要
1．正弦交流电的图象：线圈在匀强磁场中绕垂直于磁感线的对称轴匀速转动，线圈交替切割磁感线，穿过线圈的磁通量发生周期性变化，如图13-3-1（从中性面开始计时），于是产生按正弦规律变化的交变电。电路中的感应电动势、感应电流的变化规律相同，如图13-3-2所示。
2．图象是描述物理过程的一种直观、有效的方法。正确运用交流电的图象，除理解横坐标和纵坐标所代表的物理量及单位外，应正确把握图象中以下几方面的物理意义： （1）点：图线上的每一个点对应研究对象的一个状态，应特别注意“起点”、“终点 ”、“拐点”、“与坐标交点”等，他们往往对应一个特殊状态。
图13-3-2
（2）两种斜率：一是该点与
坐标原点的连接直线的斜率，常表示一个物理量的平均值。二是该点切线的斜率，常表示这个物理量的瞬时值。
（3）面积：图线与坐标轴围成的面积常与某一表示过程的物理量相对应。交流电平均值是指交流电图象中图线与横轴所围成的面积值跟时间的比值。i -t 图线与横轴包围的“面积”大小表示通过某一截面的电量大小，t 轴上方的“面积”表示正向通过的电量，t 轴下方的“面积”表示反向通过该截面的电量。
3．对非正弦交流电的图象问题应回归到电磁感应知识分析。
例题分析
例1．线圈在匀强磁场中匀速转动，产生交变电流的图象如图所示，从图13-3-3可知： A ．当t =0时，线圈处于中性面位置。 B ．当t =
3T 4
图13-3-1
时，穿过线圈的磁通量为最大，磁通
量的变化率为零。 C ．若周期为0.02s ，则在1s 内交变电流的方向改变100次。
D ．当t =
T 12
图13-3-3
时刻，线圈平面与中性面的夹角等于30°。
解析：当线圈处于中性面位置时，穿过线圈的磁通量为最大，磁通量的变化率（该时刻切线的斜率）为零，感应电动势为零；当线圈平面与磁感线方向平行时，反之。故A 错，B 正确。线圈每经过中性面位置时，交变电流的方向发生改变，知C 正确。由图
T π
知当t =0时，线圈平面与磁感线方向平行，经，线圈平面与磁力线夹角α＝ωt ＝
12
6
＝30°(或150°) ，得D 错。
答案：B 、C
点评：明确图象中表示线圈处于中性面和处于与磁感线方向平行的点（时刻），明确线圈经过中性面时，线圈中磁通量、磁通量的变化率、感应电流、感应电动势等的特点，是解决该类问题的关键。
例2．如图13-3-4所示，单匝矩形线圈的一半放在具有理想边界的匀强磁场中，线圈轴线OO ˊ与磁场边界重合．线圈按图示方向匀速转动（ab 向纸外，cd 向纸内）。若从图示位置开始计时，并规定电流方向沿a→b→c→d→a为正方向，则线圈内感应电流随时间变化的图象是图13-3-5中的哪一个( )。
d
c
图13-3-4
图13-3-5
T 4
解析一：从穿过线圈的磁通量变化规律看，发生周期性的变化，在0~，由右手
定则或楞次定律不难可得，感应电流方向为a→d →c→b →a，故线圈内感应电流随时间变化的图象应为A 图。
解析二：抓住几个特殊位置分析，当t ＝0时，感应电流为零，当t 接近应电流有最大值，且方向为a→d →c→b →a，流随时间变化的图象应为A 图。
答案：A 。
点评：解析一从整体穿过线圈的磁通量变化规律出发分析，把握感应电流变化的特点。解析二从抓住几个特殊位置出发分析，对解答类似问题十分有效，像交变电流图象一般只需抓住二个特殊位置，问题便能解决。
例3．频率为50Hz 的交变电流，其电压u ＝168sin ωt V ，把它加在激发电压，熄灭电压均为84V 的霓虹灯的两端，求在半个周期内霓虹灯点亮的时间？
