例谈数学知识在物理中的应用
新的物理学科的考试说明对学生的能力考核从五个方面提出了具体的要求：一是理解能力，二是推理能力，三是分析综合能力，四是应用数学知识处理物理问题的能力，五是实验能力，尤其是创新实验能力。其中对应用数学知识处理物理问题的能力具体说明是：要求学生能够根据具体问题列出物理量之间的关系式，进行相关推导和求解，并根据计算结果得出物理结论；必要时能灵活运用几何图形、图像或函数关系式进行表达、分析。
数学是与物理联系最为紧密的学科之一。随着高考改革的深入及素质教育的全面推开。各学科之间的渗透不断加强，作为对理解能力和演绎推理能力及运算能力都有很高要求的物理学科，在平时的教学中，及时灵活地渗透数学知识，培养学生运用数学知识解决物理问题的能力尤为重要。我们在平时的教学中要随时注重数学知识和物理内容的整合。
运用数学工具解决物理问题的能力，主要指两个方面。一是从物理现象与过程出发，经过概括、抽象，把物理问题转化为数学问题；二是综合运用数学知识，例如比例关系、函数关系、不等式关系、几何关系、极值关系等，正确、简洁地进行有关问题的求解。
1、运用数学语言和方法表述物理概念、物理规律，便于理解。
物理中有大量的物理概念和物理规律，其中有很多概念的引入，就是通过数学语言来描述的。例如，金属导体两端的电压与其流过的电流成正比。为了描述它们的比例系数，引入了电阻R 的概念。同类的概念还有，电容器的电容C 、电场强度E 、物体运动的速度v 、加速度a 等。不过，物理知识毕竟与数学知识不同，所以教师在教授这类物理概念和物理规律时，要特别强调它们的物理含义和成立条件，不能进行简单的数学类推。例如：对于电阻的定义式R=U/I，我们就不能说成R 与U 成正比，与I 成反比。
物理规律是对各种物理现象或物理变化的精辟概括。是人类智慧的结晶。为了便于表述或理解，有许多规律使用了数学方法。例如在研究理想气体状态参量间的制约关系时，使用了P-V 、V-T 、P-T 图像。又如为了分析线圈在匀强磁场中匀角速转动过程中，线圈中的磁通量、瞬时感应电动势、感应电流随时间的变化规律，采用了正弦波图像的数学方法。除了图像描述外，物理中几乎所有的规律都可以写成数学解析式的公式。
2、恰当选用数学工具解决各类物理问题，化繁为简。
中学物理中，除了大量用到初等数学的各种基本运算和方程、恒等变换等数学知识外，在许多问题中，还可以灵活运用数学中的其他知识，另辟捷径，化繁为简。
2.1 几何知识的运用
平面几何知识是物理中应用最广泛的数学知识之一。例如两边互相垂直或两边互相平行的两角相等，相似三角形对应边成比例，这两种判断方法常用于受力分析图中。又如光的反射、光的折射中更是用到大量的几何知识。
2.2 三角知识的应用
物理学中的力、速度、位移等矢量物理量的合成均遵循平行四边形法则。因此，在对这些物理量进行分析时，经常会大量应用三角知识。许多题目因此会大大简化分析过程或运算步骤，起到曲径通幽的效果。
2.3 极值判别式的应用
物理量间的关系往往是相互制约的，当某个量发生变化时其他量随之变化。在变化过程中常常会出现极值问题。若能合理利用数学中的极值问题的判别式，常能简化解题过程。
[例3] 一个下端封闭，上端开口的粗细均匀的玻璃管，竖直放置，管的全长为90cm ，管中有一段20cm 的水银柱，在温度为27℃时，水银下面的空气柱长为60cm ，若外界大气压为1大气压，问温度升至多少时，水银全部溢出？
[解析] 管内的封闭气体在水银溢出前作等压变化，当水银溢出后，气体的温度，体积和压强都要发生变化。但始终遵循理想气体状态方程。设管内还剩余xcm 水银柱时，温度为T ，则整理得T= ，可见T 是x 的二次函数：因（76+x）和（90-x ）这两项之和为定值，根据数学中极值知识可知：当76+x=90-x时，即x=7cm时，T 有极大值，为T=358.8K。
[例4] 在磁感应强度为B 的匀强磁场中，有一根长为L 的软导线，制成的封闭线圈，开始时，线圈面积为零，当它在t 秒内迅速张开，所张的曲线平面与磁场垂直时，求线圈中所能产生的平均感应电动势的最大值。
[解析] 本题是电磁感应中求感应电动势问题，根据法拉第电磁感应定律，，可知，要使ε有最大值，只有使线圈面积扩张到最大才行。由数学中边长和所围面积间关系可得，在周长恒定的情况下，圆形面积最大。因此本题答案为。
2.4 数列知识的应用
