幂函数的教学设计
刘 飚 (江苏省张家港市暨阳高级中学 215600)
新课标指出高中数学课程应该返璞归真, 努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质. 通过典型例子的分析和学生自主探索活动, 使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程, 体会蕴涵在其中的思想方法, 追寻数学发展的历史足迹, 把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态. 遵循这一理念笔者尝试幂函数的教学设计与大家交流.
习, 使学生加深对函数的理解. 重要的是, 这段内容还蕴涵着归纳类比、数形结合、从特殊到一般, 从一般到特殊等重要的数学思想和数学方法.
∀教学目标
(1) 了解幂函数的概念, 了解几个具体幂函数图象的变化情况和性质.
(2) 在数学实验平台上, 能自主探究, 经历幂函数图象和性质探索发现的过程, 提高观察、归纳、概括能力. 学会借助于数学软件等工具研究、探索和解决问题.
(3) 体会特殊到一般、数形结合、分类讨论等数学思想方法, 培养学生积极参与、合作交流的主体意识, 使学生感受数学学习的意义, 改善学生的数学学习信念(态度、兴趣等) .
∀教材重点和难点处理思路
重点:幂函数的概念和常见性质.
难点:经历数学实验方法探索研究幂函数的性质, 学会数学地解决问题.
为了突出重点、突破难点, 在教学中采取了以下策略:
(1) 创设情境, 激发学生学习兴趣, 从学生已有知识出发, 设计一些适合学生学力的数学实验平台, 分层次逐步引导学生观察图象与幂函数解析式中 取值的关系, 抽象、归纳出幂函数的性质和幂指数的关系, 从而真正认识解析式形式化的特点. (2) 数学实验采取小组合作研究共同完成的形式, 通过学生的自主探究、合作交流, 从而实现对幂函数的性质和幂指数的关系知识的建构.
1 设计思想
实际教学中, 我们发现如果学生不经受足够的亲身体验而简单地记住结论的话, 往往很难掌握幂函数的性质和幂指数的关系, 因此在教学中这段内容不以采取简单的 告诉 方式, 而是让学生自主发现命题、发现规律, 让他们 知其然, 更要知其所以然. 又让学生初步学会如何应用规律解决问题, 体会知识的价值, 增强求知欲.
2 学情分析
本节课授课的对象是高一年级的学生, 他们对函数的概念及性质已经有了一定的认识, 基本上掌握了研究函数性质的一般方法. 这节课是学生在学习了指数函数、对数函数的基础上, 研究的
第三种函数. 由于刚从初中升入高一, 学生仍保留着初中生的许多学习特点, 能力发展正处于形象思维向抽象思维转折阶段, 通过学习幂函数知识, 既可以体验类比研究的过程, 又能通过对幂函数的学习重温研究函数的一般思想方法, 从而掌握研究函数的一般方法.
3 教材分析
幂函数是新课标教材新增的内容, 位于必修1第二章基本初等函数(! ) 的第四节. 新教材将幂函数的位置放到了指数函数与对数函数之后, 并且将幂函数研究的对象限定为几个具体函数, 本节课主要内容为通过实例引出幂函数的概念, 使学生了解幂函数的模型, 了解幂函数与指数函数的区别. 通过一些特殊的幂函数的图象, 观察总结出幂函数的变化情况与性质, 培养学生的抽象概括能力. 通过对幂函数的研究, 结合一次函数、4 教学过程设计
4 1 问题情境
由 神六升空 引入研究天体运动, 研究太阳系八大行星.
#设计意图∃兴趣是最好的老师. 如果一节课有良好的开头, 那就意味着成功的一半. 因此选择从学生感兴趣的问题引入, 激发学生思维, 激发学生的求知欲.
表1中给出了八大行星离太阳的距离和它们.
表1
距离/106km 周期/d
水星57. 988
金星108. 2225
地球149. 6365
火星227. 9687
木星778. 34329
土星142710753
天王星287030660
海王星449760150
在Ex cel 工作表中输入上述数据, 作出散点图后观察散点趋势, 尝试用指数、对数、乘幂和二次多项式拟合. 与指数、对数、二次多项式比较用乘幂拟合得到的R 值为1, 因此用乘幂进行拟合最恰当. 再进行观察发现, 运行周期T 与d 满足关系T &0. 2001d &0. 2d 2.
这就是开普勒第三定律的数学表达式, 它揭示了 公转时间的平方与平均距离的立方成正比 这一天体运动定律.
