2.1 试述多元联合分布和边缘分布之间的关系。 设组成的子向量
把的分布称为联合分布。 当的分布函数为F数为F
=P(
）则
）=
服从二元正态分布，写出其联合分布密
，即边缘密度
时，
的分布函数即边缘分布函
)
是p维随机向量，称由它的q（
的分布为的边缘分布，相对地
= F当X有分布密度f（函数为：f（2.2
设随机向量度函数和
各自的边缘密度函数。
联合分布密度函数
0 , 其他
=
=
所以指数部分变为令t=
=exp[] exp[
] ，
=
0 ，其他 同理，
=
0 ，其他
exp[
] ，
2.3 已知随机向
量的联合分布密度函数
为
,
中,。求：
（1） 随机变量各自的边缘密度函数、均值与方差。 解
=
=
同理，
=
=
E(x)=⎰+∞x=⎰b1-∞
1f1(x1)a
x1a+b
1∙
b-adx1=2
同理可得E(xc+d2)=
2
D(x∞
-E(x2
1)=⎰
+-∞
(x11))
fxb
⎛
a+b⎫2
1(a-b)2
1(1)d(x1)=⎰a ⎝
x1-2⎪⎭∙b-adx1
=12 同理可得D(x(c-d)2
2)=12
其
：
（2） 随机变量的协方差和相关系数。 E(=
= E(==
E(=
= E(=
D(
E( D(
E(
Cov
E(
E(
.=
=
=
（3） 判断是否独立。
。
=
2.4设随机向量服从正态分布，已知其协差阵为
对角阵，证明的分量是相互独立的随机变量。
=
不相关
又
相互独立。（
2.5
解： 依据题意，X= E(X)=
服从正态分布
D(X)=
0⎤⎡1
11⎢ ⎥
I=)X注：利用 p⨯1=X'1n, S=X'(In-1n1' 其中 nn⎢⎥nn
⎢1⎥⎣0⎦
在SPSS中求样本均值向量的操作步骤如下：
1. 选择菜单项Analyze→Descriptive Statistics→Descriptives，打开Descriptives对话框。
将待估计的四个变量移入右边的Variables列表框中，如图2.1。
图2.1 Descriptives对话框
2.
单击Options按钮，打开Options子对话框。在对话
框中选择Mean复选框，即计算样本均值向量，如图2.2所示。单击Continue按钮返回主对话框。
图2.2 Options子对话框
3. 单击OK按钮，执行操作。则在结果输出窗口中给出样本均值向量，如表2.1，即
样本均值向量为（35.3333，12.3333，17.1667，1.5250E2）。
表2.1 样本均值向量
在SPSS中计算样本协差阵的步骤如下： 1. 选择菜单项Analyze→Correlate→Bivariate，打开
Bivariate Correlations对话框。将三个变量移入右边的Variables列表框中，如图2.3。
2.
图2.3 Bivariate Correlations对话框
单击Options按钮，打开Options子对话框。选择
Cross-product deviations and covariances复选框，即计算样本离差阵和样本协差阵，如图2.4。单击Continue按钮，返回主对话框。
3.
图2.4 Options子对话框
单击OK按钮，执行操作。则在结果输出窗口中给
出相关分析表，见表2.2。表中Covariance给出样本协差阵。（另外，Pearson Correlation为皮尔逊相关系数矩阵，Sum of Squares and Cross-products为样本离差阵。）
2.6均值向量和协差阵的最大似然估计量具有哪些优良性质？
1．E()=μ，即是μ的无偏估计；
n-11
Σ，即S不是Σ的无偏估计， nn11S)=Σ，即S是Σ的无偏估计； 而E(n-1n-11
S分别是μ，Σ的有效估计； 2．，
n-111
S）分别是μ，Σ的一致估计（相合估计）3．，S（或。
nn-1
E(S)=
1n
2.7 试证多元正态总体 的样本均值向量 证明：
2.8 试证多元正态总体计。 证明：E(
=
=
=
=
=
)
的样本协差阵
为 的无偏估
是的无偏估计，S=n
为 2.9
设
是从多元正态总体
的分布。
中独立抽取的一
的无偏估计
个随机样本，试求样本协差阵
解：X(a)~Np(μ,Σ)，a=1,2, ,n且相互独立，则样本离
1n
差阵S=∑(X(a)-)(X(a)-)'~Wp(n-1,Σ)，其中=∑X
(a)
na=1a=1
n
的分布为
2.10 设
（1）已知（2）已知
是来自
(1,)
的数据阵，i=1,2, 且
，求
,k
的估计。
，求
和
的估计。
这道题我对自己的答案不是很确定。