[例5] 小球从h 0=45m高处自由下落，着地后跳起，然后又下落，每与地面相
碰一次，速度就减少为原来的k 倍。若k= ，求小球从下落开始直至停止运动所用的总时间。（g 取10m/s2，碰撞时间忽略不计）
[解析] 要求小球运动的总时间，必须根据小球的运动特征，由运动学公式将小球每碰一次在空中运动的时间求出，然后再累加求和。
小球从h 0处下落到地面时的速度： ，运动的时间： 。
第一次碰地后小球的速度：。小球在再次与地面碰撞之前作竖直上抛运动，这一过程小球运动的时间：。同理可推得，第n 次碰地后，小球的运动速度为：，运动时间为： ，由此可知，小球从下落到停止运动的总时间为：
t = t0+t1+……+tn +……= +2k +2k2 +……+2kn +……
= +2 (k+k2+……+kn +……)
上式括号中是一个无穷递减的等比数列，其首项为k ，公式也为k ，可用数学中等比数列的求和公式求得其最终答案：t=9s。
本题是数学中的数列与物理学中的运动学的数理结合问题，在求解该问题中，正确写出某一物理量的通项表达式是解题的关键。
在解决物理问题时除了以上几种数学知识经常运用外，比例知识、正弦定理、余弦定理、不等式知识等也时时会涉及。
数学是解决物理问题的重要工具，借助数学方法可使一些复杂的物理问题显示出明显的规律性，能达到打通关卡、长驱直入地解决问题的目的．中学物理《考试大纲》中对学生应用数学方法解决物理问题的能力作出了明确的要求，要求考生有“应用数学处理物理问题”的能力．对这一能力的考查在历年高考试题中也层出不穷，如2009年高考北京理综卷第20题、宁夏理综卷第18题、江苏物理卷第15题；2008年高考四川理综卷第24题、延考区理综卷第25题、上海物理卷第23题、北京理综卷第24题等．
所谓数学方法，就是要把客观事物的状态、关系和过程用数学语言表达出来，并进行推导、演算和分析，以形成对问题的判断、解释和预测．可以说，任何物理问题的分析、处理过程，都是数学方法的运用过程．本专题中所指的数学方法，都是一些特殊、典型的方法，常用的有极值法、几何法、图象法、数学归纳推理法、微元法、等差(比) 数列求和法等．
一、极值法
数学中求极值的方法很多，物理极值问题中常用的极值法有：三角函数极值法、二次函数极值法、一元二次方程的判别式法等．
1．利用三角函数求极值
y ＝acos θ＋bsin θ
＝a2＋b2(aa2＋b2cos θ＋ba2＋b2sin θ)
令sin φ＝aa2＋b2，cos φ＝ba2＋b2
则有：y ＝a2＋b2(sin φcos θ＋cos φsin θ)
＝a2＋b2sin (φ＋θ)
所以当φ＋θ＝π2时，y 有最大值，且ymax ＝a2＋b2．
2．利用二次函数求极值
二次函数：y ＝ax2＋bx ＋c ＝a(x2＋bax ＋b24a2) ＋c －b24a ＝a(x＋b2a)2＋4ac －
b24a(其中a 、b 、c 为实常数) ，当x ＝－b2a 时，有极值ym ＝4ac －b24a(若二次项系数a>0，y 有极小值；若a
3．均值不等式
对于两个大于零的变量a 、b ，若其和a ＋b 为一定值p ，则当a ＝b 时，其积ab 取得极大值 p24；对于三个大于零的变量a 、b 、c ，若其和a ＋b ＋c 为一定值q ，则当a ＝b ＝c 时，其积abc 取得极大值 q327．
二、几何法
利用几何方法求解物理问题时，常用到的有“对称点的性质”、“两点间直线距离最短”、“直角三角形中斜边大于直角边”以及“全等、相似三角形的特性”等相关知识，如：带电粒子在有界磁场中的运动类问题，物体的变力分析时经常要用到相似三角形法、作图法等．与圆有关的几何知识在力学部分和电学部分的解题中均有应用，尤其在带电粒子在匀强磁场中做圆周运动类问题中应用最多，此类问题的难点往往在圆心与半径的确定上，确定方法有以下几种．
1．依切线的性质确定．从已给的圆弧上找两条不平行的切线和对应的切点，过切点作切线的垂线，两条垂线的交点为圆心，圆心与切点的连线为半径．
2．依垂径定理(垂直于弦的直径平分该弦，且平分弦所对的弧) 和相交弦定理(如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项) 确定．如图8－1所示．
图8－1
由EB2＝CE•ED
＝CE•(2R－CE)