#设计意图∃力求通过信息技术与课程内容的整合, 激发学生对学习的兴趣. 通过开普勒第三定律发现所用时间与利用Ex cel 探求所用时间对比, 体会现代技术的力量. 鼓励学生, 把现代技术作为学习研究和探索解决问题的工具. 4 2 建构数学
通过学生观察、对比, 发现y =x 2, 这是一个区别于指数、对数、二次多项式的函数, 我们把这样的函数定义为幂函数.
定义:一般地, 我们把形如y =x 的函数称为幂函数, 其中x 是自变量, 是常数.
#设计意图∃通过与指数函数、对数函数定义的类比, 得出幂函数定义.
思考1 判断下列函数中哪些是幂函数:y =x -2, y =2x 2, y =2, y =(x -1) 2, y =() x . 2
问题1 幂函数与指数函数有什么区别与联系?(组织学生回顾指数函数的概念, 明确二者的区别, 得出如下结论. )
结论:幂函数和指数函数是我们高中数学中研究的两类基本初等函数, 从它们的解析式来看有如下区别:对幂函数来说, 底数是自变量, 指数是常数; 对指数函数来说, 指数是自变量, 底数是常数.
#设计意图∃通过与指数函数、对数函数对比, 加深学生对幂函数定义和呈现形式的理解. 4 3 数学运用
问题2 我们已经对幂函数的概念有了一定的认识, 能否举一些幂函数的例子?
3
根据我们前面学习指数函数、对数函数的学习经历, 我们下面应该研究它们的图象和性质.
问题3 我们应怎样研究幂函数?
例如:y =x , 用Excel 描点画出x ∋0时函数的图象(在作出x ∋0部分图象后可进一步提问)
问题4 用Ex cel 描点画出x ∋0时函数的图象后, 能否不用描点法作出x
#设计意图∃引导学生认识到对于幂函数可以先利用解析式研究函数的奇偶性, 然后再研究图象、单调性等性质.
思考2 写出下列函数的定义域, 并指出它们的奇偶性:(1) y =x ; (2) y =x ; (3) y =x .
根据幂函数的解析式及奇偶性, 我们主要研究幂函数在第一象限的图象与性质.
问题5 幂函数在第一象限的图象与性质. 在这个环节中引导学生自由选择不同的幂函数, 利用几何画板中的函数的作图工具作图, 通过作图, 探究它们的图象与性质, 并将自己的探究结果记录下来. 在研究过程中, 学生会选择幂指数不同的多个幂函数进行研究, 分别记录它们的图象与性质, 并在探究过程中对幂指数的作用进行了初步的探索. (老师可根据实际情况对学生小组进行指导)
#设计意图∃发现性质、弄清性质的来龙去脉, 是为了更好揭示幂函数的本质属性, 传统教学往往让学生在解题中领悟. 为了扭转这种方式, 可以引导学生回顾指数函数、对数函数的性质, 再利用类比的思想, 小组合作的形式通过图象主动探索出幂函数的性质.
对学生进行数学思想方法的有机渗透. (从特殊到一般再从一般到特殊、数形结合、分类讨论等) 考虑到各组的水平可能有所不同, 教师应巡视, 对个别组可做适当的指导.
组织小组交流幂函数在第一象限的图象与性质. 在这一环节中教师引导学生将幂函数在第一象限不同形态的图象画出来(图1) , 并请一名学生将图象画到黑板上, 通过对学生所画图象的纠错与分析和学生共同归纳出幂函数在第一象限的3
23
1. 4996
-2
文理科学生数学学习习惯差异的调查研究
刘文良 (江苏省新沂市教育局教研室 221400) 胡慧玲 袁亚洲 (江苏省新沂市高流中学 221411)
1 研究方法
采用抽样问卷调查法, 从我校高二年级选修物理的4个班中抽取2个班级共134人, 从高二年级选修历史4个班中抽取2个班级共130人参与调查. 问卷共有13个问题, 包括预习的时间、习惯、独立思考品质、独立完成数学作业的习惯、解题后反思的习惯和品质、数学爱好层次的品质、数形转化的习惯、处理难题的态度、听课认真程度、复习的习惯和考试期间复习习惯的品质等. 问卷
见附录.
2 调查结果及分析
发放问卷264份, 收回问卷264份.
(1) 独立思考与解题反思这两种思维品质的比较
在调查中, 独立思考的思维品质选 优 的理科占18. 67%, 文科占5. 38%, 选 良 的理科占56. 72%, 文科占59. 23%, 选 一般 的理科占24. 63%, 文科占35. 38%;
解题反思思维品质中
(1) 图象必过(1, 1) 点.