解析一：该交变电压的周期为0.02s ，角速度ω＝100π，作交变电压的
13-3-6所示，由于加在霓虹灯管两端电压大于84V 时灯管才发光，由图象可知：
π1
ω⋅t 1=，t 1=s
6
T 4
时，感
T 4
后感应电流方向不变，知线圈内感应电
图象如图
ω⋅t 2=
π
6
，t 2=
1150
600
5
600
s
∆t =t 2-t 1=
s
23
即霓虹灯在半个周期内，有
的时间被点亮。 图13-3-6
解析二：交变电压的瞬时表达式为：u ＝168sin 100πt V ，当u ＝84V 时，在半个周期内对应的时刻为：t 1=为∆t =t 2-t 1=
答案：
1150
1150
1600
s ，t 2=
5600
s ，进一步分析知，在半个周期内霓虹灯点亮的时间
s 。
s 。
点评：公式表示和图象表示是分析物理量间的函数关系的两种重要方法，交流电的描述可用公式表示，也可以用图象表示。解析一用图象法，它直观、形象、简洁的展现物理量之间的关系。解析二用公式表示，需要对的瞬时表达式为有抽象的理解。
例4．在图13-3-7所示区域（图中直角坐标系Oxy 的1、3象限）内有匀强磁场，磁感强度方向垂直于图面向里，大小为B 、半径为l 、圆心角为60°的扇形导线框OPQ 以角速度ω绕O 点在图面内沿逆时针方向匀速转动，导线框回路电阻为R 。
（1）求线框中感应电流的最大值I 0和交变感应电流的频率f 。
（2）在图13-3-8上画出线框转一周的时间内感应电流I （规定O →P →Q →O 为电流正方向）随时间t 变化的图像（规定与图13-3-7中线框的位置相应的时刻为t ＝0）。
解析：（1）在从图13-3-7中位置开始(t ＝0) 转过60°的过程中，只有OQ 切割磁感线，产生的感应电动势为：E =
12Bl ω
2
图13-3-7
线框中感应电流的最大值I 0为： I 0＝
12R
Bl ω，方向与规定正方向相同。
2
转过90°以后，线框中感应电流大小仍为：
12R
Bl ω，方向与规定正方向相反。
2
图
13-3-8
后半圈和前半圈I （t ）相同，故感应电流频率等于旋转频率的2倍：f =
答案：（1）I 0＝
12R
2
ωπ
ωπ
Bl ω，f = 。
（2）图线如图13-3-9所示。 点评：当整个线框都在磁场中作切割运动时，有感应电动势，无感应电流。只有线框的一部分在磁场中作切割运动时，才有感
图13-3-9
生电流产生，抓住了这一点，对应的I －t
图线就不难画出。用导线切割磁感线的公式
E =Bl υ，要注意该处的速度为导线切割磁场的平均速度。因线框匀速转动，计算感生电
∆Φ∆t
∆θl B 2∆t
2
动势时，也可由法拉第电磁感应定律，E =
习题精练
==
12
Bl ω。
2
1．如图13-3-10所示，处在匀强磁场中的矩形线圈abcd ，以恒定的角速度绕ab 边转动，磁场方向平行于纸面并与ab 垂直。在t =0时刻，线圈平面与纸面重合，线圈的cd 边离开纸面向外运动。若规定由a →b →c →d →a 方向的感应电流为正，则能反映线圈中感应电流I 随时间t 变化的图线是图13-3-11中的（ ）。
图13-3-10
图
13-3-11
2．如图13-3-12所示，A 是长直密绕通电螺线管，小线圈B 与电流表连接，并沿A 的轴线ox 从如图位置自左向右匀速穿过螺线管A 。能正确反映通过电流表中电流随x 变化规律的是图13-3-13中的（ ）。
图
13-3-12
图
13-3-13
3．有两个完全相同的电热器，分别通过如图13-3-14中甲和乙所示的峰值相等的方波交变电流和正弦交变电流。求这两个电热器的电功率之比。