得：R ＝EB22CE ＋CE2
也可由勾股定理得：
R2＝(R－CE)2＋EB2
解得：R ＝EB22CE ＋CE2．
以上两种求半径的方法常用于求解“带电粒子在匀强磁场中的运动”这类习题中．
三、图象法
中学物理中一些比较抽象的习题常较难求解，若能与数学图形相结合，再恰当地引入物理图象，则可变抽象为形象，突破难点、疑点，使解题过程大大简化．图象法是历年高考的热点，因而在复习中要密切关注图象，掌握图象的识别、绘制等方法．
1．物理图象的分类
整个高中教材中有很多不同类型的图象，按图形形状的不同可分为以下几类．
(1)直线型：如匀速直线运动的s －t 图象、匀变速直线运动的v －t 图象、定值电阻的U －I 图象等．
(2)正弦曲线型：如简谐振动的x －t 图象、简谐波的y －x 图象、正弦式交变电流的e －t 图象、正弦式振荡电流的i －t 图象及电荷量的q －t 图象等．
(3)其他型：如共振曲线的A －f 图象、分子力与分子间距离的f －r 图象等．
下面我们对高中物理中接触到的典型物理图象作一综合回顾，以期对物理图象有个较为系统的认识和归纳．
图 象 函数形式 特例 物理意义
y＝c 匀速直线运动的v －t 图象 做匀速直线运动的质点的速度是恒矢量．
y＝kx ①匀速直线运动的s －t 图象
②初速度v0＝0的匀加速直线运动的v －t 图象(若v0≠0，则纵截距不为零)
③纯电阻电路的I －U 图象 ①表示物体的位移大小随时间线性增大．
②表示物体的速度大小随时间线性增大．
③表示纯电阻电路中I 随导体两端的电压U 线性增大．
y＝a －kx ①匀减速直线运动的v －t 图象
②闭合电路中的U －I 图象(U＝E －Ir) ①表示物体的速度大小随时间线性减小．
②表示路端电压随电流的增大而减小．
y＝ax ＋b•x
(双曲线函数) ①由纯电阻用电器组成的闭合电路的U －R 图象(U＝ER ＋rR)
②在垂直于匀强磁场的[XCzt71．tifBP]导轨上，自由导体棒在一恒定动力F 的作用下做变加速运动的v －t 图象 ①表示纯电阻电路中电源的端电压随外电阻而非线性增大． ②将达到稳定速度vm ＝FR 总B2L2．
y＝kx2
(抛物线函数) ①小灯泡消耗的实际功率与外加电压的P －U 图象
②位移与时间的s －t 图象(s＝12at2)
①表示小灯泡消耗的实际功率随电压的增大而增大，且增大得越来越快．
②表示位移随时间的增大而增大，且增大得越来越快．
xy＝c
(双曲线函数) 机械在额定功率下，其牵引力与速度的关系图象(P＝Fv) 表示功率一定时，牵引力与速度成反比．
y＝Asin ωt 交流电的e －t 图象(e＝Emsin ωt) 表示交流电随时间变化的关系．
2．物理图象的应用
(1)利用图象解题可使解题过程更简化，思路更清晰．
利用图象法解题不仅思路清晰，而且在很多情况下可使解题过程得到简化，起到比解析法更巧妙、更灵活的独特效果．甚至在有些情况下运用解析法可能无能为力，但是运用图象法则会使你豁然开朗，如求解变力分析中的极值类问题等．
(2)利用图象描述物理过程更直观．
从物理图象上可以比较直观地观察出物理过程的动态特征．
(3)利用物理图象分析物理实验．
运用图象处理实验数据是物理实验中常用的一种方法，这是因为它除了具有简明、直观、便于比较和减少偶然误差的特点外，还可以由图象求解第三个相关物理量，尤其是无法从实验中直接得到的结论．
3．对图象意义的理解
(1)首先应明确所给的图象是什么图象，即认清图象中比纵横轴所代表的物理量及它们的“函数关系”，特别是对那些图形相似、容易混淆的图象，更要注意区分．例如振动图象与波动图象、运动学中的 s －t 图象和v －t 图象、电磁振荡中的i －t 图象和q －t 图象等．
(2)要注意理解图象中的“点”、“线”、“斜率”、“截距”、“面积”的物理意义．
①点：图线上的每一个点对应研究对象的一个状态．要特别注意“起点”、“终点”、“拐点”、“交点”，它们往往对应着一个特殊状态．如有的速度图象中，拐点可能表示速度由增大(减小) 变为减小(增大) ，即加速度的方向发生变化的时刻，而速度图线与时间轴的交点则代表速度的方向发生变化的时刻．
②线：注意观察图线是直线、曲线还是折线等，从而弄清图象所反映的两个物理量之间的关系．