(2) 当 >1时, 过(0, 0) 点, 且y 随x 的增大而增大, 函数图象向y 轴方向延伸, 图象是下凸的. 在第一象限是增函数.
(3) 当0
随x 的增大, 函数图象向x 轴方向延伸, 函数图象是上凸的. 在第一象限是增函数.
(4) 当
(5) =1和 =0的情况略.
#设计意图∃通过小组交流, 教师的引导, 提供一定的研究学习与情感交流的时空, 培养学生合作学习的能力; 突出学生学习的主体性, 能激发学生学习的兴趣.
思考3 不借助计算机你能画出函数y =x 的图象吗?
思考4 已知幂函数y =x
m -3
4 4 回顾小结
幂函数的概念, 几个简单的幂函数的图象, 幂函数图象的变化情况和性质. 4 5 作业布置、课后自评
(1) 必做题:教材第73页习题2. 4第1, 2, 4题; (2) 选做题:略.
图1
#设计意图∃针对不同学习水平的学生, 选择不同的课外作业, 进行分层教学.
5 教学后记
本节课的设计一方面重视学生数学学习过程是活动的过程, 因此不是按照已形式化了的现成的数学规则去操作数学, 而是采取数学实验的方式, 使学生有机会经受足够的亲身体验, 亲历知识的自主建构过程; 使学生学会从具体情境中提取适当的概念, 从观察到的实例中进行概括, 进行合理的数学猜想与数学验证, 并作更高层次的数学概括与抽象, 从而学会数学地思考.
另一方面, 注重创设机会使学生看到数学的全貌, 体会数学的全过程. 整堂课的设计围绕研究幂函数的图象展开, 以问题 研究幂函数性质 为主线, 既让学生清楚如何研究函数, 明确学习目标, 又让学生初步学会如何应用规律解决问题, 体会知识的价值, 增强求知欲. 使传授知识与培养能力融为一体, 在转变学习方式的同时学会数学地思考.
(-3
m (Z ) 的图象与x 轴、y 轴都无公共点, 且关于y 轴对称, 求该函数的解析式, 并写出相应函数的定义域、值域、奇偶性、单调性.
#设计意图∃利用练习巩固新知识, 加深理解.
幂函数的教学设计
刘 飚 (江苏省张家港市暨阳高级中学 215600)
新课标指出高中数学课程应该返璞归真, 努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质. 通过典型例子的分析和学生自主探索活动, 使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程, 体会蕴涵在其中的思想方法, 追寻数学发展的历史足迹, 把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态. 遵循这一理念笔者尝试幂函数的教学设计与大家交流.
习, 使学生加深对函数的理解. 重要的是, 这段内容还蕴涵着归纳类比、数形结合、从特殊到一般, 从一般到特殊等重要的数学思想和数学方法.
∀教学目标
(1) 了解幂函数的概念, 了解几个具体幂函数图象的变化情况和性质.
(2) 在数学实验平台上, 能自主探究, 经历幂函数图象和性质探索发现的过程, 提高观察、归纳、概括能力. 学会借助于数学软件等工具研究、探索和解决问题.
(3) 体会特殊到一般、数形结合、分类讨论等数学思想方法, 培养学生积极参与、合作交流的主体意识, 使学生感受数学学习的意义, 改善学生的数学学习信念(态度、兴趣等) .
∀教材重点和难点处理思路
重点:幂函数的概念和常见性质.
难点:经历数学实验方法探索研究幂函数的性质, 学会数学地解决问题.
为了突出重点、突破难点, 在教学中采取了以下策略:
(1) 创设情境, 激发学生学习兴趣, 从学生已有知识出发, 设计一些适合学生学力的数学实验平台, 分层次逐步引导学生观察图象与幂函数解析式中 取值的关系, 抽象、归纳出幂函数的性质和幂指数的关系, 从而真正认识解析式形式化的特点. (2) 数学实验采取小组合作研究共同完成的形式, 通过学生的自主探究、合作交流, 从而实现对幂函数的性质和幂指数的关系知识的建构.
1 设计思想
实际教学中, 我们发现如果学生不经受足够的亲身体验而简单地记住结论的话, 往往很难掌握幂函数的性质和幂指数的关系, 因此在教学中这段内容不以采取简单的 告诉 方式, 而是让学生自主发现命题、发现规律, 让他们 知其然, 更要知其所以然. 又让学生初步学会如何应用规律解决问题, 体会知识的价值, 增强求知欲.