图13-3-14
4．一小型发电机内的矩形线圈在匀强磁场中以恒定的角速度ω绕垂直于磁场方向的固定轴转动。线圈匝数n =100。穿过每匝线圈的磁通量随时间按如图13-3-15所示正弦规律变化。发电机内阻r =5.0Ω，外电路电阻R =95Ω。已知感应电动势的最大值E m =nωΦm ，其中Φm 为穿过每匝线圈磁通量的最大值。求串联在外电
路中的交流电流表（内阻不计）的读数。
-2s
图13-3-15
5．如图13-3-16所示，在长直导线旁放一矩形线框abcd ，线框和导线在同一平面内。
今在长直导线中通以如图13-3-17的交流电，那么在t ＝0至t ＝T 的时间内，线框中的感应电流的大小和方向各如何变化?( )
A ．大小：增大 减小 增大 减小 B ．大小：减小 增大 减小 增大 C ．方向：顺时针 逆时针 逆时针 顺时针
D ．方向：逆时针 顺时针 顺时针 逆时针 图13-3-16 图13-3-17
6．如图13-3-18所示，abcd 为一个闭合矩形金属线框，图中虚线为磁场右边界(磁场左边界很远) ，它与线圈的ab 边平行，等分bc 边，即线框有一半位于匀强磁场之中，而另一半位于磁场之外，磁感线方向垂直线框平面向里．线框以ab 边为轴匀速转动，t =O时的位置如图所示，在右面的坐标系上定性画出转动过程中线框内感应电流随时间变化的图像(只要求画出一个周期) ．
7．如图13-3-19所示，金属圆环内部关于圆心O 对称的四个区域内存在与环面垂直的匀强磁场，其中垂直环面向里的磁场磁感应强度为B ，垂直环面向外的磁场磁感应强度为2B ，环的半径为L ，一根长也为L 、电阻为r 的金属棒一端连在O 点，另一端连在环上，绕O 点以角速度ω在环面内作逆时针旋转，若将O 点和环上一点A 接入如图13-3-20的电路中，图中电阻阻值为R ，电压表为理想表，环中电阻不计。求：
⑴在图13-3-21中画出金属棒中的电流随时间变化的图像（以金属棒中从O 流向A 为正方向）
图
13-3-18
图13-3-19
⑵图13-3-20中电压表的读数是多少？
/2ω)
图13-3-20
习题精练答案：
三 交流电的图象
1．C 2．C 3．2:1 4．1. 4A
解析：电流表的读数I =
I m 2
-2
，又I m =
E m R +r
-2
， E m =nωΦm ， ω=
2πT
，由题中的Φ－t 图
线可读出：Φm =1.0×10Wb T =3.14×10s ，解以上各式，并代入数据得I =1.4A
5．B 、C
6．解析：分析可知，线圈平面从图中位置转过π/3角度，即T/6内，穿过线圈的磁通量不变化，线圈中无电流。同理，在一个周期的最后T/6内，穿过线圈的磁通量也不变化，线圈中也无电流。感应电流随时间变化的图像如图13-3-1’所示。
7．解析：⑴在向里的磁场中运动时，
E 1=
12
Bl ω， I 1=
2
图13-3-1’
E 1R +r
=
Bl ω2(R +r )
2
，
金属棒中电流从A 流向O ；
在向外的磁场中运动时，E 2=Bl ω I 2=
E 2R +r
=Bl ω(R +r )
2
2
，金属棒中电流从
图13-3-2’
O 流向A 。金属棒中的电流随时间变化的
图像如图13-3-2’所示。
⑵由有效值定义： I 1(R +r ) ⨯1+I (R +r ) ⨯1=
R R +r
Bl ωR 4(R +r )
2
2
2
2
U
2
R +r
U =⨯2 得：
4
2
Bl ω。
故电压表读数：U '=
U =
。