③斜率：表示纵横坐标上两物理量的比值．常有一个重要的物理量与之对应，用于求解定量计算中所对应的物理量的大小以及定性分析变化的快慢．如 v －t 图象的斜率表示加速度． ④截距：表示纵横坐标两物理量在“边界”条件下物理量的大小．由此往往可得到一个很有意义的物理量．如电源的U －I 图象反映了U ＝E －Ir 的函数关系，两截距点分别为(0，E) 和Er ，0．
⑤面积：有些物理图象的图线与横轴所围的面积往往代表一个物理量的大小．如v －t 图象中面积表示位移．
4．运用图象解答物理问题的步骤
(1)看清纵横坐标分别表示的物理量．
(2)看图象本身，识别两物理量的变化趋势，从而分析具体的物理过程．
(3)看两相关量的变化范围及给出的相关条件，明确图线与坐标轴的交点、图线斜率、图线与坐标轴围成的“面积”的物理意义．
四、数学归纳法
在解决某些物理过程中比较复杂的具体问题时，常从特殊情况出发，类推出一般情况下的猜想，然后用数学归纳法加以证明，从而确定我们的猜想是正确的．利用数学归纳法解题要注
意书写上的规范，以便找出其中的规律．
五、微元法
利用微分思想的分析方法称为微元法．它是将研究对象(物体或物理过程) 进行无限细分，再从中抽取某一微小单元进行讨论，从而找出被研究对象的变化规律的一种思想方法．微元法解题的思维过程如下．
(1)隔离选择恰当的微元作为研究对象．微元可以是一小段线段、圆弧或一小块面积，也可以是一个小体积、小质量或一小段时间等，但必须具有整体对象的基本特征．
(2)将微元模型化(如视为点电荷、质点、匀速直线运动、匀速转动等) ，并运用相关的物理规律求解这个微元与所求物体之间的关联．
(3)将一个微元的解答结果推广到其他微元，并充分利用各微元间的对称关系、矢量方向关系、近似极限关系等，对各微元的求解结果进行叠加，以求得整体量的合理解答．
六、三角函数法
三角函数反映了三角形的边、角之间的关系，在物理解题中有较广泛的应用．例如：讨论三个共点的平衡力组成的力的三角形时，常用正弦定理求力的大小；用函数的单调变化的临界状态来求取某个物理量的极值；用三角函数的“和积公式”将结论进行化简等．
七、数列法
凡涉及数列求解的物理问题都具有过程多、重复性强的特点，但每一个重复过程均不是原来的完全重复，而是一种变化了的重复．随着物理过程的重复，某些物理量逐步发生着前后有联系的变化．该类问题求解的基本思路为：
(1)逐个分析开始的几个物理过程；
(2)利用归纳法从中找出物理量变化的通项公式(这是解题的关键) ；
(3)最后分析整个物理过程，应用数列特点和规律求解．
无穷数列的求和，一般是无穷递减数列，有相应的公式可用．
等差：Sn ＝n(a1＋an)2＝na1＋n(n－1)2d(d为公差) ．
等比：Sn ＝a1(1－qn)1－q(q为公比) ．
八、比例法
比例计算法可以避开与解题无关的量，直接列出已知和未知的比例式进行计算，使解题过程大为简化．应用比例法解物理题，要讨论物理公式中变量之间的比例关系，要清楚公式的物理意义和每个量在公式中的作用，以及所要讨论的比例关系是否成立．同时要注意以下几点．
(1)比例条件是否满足．物理过程中的变量往往有多个，讨论某两个量间的比例关系时要注意只有其他量为常量时才能成比例．
(2)比例是否符合物理意义．不能仅从数学关系来看物理公式中各量的比例关系，要注意每
个物理量的意义．(如不能根据R ＝UI 认定电阻与电压成正比)
(3)比例是否存在．讨论某公式中两个量的比例关系时，要注意其他量是否能认为是不变量．如果该条件不成立，比例也不能成立．(如在串联电路中，不能认为P ＝U2R 中P 与R 成反比，因为R 变化的同时，U 也随之变化而并非常量)
许多物理量都是用比值法来定义的，常称之为“比值定义”．如密度ρ＝mV ，导体的电阻R ＝UI ，电容器的电容 C ＝QU ，接触面间的动摩擦因数μ＝fFN ，电场强度E ＝Fq 等．它们的共同特征是：被定义的物理量是反映物体或物质的属性和特征的，它和定义式中相比的物理量无关．对此，学生很容易把它当做一个数学比例式来处理而忽略了其物理意义，也就是说教学中还要防止数学知识在物理应用中的负迁移．
数学是“物理学家的思想工具”，它使物理学家能“有条理地思考”并能想象出更多的东西．可以说，正是有了数学与物理学的有机结合，才使物理学日臻完善．物理学的严格定量化，使得数学方法成为物理解题中一个不可或缺的工具．