2 学情分析
本节课授课的对象是高一年级的学生, 他们对函数的概念及性质已经有了一定的认识, 基本上掌握了研究函数性质的一般方法. 这节课是学生在学习了指数函数、对数函数的基础上, 研究的
第三种函数. 由于刚从初中升入高一, 学生仍保留着初中生的许多学习特点, 能力发展正处于形象思维向抽象思维转折阶段, 通过学习幂函数知识, 既可以体验类比研究的过程, 又能通过对幂函数的学习重温研究函数的一般思想方法, 从而掌握研究函数的一般方法.
3 教材分析
幂函数是新课标教材新增的内容, 位于必修1第二章基本初等函数(! ) 的第四节. 新教材将幂函数的位置放到了指数函数与对数函数之后, 并且将幂函数研究的对象限定为几个具体函数, 本节课主要内容为通过实例引出幂函数的概念, 使学生了解幂函数的模型, 了解幂函数与指数函数的区别. 通过一些特殊的幂函数的图象, 观察总结出幂函数的变化情况与性质, 培养学生的抽象概括能力. 通过对幂函数的研究, 结合一次函数、4 教学过程设计
4 1 问题情境
由 神六升空 引入研究天体运动, 研究太阳系八大行星.
#设计意图∃兴趣是最好的老师. 如果一节课有良好的开头, 那就意味着成功的一半. 因此选择从学生感兴趣的问题引入, 激发学生思维, 激发学生的求知欲.
表1中给出了八大行星离太阳的距离和它们.
表1
距离/106km 周期/d
水星57. 988
金星108. 2225
地球149. 6365
火星227. 9687
木星778. 34329
土星142710753
天王星287030660
海王星449760150
在Ex cel 工作表中输入上述数据, 作出散点图后观察散点趋势, 尝试用指数、对数、乘幂和二次多项式拟合. 与指数、对数、二次多项式比较用乘幂拟合得到的R 值为1, 因此用乘幂进行拟合最恰当. 再进行观察发现, 运行周期T 与d 满足关系T &0. 2001d &0. 2d 2.
这就是开普勒第三定律的数学表达式, 它揭示了 公转时间的平方与平均距离的立方成正比 这一天体运动定律.
#设计意图∃力求通过信息技术与课程内容的整合, 激发学生对学习的兴趣. 通过开普勒第三定律发现所用时间与利用Ex cel 探求所用时间对比, 体会现代技术的力量. 鼓励学生, 把现代技术作为学习研究和探索解决问题的工具. 4 2 建构数学
通过学生观察、对比, 发现y =x 2, 这是一个区别于指数、对数、二次多项式的函数, 我们把这样的函数定义为幂函数.
定义:一般地, 我们把形如y =x 的函数称为幂函数, 其中x 是自变量, 是常数.
#设计意图∃通过与指数函数、对数函数定义的类比, 得出幂函数定义.
思考1 判断下列函数中哪些是幂函数:y =x -2, y =2x 2, y =2, y =(x -1) 2, y =() x . 2
问题1 幂函数与指数函数有什么区别与联系?(组织学生回顾指数函数的概念, 明确二者的区别, 得出如下结论. )
结论:幂函数和指数函数是我们高中数学中研究的两类基本初等函数, 从它们的解析式来看有如下区别:对幂函数来说, 底数是自变量, 指数是常数; 对指数函数来说, 指数是自变量, 底数是常数.
#设计意图∃通过与指数函数、对数函数对比, 加深学生对幂函数定义和呈现形式的理解. 4 3 数学运用
问题2 我们已经对幂函数的概念有了一定的认识, 能否举一些幂函数的例子?
3
根据我们前面学习指数函数、对数函数的学习经历, 我们下面应该研究它们的图象和性质.
问题3 我们应怎样研究幂函数?
例如:y =x , 用Excel 描点画出x ∋0时函数的图象(在作出x ∋0部分图象后可进一步提问)
问题4 用Ex cel 描点画出x ∋0时函数的图象后, 能否不用描点法作出x
#设计意图∃引导学生认识到对于幂函数可以先利用解析式研究函数的奇偶性, 然后再研究图象、单调性等性质.
思考2 写出下列函数的定义域, 并指出它们的奇偶性:(1) y =x ; (2) y =x ; (3) y =x .
根据幂函数的解析式及奇偶性, 我们主要研究幂函数在第一象限的图象与性质.