2.1 试述多元联合分布和边缘分布之间的关系。 设组成的子向量
把的分布称为联合分布。 当的分布函数为F数为F
=P(
）则
）=
服从二元正态分布，写出其联合分布密
，即边缘密度
时，
的分布函数即边缘分布函
)
是p维随机向量，称由它的q（
的分布为的边缘分布，相对地
= F当X有分布密度f（函数为：f（2.2
设随机向量度函数和
各自的边缘密度函数。
联合分布密度函数
0 , 其他
=
=
所以指数部分变为令t=
=exp[] exp[
] ，
=
0 ，其他 同理，
=
0 ，其他
exp[
] ，
2.3 已知随机向
量的联合分布密度函数
为
,
中,。求：
（1） 随机变量各自的边缘密度函数、均值与方差。 解
=
=
同理，
=
=
E(x)=⎰+∞x=⎰b1-∞
1f1(x1)a
x1a+b
1∙
b-adx1=2
同理可得E(xc+d2)=
2
D(x∞
-E(x2
1)=⎰
+-∞
(x11))
fxb
⎛
a+b⎫2
1(a-b)2
1(1)d(x1)=⎰a ⎝
x1-2⎪⎭∙b-adx1
=12 同理可得D(x(c-d)2
2)=12
其
：
（2） 随机变量的协方差和相关系数。 E(=
= E(==
E(=
= E(=
D(
E( D(
E(
Cov
E(
E(
.=
=
=
（3） 判断是否独立。
。
=
2.4设随机向量服从正态分布，已知其协差阵为
对角阵，证明的分量是相互独立的随机变量。
=
不相关
又
相互独立。（
2.5
解： 依据题意，X= E(X)=
服从正态分布
D(X)=
0⎤⎡1
11⎢ ⎥
I=)X注：利用 p⨯1=X'1n, S=X'(In-1n1' 其中 nn⎢⎥nn
⎢1⎥⎣0⎦
在SPSS中求样本均值向量的操作步骤如下：
1. 选择菜单项Analyze→Descriptive Statistics→Descriptives，打开Descriptives对话框。
将待估计的四个变量移入右边的Variables列表框中，如图2.1。
图2.1 Descriptives对话框
2.
单击Options按钮，打开Options子对话框。在对话
框中选择Mean复选框，即计算样本均值向量，如图2.2所示。单击Continue按钮返回主对话框。
图2.2 Options子对话框
3. 单击OK按钮，执行操作。则在结果输出窗口中给出样本均值向量，如表2.1，即
样本均值向量为（35.3333，12.3333，17.1667，1.5250E2）。
表2.1 样本均值向量
在SPSS中计算样本协差阵的步骤如下： 1. 选择菜单项Analyze→Correlate→Bivariate，打开
Bivariate Correlations对话框。将三个变量移入右边的Variables列表框中，如图2.3。
2.
图2.3 Bivariate Correlations对话框
单击Options按钮，打开Options子对话框。选择
Cross-product deviations and covariances复选框，即计算样本离差阵和样本协差阵，如图2.4。单击Continue按钮，返回主对话框。
3.
图2.4 Options子对话框
单击OK按钮，执行操作。则在结果输出窗口中给
出相关分析表，见表2.2。表中Covariance给出样本协差阵。（另外，Pearson Correlation为皮尔逊相关系数矩阵，Sum of Squares and Cross-products为样本离差阵。）
2.6均值向量和协差阵的最大似然估计量具有哪些优良性质？
1．E()=μ，即是μ的无偏估计；
n-11
Σ，即S不是Σ的无偏估计， nn11S)=Σ，即S是Σ的无偏估计； 而E(n-1n-11
S分别是μ，Σ的有效估计； 2．，
n-111
S）分别是μ，Σ的一致估计（相合估计）3．，S（或。
nn-1
E(S)=
1n
2.7 试证多元正态总体 的样本均值向量 证明：
2.8 试证多元正态总体计。 证明：E(
=
=
=
=
=
)
的样本协差阵
为 的无偏估
是的无偏估计，S=n
为 2.9
设
是从多元正态总体
的分布。
中独立抽取的一
的无偏估计
个随机样本，试求样本协差阵
解：X(a)~Np(μ,Σ)，a=1,2, ,n且相互独立，则样本离
1n
差阵S=∑(X(a)-)(X(a)-)'~Wp(n-1,Σ)，其中=∑X
(a)
na=1a=1
n
的分布为
2.10 设
（1）已知（2）已知
是来自
(1,)
的数据阵，i=1,2, 且
，求
,k
的估计。
，求
和
的估计。
这道题我对自己的答案不是很确定。