例谈数学知识在物理中的应用
新的物理学科的考试说明对学生的能力考核从五个方面提出了具体的要求：一是理解能力，二是推理能力，三是分析综合能力，四是应用数学知识处理物理问题的能力，五是实验能力，尤其是创新实验能力。其中对应用数学知识处理物理问题的能力具体说明是：要求学生能够根据具体问题列出物理量之间的关系式，进行相关推导和求解，并根据计算结果得出物理结论；必要时能灵活运用几何图形、图像或函数关系式进行表达、分析。
数学是与物理联系最为紧密的学科之一。随着高考改革的深入及素质教育的全面推开。各学科之间的渗透不断加强，作为对理解能力和演绎推理能力及运算能力都有很高要求的物理学科，在平时的教学中，及时灵活地渗透数学知识，培养学生运用数学知识解决物理问题的能力尤为重要。我们在平时的教学中要随时注重数学知识和物理内容的整合。
运用数学工具解决物理问题的能力，主要指两个方面。一是从物理现象与过程出发，经过概括、抽象，把物理问题转化为数学问题；二是综合运用数学知识，例如比例关系、函数关系、不等式关系、几何关系、极值关系等，正确、简洁地进行有关问题的求解。
1、运用数学语言和方法表述物理概念、物理规律，便于理解。
物理中有大量的物理概念和物理规律，其中有很多概念的引入，就是通过数学语言来描述的。例如，金属导体两端的电压与其流过的电流成正比。为了描述它们的比例系数，引入了电阻R 的概念。同类的概念还有，电容器的电容C 、电场强度E 、物体运动的速度v 、加速度a 等。不过，物理知识毕竟与数学知识不同，所以教师在教授这类物理概念和物理规律时，要特别强调它们的物理含义和成立条件，不能进行简单的数学类推。例如：对于电阻的定义式R=U/I，我们就不能说成R 与U 成正比，与I 成反比。
物理规律是对各种物理现象或物理变化的精辟概括。是人类智慧的结晶。为了便于表述或理解，有许多规律使用了数学方法。例如在研究理想气体状态参量间的制约关系时，使用了P-V 、V-T 、P-T 图像。又如为了分析线圈在匀强磁场中匀角速转动过程中，线圈中的磁通量、瞬时感应电动势、感应电流随时间的变化规律，采用了正弦波图像的数学方法。除了图像描述外，物理中几乎所有的规律都可以写成数学解析式的公式。
2、恰当选用数学工具解决各类物理问题，化繁为简。
中学物理中，除了大量用到初等数学的各种基本运算和方程、恒等变换等数学知识外，在许多问题中，还可以灵活运用数学中的其他知识，另辟捷径，化繁为简。
2.1 几何知识的运用
平面几何知识是物理中应用最广泛的数学知识之一。例如两边互相垂直或两边互相平行的两角相等，相似三角形对应边成比例，这两种判断方法常用于受力分析图中。又如光的反射、光的折射中更是用到大量的几何知识。
2.2 三角知识的应用
物理学中的力、速度、位移等矢量物理量的合成均遵循平行四边形法则。因此，在对这些物理量进行分析时，经常会大量应用三角知识。许多题目因此会大大简化分析过程或运算步骤，起到曲径通幽的效果。
2.3 极值判别式的应用
物理量间的关系往往是相互制约的，当某个量发生变化时其他量随之变化。在变化过程中常常会出现极值问题。若能合理利用数学中的极值问题的判别式，常能简化解题过程。
[例3] 一个下端封闭，上端开口的粗细均匀的玻璃管，竖直放置，管的全长为90cm ，管中有一段20cm 的水银柱，在温度为27℃时，水银下面的空气柱长为60cm ，若外界大气压为1大气压，问温度升至多少时，水银全部溢出？
[解析] 管内的封闭气体在水银溢出前作等压变化，当水银溢出后，气体的温度，体积和压强都要发生变化。但始终遵循理想气体状态方程。设管内还剩余xcm 水银柱时，温度为T ，则整理得T= ，可见T 是x 的二次函数：因（76+x）和（90-x ）这两项之和为定值，根据数学中极值知识可知：当76+x=90-x时，即x=7cm时，T 有极大值，为T=358.8K。
[例4] 在磁感应强度为B 的匀强磁场中，有一根长为L 的软导线，制成的封闭线圈，开始时，线圈面积为零，当它在t 秒内迅速张开，所张的曲线平面与磁场垂直时，求线圈中所能产生的平均感应电动势的最大值。
[解析] 本题是电磁感应中求感应电动势问题，根据法拉第电磁感应定律，，可知，要使ε有最大值，只有使线圈面积扩张到最大才行。由数学中边长和所围面积间关系可得，在周长恒定的情况下，圆形面积最大。因此本题答案为。
2.4 数列知识的应用