问题5 幂函数在第一象限的图象与性质. 在这个环节中引导学生自由选择不同的幂函数, 利用几何画板中的函数的作图工具作图, 通过作图, 探究它们的图象与性质, 并将自己的探究结果记录下来. 在研究过程中, 学生会选择幂指数不同的多个幂函数进行研究, 分别记录它们的图象与性质, 并在探究过程中对幂指数的作用进行了初步的探索. (老师可根据实际情况对学生小组进行指导)
#设计意图∃发现性质、弄清性质的来龙去脉, 是为了更好揭示幂函数的本质属性, 传统教学往往让学生在解题中领悟. 为了扭转这种方式, 可以引导学生回顾指数函数、对数函数的性质, 再利用类比的思想, 小组合作的形式通过图象主动探索出幂函数的性质.
对学生进行数学思想方法的有机渗透. (从特殊到一般再从一般到特殊、数形结合、分类讨论等) 考虑到各组的水平可能有所不同, 教师应巡视, 对个别组可做适当的指导.
组织小组交流幂函数在第一象限的图象与性质. 在这一环节中教师引导学生将幂函数在第一象限不同形态的图象画出来(图1) , 并请一名学生将图象画到黑板上, 通过对学生所画图象的纠错与分析和学生共同归纳出幂函数在第一象限的3
23
1. 4996
-2
文理科学生数学学习习惯差异的调查研究
刘文良 (江苏省新沂市教育局教研室 221400) 胡慧玲 袁亚洲 (江苏省新沂市高流中学 221411)
1 研究方法
采用抽样问卷调查法, 从我校高二年级选修物理的4个班中抽取2个班级共134人, 从高二年级选修历史4个班中抽取2个班级共130人参与调查. 问卷共有13个问题, 包括预习的时间、习惯、独立思考品质、独立完成数学作业的习惯、解题后反思的习惯和品质、数学爱好层次的品质、数形转化的习惯、处理难题的态度、听课认真程度、复习的习惯和考试期间复习习惯的品质等. 问卷
见附录.
2 调查结果及分析
发放问卷264份, 收回问卷264份.
(1) 独立思考与解题反思这两种思维品质的比较
在调查中, 独立思考的思维品质选 优 的理科占18. 67%, 文科占5. 38%, 选 良 的理科占56. 72%, 文科占59. 23%, 选 一般 的理科占24. 63%, 文科占35. 38%;
解题反思思维品质中
(1) 图象必过(1, 1) 点.
(2) 当 >1时, 过(0, 0) 点, 且y 随x 的增大而增大, 函数图象向y 轴方向延伸, 图象是下凸的. 在第一象限是增函数.
(3) 当0
随x 的增大, 函数图象向x 轴方向延伸, 函数图象是上凸的. 在第一象限是增函数.
(4) 当
(5) =1和 =0的情况略.
#设计意图∃通过小组交流, 教师的引导, 提供一定的研究学习与情感交流的时空, 培养学生合作学习的能力; 突出学生学习的主体性, 能激发学生学习的兴趣.
思考3 不借助计算机你能画出函数y =x 的图象吗?
思考4 已知幂函数y =x
m -3
4 4 回顾小结
幂函数的概念, 几个简单的幂函数的图象, 幂函数图象的变化情况和性质. 4 5 作业布置、课后自评
(1) 必做题:教材第73页习题2. 4第1, 2, 4题; (2) 选做题:略.
图1
#设计意图∃针对不同学习水平的学生, 选择不同的课外作业, 进行分层教学.
5 教学后记
本节课的设计一方面重视学生数学学习过程是活动的过程, 因此不是按照已形式化了的现成的数学规则去操作数学, 而是采取数学实验的方式, 使学生有机会经受足够的亲身体验, 亲历知识的自主建构过程; 使学生学会从具体情境中提取适当的概念, 从观察到的实例中进行概括, 进行合理的数学猜想与数学验证, 并作更高层次的数学概括与抽象, 从而学会数学地思考.
另一方面, 注重创设机会使学生看到数学的全貌, 体会数学的全过程. 整堂课的设计围绕研究幂函数的图象展开, 以问题 研究幂函数性质 为主线, 既让学生清楚如何研究函数, 明确学习目标, 又让学生初步学会如何应用规律解决问题, 体会知识的价值, 增强求知欲. 使传授知识与培养能力融为一体, 在转变学习方式的同时学会数学地思考.
(-3
m (Z ) 的图象与x 轴、y 轴都无公共点, 且关于y 轴对称, 求该函数的解析式, 并写出相应函数的定义域、值域、奇偶性、单调性.
#设计意图∃利用练习巩固新知识, 加深理解.