[例5] 小球从h 0=45m高处自由下落，着地后跳起，然后又下落，每与地面相
碰一次，速度就减少为原来的k 倍。若k= ，求小球从下落开始直至停止运动所用的总时间。（g 取10m/s2，碰撞时间忽略不计）
[解析] 要求小球运动的总时间，必须根据小球的运动特征，由运动学公式将小球每碰一次在空中运动的时间求出，然后再累加求和。
小球从h 0处下落到地面时的速度： ，运动的时间： 。
第一次碰地后小球的速度：。小球在再次与地面碰撞之前作竖直上抛运动，这一过程小球运动的时间：。同理可推得，第n 次碰地后，小球的运动速度为：，运动时间为： ，由此可知，小球从下落到停止运动的总时间为：
t = t0+t1+……+tn +……= +2k +2k2 +……+2kn +……
= +2 (k+k2+……+kn +……)
上式括号中是一个无穷递减的等比数列，其首项为k ，公式也为k ，可用数学中等比数列的求和公式求得其最终答案：t=9s。
本题是数学中的数列与物理学中的运动学的数理结合问题，在求解该问题中，正确写出某一物理量的通项表达式是解题的关键。
在解决物理问题时除了以上几种数学知识经常运用外，比例知识、正弦定理、余弦定理、不等式知识等也时时会涉及。
数学是解决物理问题的重要工具，借助数学方法可使一些复杂的物理问题显示出明显的规律性，能达到打通关卡、长驱直入地解决问题的目的．中学物理《考试大纲》中对学生应用数学方法解决物理问题的能力作出了明确的要求，要求考生有“应用数学处理物理问题”的能力．对这一能力的考查在历年高考试题中也层出不穷，如2009年高考北京理综卷第20题、宁夏理综卷第18题、江苏物理卷第15题；2008年高考四川理综卷第24题、延考区理综卷第25题、上海物理卷第23题、北京理综卷第24题等．
所谓数学方法，就是要把客观事物的状态、关系和过程用数学语言表达出来，并进行推导、演算和分析，以形成对问题的判断、解释和预测．可以说，任何物理问题的分析、处理过程，都是数学方法的运用过程．本专题中所指的数学方法，都是一些特殊、典型的方法，常用的有极值法、几何法、图象法、数学归纳推理法、微元法、等差(比) 数列求和法等．
一、极值法
数学中求极值的方法很多，物理极值问题中常用的极值法有：三角函数极值法、二次函数极值法、一元二次方程的判别式法等．
1．利用三角函数求极值
y ＝acos θ＋bsin θ
＝a2＋b2(aa2＋b2cos θ＋ba2＋b2sin θ)
令sin φ＝aa2＋b2，cos φ＝ba2＋b2
则有：y ＝a2＋b2(sin φcos θ＋cos φsin θ)
＝a2＋b2sin (φ＋θ)
所以当φ＋θ＝π2时，y 有最大值，且ymax ＝a2＋b2．
2．利用二次函数求极值
二次函数：y ＝ax2＋bx ＋c ＝a(x2＋bax ＋b24a2) ＋c －b24a ＝a(x＋b2a)2＋4ac －
b24a(其中a 、b 、c 为实常数) ，当x ＝－b2a 时，有极值ym ＝4ac －b24a(若二次项系数a>0，y 有极小值；若a
3．均值不等式
对于两个大于零的变量a 、b ，若其和a ＋b 为一定值p ，则当a ＝b 时，其积ab 取得极大值 p24；对于三个大于零的变量a 、b 、c ，若其和a ＋b ＋c 为一定值q ，则当a ＝b ＝c 时，其积abc 取得极大值 q327．
二、几何法
利用几何方法求解物理问题时，常用到的有“对称点的性质”、“两点间直线距离最短”、“直角三角形中斜边大于直角边”以及“全等、相似三角形的特性”等相关知识，如：带电粒子在有界磁场中的运动类问题，物体的变力分析时经常要用到相似三角形法、作图法等．与圆有关的几何知识在力学部分和电学部分的解题中均有应用，尤其在带电粒子在匀强磁场中做圆周运动类问题中应用最多，此类问题的难点往往在圆心与半径的确定上，确定方法有以下几种．
1．依切线的性质确定．从已给的圆弧上找两条不平行的切线和对应的切点，过切点作切线的垂线，两条垂线的交点为圆心，圆心与切点的连线为半径．
2．依垂径定理(垂直于弦的直径平分该弦，且平分弦所对的弧) 和相交弦定理(如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项) 确定．如图8－1所示．
图8－1
由EB2＝CE•ED
＝CE•(2R－CE)
得：R ＝EB22CE ＋CE2
也可由勾股定理得：
R2＝(R－CE)2＋EB2
解得：R ＝EB22CE ＋CE2．
以上两种求半径的方法常用于求解“带电粒子在匀强磁场中的运动”这类习题中．
三、图象法
中学物理中一些比较抽象的习题常较难求解，若能与数学图形相结合，再恰当地引入物理图象，则可变抽象为形象，突破难点、疑点，使解题过程大大简化．图象法是历年高考的热点，因而在复习中要密切关注图象，掌握图象的识别、绘制等方法．
1．物理图象的分类
整个高中教材中有很多不同类型的图象，按图形形状的不同可分为以下几类．
(1)直线型：如匀速直线运动的s －t 图象、匀变速直线运动的v －t 图象、定值电阻的U －I 图象等．
(2)正弦曲线型：如简谐振动的x －t 图象、简谐波的y －x 图象、正弦式交变电流的e －t 图象、正弦式振荡电流的i －t 图象及电荷量的q －t 图象等．
(3)其他型：如共振曲线的A －f 图象、分子力与分子间距离的f －r 图象等．
下面我们对高中物理中接触到的典型物理图象作一综合回顾，以期对物理图象有个较为系统的认识和归纳．
图 象 函数形式 特例 物理意义
y＝c 匀速直线运动的v －t 图象 做匀速直线运动的质点的速度是恒矢量．
y＝kx ①匀速直线运动的s －t 图象
②初速度v0＝0的匀加速直线运动的v －t 图象(若v0≠0，则纵截距不为零)
③纯电阻电路的I －U 图象 ①表示物体的位移大小随时间线性增大．
②表示物体的速度大小随时间线性增大．
③表示纯电阻电路中I 随导体两端的电压U 线性增大．
y＝a －kx ①匀减速直线运动的v －t 图象
②闭合电路中的U －I 图象(U＝E －Ir) ①表示物体的速度大小随时间线性减小．
②表示路端电压随电流的增大而减小．
y＝ax ＋b•x
(双曲线函数) ①由纯电阻用电器组成的闭合电路的U －R 图象(U＝ER ＋rR)
②在垂直于匀强磁场的[XCzt71．tifBP]导轨上，自由导体棒在一恒定动力F 的作用下做变加速运动的v －t 图象 ①表示纯电阻电路中电源的端电压随外电阻而非线性增大． ②将达到稳定速度vm ＝FR 总B2L2．
y＝kx2
(抛物线函数) ①小灯泡消耗的实际功率与外加电压的P －U 图象
②位移与时间的s －t 图象(s＝12at2)
①表示小灯泡消耗的实际功率随电压的增大而增大，且增大得越来越快．
②表示位移随时间的增大而增大，且增大得越来越快．
xy＝c
(双曲线函数) 机械在额定功率下，其牵引力与速度的关系图象(P＝Fv) 表示功率一定时，牵引力与速度成反比．
y＝Asin ωt 交流电的e －t 图象(e＝Emsin ωt) 表示交流电随时间变化的关系．
2．物理图象的应用
(1)利用图象解题可使解题过程更简化，思路更清晰．
利用图象法解题不仅思路清晰，而且在很多情况下可使解题过程得到简化，起到比解析法更巧妙、更灵活的独特效果．甚至在有些情况下运用解析法可能无能为力，但是运用图象法则会使你豁然开朗，如求解变力分析中的极值类问题等．
(2)利用图象描述物理过程更直观．
从物理图象上可以比较直观地观察出物理过程的动态特征．
(3)利用物理图象分析物理实验．
运用图象处理实验数据是物理实验中常用的一种方法，这是因为它除了具有简明、直观、便于比较和减少偶然误差的特点外，还可以由图象求解第三个相关物理量，尤其是无法从实验中直接得到的结论．
3．对图象意义的理解
(1)首先应明确所给的图象是什么图象，即认清图象中比纵横轴所代表的物理量及它们的“函数关系”，特别是对那些图形相似、容易混淆的图象，更要注意区分．例如振动图象与波动图象、运动学中的 s －t 图象和v －t 图象、电磁振荡中的i －t 图象和q －t 图象等．
(2)要注意理解图象中的“点”、“线”、“斜率”、“截距”、“面积”的物理意义．
①点：图线上的每一个点对应研究对象的一个状态．要特别注意“起点”、“终点”、“拐点”、“交点”，它们往往对应着一个特殊状态．如有的速度图象中，拐点可能表示速度由增大(减小) 变为减小(增大) ，即加速度的方向发生变化的时刻，而速度图线与时间轴的交点则代表速度的方向发生变化的时刻．
②线：注意观察图线是直线、曲线还是折线等，从而弄清图象所反映的两个物理量之间的关系．
③斜率：表示纵横坐标上两物理量的比值．常有一个重要的物理量与之对应，用于求解定量计算中所对应的物理量的大小以及定性分析变化的快慢．如 v －t 图象的斜率表示加速度． ④截距：表示纵横坐标两物理量在“边界”条件下物理量的大小．由此往往可得到一个很有意义的物理量．如电源的U －I 图象反映了U ＝E －Ir 的函数关系，两截距点分别为(0，E) 和Er ，0．
⑤面积：有些物理图象的图线与横轴所围的面积往往代表一个物理量的大小．如v －t 图象中面积表示位移．
4．运用图象解答物理问题的步骤
(1)看清纵横坐标分别表示的物理量．
(2)看图象本身，识别两物理量的变化趋势，从而分析具体的物理过程．
(3)看两相关量的变化范围及给出的相关条件，明确图线与坐标轴的交点、图线斜率、图线与坐标轴围成的“面积”的物理意义．
四、数学归纳法
在解决某些物理过程中比较复杂的具体问题时，常从特殊情况出发，类推出一般情况下的猜想，然后用数学归纳法加以证明，从而确定我们的猜想是正确的．利用数学归纳法解题要注
意书写上的规范，以便找出其中的规律．
五、微元法
利用微分思想的分析方法称为微元法．它是将研究对象(物体或物理过程) 进行无限细分，再从中抽取某一微小单元进行讨论，从而找出被研究对象的变化规律的一种思想方法．微元法解题的思维过程如下．
(1)隔离选择恰当的微元作为研究对象．微元可以是一小段线段、圆弧或一小块面积，也可以是一个小体积、小质量或一小段时间等，但必须具有整体对象的基本特征．
(2)将微元模型化(如视为点电荷、质点、匀速直线运动、匀速转动等) ，并运用相关的物理规律求解这个微元与所求物体之间的关联．
(3)将一个微元的解答结果推广到其他微元，并充分利用各微元间的对称关系、矢量方向关系、近似极限关系等，对各微元的求解结果进行叠加，以求得整体量的合理解答．
六、三角函数法
三角函数反映了三角形的边、角之间的关系，在物理解题中有较广泛的应用．例如：讨论三个共点的平衡力组成的力的三角形时，常用正弦定理求力的大小；用函数的单调变化的临界状态来求取某个物理量的极值；用三角函数的“和积公式”将结论进行化简等．
七、数列法
凡涉及数列求解的物理问题都具有过程多、重复性强的特点，但每一个重复过程均不是原来的完全重复，而是一种变化了的重复．随着物理过程的重复，某些物理量逐步发生着前后有联系的变化．该类问题求解的基本思路为：
(1)逐个分析开始的几个物理过程；
(2)利用归纳法从中找出物理量变化的通项公式(这是解题的关键) ；
(3)最后分析整个物理过程，应用数列特点和规律求解．
无穷数列的求和，一般是无穷递减数列，有相应的公式可用．
等差：Sn ＝n(a1＋an)2＝na1＋n(n－1)2d(d为公差) ．
等比：Sn ＝a1(1－qn)1－q(q为公比) ．
八、比例法
比例计算法可以避开与解题无关的量，直接列出已知和未知的比例式进行计算，使解题过程大为简化．应用比例法解物理题，要讨论物理公式中变量之间的比例关系，要清楚公式的物理意义和每个量在公式中的作用，以及所要讨论的比例关系是否成立．同时要注意以下几点．
(1)比例条件是否满足．物理过程中的变量往往有多个，讨论某两个量间的比例关系时要注意只有其他量为常量时才能成比例．
(2)比例是否符合物理意义．不能仅从数学关系来看物理公式中各量的比例关系，要注意每
个物理量的意义．(如不能根据R ＝UI 认定电阻与电压成正比)
(3)比例是否存在．讨论某公式中两个量的比例关系时，要注意其他量是否能认为是不变量．如果该条件不成立，比例也不能成立．(如在串联电路中，不能认为P ＝U2R 中P 与R 成反比，因为R 变化的同时，U 也随之变化而并非常量)
许多物理量都是用比值法来定义的，常称之为“比值定义”．如密度ρ＝mV ，导体的电阻R ＝UI ，电容器的电容 C ＝QU ，接触面间的动摩擦因数μ＝fFN ，电场强度E ＝Fq 等．它们的共同特征是：被定义的物理量是反映物体或物质的属性和特征的，它和定义式中相比的物理量无关．对此，学生很容易把它当做一个数学比例式来处理而忽略了其物理意义，也就是说教学中还要防止数学知识在物理应用中的负迁移．
数学是“物理学家的思想工具”，它使物理学家能“有条理地思考”并能想象出更多的东西．可以说，正是有了数学与物理学的有机结合，才使物理学日臻完善．物理学的严格定量化，使得数学方法成为物理解题中一个不可或缺的工具．